Bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh thông qua dạy học nội dung xác suất thống kê tại trường THPT

Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu xác định những thành tố đặc trưng của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, trên cơ sở đó đề xuất một số biện phá

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013

Xác nhận của GV hướng dẫn luận văn

TS Nguyễn Danh Nam

Tác giả luận văn

Đào Thị Liễu Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS khối 10,

11 trường THPT Nguyễn Huệ - Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập

Dù đã rất cố gắng, xong Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn

Tác giả

Đào Thị Liễu

MỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 6

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực 6

1.1.2 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học 7

1.1.3 Khái niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn 10

1.2 Nhu cầu bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS ở trường THPT 14

1.3 Các cách tiếp cận trong dạy học nội dung XS-TK 18

1.3.1 Những nội dung chính của chủ đề thống kê được trình bày ở SGK 18

1.3.2 Ba cách tiếp cận khái niệm Xác suất ở trường THPT 19

1.4 Thực trạng của việc dạy và học nội dung XS-TK ở một số trường THPT 32

1.4.1 Về sách giáo khoa 33

1.4.2 Tình hình dạy và học XS-TK ở trường THPT hiện nay 34

1.5 Kết luận chương 1 36

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG CHO HỌC SINH NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN 38

2.1 Hình thành kỹ năng nhận diện các vấn đề toán học trong thực tiễn 38

2.3 Phát triển kĩ năng mô hình hóa các bài toán XS-TK 59

2.3.1 Phương pháp mô hình hóa 59

2.3.2 Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán 62

2.3.3 Mô hình hóa các bài toán XS-TK 63

2.4 Phát triển kĩ năng đọc và hiểu các loại đồ thị, biểu đồ 76

2.4.1 Vai trò của đồ thị, biểu đồ trong thống kê 77

2.4.2 Phát triển kĩ năng đọc và hiểu các loại đồ thị cho HS THPT 78

2.5 Kết luận chương 2 83

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 83

3.1 Mục đích thực nghiệm 83

3.2 Nội dung thực nghiệm 83

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 84

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 84

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 85

3.4 Đánh giá thực nghiệm 90

3.4.1 Đánh giá về mặt định tính 90

3.4.2 Đánh giá về mặt định lượng 92

3.5 Kết luận chương 3 95

KẾT LUẬN 98

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đào tạo những người lao động phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo,

có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩy mạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh

tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán là một yếu tố quan trọng Bởi vì toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển

Một trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương trình theo định hướng phát triển năng lực cho HS Đó là cách tiếp cận mới nhưng không phải xa lạ “từ trên trời rơi xuống” mà nó vốn đã có, đã nằm sẵn đây

đó trong nội dung của chương trình cũ Bởi các thành tố cơ bản cấu thành năng lực vẫn là kiến thức và kĩ năng; nói cách khác muốn hình thành năng lực vẫn phải thông qua kiến thức và kĩ năng Có điều nếu chỉ có kiến thức

và kĩ năng, nhất là khi chúng lại tách rời, thì chưa thể có năng lực theo cách hiểu của lý luận dạy học hiện đại

Để có năng lực, cần có một cách tiếp cận mới, cách hiểu mới Với cách tiếp cận mới, chúng ta không cần đợi cho đến khi có chương trình sau năm

2015 mới thực hiện theo định hướng phát triển năng lực cho HS mà ngay từ những năm học tới, có thể cấu trúc lại chương trình dạy học theo định hướng

này, trên cơ sở rà soát và tổ chức lại các nội dung và hình thức dạy học Vẫn

là bám sát những kiến thức và kĩ năng, thái độ cần đạt đã quy định trong chương trình hiện hành, nhưng hoàn toàn có thể tổ chức lại, áp dụng các phương pháp dạy học khác nhau nhằm phát triển năng lực cho HS

Mặt khác, ở nước ta, trong nhận thức của phần đông HS và GV thì dạy toán là dạy các quy tắc, các kĩ năng giải bài tập Cũng vì lí do tương tự mà ngay cả sinh viên tốt nghiệp các trường đại học ở nước ta khi tiếp xúc với thực tế thường tỏ ra rất yếu kém về khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề của thực tiễn Vì vậy, việc dạy cho HS phương pháp tư duy giải quyết các vấn đề thực tế là rất cần thiết Cần giúp HS sớm hình thành cách nghĩ: Toán học trước hết là công cụ phục vụ đời sống Muốn vậy thì các kiến thức cơ sở cần được trình bày theo quan điểm lấy thực tế làm gốc: Những vấn đề hay nhu cầu thực tế nào dẫn ra khái niệm tương ứng? Cách thức “toán học hóa” một vấn đề thực tế là như thế nào?

Rất nhiều những vấn đề quan trọng của đời sống thực tế thuộc về những bài toán của lí thuyết xác suất Xác suất gắn bó và liên hệ mật thiết với khoa học thống kê Về phương pháp thu thập, tổ chức, trình bày và diễn dịch

dữ liệu Vì thế Xác suất – Thống kê (XS-TK) đóng một vị trí quan trọng trong nhiều ngành khoa học như: y khoa, sinh học, nông nghiệp, kinh tế, Do vậy, các kiến thức về XS-TK đã được đưa vào chương trình môn toán ở trường THPT Các tri thức về khoa học Thống kê cũng như Xác suất đã được ứng dụng một cách rộng rãi Cho tới thời điểm hiện nay, các tri thức này được trình bày trong chương trình Trung học phổ thông một cách có hệ thống Cụ thể là Thống kê toán học được trình bày trong Chương V (Đại số 10); Xác suất được trình bày trong Chương 2 (Đại số và Giải tích 11)

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Bồi dưỡng

năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS thông qua dạy học nội

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu xác định những thành

tố đặc trưng của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, trên cơ sở đó đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn qua dạy học nội dung XS-TK

3 Khách thể, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu:

Quá trình dạy học nội dung XS-TK ở trường THPT

3.2 Đối tượng nghiên cứu:

- Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS

- Những nội dung kiến thức thuộc phần XS-TK ở trườngTHPT

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10, 11 trường THPT

4 Giả thuyết khoa học

Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn, xác định một số thành tố cơ bản của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS ở trường THPT Trên cơ

sở đó, nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học nội dung XS-TK thì có thể góp phần bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình

huống thực tiễn cho HS, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường THPT Các câu hỏi nghiên cứu cụ thể là:

1 Tại sao cần bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS ở trường THPT? (trả lời câu hỏi nghiên cứu này ở phần 1.2)

