Hệ phương trình navier stokes (Đề tài nghiên cứu khoa học)

Hệ phương trình Navier - Stokes3.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng... Lý do chọn đề tàiCác phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển độ

Mở đầu 3

1 Đại cương về hệ phương trình Navier - Stokes 6

1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes 6

1.2 Các không gian hàm 8

1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 8

1.2.2 Không gian L2(Ω),H10(Ω) 10

1.2.3 Không gian H, V 11

1.3 Các toán tử 12

1.3.1 Toán tử Stokes A 12

1.3.2 Toán tử B 13

2 Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính qui của nghiệm 16 2.1 Phát biểu bài toán 16

2.2 Sự tồn tại nghiệm 17

2.3 Tính duy nhất của nghiệm yếu 21

2.4 Nghiệm mạnh của hệ Navier-Stokes 23

2.5 Nghiệm nhẹ của hệ Navier-Stokes 27

2.5.1 Sơ lược về lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóa 27 2.5.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với nửa nhóm giải tích 29

3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier

Hệ phương trình Navier - Stokes

3.1 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng 303.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của tập hút toàn cục 34

4 Hệ phương trình Navier - Stokes với trễ vô hạn 374.1 Phát biểu bài toán 374.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu 394.3 Hệ phương trình Navier - Stokes - Voigt với trễ vô hạn 494.3.1 Phát biểu bài toán 494.3.2 Tính duy nhất của nghiệm yếu 50

1 Lý do chọn đề tài

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi

mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứunhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, côngnghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một trong những lớp hệ phương trình cơ bảnquan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes đượcxây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng và động lượng Hệ phươngtrình Navier-Stokes có dạng:

• Sự tồn tại, tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm: Nghiệm ở đây

có thể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh Tính chính quy ở đây có thể

là tính chính quy theo biến thời gian ( tính giải tích, tính Gevrey ) hoặctính chính quy theo biến không gian ( tính chính quy Hillbert, tínhchính quy Holder, mô tả tập điểm kì dị )

Hệ phương trình Navier - Stokes

• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm: Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khithời gian t ra vô cùng Trong trường hợp ngọai lực f "lớn", chúng tanghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút, đó là một tập compact,bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệutiệm cận nghiệm; còn khi ngoại lực f "nhỏ" và không phụ thuộc thờigian, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng,tức là nghiệm của bài toán dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của

hệ đang xét dần đến nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng Việcnghiên cứu dáng điệu tiệm cận rất quan trọng vì nó cho phép dự đoán

xu thế phát triển trong tương lai của hệ đang xét, từ đó có những điềuchỉnh thích hợp để đạt được mục đích mong muốn

• Xấp xỉ nghiệm: Vì các phương trình trong cơ học chất lỏng đóng mộtvai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kĩ thuật nên ta cần

cả những mô tả định tính và mô tả định lượng của nghiệm, nói riêng làviệc tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (vì nói chung ta không thể tìmđược nghiệm chính xác của phương trình, mặc dù nó tồn tại) Việc xấp

xỉ hoặc xấp xỉ dáng điệu tiệm cận của nghiệm là vấn đề hết sức quantrọng khi áp dụng vào các mô hình thực tế Về mặt toán học, chúng

ta phải xây dựng các lược đồ xấp xỉ nghiệm, chứng minh lược đồ nhậnđược là ổn định và hội tụ về nghiệm chính xác của phương trình Vấn

đề này đối với hệ phương trình Navier-Stokes, xin xem thêm các sáchtham khảo và các bài báo gần đây

• Bài toán điều khiển được và bài toán tối ưu: Tìm điều khiển thích hợp(trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ

từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều khiểnthích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếmhàm cho trước Về hướng nghiên cứu thời sự này xin xem các cuốnchuyên khảo

2 Mục tiêu

- Trình bày về việc thiết lập hệ phương trình Navier - Stokes từ các quá trìnhvật lí, cách xây dựng các không gian pha và các toán tử đặc trưng khi nghiêncứu hệ phương trình Navier - Stokes

Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình Navier Stokes

Chỉ ra dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian t → +∞

- Áp dụng các kiến thức về hệ phương trình Navier - Stoke và cách xử lí sốhạng chứa trễ trong phương trình vi phân chứng minh sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes với trễ vô hạn

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu:

Hệ phương trình Navier - Stokes

* Phạm vi nghiên cứu: Tính đặt đúng của bài toán, dáng điệu tiệm cận

nghiệm của hệ phương trình Navier - Stokes; tính đặt đúng của hệ phươngtrình Navier - Stokes với trễ vô hạn.

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích hàm phituyến như phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bổ để compact, các bổ đề xử lí

số hạng phi tuyến để nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của

hệ phương trình Navier-Stokes

Bên cạnh đó, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của lí thuyết

hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, phương pháp xử lí số hạng chứa trễ trongphương trình vi phân để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm và hệ mởrộng trong trường hợp có thêm trễ vô hạn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Ý nghĩa khoa học: Nội dung của đề tài là tổng hợp các kiến thức cơbản về hệ phương trình Navier - Stokes Đề tài cũng giới thiệu một số hướngnghiên cứu thời sự đang được các nhà toán học quan tâm khi nghiên cứu hệphương trình Navier - Stokes

- Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài là một tài liệu tham khảo tiếng Việt tốt chocác giảng viên và sinh viên ngành toán, vật lí muốn nghiên cứu sâu về hệphương trình Navier - Stokes

1.1 Thiết lập hệ Navier-Stokes

Khi mô tả chuyển động của chất lưu, người ta thường dùng biểu diễn grange để biểu diễn quỹ đạo X = X(x, t), x ∈ Rn, t > 0 và biểu diễn Euler

La-để biểu diễn vận tốc u = u(x, t)

Nếu hàm ρ = ρ(x, t) biểu diễn mật độ khối lượng và O là phần tử chấtlưu thì ta có:

Hơn nữa, ta cũng có ρu là động lượng Nếu f là lực tác động thì áp dụngđịnh luật bảo toàn động lượng ta có:

trong đó : F = −σ, σ là tenxơ ứng suất, σ = p.1 với p là hàm áp suất, 1 là

ma trận đơn vị, τ là tenxơ ứng suất lớn nhất

Áp dụng công thức Stokes và kết hợp (1.3) ta được:

∂

∂t(ρu) +div(u ⊗ u) −divτ + 5p = ρf. (1.4)

Gia tốc của chất lưu tại thời điểm (x, t) là:

ddτ

Trong trường hợp tổng quát thì τ phụ thuộc vào ρ, T, Du

Nếu τ là hàm tuyến tính đối với Du thì

Nếu chất lỏng không nén được thì divu = 0

Nếu chất lỏng là thuần nhất thì ρ = ρ = const Khi đó:

σ = 2µd − p.1

d = 1

2(Du + (Du)

T) → divd =

N

X

i,j=11

2∂j(∂iuj + ∂jui).

Hệ phương trình Navier - Stokes

Do divu = 0 nên divd =

1.2.1 Không gian Banach và không gian Hilbert

a) Không gian các hàm liên tục

Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho 0 < k < +∞ Tập hợptất cả các hàm liên tục và khả vi đến cấp k trong miền Ω kí hiệu là Ck(Ω).Không gian C(Ω) là tập hợp các hàm liên tục trên Ω

Không gian C∞(Ω) là tập hợp các hàm u khả vi vô hạn lần trên Ω

b) Không gian các hàm khả tích Lebesgue

Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho 0 ≤ p < +∞ Khi đó

Lp(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) khả tổng cấp p theoLebesgue trong Ω, tức là

Z

Ω

|u|pdx < +∞

Không gian Lp(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn

Hơn nữa, Lp(Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp(Ω) là không gianBanach

Đặc biệt, với p = 2, không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vôhướng

Ta kí hiệu ess sup

x∈Ω

|u(x)| là cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho

|u(x)| ≤ k hầu khắp trên Ω Khi đó L∞(Ω) cũng là không gian Banach vớichuẩn

||u(x)||∞ = ||u(x)||L∞ (Ω) = ess sup

x∈Ω

|u(x)|

Cho Ω là một miền trong Rn và cho 1 ≤ p < +∞ Khi đó

Lploc(Ω) = {u : Ω → R | u ∈ Lp(U ) với mọi U ⊂⊂ Ω}

c) Không gian Sobolev

Giả sử Ω là một miền trong Rn Wk,p(Ω) là không gian bao gồm tất cảcác hàm u sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp k và tất

cả các đạo hàm đó thuộc không gian Lp(Ω) Không gian Wk,p(Ω) được gọi

là không gian Sobolev với chuẩn sau:

Không gian Sobolev là một không gian Banach tách được

Trong trường hợp p = 2, không gian Sobolev Wk,2(Ω) thường được kíhiệu là Hk(Ω)

Hk(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh ra từ chuẩn

((u, v))Hk =

k

X

kαk=0(Dαu, Dαv)

Hệ phương trình Navier - Stokes

Không gian H0k(Ω) là bổ sung đủ của không gian Cc∞(Ω) trong khônggian Hk(Ω) Đặc biệt, H01(Ω) là tập hợp các hàm trong không gian H1(Ω)

và chuẩn tương ứng là:

||u, v||2H1 = X

kαk=1

|Dαu|2

d) Không gian đối ngẫu

Không gian đối ngẫu của không gian Lp(Ω) là không gian Lq(Ω), với

Tương tự, H10 cũng là một không gian Hillbert với tích vô hướng:

Chuẩn trong H10(Ω): Cho u ∈ H10(Ω) thì

H = V(L2(Ω)d là bao đóng của V trong L2(Ω))d

Khi đó, H và V là những không gian Hilbert với tích vô hướng lần lượtlà:

(u, v) = (u, v)H =

Z

Ωu.vdx =

trong đó Ω là miền bị chặn trong Rd, (d = 2, d = 3), biên Lipschitz

Điều kiện biên: u = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0

Điều kiện ban đầu: u|t=0 = u0, x ∈ Ω

Hệ phương trình Navier - Stokes

với < Au, v >= ((u, v)), ∀u, v ∈ V

Kí hiệu D(A) là miền xác định của toán tử A thì:

D(A) = {u ∈ V : Au ∈ H}

Đặc biệt, nếu Ω là miền đủ trơn thì

D(A) = H2(Ω)d∩ V

Khi đó A là một toán tử tuyến tính, không bị chặn, tự liên hợp, xác địnhdương và có nghịch đảo A−1 : H → D(A) compact.

Vì phép nhúng H01(Ω) ,→ L2(Ω) là compact nên A có các giá trị riêng

0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λk −→ +∞ và các vectơ riêng lập thành một cơ sởtrực chuẩn của H

(u.O)u.v = b(u, u, v)

Để thiết lập đánh giá với b(u, v, w), ta cần các bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.1 (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 2)

Với bất kì tập mở Ω ⊂ R2, ta có:

||v||L4 (Ω) ≤ 214||v||

1 2

L 2 (Ω)|| 5 v||

1 2

L 2 (Ω),

với mọi v ∈ H01(Ω)

Bổ đề 1.3.2 (Bất đẳng thức Ladyzhenskaya khi n = 3)

Hệ phương trình Navier - Stokes

Với bất kì tập mở Ω ⊂ R3, ta có:

||v||L3 (Ω) ≤ C||v||

1 2

L 2 (Ω)|| 5 v||

1 2

L 2 (Ω),

||v||L4 (Ω) ≤ C||v||

1 4

L 2 (Ω)|| 5 v||

3 4

|u|12.kuk12.kvk.|w|12.kwk12, nếu d=2

|u|14.kuk34.kvk.|w|14.kwk34, nếu d=3

|u|12.kuk12.kvk12.|Av|12.|w, nếu d=2

kuk.kvk12.|Av|12.|w|, nếu d=3

Chú ý : Do |u| ≤ C.kuk nên đánh giá trong trường hợp d = 2 mạnh hơntrong trường hợp d = 3

L 2 nếu d = 2.kuk

1 4

L 2.k 5 uk

3 4

L 2 nếu d = 3

3 Nếu d = 2 thì chọn (p, q, r) = (4, 4, 2) và cũng sử dụng bất đẳng thứcLadyzhenskaya trong trường hợp hai chiều

Nếu d = 3 thì chọn (p, q, r) = (6, 3, 2) và sử dụng bất đẳng thức :

kukL3 ≤ C.kuk12.|u|12 kết hợp với phép nhúng : H1(Ω) ,→ L6(Ω) vàđánh giá; kukD(A) ∼ kukH2

Chương 2

Sự tồn tại, tính duy nhất và tính

chính qui của nghiệm

Chương 2 của đề tài trình bày về tính đặt đúng của hệ phương trình Navier

- Stokes Khi nghiên cứu về một phương trình đạo hàm riêng nào đó thì

vấn đề đặt ra đầu tiên là tính đặt đúng của bài toán: sự tồn tại và duy nhất

nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu Trong chương

này, chúng tôi nghiên cứu cả nghiệm yếu, nghiệm mạnh và nghiệm nhẹ (mild

solution) của bài toán

2.1 Phát biểu bài toán

Giả sử u ∈ L2(0, T ; V ) khi đó hàm Bu xác định bởi:

< Bu(t), v >= b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V sẽ thuộc không gian L1(0, T ; V0)

Chứng minh:

Ta có: | < Bu(t), v > | = |b(u(t), u(t), v)| ≤ C.ku(t)k2.kvk, ∀v ∈ V ( do b(u, v, w) là dạng 3-tuyến tính liên tục).

Để thỏa mãn điều kiện u(0) = u0 ta cần bổ sung điều kiện:

- Nếu d = 2 ⇒ u ∈ C([0, T ], H) là hàm liên tục theo t ∈ [0, T ] nhận giátrị trong H,

- Nếu d = 3 ⇒ u ∈ Cω([0, T ], H) là hàm liên tục yếu theo t ∈ [0, T ] nhậngiá trị trong H

Hệ phương trình Navier - Stokes

Hơn nữa, nếud = 2thìu là duy nhất vàu ∈ C([0, T ], H), u0 ∈ L2(0, T, V0)

Và nếu d = 3 thì u ∈ CW([0, T ], H); u0 ∈ L43(0, T, V0)

u ∈ CW([0, T ], H) tức là t ∈ [0, T ] 7−→< u(t), v > liên tục ∀v ∈ H

Chứng minh:

Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin ( phương pháp compact)

Bước 1 : Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ {um}

Giả sử {wk} là cơ sở của H và V gồm các vectơ riêng của toán tử A

Ta đi tìm nghiệm xấp xỉ um(t) dưới dạng um(t) =

Bước 2 : Xây dựng các ước lượng tiên nghiệm đối với um

Nhân cả 2 vế của (*) với um, ta được

{um}bị chặn trong L∞(0, T ; H){um}bị chặn trong L2(0, T ; V )

Do um bị chặn trong L2(0, T ; V ) nên um * u trong L2(0, T ; V )

Phần phi tuyến : Ta có Bum * χ trong Lp(0, T ; V0)

Do số hạng phi tuyến không liên tục đối với hội tụ yếu nên ta cần chứng

Hệ phương trình Navier - Stokes

minh: χ = Bu

Để chứng minh χ = Bu, ta áp dụng bổ đề sau:

Bổ đề compact (Aubin - Lions)

Giả sử X0 ,→,→ X ,→ X1 là 3 không gian Banach

Kí hiệu : E = {u|u ∈ Lp0(0, T ; X0), u0 ∈ Lq0(0, T ; X1)}, 1 < p0, q0 < +∞

Khi đó: E ,→,→ Lp0(0, T ; X)

Ta cũng có thể hiểu như sau: từ một dãy bị chặn trong E trích ra được một

dãy con hội tụ mạnh trongLp0(0, T ; X)

trong đóvm → vtrongL2(0, T ; H), w ∈ L2(0, T ; H), vm bị chặn trong L∞(0, T ; H)

hay

du

dt(t) + νAu(t) + Bu(t) = f (t)trong V’ với hầu khắp t ∈ [0, T ].

Để chứng minh u là nghiệm, ta cần chứng minh u(0) = u0.

