Hàm số học và dạng modular

Ng y nay, sè hå nhi·u ùng döng quan trångtrong sèng, bi»t trongtin hå v· m¢ hâa v b£o mªt thæng tin.. Lþ thuy¸t d¤ng Modular... Vªy iii ÷ñ hùng minh... Nhí quanh» giúa h m sèhå ÷ñ hùngmi

1 Lþ thuy¸t d¤ng modular 4

1.1 L÷îi sinh bði sè (ω 1 , ω 2 ) 4

1.2 Chuéi Eisenstein v  b§t bi¸n g 2 , g 3 8

1.3 Nhâm modular 9

1.3.1 ành ngh¾a 9

1.3.2 Mi·n b£n nhâm modular 10

1.4 H m modular 13

1.5 Khæng gian d¤ng modular 16

1.5.1 Khæng iºm v  iºm h m modular 16

1.5.2 ¤i sè d¤ng modular 21

2 Mët sè ùng döng trong sè hå 24 2.1 sè Bernoulli B k v  h m zeta Rieman ζ(s) 24

2.2 H m σ 27

2.3 H m τ 36

2.3.1 Khai triºn Fourier bi»t ∆ = g 3 2 − 27g 2 3 36 2.4 · xu§t mët sè b i tªp sè hå 41

K¸t luªn 43

T i li»u tham kh£o 44

Sè hå l  bë mæn to¡n xu§t hi»n sîm nh§t to¡n hå Vîi èi

t÷ñng nghi¶n h¿ l  sè nguy¶n, nh÷ng l¤i r§t nhi·u gi£

thuy¸t,b i to¡n v¨n h÷a líi gi£i Trong h nh tr¼nh t¼m ki¸m líi gi£i

ho nhúng b i to¡n â, nhi·u lþ thuy¸t mîi to¡n hå ¢ n£y sinh,

th ©y to¡n hå khæng ngøng ph¡t triºn Ng y nay, sè hå nhi·u

ùng döng quan trångtrong sèng, bi»t trongtin hå v· m¢

hâa v  b£o mªt thæng tin Còng vîi nhúng ki¸n ð phê thæng,

th¼ lþ thuy¸t v· d¤ng Modular gâp th¶m mët húu hi»u º

nghi¶n sè hå D¤ng Modular l  mët h÷îng nghi¶n quan trång

sè hå h¼nh hå ¤i sè v  nhi·u ng nh to¡n hå Mët sè

ùng döng lþ thuy¸t d¤ng Modular thº ùng döng º nghi¶n

h m sè hå B£n luªn v«n n y tr¼nh by nhúng k¸t qu£ b£n v·

lþ thuy¸t d¤ng Modular v  mët sè ùng döng trong sè hå

Ngo i phn mð u, phn k¸t luªn, luªn v«n gçm 2 h÷ìng:

Ch÷ìng 1 Lþ thuy¸t d¤ng Modular Ch÷ìng n y tr¼nh by

nhúng ành ngh¾a, kh¡i ni»m v  k¸t qu£ b£n v· lþ thuy¸t d¤ng

Modular nh÷: Nhâm Modular, h m Modular, khæng gian d¤ng

Modular Mët sè ki¸n bê trñ nh÷: L÷îi sinh bði sè

(ω 1 , ω 2 ), huéi Eisenstein v  b§t bi¸n g 1 , g 2 ành lþ 1.5.2 v 

Ch÷ìng 2 Mët sè ùng döng trong sè hå Ch÷ìng n y tr¼nh b y

mët sè ùng döng lþ thuy¸t d¤ng Modular trong sè hå Nh÷

mæ t£ hi ti¸t khai triºn h m E, Düa v o v· sè hi·u º

÷a ¸n mët sè h» giúa h m E. Vîi khai triºn Fourier

G k , vîi nhúng ki¸n trong h÷ìng 1, thi¸t lªp ÷ñ mët sæ h»li¶n h» h m sè hå ζ(2k), δ k (n), τ (n). Tø â ta nhúngph÷ìng ph¡p s¡ng mët lîp b i tªp sè hå

T gi£ xin b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn h¥n th nh ¸n ng÷íi

thy, ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå GS TSKH H  Huy Kho¡i v· sü gióp

ï hu ¡o, h¿ b£o tªn t¥m thy trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nh

b£n luªn v«n

Trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp, nghi¶n v  ho n th nh b£n luªn v«n,

gi£ ¢ nhªn ÷ñ sü quan t¥m gióp ï thy, gi¡o, bë

nh¥n vi¶n Pháng  o t¤o sau ¤i hå v quan h» què t¸, tr÷íng

¤i hå khoa hå ¤i hå Th¡i Nguy¶n

T gi£ xin h¥n th nh ìn BGH tr÷íng THPT Tæ Hi»u - Th÷íng

T½n, tê to¡n tr÷íng THPT Tæ Hi»u - Th÷íng T½n, b¤n hå vi¶n lîp

hå To¡n K6atr÷íng ¤ihå khoa hå ¤i hå Th¡iNguy¶n,

b¤n b± çng nghi»p ¢ t¤o nhúng i·u ki»n thuªn lñi v· vªt h§t

l¨n tinh thn gióp tæi ho n th nh khâa hå v  b£n luªn v«n n y

T gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi ha mµ, nhúng ng÷íi th¥n trong gia

¼nh ¢ tin t÷ðng, gióp ï, ëng vi¶n gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh hå

tªp

dò ¢ g­ng r§t nhi·u nh÷ng b£n luªn v«n v¨n khâ tr¡nh khäi

nhúng khi¸m khuy¸t T gi£ mong muèn nhªn ÷ñ nhúng nhªn x²t,

gâp þ thy, gi¡o v  b¤n b± çng nghi»p º nëi dung b£n

luªn v«n n y ÷ñ ho n thi»n hìn

T gi£ xin h¥n th nh ìn

Th¡i Nguy¶n, ng y 11 th¡ng 5 n«m 2014

T gi£

Ph¤m Vi»t Háa

Lþ thuy¸t d¤ng modular

1.1 L÷îi sinh bði sè (ω 1 , ω 2 )

ành ngh¾a 1.1.1 Gi£ sû ω 1, ω 2 l  sè sao ho ω 1 /ω 2 khængph£i l  sè Tªp gçm t§t tê hñp tuy¸n t½nh

nω 1 + mω 2, trong â m, n l  sè nguy¶n, ÷ñ gåi l  l÷îi sinh bði ω 1

1.1 L÷îi sinh bði °p sè (ω 1 , ω 2 ) 5

suy ra det A = ±1 (do a, b, c, d, a ′ , b ′ , c ′ , d ′ l  sè nguy¶n)

Ng÷ñ l¤i,n¸utçnt¤ima trªn2×2,

1.1 L÷îi sinh bði °p sè (ω 1 , ω 2 ) 6

H¼nh 1.1

Chùng minh X²t h¼nh b¼nh h nh ¿nh l  ω 1 ± ω 2 , −ω 1 ± ω 2

Gåi R v  r l  kho£ng h ¤i, tiºu tø O ¸n bi¶n h¼nh b¼nh

h nh N¸u ω 6= 0, l  mët trong 8 tê hñp tuy¸n t½nh ω 1 v  ω 2 tr¶nh¼nh b¼nh h nh th¼

1

ω α

,

n (nr) α

1.1 L÷îi sinh bði °p sè (ω 1 , ω 2 ) 7

Do â têng ri¶ng S (n) tòy þ s³ n¬m giúa 8 1

R α ζ (α − 1) v 

8 1

r α ζ (α − 1) , giîi nëi tr¶n bði 8 1

r α ζ (α − 1) , hëi tö n¸u α > 2. Nh÷ngmët têng ri¶ng s³ n¬m giúa

hëi tö tuy»t èi v  ·u trong ¾a |z| ≤ R.

Chùng minh Ta s³ h¿ ra r¬ng tçn t¤i h¬ng sè M (phö thuë R, α) sao

z − ω ω

z − ω ω

1.2 Chuéi Eisenstein v  b§t bi¸n g 2 , g 3 8

1.2 Chuéi Eisenstein v  b§t bi¸n g 2 , g 3

ành ngh¾a 1.2.1 Vîi k nguy¶n, k ≥ 2, huéi

∆ (1, z) = ω 1 12 ∆ (ω 1 , ω 2 )

Nh÷ vªy thº g 2 , g 3 , ∆nh÷ h m mëtbi¸n as³ ¡nhsè ω 1 , ω 2

sao ho z = ω 2

ω 1

phn £o d÷ìng, khi â h m ang x²t ÷ñ xem

l  h m ành trong nûa m°t ph¯ng tr¶n kþ hi»u l 

2 , |z| ≥ 1



.

ành lþ 1.3.2 D l  mi·n ì b£n G, ngh¾a l :

i) Vîi måi z ∈ H tçn t¤i g ∈ G sao gz ∈ D.

ii) N¸u z, z ′ thuë v o D, z z ′ v  z ≡ z ′ (modG) th¼

Rez = ±1/2 v  z = z ′ ± 1 ho

|z| = 1 v  z ′ = −1/z.

iii) Vîi måi z ∈ D kþ hi»u I (z) = {g ∈ G| gz = z }. Khi â I (z) = {1}

trø ba tr÷íng hñp sau:

z = i, I (z) l  nhâm §p hai sinh bði S

z = ρ = e 2πi/3 , I (z) l  nhâm §p ba sinh bði ST.

z = −ρ = e πi/3 , I (z) l  nhâm §p ba sinh bði T S.

Bê · 1.3.3 nh x¤ D → H/G l  to n ¡nh, h¤n l¶n phn trong

D

ành lþ 1.3.4 G sinh bði S v  T.

Chùng minh Ta hùng minh ành l½ 1.3.2 v  ành l½ 1.3.4:

Gåi G ′ l  nhâm G sinh bði S v  T.

i) L§y b§tký z ∈ H,ta s³ hùngminh tçnt¤i g ′ ∈ G ′ thäa m¢n g ′ z ∈ D.

n¬m giúa −1/2 v  1/2, phn £o ¤i

Ta hùng minh z ′ ∈ D. Gi£ sû ng÷ñ l¤i

z ′ < 1, z ′ = re iϕ , |r| < 1, Im z ′ = r sin ϕ.

k²o theo b = −1, do â gz = a − 1/z. Theo lþ luªn tr¶n, suy ra a = 0,

trø khi z = ρ, â d = 0, −1 z = −ρ â a = 0, 1 ) Tr÷ínghñp d = 1, z = ρ : ta suy ra

a − b = 1, gρ = aρ + 1

ρ + 1 = a −

1

ρ + 1 = a + ρ,

vªy a = 0, 1. Tr÷íng hñp d = −1, z = ρ + 1, ta lþ luªn nh÷ tr¶n N¸u

c = −1, lªp luªn nh÷ tr÷íng hñp c = 1 sau khi êi d§u a, b, c, d. iii) L§y

z = ρ = e 2πi/3 , I (z) sinh bði ST,

z = −ρ = e πi/3 , I (z) sinh bði T S.

Chùng minh ành lþ 1.3.4: L§y g ∈ G, hån z 0 l  iºm trong D v 

°t z = gz 0 Theo ành lþ 1.3.2, tçn t¤i g ′ ∈ G ′ , sao ho g ′ z ∈ D. iºm

 −k

,

suy ra

f (z) (dz) k = f (gz) (d (gz)) k

Ngh¾a l  d¤ng vi ph¥n f (z) (dz) k b§t bi¸n d÷îi ëng G. Do G

÷ñ sinh bði S, T, n¶n h¿ kiºm tra t½nh b§t bi¸n d÷îi èi vîi S, T.

Ta m»nh · sau:

M»nh · 1.4.2 H m f ph¥n h¼nh tr¶n H l  h m modular y¸u trång sè

2k khi v  khi f thäa m¢n vîi måi z ∈ H :

1)f (z + 1) = f (z) 2)f (−1/z) = z 2k f (z).

Nh÷ vªyh m modulary¸u h½nhl h m ph¥nh¼nhthäa m¢n1)v 2).

Gi£ sû 1) ÷ñ thäa m¢n, ta thº biºu di¹nf nh÷ l h m q = e 2πiz

k½ hi»ubði f 1 H m f 1 ph¥nh¼nh trong 0 < |q| < 1 v khai tri·n Laurent

ành ngh¾a 1.4.3 H m modular y¸u m  ph¥n h¼nh t¤i ∞ ÷ñ gåi l 

h m modular Khi f h¿nh h¼nh t¤i ∞, °t f (∞) = f 1 (0) l  gi¡ trà

f t¤i ∞.

ành ngh¾a 1.4.4 H m modular f h¿nh h¼nh tr¶n H ∪ {∞} ÷ñ gåi

l d¤ng modular.N¸uf (∞) = 0tagåif l d¤ng Vªyd¤ngmodulartrång sè 2k ÷ñ ho bði huéi

= X

(m,n+m)∈Z 2 |(0,0)

1 (mz + (n + m)) 2k = G k (z)

V 

G k (−1/z ) = X

(m,n+n)∈Z 2 |(0,0)

1 (−m/z + n) 2k

= z 2k X

(m,n)∈Z 2 |(0,0)

1 (nz − m) 2k = z

Chùng minh Theo m»nh·1.4.5,th¼ g 2, g 3 l  d¤ngmodular trång

sè ln l÷ñt l  4 v  6, suy ra ∆(z) h¿nh h¼nh tr¶n H ∪ {∞} L§y phntû

1.5.1 Khæng iºm v  iºm h m modular

Cho f l  h m ph¥n h¼nh tr¶n H, f 6= 0, v  ho p l  iºm thuë H.