2 Thực trạng của việc dạy học nội dung XS-TK ở các trường THPT hiện nay như thế nào? (trả lời câu hỏi nghiên cứu này ở phần 1.4)

3 Các biện pháp sư phạm đã đề xuất có thực sự góp phần bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS? (trả lời câu hỏi nghiên cứu này ở phần thực nghiệm sư phạm)

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu các quan điểm mang tính lí luận về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

5.2 Nghiên cứu đặc điểm của kiến thức XS-TK ở trường THPT và các cách tiếp cận trọng dạy học nội dung này

5.3 Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS thông qua dạy học nội dung XS-TK ở trường THPT

5.4 Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng và đánh giá tính khả thi của giả thuyết khoa học và các câu hỏi nghiên cứu trên

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn

6.2 Phương pháp điều tra - quan sát

Nghiên cứu thực trạng dạy và học nội dung XS-TK tại một số trường THPT thông qua các hình thức sử dụng phiếu điều tra, quan sát, phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THPT

6.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn trực tiếp HS

số trường THPT để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các nội dung nghiên cứu đã được đề xuất Xử lý các số liệu thực nghiệm bằng phương pháp thống

7.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung XS-TK ở trường THPT

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập chủ đề XS-TK ở trường THPT

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liên quan trong luận văn

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng cho HS

năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

1.1.1 Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và nguồn gốc của năng lực, tài năng Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn:

 Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho sự phát triển năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng lực)

 Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Con người

từ khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được Xã hội đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn

đó cho các thế hệ sau trong môi trường Văn hóa - Xã hội

 Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra các kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bản chất nguồn gốc phức tạp Các tố chất và hoạt động của con người tương

1.1.2 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học

1.1.2.1 Khái niệm về năng lực

Theo nhà tâm lí học Nga V.A.Cruchetxki thì: “Năng lực được hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó” [5, tr.15]

Như vậy, nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một cá thể, một thứ phi vật chất Song nó thể hiện được qua hành động và đánh giá được nó qua kết quả của hoạt động

Thông thường, một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương Người ta thường phân biệt ba trình độ năng lực:

 Năng lực là tổng hòa các kỹ năng, kỹ xảo

 Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ của những thành tựu đạt được của xã hội loài người

 Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt ra

1.1.2.2 Khái niệm năng lực Toán học

Theo V.A.Crutetxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải thích trên hai bình diện:

1) Năng lực nghiên cứu toán học: Như là các năng lực sáng tạo (khoa

học), các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới,

khách quan và quý giá

2) Năng lực học tập toán học: Như là các năng lực học tập giáo trình

phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ

xảo tương ứng

Như vậy, năng lực học toán là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau

Bộ óc của con người có năng lực nghiên cứu toán học thể hiện ở thiên hướng tách từ môi trường xung quanh những kích thích các loại quan hệ không gian, quan hệ số lượng, quan hệ lôgíc và làm việc có hiệu quả với các kích thích thuộc các loại đó (với số và hình, đại lượng biến thiên và hàm số, cấu trúc và thuật toán cùng với ngôn ngữ hình thức hóa)

Khuynh hướng toán học trí tuệ đặc trưng cho những người có năng lực toán học là thường tri giác nhiều hiện tượng qua lăng kính của các quan hệ toán học, thường nhận thức các hiện tượng đó qua con mắt toán học

Theo Konmogorop thì trong thành phần của năng lực toán học có:

- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm được con đường giải các phương trình không theo các quy tắc chuẩn, năng lực tính toán;

- Trí tưởng tượng hình học hay tri giác hình học;

- Nghệ thuật suy luận lôgíc theo các bước đã được phân chia một cách đúng đắn kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kĩ năng vận dụng đúng đắn quy nạp toán học, là tiêu chuẩn của sự trưởng thành lôgíc hoàn toàn cần thiết đối với nhà toán học

Theo V.A.Crutetxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những

thành phần sau:

a) Về mặt thu nhận thông tin: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu

toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán

b) Về mặt chế biến thông tin, đó là:

- Năng lực tư duy lôgíc trong phạm vi các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu, năng lực suy nghĩ với các kí hiệu toán học;

- Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan

hệ, các phép toán của toán học Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học

và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn;

- Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;

- Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lí của lời giải;

- Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy nghịch

c) Về mặt lưu trữ các thông tin, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái

quát về các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, các sơ đồ suy luận

và chứng minh, về các phương pháp giải toán và các nguyên tắc xem xét các bài toán ấy

d) Về thành phần tổng hợp chung, đó là khuynh hướng toán học của trí

tuệ Tuy nhiên, cần chú ý rằng tốc độ tư duy, năng lực tính toán, trí nhớ về các công thức,…không nhất thiết phải có mặt trong các thành phần của năng lực toán học

Cũng theo V.A.Cruchetxki: Có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của HS có năng lực toán học là:

 Khả năng tri giác có tính chất hình thức hóa tài liệu toán học, gắn liền với sự thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng trong một bài toán cụ thể vào trong một biểu thức toán học

 Khả năng tư duy có tính khái quát hóa nhanh và rộng

 Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn

 Sự tư duy lôgic lành mạnh

 Tính linh hoạt cao của các quá trình tư duy thể hiện ở:

- Sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau

- Sự di chuyển dễ dàng và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, từ tiến trình suy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩ nghịch

 Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọng tìm ra lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lý, tiết kiệm

 Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu bài toán, các phương thức giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ lôgíc

 Khả năng tư duy lôgíc, trừu tượng phát triển tốt [5, tr.159-160]

1.1.3 Khái niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

1.1.3.1 Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tiễn

Toán học đã xâm nhập vào cuộc sống đời thường, trong lao động sản xuất và trong nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán học hóa các vấn đề thực tiễn Theo Hans Freudenthal: “Toán học hóa dẫn thế giới của cuộc sống về thế giới của các kí hiệu…” [29, tr.41] Ông cũng cho rằng: “Tiên đề hóa, công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của sự ra đời thuật ngữ “toán học hóa”; trong đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong ngữ cảnh của toán học” Thuật ngữ “toán học hóa” thường được dùng trong các cuộc thảo luận của các nhà khoa học trước khi đưa ra trong các văn bản chính thức Bởi vậy, thuật ngữ này ra đời một cách tự nhiên và khó xác định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và xuất

một cách tường minh nhưng khi bàn đến quá trình toán học hóa thì trọng tâm nhất mà tác giả đề cập đến là việc xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tế Trong [1, tr.97], tác giả cho rằng: “khả năng xây dựng

mô hình toán học của một tình huống thực tế, được coi là cơ sở của việc

toán học hóa các tình huống thực tế” Từ đó, có thể hiểu quá trình toán học

hóa vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó về dạng toán học

Đối với HS THPT, hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế diễn ra khi