Thật vậy, chọn hàm thử ϕ ∈ C1([0, T ]; V ) với ϕ(T ) = 0 Lấy tích vô hướngcủa phương trình trên với ϕ, sau đó lấy tích phân từng phần, ta được:

T

R

0b(u, u, ϕ) =

T

R

0b(um, um, ϕ) =

T

R

0

< f (t), ϕ(t) > +(um(0), ϕ(0)).Cho m → ∞, ta được :

T

R

0b(u, u, ϕ) =

T

R

0

< f (t), ϕ(t) > +(u0, ϕ0).Suy ra : u(0), ϕ(0)
= u0, ϕ(0)
∀ϕ ∈ C1([0, T ]; V ), ϕ(T ) = 0

Hệ phương trình Navier - Stokes

Áp dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya cho trường hợp d = 2, ta có:

| − 2b(u, u2, u)| ≤ 232.|u|.kuk.ku2k

dt|u|2 + 2v.kuk2 = −2b(u, u2, u)

Áp dụng bất đẳng thức Ladyzhenskaya cho trường hợp d = 3, ta có:

|b(u, u, v)| ≤ C.|u|14.kuk74.kvkL4

dt + νAu + Bu = f trong H với hầu khắp t.

u(0) = u0

Ta chú ý rằng: nếu Ω trơn thì D(A) = H2(Ω)d)

* So sánh nghiệm mạnh và nghiệm yếu:

- Về điều kiện ban đầu và các dữ kiện:

+) Nghiệm yếu: u0 ∈ H ⊃ V, f ∈ L2(0, T ; V0) ⊃ L2(0, T ; H),

+) Nghiệm mạnh: u0 ∈ V, f ∈ L2(0, T ; H),

- Về không gian nghiệm:

Hệ phương trình Navier - Stokes

Hơn nữa, nghiệm u phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu u0

Để chứng minh định lí, ta chú ý đến đẳng thức năng lượng sau:

|u(t)|2 + 2ν

t

Z

0ku(s)k2ds = |u(0)|2 + 2

Nhân cả 2 vế của (*) với Aum, ta được

(PmB(um, um), Aum) = (B(um, um), Aum) = b(um, um, Aum)

b(um, um, Aum) = 0 ∀um ∈ D(A)

nên

12

Do đó um có dãy con, ta vẫn kí hiệu là um thỏa mãn:

(

um *∗ u trong L∞(0, T ; V )

um * u trong L2(0, T ; D(A))

Hệ phương trình Navier - Stokes

Từ tính bị chặn củau vàv trongL∞(0, T ; V ) và trong L2(0, T ; D(A)) ta suy

ra tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện

ban đầu

2.5 Nghiệm nhẹ của hệ Navier-Stokes

2.5.1 Sơ lược về lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóa

:

Cho X là một không gian Banach phức

Định nghĩa 2.5.1 Họ ánh xạ {S(t)}, t ≥ 0 gọi là một nửa nhóm tuyến tínhliên tục mạnh( hoặc đơn giản hơn là C0 - nửa nhóm) nếu {S(t)} ⊂ L(X) và

∞

X

n=0

tnAnn! .

hội tụ trong L(X) và được định nghĩa đúng đắn

Chuỗi trên xác định một nguyên hàm của t với giá trị trong X sao cho:

1 S(0) = I

2 S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ C.

Hệ phương trình Navier - Stokes

3 S’(t) = A S(t) = S(t) A

Nói riêng, nó xác định một C0− nhóm với toán tử sinh A

Ví dụ 2.5.2 Cho X là không gian Hilbert thực và A là toán tử tự liên hợpthỏa mãn:

• A dương : < Au, u >≥ a.kuk2 , ∀u ∈ X, a > 0

• A có giải thức compact: (λI − A)−1 compact ∀λ ∈ ρ(A)

⇒ σ(A) gồm các giá trị riêng với bậc hữu hạn:

là nửa nhóm sinh bởi −A (A = −4D)

Suy ra, e−tA là toán tử compact, ∀t > 0

Giả sử PN : X −→ span{e1, e2, · · · , eN} là phép chiếu thì

ke−tAu − PNe−tAuk −→ 0