ành ngh¾a 1.5.1 Sè nguy¶n n sao ho

f (z) (z − p) n h¿nh h¼nh v khæng t¤i p, ÷ñ gåi l  f t¤i p, k½ hi»u l  υ p (f )

Vîi måi z ∈ H th¼ cz + d 6= 0, n¶n f t¤i p b¬ng f t¤i

g(p). Nh÷ vªy υ p (f ) h¿ phö thuë v o £nh p trong H/G. Ta xem

υ p (f ) l  υ 0 (f 1 (q)) K½ hi»ue p l  ên inh p hay l  nhâm

ành lþ 1.5.2 Cho f l  h m modular trång sè 2k, f 6= 0. Khi â

Nhªn x²t: Têng tr¶n l  ành, ngh¾a l  f h¿ húu h¤n khæng

iºm v  iºm çng d÷ modulo G. vªy, f 1 (q) l  h m ph¥n h¼nhn¶n tçn t¤i r > 0, sao ho f 1 (q) khæng khæng iºm v  iºm khi

Z

df

f ,

tr¶n bi¶n b£n mi·n D.

Tr÷íng hñp 1: Gi£ sû f khæng khæng iºm v  iºm tr¶n bi¶n

mi·n b£n D, thº trø ra t¤i iºm i, ρ, ρ + 1. Khi â tçn t¤i hutuy¸n T, hùa måikhæng iºm v  iºm f modulo G khængçngd÷ vîi i, ρ. Theo ành lþ th°ng d÷ ta

1 2πi

q = e 2πiz = e −2πy e 2ix , z = x + iy, −1/2 ≤ x ≤ 1/2.

Cung EA bi¸n th nh váng trán w t¥m t¤i q = 0, |q| = e −2πy , arg q : π →

−π. Vªy n¶n

1 2πi

trongâg (ρ) 6= 0.Sèυ (f ) > 0,n¸uρl khængiºm f.Sèυ ρ (f ) < 0,

Vîi h lªp luªn nh÷ tr¶n ta thu ÷ñ k¸t qu£

1 2πi

Z

B ′ C



−2k dz z



= −2k



−1 12

H¼nh 1.3

Dòng hu tuy¸n nh÷ h¼nh v³:

Cung trán quay quanh T λ, Sρ 1 , ln l÷ñt l  £nh trán quanh

λ, ρ 1 Khi â, h ph¥n æi mët bà tri»t ti¶u Lªp luªn t÷ìng tü, khi

f húu h¤n khæng iºm v  iºm tr¶n bi¶n D, h ph¥n s³

æi mët bà tri»t ti¶u Trong tr÷íng hñp 2, h ph¥n l¤i khæng

bà tri»t ti¶u gièng nh÷ ð tr÷íng hñp 1, n¶n ta

n¶n ta n 1 = n 3 = 0, n 2 = 1 ⇒ υ i (G 3 ) = 1, v 

υ p (G 3 ) = 0, p 6= i (modG)

X²t f = ∆, k = 6 ta

n 1 + n 2 /2 + n 3 /3 = 1,

v  ∆ (∞) = 0 ⇒ υ ∞ (∆) ≥ 1 do â υ ∞ (∆) = 1 v υ p (G 3 ) = 0 vîi måi

p 6= ∞. Vªy ∆ khæng tri»t ti¶u tr¶n H v  khæng iºm ìn t¤i ∞.

Doâυ p (g) ≥ 0vîimåiρsuyrag h¿nhh¼nhtr¶nH∪{∞} ⇒ g ∈ M k−6

Nh÷ vªy ph²p nh¥n vîi ∆ l  to n ¡nh tø M k−6 l¶n M k 0

Vªy iii) ÷ñ hùng minh

ii) N¸u k ≤ 5 ⇒ k − 6 < 0 th¼ theo i) ta M k−6 = 0, l¤i do iii) suy ra

Mët sè ùng döng trong sè hå

2.1 sè Bernoulli B k v  h m zeta Rieman ζ(s)

sè Bernoulli B k , vîi k nguy¶n v  k ≥ 1, ÷ñ ành qua khaitriºn huéi ly thøa

Ta thº t½nh ÷ñ nhúng sè Bernoulli u ti¶n

2.1 sè Bernoulli B k v  h m zeta Rieman ζ(s) 25

theo ành sè B k , v  khi °t x = 2iz.

M°t do sinz 0 - iºm mët t¤i nπ, n¶n ta

Tø â, log sinz ¤o h m l :

(log sinz) ′ = cotz= logz+

2.1 sè Bernoulli B k v  h m zeta Rieman ζ(s) 26

Tø M»nh · 2.1.1,ta t½nh ÷ñ têng mëtsè huéi ly thøa d¤ng:

3 N¸u h m sè hå f ÷ñ gåi l  t½nh h§t nh¥n n¸u f (mn) =

f (m) f (n) khi m, n nguy¶n tè nhau

(2π) 2k (−1) k (2k − 1)!

40.330 283.617

suy raa 0 = 0. Khi z ∈ H th¼|q| < 1, ho z → ∞ ⇒ |q| → 0.Suy raF (z)

hëi tötuy»tèiv ·u tr¶nH ∪{∞} , ⇒ F (z) h¿nhh¼nh tr¶nH ∪{∞}

Ta ph£i hùng minh F (z + 1) = F (z) v  F (−1/z) = z 12 F (z).

°t z = x + iy ∈ H, suy ra

e 2πi(z+1) = e −2πy [cos 2π(x + 1) + i sin 2π(x + 1)]

= e −2πy (cos 2πx + i sin 2πx) = e 2πiz

Do â

F (z + 1) = F (z), ∀z ∈ H,

1 (m − 1 + nz) −

1 (m + nz) ,

n¶n hai huéi H 1 v  H hëi tö, vîi

H 1 = 2, H = 2 − 2πi/z.

M°t ta x²t hi»u tø têng qu¡t hai huéi G 1 − H 1 v  G − H

l :

1 (m − 1 + nz) (m + nz) −

1 (m + nz) 2 =

1 (m + nz) 2 (m − 1 + nz) .

Suyra hai huéi G 1 − H 1 , G − H tròngnhau v  hëi tö Dohai huéi

Trong h gi¡okhoa v trong ký thi hå sinh giäi, ta th÷íng

g°p nhúng b i to¡n m  gi£i hóng h¿ ái häi ki¸n to¡n hå

phê thæng, tuy nhi¶n khâ bi¸t ÷ñ lþ do n o d¨n ¸n s¡ng t¤o n¶n

nhúng b i tªp nh÷ vªy

Lþ thuy¸t d¤ng modular ho ta mët v½ dö thó và v· v§n · n¶u tr¶n

Nhí quanh» giúa h m sèhå ÷ñ hùngminh bði sûdöng

lþ thuy¸t d¤ng modular, ta thº · xu§t nhi·u b i tªp hay ho hå

sinhgiäi T§t nhi¶n, º gi£i hóng, hå sinh h¿ bi¸t nhúng t½nhto¡n

Luªn v«n ¢ tr¼nh b y v  ¤t ÷ñ mët sè k¸t qu£ sau

1 Tr¼nh b y v· lþ thuy¸t d¤ng Modular nh÷: Nhâm Modular, h m

Modular, khæng gian d¤ng Modular Nëi dung h½nh l  ành lþ

+) Tr¼nh b y h» li¶n h» giúa h m σ k (n) vîi h m τ.

+) pdöng º · xu§t mët sè d¤ng b i tªp sè hå ho hå sinh THPT

[1℄ H  Huy Kho¡i v  Ph¤m Huy iºn, Sè hå thuªt to¡n: Cì sð lþ

thuy¸t v  t½nh to¡n h nh, NXB HQG HN 2002

[2℄ H  HuyKho¡i, B i gi£ng gi£i Khoa Hå Cæng Ngh»

2011

[3℄ J P Serre, A Course in A Springer 1997

[4℄ T Apostol, Modular forms and Series in Number Theory,

Springer 1990

... data-page="45">

Luên vôn  trẳnh by v Ôt ữủ mởt số kát quÊ sau

1 Trẳnh by và lỵ thuyát dÔng Modular nhữ: Nhõm Modular, hm

Modular, khổng gian dÔng Modular Nởi dung hẵnh l nh lỵ

+)...

nh nghắa 1.4.4 Hm modular f hnh hẳnh trản H {} ữủ gồi

ldÔng modular. Náuf () = 0tagồif ldÔng VêydÔngmodulartrồng số 2k ÷đ ho bði... têp nhữ vêy

Lỵ thuyát dÔng modular ho ta mởt vẵ dử thú v và vĐn à nảu trản

Nhớ quanhằ giỳa hm sốhồ ữủ hựngminh bi sỷdửng

lỵ thuyát dÔng modular, ta th à xuĐt nhiÃu bi têp