HS đối mặt với các tình huống thực tiễn có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống

cá nhân Các em HS phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình Tuy nhiên, việc vận dụng này lại mang tính chất gián tiếp Cụ thể là trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, các em phải liên tưởng tới những tri thức toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn nhu cầu của mình

1.1.3.2 Khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn

Trên cơ sở của lí thuyết hệ thống, theo [16, tr.183]: Một tình huống là một

hệ thống phức tạp bao gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là người còn khách thể là một hệ thống nào đó Một tình huống mà khách thể tồn tại ít nhất có một phần tử chưa biết, được gọi là tình huống bài toán đối với chủ thể Đứng trước một tình huống, chủ thể đặt ra mục đích tìm phần tử chưa biết, dựa vào các phần tử khác của khách thể thì có một bài toán đối với chủ thể

Dựa trên quan điểm của Nguyễn Bá Kim [16] ta có thể hiểu:

Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa đựng các yếu

tố mang nội dung thực tiễn (tức là mang nội dung các hoạt động của con người) Bài toán có nội dung thực tiễn là bài toán mà khách thể của nó chứa đựng các yếu tố mang nội dung thực tiễn

Tuy nhiên ta cần làm rõ khái niệm “thực tiễn” và khái niệm “thực tế” “Thực tiễn là toàn bộ các hoạt động của con người, trước hết là lao động sản suất; trong

khi đó “thực tế” là tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn biến trong

tự nhiên và trong xã hội về mặt có liên quan đến đời sống con người

1.1.3.3 Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định Hệ thống các năng lực cùng với phẩm chất của một con người cụ thể hình thành nên nhân cách cá nhân con người

đó Khái niệm năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn được sử dụng ngầm trong các tài liệu tham khảo Theo [19, tr.41], tác giả quan niệm rằng: “Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của ba thành tố: năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tiễn và toán học; năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn” Xuất phát từ quan niệm về các thuật ngữ “năng lực toán học”, “toán học hóa”, “tình huống thực tiễn” đã được đưa trong các mục trước, ta có thể hiểu rằng:

Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS phổ thông là khả năng HS vận dụng những hiểu biết của mình để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học

Thực ra, để đưa được toán học vào thực tiễn không chỉ có đơn thuần là kiến thức và kĩ năng toán học, HS còn phải có vốn văn hóa nhất định, những vấn đề nằm ngoài khuôn khổ toán học Với quan niệm mô hình là “vật” thay

thế cho đối tượng nghiên cứu nên dạng toán học trong quan niệm ở trên có

thể coi là mô hình của tình huống thực tiễn Do đó, có thể khẳng định rằng:

cốt lõi của hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là việc xây dựng mô hình toán học cho tình huống đó Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

của HS THPT được hình thành và phát triển thông qua hoạt động toán học hóa, nó phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và vốn hiểu biết của HS về thế giới đang chung sống

Như vậy ta có thể xác định được các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT bao gồm:

* Năng lực 1: Năng lực thu nhận thông tin toán học từ các tình huống thực tiễn, bao gồm:

- Khả năng quan sát tình huống thực tiễn

- Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn

- Khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của tình huống thực tiễn

* Năng lực 2: Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, bao gồm:

- Khả năng diễn đạt tình huống thực tiễn bằng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn, chính xác

- Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học

- Khả năng diễn đạt một vấn đề thực tiễn dưới nhiều hình thức khác nhau

* Năng lực 3: Năng lực xây dựng mô hình toán học, bao gồm:

- Khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn

- Khả năng biểu diễn các yếu tố thực tế bằng kí hiệu, khái niệm toán học

- Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biến

- Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ…

* Năng lực 4: Năng lực làm việc với mô hình toán học, bao gồm:

- Khả năng giải toán trên mô hình

- Khả năng biến đổi mô hình toán học phù hợp với tình huống cụ thể

- Khả năng dùng mô hình phán đoán tình huống thực tiễn

* Năng lực 5: Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình toán học,

bao gồm:

- Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả

- Khả năng phê phán, phát hiện hạn chế của mô hình

- Khả năng vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mô hình toán học cho tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mô hình hợp lí hơn

Trong luận văn này, các biện pháp sư phạm đề xuất tập trung vào bồi dưỡng năng lực số 1, năng lực số 2 và năng lực số 3

1.2 Nhu cầu bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho

HS ở trường THPT

Nguyên lý giáo dục đã chỉ rõ: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” Trong lí luận dạy học cũng có nguyên tắc: “Đảm bảo sự thống nhất giữa lý luận và thực tiễn” Nhưng trong thực tế chúng ta đã quá chú trọng tới lý thuyết, chúng ta dạy cho HS nhiều kiến thức khoa học hàn lâm nhưng lại xem nhẹ thực hành, xem nhẹ sự vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tiễn Trong kiểm tra, đánh giá chúng ta cũng rất ít quan tâm đến năng lực giải quyết vấn đề trong thực tiễn mà chỉ chú trọng vào nội bộ môn học Sớm nhìn nhận được điều sai lệch trong giáo dục toán học, các nhà khoa học giáo dục nước ta đã có những

ý kiến xác đáng Nguyễn Cảnh Toàn có nhận xét về tình hình dạy học toán học hiện nay: “Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường”; Hoàng Tụy cho rằng: “Kiểu cách dạy học hiện nay còn mang nặng nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tập oái oăm, giả tạo, không phát triển trí tuệ mà xa rời thực tiễn” (dẫn theo [19]) Nói đến những yêu cầu đối với toán học trong nhà trường, nhằm phát triển văn hóa toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học toán trong nhà trường phổ thông không chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lý thuyết…, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” (dẫn theo [25, tr.34])

Tìm hiểu về tình hình dạy học môn Toán theo hướng liên hệ với thực tiễn

THPT Nguyễn Huệ, huyện Đại Từ, tỉnh Thái Nguyên Kết quả thu được thể hiện qua bảng 1.1; bảng 1.2 và biểu đồ 1.1 sau:

Bảng 1.2: Bảng thống kê về nhu cầu muốn biết về các ứng dụng thực tế

của Toán học trong cuộc sống

Nhu cầu muốn biết về ứng dụng thực tế của môn Toán Tỉ lệ (%)

Biểu đồ 1.1: Biểu đồ đánh giá mức độ khó của việc ứng dụng môn Toán

trong thực tiễn của HS

không khó lắm 36%

dễ 3%

rất khó 12%

khó 49%

Đối với GV, thông qua trao đổi, tìm hiểu một số GV dạy toán (48 GV) thuộc các trường THPT Nguyễn Huệ (Đại Từ, Thái Nguyên); THPT Mê Linh (Đông Hưng, Thái Bình); THPT Bắc Đông Quan (Đông Hưng, Thái Bình) về việc hiểu hiết và khai thác ứng dụng thực tế vào dạy học môn Toán Tôi xin trích một đoạn phỏng vấn thầy giáo Lê Minh Tiến là GV trường THPT Mê Linh về vấn đề này:

- Hỏi: Theo thầy, trong quá trình dạy học bộ môn toán có nên khai thác mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn?

