đẳng thức lượng giác cơ bản và nâng cao

Định nghĩa Xem thêm các hàm lượng giác [sửa] Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị: Tuần hoàn (k nguyên)

ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

10:41 - 05/01/2011 LoveSick Chưa có chủ đề

Định nghĩa

Xem thêm các hàm lượng giác

[sửa] Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

[sửa] Đẳng thức Pytago

Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x)

và sin²(x).

[sửa] Tổng và hiệu của góc

Xem thêm Định lý Ptolemaios

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler

và

[sửa] Công thức góc bội

[sửa] Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên Cũng có thể

dùng công thức de Moivrevới n = 2

Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy

[sửa] Tổng quát

Nếu T n là đa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:

Hàm hạt nhân Dirichlet D n (x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

Hay theo công thức hồi quy:

sin( n x) = 2sin(( n − 1) x)cos( x) − sin(( n − 2) x)

cos( n x) = 2cos(( n − 1) x)cos( x) − cos(( n − 2) x)

[sửa] Bội ba

[ SỬA ] CƠ BẢN

Ví dụ của trường hợp n = 3:

[ SỬA ] NÂNG CAO

[sửa] Công thức hạ bậc

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:

[sửa] Công thức góc chia đôi

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

Dẫn đến:

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi

đơn giản hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các

tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t Cách này giúp tính đạo

hàm của biểu thức dễ dạng

[sửa] Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra

[sửa] Biển tổng thành tích

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:

[sửa] Hàm lượng giác ngược

[sửa] Dạng số phức

với

[sửa] Tích vô hạn

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

[sửa] Đẳng thức số

[sửa] Cơ bản

Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:

Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:

hay dùng công thức Euler:

Một số đẳng thức khác:

Dùng tỷ lệ vàng φ:

[sửa] Nâng cao































[sửa] Giải tích

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược

[sửa] Hàm lượng giác nghịch đảo

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:

Giới hạn miền Định nghĩa

-π/2 < y < π/2 y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)

0 < y < π y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)

-π/2 < y < π/2 y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)

-π/2 < y < π/2 và y ≠

0 < y < π và y ≠ π/2 y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)

-π/2 < y < π/2 và y ≠

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:

[sửa] Một số đẳng thức

Xem thêm Đẳng thức lượng giác

Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược