Các hàm số học và sự phân bố các số nguyên tố (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ TỐ PHƯỢNG CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ SỰ PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Huế, năm 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Trần Thị Tố Phượng Demo Version - Select.Pdf SDK ii Lời cảm ơn Luận văn thực hướng dẫn Thầy giáo, cố PGS.TS Nguyễn Gia Định Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy mong Thầy yên lòng an nghỉ Luận văn tiếp tục triển khai hoàn thành nhờ hướng dẫn Thầy giáo, TS Cao Huy Linh Tôi xin gửi đến Thầy kính trọng, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Cảm ơn Thầy nhiệt tình giúp đỡ với dẫn khoa học quý giá q trình triển khai hồn thành đề tài Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Tốn, Phòng đào tạo Sau Đại học trường Đại Học Sư phạm Huế quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn Khóa 21 quan tâm giúp đỡ tận tình truyền đạt kiến thức cho chúng tơi suốt q trình học tập Demo Version - Select.Pdf SDK Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Tổ Bộ mơn Tốn trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung Ương Nha Trang quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành cơng việc học tập nghiên cứu Xin cảm ơn bạn lớp Cao học Toán K21, đặc biệt nhóm Đại số Hình học, người chia sẻ giúp đỡ nhiều học tập Cuối xin đặc biệt cảm ơn người thân u gia đình ln động viên chỗ dựa tinh thần giúp yên tâm hồn thành khóa học Trần Thị Tố Phượng iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục MỞ ĐẦU NỘI DUNG CÁC HÀM SỐ HỌC 1.1 Các định nghĩa 1.2 Hm Mă obius 1.3 Hàm Euler φ(n) 10 1.4 HàmDemo τ Version - Select.Pdf SDK 13 1.5 Hàm σ suy rộng 15 HÀM π, ĐỊNH LÍ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HÀM ζ-RIEMANN 19 2.1 Hàm π(x) 19 2.2 Định lí số nguyên tố 20 2.3 Hàm zeta Riemann 22 2.4 Một số tính chất zeta hàm 23 BÀI TOÁN PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ 3.1 31 Các hàm Chebyshev định lí Chebyshev 31 3.1.1 Các hàm Chebyshev 31 3.1.2 Định lí Chebyshev 33 3.2 Mối quan hệ hàm Chebyshev ϑ(x) π(x) 36 3.3 Một số dạng tương đương định lí số nguyên tố 38 3.4 Các bất đẳng thức cho π(n) pn 40 3.5 Định đề Bertrand 43 3.6 3.7 Đẳng thức Euler công thức tổng Abel 48 3.6.1 Đẳng thức Euler 48 3.6.2 Công thức tổng Abel 49 Một đánh giá cho mật độ số nguyên tố 50 KẾT LUẬN 53 Tài liệu tham khảo 54 Demo Version - Select.Pdf SDK MỞ ĐẦU Số nguyên tố hàm số học đóng vai trò quan trọng lý thuyết số, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các hàm số học hàm Măobius à(n), hm Euler (n), hm (n) v s ước số nguyên dương n, hàm σ(n) tổng ước nhà toán học Phạm Huy Điển, Hà Huy Khoái ([1], 2002), Andreescu T., Andrica D ([6], 2009), Michael Th Rassias ([9], 2010) nghiên cứu tổng hợp Đây kiến thức nâng cao mà học sinh, sinh viên cần biết để áp dụng giải toán số học Ngoài ra, hàm số thực hàm π, hàm zeta Riemann lại có vai trò quan trọng toán liên quan đến số nguyên tố phân bố chúng Việc tính giá trị π(x) (khi x lớn) gặp nhiều khó khăn người ta khơng biết xác số nguyên tố phân bố số nguyên Tuy nhiên, vào năm 1793, Gauss đưa dự đoán π(x) = 1, x→+∞ x ln x lim mà ngày nayDemo có tên gọi Định -lýSelect.Pdf số nguyên tố SDK (Prime Number Theorem) Trong gần Version 100 năm, dự đoán thu hút nhiều nhà tốn học lỗi lạc tìm cách chứng minh Gauss, Legendre, Chebyshev, Riemann không thành công Hàm zeta đời Riemann cố gắng chứng minh Định lí số nguyên tố Mặc dù gặp thất bại việc chứng minh định lí hàm zeta có vai trò lớn số học đạt số tính chất quan trọng Năm 1851, nhà toán học người Nga Chebyshev thực bước tiến π(x) cách chứng minh tỉ số x có giới hạn giới hạn phải ([8], ln x tr.79-81), ông chứng minh có giới hạn Mãi đến 100 năm sau Định lí số nguyên tố chứng minh Hadamard Vallée-Poussin Tuy vậy, trình tìm phép chứng minh cho Định lí số ngun tố Chebyshev người có cơng lao lớn Xuất phát từ vấn đề nêu trên, gợi ý Thầy hướng dẫn, định chọn đề tài: “Các hàm số học phân bố số nguyên tố” với hy vọng tìm hiểu sâu lý thuyết số ứng dụng hàm số học vào việc phân bố số nguyên tố Mục tiêu đề tài tổng quan nghiên cứu hàm quan trọng lý thuyết số, cụ thể hàm số học đề cập trên; hàm số thực π(x) Định lí số nguyên tố; hàm Chebyshev, định lí Chebyshev số kết phân bố số nguyên tố Nội dung đề tài chia thành chương: – Trong Chương 1, giới thiệu hàm số học thường sử dụng lý thuyết số, l hm Măobius, hm Euler, hm , hm suy rộng tính chất liên quan – Trong Chương 2, khảo sát hàm số thực có vai trò quan trọng liên quan đến tốn phân bố số nguyên tố hàm π, hàm zeta Riemann tính chất, Định lý số ngun tố – Trong chương 3, chúng tơi trình bày định lý Chebyshev số kết khác phân bố số nguyên tố Cụ thể là, hàm Chebyshev, định lý Chebyshev, quan hệ hàm Chebyshev ψ(x) ϑ(x), số dạng tương đương định lý số nguyên tố, bất đẳng thức cho π(n) pn (kí hiệu số nguyên tố thứ n), định đề Bertrand, đẳng thức Euler, côngVersion thức tổng- Abel đánh Demo Select.Pdf SDKgiá cho mật độ số nguyên tố ... tài: Các hàm số học phân bố số nguyên tố với hy vọng tìm hiểu sâu lý thuyết số ứng dụng hàm số học vào việc phân bố số nguyên tố Mục tiêu đề tài tổng quan nghiên cứu hàm quan trọng lý thuyết số, ... đến toán phân bố số nguyên tố hàm π, hàm zeta Riemann tính chất, Định lý số nguyên tố – Trong chương 3, chúng tơi trình bày định lý Chebyshev số kết khác phân bố số nguyên tố Cụ thể là, hàm Chebyshev,... thể hàm số học đề cập trên; hàm số thực π(x) Định lí số nguyên tố; hàm Chebyshev, định lí Chebyshev số kết phân bố số nguyên tố Nội dung đề tài chia thành chương: – Trong Chương 1, giới thiệu hàm