- Thầy Tiến: Tôi thấy, trong các bài giảng có liên hệ toán học với thực tế các em HS đều hứng thú và quan tâm nhiều hơn nên việc khai thác này có thể nói là rất cần thiết

- Hỏi: Thầy có thường xuyên khai thác các tình huống thực tiễn vào dạy học môn Toán không? Thầy có gặp khó khăn gì trong việc khai thác các tình huống thực tiễn vào dạy học bộ môn Toán?

- Thầy Tiến: Bản thân tôi cũng ý thức được là rèn luyện cho HS khả năng vận dụng toán học vào thực tiễn là cần thiết, nhưng số lượng tiết dạy so với khối lượng kiến thức không cho phép, đồng thời không phải kiến thức toán học nào cũng có thể khai thác được, các GV khác cũng quan tâm tới vấn đề này nhưng cũng không biết phải khai thác như thế nào

Qua trao đổi, phỏng vấn thêm một vài GV khác và tiến hành phát phiếu điều tra các GV thì chúng tôi đã thu được kết quả sau:

- Tìm hiểu ứng dụng Toán học trong thực tế: Khoảng 73% những GV trên có quan tâm đến việc khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán Tuy nhiên, trong số đó có 14% GV quan tâm và chủ động tìm hiểu để ứng dụng toán học vào thực tế, số còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu sử dụng các bài tập trong SGK và sách bài tập

- Chưa thực sự chú trọng mảng tri thức thực hành ứng dụng trong dạy

vào mục đích ôn tập phần nội dung lý thuyết đã học sau từng bài, từng chương; bởi vậy, dạy học mảng tri thức này chưa đúng hướng Những năng lực kĩ năng thực hành ứng dụng quan trọng của người lao động, không được chú ý rèn luyện, nhất là năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn

- Các GV này cũng ý thức được việc tăng cường vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn là cần thiết Tuy nhiên, họ thường chú trọng rèn luyện cho

HS những kĩ năng trong nội bộ môn Toán mà ít chú ý đến các kỹ năng vận dụng những tri thức toán học vào các môn học khác và thực tiễn đời sống Bởi vậy, việc kiểm tra đánh giá HS cũng chỉ dựa trên các bài toán trong nội bộ môn Toán Với họ, hầu như chưa bao giờ đề cập đến vấn đề phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS

Với thực trạng trên, ta có thể đánh giá một cách tổng quan rằng: việc vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn, nhất là hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học ở các trường THPT ở nước ta chưa thực sự được chú trọng Nắm bắt được tình trạng này, theo [24] tác giả chỉ rõ định hướng chung của đổi mới nội dung giáo dục phổ thông sau 2015 là: “Chuyển nội dung giáo dục từ nặng tính hàn lâm, kinh viện sang nội dung giáo dục gắn liền với thực tiễn đời sống; từ nặng về trang bị kiến thức lý thuyết sang nội dung giáo dục gắn lý thuyết với thực hành; chú trọng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, rèn luyện kỹ năng Nội dung giáo dục phải đảm bảo tính khoa học,

cơ bản, hiện đại; thực hiện giảm tải, tinh giản, dễ hiểu, lựa chọn kiến thức có tính ứng dụng cao trong thực tiễn, không nặng về lý thuyết, chú trọng các môn khoa học xã hội - nhân văn, kỹ năng sống, pháp luật, thể chất, quốc phòng an ninh và hướng nghiệp” Cũng theo [24], tác giả đã nêu một số đề xuất cấu trúc lại chương trình giáo dục sau 2015: “Đề xuất và thử nghiệm các

hình thức đánh giá theo hướng coi trọng năng lực, yêu cầu vận dụng, thực

hành, kiểm tra năng lực sáng tạo…kết hợp kết quả đánh giá quá trình và kết

quả thi, kiểm tra kết thúc; học xong đến đâu, kiểm tra đánh giá đến đấy (hết

chương, hết phần, hết môn); kì thi cuối cùng đề thi sẽ yêu cầu vận dụng tổng hợp kiến thức, kĩ năng của nhiều lĩnh vực/ môn học để giải quyết một vấn đề chung” Vì vậy, việc bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT là rất cần thiết

1.3 Các cách tiếp cận trong dạy học nội dung XS-TK

1.3.1 Những nội dung chính của chủ đề thống kê đƣợc trình bày ở SGK

Nội dung kiến thức thống kê chủ yếu ở trường phổ thông gồm có: ba loại biến: biến định tính, biến định hạng, biến định lượng

Các phương pháp trình bày các số liệu thống kê: phương pháp sử dụng bảng phân phối thực nghiệm tần số hoặc tần suất ghép lớp, phương pháp đồ thị, biểu đồ

Các phương pháp thu gọn các số liệu thống kê

Các số đặc trưng gồm có: các số định tâm (là số trung bình cộng, mốt,

số trung vị), phương sai, hệ số biến thiên

Những nội dung trên được đưa dần vào các lớp ở trường phổ thông như sau:

Lớp 3: Giới thiệu bảng số liệu đơn giản Sắp xếp lại số liệu của bảng theo mục đích, yêu cầu cho trước

Lớp 4: Giới thiệu bước đầu về số trung bình cộng Lập và nhận xét bảng số liệu Giới thiệu biểu đồ và tập luyện cho HS nhận xét biểu đồ

Lớp 5: Nhận xét một số đặc điểm đơn giản của bảng số liệu hoặc một biểu đồ thống kê Thực hành lập bảng số liệu và vẽ biểu đồ dạng đơn giản

Lớp 7: Dành hẳn một chương cho thống kê (chứa đựng nhiều kiến thức

SGK ở trường phổ thông đã tích hợp kiến thức thống kê trong nội dung dạy học Số học và Đại số

Ví dụ 1.1: Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau:

Khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g)

về kinh tế (năng suất lúa, tiền lương,…)…nhằm góp phần kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành nhân cách cho HS

Ví dụ 1.2: Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một

xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau:

1.3.2 Ba cách tiếp cận khái niệm Xác suất ở trường THPT

Khi đưa XS-TK vào trường phổ thông, người ta quan tâm tới ba cách định nghĩa khái niệm xác suất sau đây: định nghĩa cổ điển, định nghĩa thống

kê và định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

Theo định nghĩa cổ điển, giả sử một phép thử có một số hữu hạn các kết quả có thể và các kết quả này là đồng khả năng thì xác suất của một biến

cố trong phép thử đó là tỉ số giữa các kết quả thuận lợi cho biến cố đó với số tất cả các kết quả có thể của phép thử nói trên

Theo định nghĩa thống kê, người ta định nghĩa xác suất của một biến cố xảy ra trong một phép thử là tần suất của biến cố này khi phép thử đó được lặp đi lặp lại một số lần rất lớn

Theo định nghĩa bằng phương pháp tiên đề, xác suất là một hàm được xác định trên tập hợp tất cả các biến cố của một phép thử ngẫu nhiên, có giá trị thuộc tập hợp số thực và thỏa mãn một hệ tiên đề

Theo chương trình toán THPT mới, xác suất được đưa vào ở lớp 11

GV cần có những hiểu biết nhất định và có ý thức về từng cách tiếp cận nói trên, cụ thể:

- Người dạy phải có một tầm nhìn hoàn chỉnh hơn về khái niệm xác suất, tránh hiểu khái niệm này một cách phiến diện

- Người hiểu rõ chương trình và SGK đặt vấn đề như thế nào đối với từng cách tiếp cận nói trên

- Làm như thế nào để HS có thể hiểu biết tốt hơn về khái niệm xác suất theo từng phương diện đã nêu ở trên trong điều kiện chương trình và SGK của nước ta

1.3.2.1 Về cách tiếp cận cổ điển

Trong chương trình toán THPT, định nghĩa xác suất thường tiếp cận theo cách cổ điển Hầu hết ví dụ và bài tập trong SGK đều minh họa cho định nghĩa cổ điển và áp dụng của định nghĩa đó Tuy nhiên, trong cách tiếp cận này, các điều kiện trong giả thiết của định nghĩa xác suất chưa được làm rõ trong chương trình Có hai điều kiện bao hàm trong giả thiết của định nghĩa

cổ điển: tập hợp các kết quả có thể của phép thử (còn gọi là các biến cố sơ

Mặc dù điều kiện này có được nêu ở định nghĩa trong SGK nhưng lại không có ví dụ hoặc bài tập nào yêu cầu kiểm tra xem các điều kiện đó có được thỏa mãn hay không Sách GV tuy có nhắc tới các điều kiện này nhưng ngay trong quy trình ba bước để giải bài toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển được nêu trong sách này cũng không có bước nào nói đến việc phải kiểm tra “tính có hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử”, nên chừng đó chưa đủ để HS thấy có trách nhiệm kiểm tra tính chất đó Điều đó khiến HS hiểu định nghĩa này một cách thiếu chính xác và không đầy đủ

Ví dụ 1.3: Trước khi nêu định nghĩa cổ điển của xác suất SGK Đại số

và Giải tích 11 (nâng cao) có nêu ví dụ sau:

Giả sử T là phép thử “Gieo hai con súc sắc” Kết quả của T là cặp số (x ; y), trong đó x và y tương ứng là kết quả của việc gieo con súc sắc thứ nhất và thứ hai Các kết quả có thể xảy ra của T được cho trong bảng sau đây:

cùng khả năng xuất hiện Ta nói 36 kết quả của T là đồng khả năng

Xét biến cố A: „„Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là 7‟‟

Tập con A các kết quả thuận lợi cho A là:

A={(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}

Khi đó tỉ số 6 1

36 6 được coi là xác suất của A

Đây là ví dụ duy nhất trong SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao có nói đến các kết quả của phép thử T là đồng khả năng và hữu hạn Các ví dụ sau không đề cập gì tới vấn đề này

Ví dụ 1.4: Sau khi nêu định nghĩa cổ điển của xác suất thì SGK Đại số

và Giải tích 11 nâng cao có nêu ví dụ:

Một vé xổ số có 4 chữ số Khi quay số, nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ

số trùng với 3 chữ số của kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì Bạn An mua một vé xổ số

b, Giả sử số vé của An là abcd Các kết quả trùng với 3 chữ số của An

là abct (t d) hoặc abtd (t c) hoặc atcd (t b) hoặc tbcd (t a) Vì mỗi trường hợp trên đều có 9 khả năng nên có 9+9+9+9=36 kết quả An trúng

giải nhì Do đó, xác suất trúng giải nhì của An là 36 0,0036

1.3.2.2 Về cách tiếp cận thống kê

Định nghĩa thống kê của xác suất chỉ ra điều kiện tồn tại của xác suất và cho phương pháp ước lượng gần đúng nó Nhưng việc tính (gần đúng) xác

phép thử như nhau Trong khi các giả thiết trong định nghĩa cổ điển bị vi phạm ta phải sử dụng tới định nghĩa thống kê của xác suất Trong SGK viết:

„„Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của biến cố càng gần với một số xác định, số đó gọi là xác suất của A‟‟ Đây là một cách phát biểu trực quan về một định luật quan trọng của xác suất có tên

là Luật số lớn như sau: „„Gọi f N (A) là tần suất của biến cố A trong N phép thử Khi đó ta có: lim N( ) ( )

Tuy nhiên, ta không thể định nghĩa kiểu này cho HS vì HS chưa được học về giới hạn Định nghĩa này là một trong những công cụ đắc lực để điều tra, nghiên cứu, phát hiện ra các quy luật thống kê trong hiện thực khách quan „„Đồng thời, cùng với ý nghĩa thống kê của xác suất, nó cho những hiểu biết đầy đủ hơn và cụ thể hơn về xác suất, về khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên‟‟[11, tr.59]

Ví dụ 1.5: Dưới đây là bảng 1.5 ghi số liệu của các thí nghiệm được

thực hiện từ thế kỉ XVIII nhằm xác định tần suất của biến cố „„xuất hiện mặt sấp‟‟ trong các dãy gồm một số lớn các phép thử „„gieo đồng xu đồng chất và đối xứng‟‟

Bảng 1.5

Người làm

thí nghiệm

Số lần thực hiện thí nghiệm

Số lần xuất hiện mặt sấp

Tần suất của biến cố

„„xuất hiện mặt sấp‟‟ Boffon

Theo số liệu này chúng ta thấy các tần suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp‟‟ trong các dãy rất nhiều phép thử “gieo đồng xu đồng chất và đối xứng‟‟

là có tính ổn định, khi biến thiên rất ít xung quanh hằng số 1

2 với độ lệch không đáng kể (nhỏ hơn 0,01)

“Để tăng cường khả năng thực hành ứng dụng cho HS cần thiết phải có sự trình bày kết hợp được cả hai định nghĩa: định nghĩa cổ điển

và định nghĩa thống kê của xác suất Theo quan điểm của toán học lí thuyết, cả hai định nghĩa này đều không phải là những định nghĩa hình

thức, chặt chẽ; chúng là những định nghĩa chấp nhận được trong Toán

học ứng dụng‟‟ [11, tr.59]

Cách tiếp cận thống kê của khái niệm xác suất chỉ giữ một vị trí rất hạn chế trong chương trình, SGK chỉ nêu “định nghĩa thống kê xác suất của biến cố” mà trong các ví dụ tính xác suất chỉ có những áp dụng của định nghĩa cổ điển, không có áp dụng của định nghĩa thống kê Tuy nhiên, định nghĩa thống

kê của xác suất lại có nhiều ứng dụng thực tế hơn so với định nghĩa cổ điển Định nghĩa này có thể được sử dụng ngay cả trong trường hợp định nghĩa cổ điển không áp dụng được, đó là khi một phép thử có vô số kết quả hoặc là khi điều kiện về các kết quả đồng khả năng không được thỏa mãn

Do đó, việc nêu rõ ý nghĩa thống kê của xác suất không chỉ cho HS nhận thức được đầy đủ hơn về xác suất (do đó có khả năng tốt hơn trong việc sử dụng các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch để học tốt về các biến cố ngẫu nhiên), mà còn góp phần hình thành cho HS quan niệm về thống kê dạng đơn giản và sự tồn tại của nó trong hiện thực khách quan Thật vậy,

“Nếu chỉ đứng trong khuôn khổ của khái niệm xác suất và các công thức cộng, công thức nhân thì không thể hình thành được cho HS quan niệm về quy luật thống kê Mặc dù các quy luật này tồn tại ngay cạnh các em,

trong đời sống hàng ngày và có mặt ngay trong chính định nghĩa thống kê của xác suất‟‟ [11, tr.60]

Tuy nhiên, việc nêu rõ ý nghĩa thống kê của xác suất cho HS có được thực hiện hay không? Thật khó khăn nếu như bảo HS tìm kiếm quy luật thống

kê trong thực tiễn với những kiến thức như khái niệm xác suất, công thức cộng, công thức nhân xác suất; vì những kiến thức này không trực tiếp thấy được những chỉ dẫn cho việc tìm kiếm này; và vì từ trước tới nay HS chưa được tìm hiểu gì về quy luật thống kê Do đó, cần phải thực hiện liên hệ khái niệm xác suất với quy luật thống kê (dạng đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng trong thực tiễn) bằng cách vạch rõ: Mệnh đề “xác suất P(A)=p‟‟ (1) phán ánh quy luật thống kê sau: “Nếu gọi xi là số lần xảy ra biến cố ở lần thứ i trong k lần đủ lớn thực hiện n phép thử T (n là số tự nhiên tùy ý cho trước), thì mỗi xi riêng lẻ là một giá trị ngẫu nhiên mà có, nhưng trong hầu hết các

đợt thực hiện k lần đủ lớn n phép thử T, trung bình cộng 1(x1 x2 x k)

luôn bằng hằng số n.p khi bỏ qua sai số không đáng kể (2) Khi đó, ta gọi quy luật (2) là ý nghĩa thống kê của mệnh đề (1), và gọi kết quả: Mệnh đề (1) phản ánh quy luật thống kê (2)‟‟ là ý nghĩa thống kê của xác suất

Quá trình dạy học không thể diễn giải một cách trừu tượng như vậy cho

HS, mà khi thực hiện hình thành cho HS kiến thức về ý nghĩa thống kê của xác suất cần đi theo con đường quy nạp, tức là: Trước hết cho HS làm quen với ý nghĩa thống kê của xác suất trong các bài toán cụ thể khác nhau, có nội dung thực tiễn

Ví dụ 1.6: GV nêu câu hỏi: Em hiểu thế nào về câu “xác suất để bạn H

bắn trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8‟‟ Có HS giải thích rằng: cứ 10 lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia‟‟ Thầy giáo cho biết rằng sự giải thích của HS như vậy là sai Để giải thích cho

HS hiểu thì phải nhờ sử dụng những mô tả trực quan, từ đó dẫn các em đến được kết quả dưới đây:

Mệnh đề: “Xác suất để bạn H trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8‟‟ phản ánh quy luật: “Nếu gọi xi là số lần xảy ra biến cố B:

“Bạn H bắn trúng bia‟‟ ở lần thứ i trong k lần đủ lớn thực hiện 10 phép thử g:

“Bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn‟‟, thì mỗi xi riêng lẻ là một giá trị ngẫu nhiên mà có, nhưng trong hầu hết các đợt thực hiện k lần đủ lớn, trung bình cộng 1(x1 x2 x k)

luôn luôn bằng hằng số 10.0,8=8, khi bỏ qua sai số không đáng kể

Trong ví dụ trên nếu thay số 10 bởi số tự nhiên n bất kì, thì những kết quả thu được vẫn đúng và là những kết quả tương tự với những kết quả trên

Ta có thể củng cố cho HS về ý nghĩa thống kê của xác suất bằng ví dụ sau:

Ví dụ 1.7: GV chuẩn bị 5 con súc sắc cân đối Gọi 5 HS và yêu cầu mỗi

em gieo một con súc sắc 10 lần và ghi lại xem mặt k chấm xuất hiện trong 10 lần gieo đó (k=1, 2, 3, 4, 5, 6) Cộng kết quả 5 em lại ghi kết quả tần số xuất hiện mặt k chấm trong 50 lần gieo 1 con xúc xắc vào bảng 1.6 như sau:

Những điều nói trên cho thấy: “việc nêu rõ ý nghĩa thống kê của xác suất đã tính được đưa vào nội dung dạy học giai đoạn phân tích và biểu thị thực tế kết quả toán học đã thu được” [11, tr 64] Điều này góp phần quan trọng trong việc hình thành cho HS kĩ năng giải các bài toán có nội dung thực tiễn

Bên cạnh đó, SGK vẫn tạo được nhiều cơ hội có thể liên hệ với tiếp cận thống kê của khái niệm xác suất:

- Nêu rõ hạn chế của định nghĩa cổ điển của xác suất

- Đưa ra định nghĩa thống kê của xác suất Nêu rõ định nghĩa thống kê khắc phục được hạn chế định nghĩa cổ điển

- Thông báo nội dung luật số lớn dưới một dạng đơn giản: khi số lần thử

N càng lớn thì tần suất của biến cố A càng gần với một số xác định gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê, tần suất là một giá trị gần đúng của xác suất

Ví dụ 1.8: SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) có các ví dụ và hoạt

động sau minh họa cho định nghĩa thống kê của xác suất:

a, Ví dụ 7 (tr.74): Nếu ta gieo một đồng xu cân đối thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,5 Buýp-phông (Buffon), nhà toán học người Pháp thế kỉ XVIII, đã thí nghiệm việc gieo đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau:

Số lần gieo Tần số xuất hiện mặt ngửa Tần suất xuất hiện mặt ngửa

và trong 100 000 phụ nữ 50 tuổi có 284 người chết trước khi bước sang tuổi

51 Khi đó, xác suất thực nghiệm để một người đàn ông 50 tuổi chết trước khi

bước sang tuổi 51 là 568 0,00568

Ví dụ 1.9: SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) có các ví dụ, bài tập

và hoạt động sau xuất phát từ dữ liệu là những xác suất có được dựa vào định nghĩa thống kê:

i, Bài tập 40 (tr 85): Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có hòa) Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95

ii, Ví dụ 2 (tr 87): Số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ 7 hàng tuần là một biến ngẫu nhiên rời rạc X Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau:

Hoạt động 1 (tr 87): Tính xác suất để tối thứ 7 trên đoạn đường A:

a, Có hai vụ vi phạm luật giao thông;

iii, Bài tập 45 (tr 90): Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ 7 là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực

a, Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy

b, Tính xác suất để xảy ra ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy

iv, Bài tập 46 (tr.90): Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian một phút vào buổi trưa (từ 12 giờ tới 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ

31 phút có nhiều hơn 2 cuộc gọi

Để giúp HS dần dần am hiểu cách tiếp cận thống kê của xác suất GV có thể:

- Nhấn mạnh hạn chế của định nghĩa cổ điển là không áp dụng được cho trường hợp phép thử có vô số kết quả hoặc các kết quả là không đồng khả năng, từ đó HS thấy rõ sự cần thiết đưa vào một định nghĩa khác khắc phục được hạn chế này

- Nhấn mạnh nội dung của luật số lớn dưới dạng đơn giản như SGK đã nêu, từ đó HS biết cách tìm những giá trị gần đúng của xác suất bằng cách tìm tần suất của biến cố khi phép thử được lặp lại một số lớn lần

- Khi trình bày ví dụ 7 (tr.74) và hoạt động 3 (tr.75) ở SGK thì không dừng ở việc minh họa cho sự phù hợp với thực tế của định nghĩa

cổ điển của xác suất mà ta còn có thể yêu cầu HS nêu ra nhận xét về tần

số, tần suất xuất hiện của kết quả, hay ở hoạt động 3 “yêu cầu gieo súc

sắc nhiều lần hơn nữa” để có thể tiếp cận khái niệm xác suất theo con đường thực nghiệm” [12, tr.37-39] Nhờ vậy HS thấy rằng việc gieo đồng xu rất nhiều lần và tính tần suất xuất hiện mặt ngửa gieo con súc sắc rất nhiều lần và tính tần suất xuất hiện mỗi mặt còn là một cách để tính gần đúng xác suất Cần chỉ rõ cho HS thấy cách làm này đặc biệt có giá trị khi đồng xu hoặc con súc sắc không cân đối, khi đó không sử dụng được định nghĩa cổ điển thì xác suất xuất hiện mặt ngửa hay mặt sấp của đồng xu không phải là 0,5 và xác suất xuất hiện mỗi mặt của con súc sắc không phải là 1/6;

- Cho HS làm quen với những tần suất đã có bằng thực nghiệm được sử dụng như những giá trị gần đúng có xác suất để giải những bài toán về xác suất trong SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) như ở bài tập 40 (tr.85), ví

dụ 2, hoạt động 1 (tr.87) các bài tập 45, 46 (tr.90-91), bài tập 51 (tr.92), các bài tập 66 (tr.94) và 73 (tr.95)

1.3.2.3 Về cách tiếp cận theo phương pháp tiên đề

Chương trình và SGK toán THPT không đưa ra định nghĩa xác suất theo cách tiếp cận tiên đề Một số câu hỏi có thể đặt ra:

- Không dạy định nghĩa xác suất theo tiên đề là do cách tiếp cận này không có giá trị đối với giáo dục phổ thông hay là do khó khăn nhất thời?

- Không dạy định nghĩa xác suất theo tiếp cận tiên đề một cách tường minh nhưng liệu có thể ngầm hình thành một ý niệm nào đó về một định nghĩa như vậy hay không?

- Không dạy định nghĩa xác suất theo tiếp cận tiên đề một cách tường minh ở thời điểm này, nhưng liệu có tính tới khả năng chuẩn bị dạy cách tiếp cận này trong tương lai không xa lắm không? (Trong dự thảo chiến lược giáo dục 2009-2020, giải pháp 4 có nêu “chậm nhất đến năm 2015 áp dụng trên toàn quốc bắt đầu từ lớp 1 chương trình giáo dục phổ thông mới” [6])

Khách quan mà nói, dạy định nghĩa xác suất theo tiên đề ở trường THPT sẽ có những tác dụng sau đây:

Giúp HS hiểu sâu hơn và bản chất hơn những tính chất của tần suất; Giúp khắc phục những khiếm khuyết của định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê Mặt khác, định nghĩa xác suất theo tiên đề chỉ đòi hỏi những kiến thức mà HS đã biết: những phép toán trên những tập hợp và ý tưởng về phương pháp tiên đề mà HS đã được làm quen trong hình học Cho nên, có những ý kiến đề nghị nên tạo cơ hội cho HS làm việc với những quan niệm khác nhau về xác suất, bởi vì mỗi quan điểm có những ưu điểm riêng và việc dạy xác suất chỉ theo một cách tiếp cận sẽ có hại cho sự hiểu biết khái niệm này

Việc định nghĩa xác suất theo tiên đề cũng được nêu tường minh trong chương trình và SGK phổ thông ở một số nước Tuy nhiên, không đưa định nghĩa xác suất bằng phương pháp tiên đề vào trường THPT nước ta, có thể được hiểu là do xác suất, thống kê mới được đưa vào chương trình SGK Không đưa định nghĩa xác suất theo tiên đề một cách tường minh vào chương trình, nhưng

có thể ngầm hình thành một vài ý tưởng sơ bộ về cách tiếp cận này

Để thực hiện được ý định nói trên thì GV có thể:

- Những khiếm khuyết của định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê của xác suất cần được làm rõ Định nghĩa cổ điển không áp dụng được nếu mẫu là vô hạn hoặc tất cả các kết quả có thể là không đồng khả năng Tiếp cận thống kê dẫn đến một định nghĩa xác suất của một biến cố như là một giá trị tưởng tượng mà tần suất dần tới khi lặp lại phép thử rất nhiều lần Điều đó

là một ý tưởng rất tự nhiên vì dựa vào luật số lớn nhưng sự tồn tại của một giá trị như vậy thì không chứng minh được (SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao trang 74 cũng đã phát biểu một cách đơn giản nội dung của luật số lớn, mặc

dù không nêu tường minh tên gọi của luật này) Điều này cho thấy nhu cầu tìm một cách tiếp cận khắc phục được những khiếm khuyết đã nêu ở trên

- Cần nhấn mạnh những tính chất cơ bản sau đây của xác suất:

(i) P(A) 0

(ii) P( )=1

(iii) P(A B) = P(A) + P(B) khi A B=

Trong đó (i) và (ii) đã được nêu sau định nghĩa cổ điển của xác suất, còn (iii) chính là quy tắc cộng xác suất Nên lưu ý cho HS là các tính chất này

có thể lấy làm cơ sở để xây dựng một lý thuyết xác suất

Hiện tại, với tính cách là một bài đọc thêm đối với HS giỏi, hoặc khi nào có đủ điều kiện đối với diện đại trà thì định nghĩa xác suất theo tiên đề

có thể được đưa vào trường THPT, nhưng chỉ nên được dạy như một kiến thức tổng kết sau khi HS đã học định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê của xác suất, còn thời gian thích đáng hơn cần tập trung cho việc ứng dụng xác suất thống kê trong đời sống Khi đó, ngoài hai điều đã được nêu ở trên

có thể lưu ý thêm:

Thứ nhất, dễ dàng cho HS thấy rằng tần suất cũng có những tính chất cơ bản (i), (ii) và (iii) đã nêu ở trên Định nghĩa thống kê của xác suất dựa vào tần suất cho nên cách tiếp cận này phù hợp với tiếp cận theo phương pháp tiên đề Thứ hai, GV thông báo cho HS biết là từ các tính chất cơ bản (i), (ii) và (iii), chỉ cần dựa vào các khái niệm và lý thuyết tập hợp ta sẽ chứng minh được các tính chất khác của xác suất Để minh họa GV có thể yêu cầu HS chứng minh:

1 P( )=0

2 Nếu A B thì P(A) P(B)

3 P(A) 1 với mọi biến cố A

Như vậy, định nghĩa xác suất theo tiên đề được đưa vào cùng với việc gợi ý cho HS nhớ lại quá trình phát triển của hình học mà họ đã biết

1.4 Thực trạng của việc dạy và học nội dung XS-TK ở một số trường THPT

Thông qua thực tiễn giảng dạy, qua phiếu điều tra và phỏng vấn các

GV đang giảng dạy phổ thông trong nhiều năm qua, chúng tôi nhận thấy việc dạy và học XS-TK ở trường THPT hiện nay còn nhiều mặt hạn chế

1.4.1 Về sách giáo khoa

Hiện nay, một bộ phận của thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy cho HS lớp 7 trong chương trình môn Toán học học kì II Bước đầu các em được làm quen với số liệu thống kê, với khái niệm tần số, tần suất Đến trường THPT các em được gặp lại các khái niệm này trong chương V của chương trình môn Toán lớp 10 Nhìn chung các quan điểm thống kê gắn liền với thực tiễn Tuy nhiên, các số liệu thống kê được đưa ra đôi lúc chưa phù hợp với thực tiễn và không phù hợp với nhận thức lứa tuổi của HS và tính giáo dục chưa cao

Ví dụ 1.10: (Bài 3 trang 123, Đại số 10)

Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta

Tìm mốt của bảng phân bố trên Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được

Trong ví dụ này, tiền lương của công nhân không phù hợp (quá ít so với tiền lương của công nhân trong thực tế vào những năm 2007)

Ví dụ 1.11: Bài 1 trang161 , Đại số 10 nâng cao

Để điều tra số con trong mỗi gia đình ở huyện A, người ta chọn ra 80 gia đình, thống kê số con của các gia đình đó và thu được số liệu sau:

2 5 1 4 4 3 3 4 1 4 4

a, Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu là bao nhiêu?

b, Hãy viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

Trong ví dụ 1.11 này, khi thống kê số con của 80 gia đình, nếu ta lập bảng phân bố tần số thì ta có được bảng sau:

Ta nói ví dụ này không phù hợp với thực tế vì những năm gần đây hầu hết các hộ gia đình có từ 1 đến 2 con, rất ít gia đình có từ 4 con trở lên Nhưng bảng thống kê trên có tới 40% số gia đình có từ 4 con trở lên

Trong cả hai sách bài tập và SGK đều chưa có bài nào đề cập đến thu thập và xử lí số liệu thống kê mà HS - chủ thể nhận thức đóng vai trò chủ đạo Các số liệu thống kê được đưa ra một cách giả định nên không làm cho HS hào hứng với môn học Phần lớn bài tập đưa ra chỉ để vận dụng các công thức tính trung bình, trung vị, mốt, phương sai Chưa có bài tập nào rèn luyện cho các em cách thu thập số liệu thống kê, đọc hiểu số liệu thống

kê cho dưới dạng bảng biểu hay biểu đồ Các bài toán giúp các em phân tích số liệu thống kê để rút ra kết luận còn chưa nhiều Vì vậy, có thể nói các ví dụ, bài tập trong SGK chưa chú trọng đến phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS

1.4.2 Tình hình dạy và học XS-TK ở trường THPT hiện nay

Thông qua điều tra, phỏng vấn một số GV ở trường THPT, tôi xin trích dẫn một đoạn phỏng vấn cô Nguyễn Thị Ngân, GV trường THPT Nguyễn