Các tri thức về xác suất và thống kê tốn là những tri thức cĩ liên hệ trực tiếp với thực tiễn, do đĩ dạy học những vấn đề này cĩ điều kiện đưa tốn học xâm nhập sâu rộng vào đời sống con người. Quá trình vận dụng
các phương pháp xác suất và thống kê tốn học vào trong thực tiễn cũng
bao hàm những đặc trưng của các phương pháp vận dụng tốn học vào giải các bài tốn thực tiễn.
Hiểu theo một nghĩa nào đĩ, các bảng số liệu, biểu đồ, đồ thị, đa giác
tần số (tần suất) ghép lớp trong thống kê và khái niệm xác suất là các mơ hình
tốn họcphản ánh một sự vật, hiện tượng nào đĩ.
Do đĩ, trong dạy học những kiến thức về thống kê, xác suất nếu biết khai thác hợp lí thì cĩ thể rèn luyện cho HS kĩ năng mơ hình hĩa các bài tốn
XS-TK đồng thời bồi dưỡng cho người học các thành tố của năng lực tốn học hĩa tình huống thực tiễn.
Đối với dạy học thống kê: Dạy học Thống kê phải làm cho HS tự mình cĩ thể giải quyết được bài tốn thống kê trong cuộc sống. Điều đĩ cĩ được khi họ nắm vững và thực hiện thành thạo tồn bộ quy trình vận dụng phương pháp thống kê vào thực tiễn:
Thu thập dữ liệu Tổ chức dữ liệu Phân tích và giải thích Biểu diễn.
Đầu tiên cĩ thể xem quá trình thu thập dữ liệu là quá trình thu nhận thơng tin từ tình huống thực tiễn. Quá trình này trong chương trình dạy học hiện hành bị cắt giảm. Chúng tơi cho rằng, phải làm cho HS ý thức được lấy thơng tin từ tập mẫu là thu nhận thơng tin từ thực tiễn. Thơng tin đĩ phải trung thực và phải đại diện cho lớp đối tượng mà mình quan tâm nghiên cứu. Việc lấy mẫu số liệu, nhiều khi cũng liên quan đến cơng tác điều tra, do đĩ các em phải cĩ kỹ năng đặt ra các câu hỏi để lấy được thơng tin, khơng tỏ ra thiên hướng, thiên vị. Theo [29], giáo dục tốn học phổ thơng ở Mỹ rất chú ý đến cơng đoạn này. Thơng qua cơng đoạn này người học được rèn luyện kỹ năng quan sát, biết lọc ra những thơng tin phản ánh mối quan hệ bản chất của sự vật hiện tượng.Trong điều kiện dạy học hiện tại ở nước ta, cĩ thể thực hiện một số hoạt động cụ thể sau: Cho HS thu thập số liệu hay tổ chức một hoạt động nhằm xác định mẫu số liệu về một dấu hiệu nào đĩ. Vấn đề này, cĩ thể xem là cơng tác chuẩn bị cho dạy học trên lớp. Chẳng hạn, cĩ thể yêu cầu từng tổ (nhĩm) HS điều tra: mức thu nhập của từng gia đình trong một tháng ở một khu phố; đo chiều cao của các HS trong một lớp học;… Chú ý nhắc nhở người học,
trong khi lấy mẫu số liệu cần đảm bảo tính ngẫu nhiên và mang tính đại diện.
Thứ hai, việc tổ chức số liệu được thể hiện qua lập bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp, cũng cĩ thể xem các mơ hình tốn của tập mẫu. Nếu như
hình cho vấn đề thực tế đang quan tâm. Do đĩ, rèn luyện cho HS kĩ năng lập luận bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp là rèn luyện cho người học kĩ năng xây dựng mơ hình tốn cho tình huống thực tiễn. Ở đây, một thao tác cần được bổ sung là kĩ năng phân lớp mẫu số liệu, trong dự thảo chương trình 2009 – 2020 đã đề cập đến vấn đề này (dẫn theo [16]).
Thứ ba, việc nghiên cứu trên các bảng đã trình bày ở trên chính là khai thác chức năng của mơ hình, thơng qua việc tính các số đặc trưng; từ đĩ giải thích, đánh giá lại tình huống thực tiễn. Cần cho HS biết ý nghĩa của các số đặc trưng và dùng các số đặc trưng để đánh giá các khía cạnh của sự vật, hiện tượng. Thơng thường, người học biết thao tác tính các số đặc trưng; tuy nhiên, khơng nắm được ý nghĩa của chúng và sử dụng chúng trong ngữ cảnh nào cho phù hợp. Chẳng hạn, đối với mẫu cĩ kích thước đủ lớn (thơng thường n 10) và độ lệch giữa các phần tử khơng quá lớn thì số trung bình cĩ thể đại diện cho mẫu đang xét. Cĩ thể đưa ra các ví dụ cụ thể sau, cho HS thấy được điều đĩ.
Ví dụ 2.14: Kết quả điểm kiểm tra của Nam về mơn Tốn trong năm học
vừa qua được cho bởi mẫu số liệu sau: (7,7,6,5,8,9,8,7,6,8). Dưới đây là tình huống GV hỏi HS nhằm tìm hiểu khả năng hiểu ý nghĩa của số trung bình cộng trong một tình huống thực tiễn:
GV HS
- Hỏi: Điểm trung bình của Nam là bao nhiêu?
- Dựa vào điểm và điểm trung bình của Nam thì cĩ nhận xét gì về học lực của Nam về mơn Tốn?
- Nếu cho Nam kiểm tra thêm một bài nữa thì ta dự đốn điểm của Nam thế nào?
- Vậy đĩ chính là ý nghĩa của trung bình cộng.
- Là 7,1
- Nam là HS khá
- Dao động xung quanh 7 điểm
Tuy nhiên nếu Nam chỉ kiểm tra 2 bài và được điểm là 9 và 8. Như vậy, điểm trung bình của Nam là 8,5. Khi đĩ ta cĩ thể kết luận học lực mơn Tốn của Nam là giỏi được khơng?
- Ban đầu, kích thước mẫu bằng 10 (tương đối lớn) nên trung bình cộng tương đối ổn định. Nhưng với kích thước mẫu quá bé (n=2) thì giá trị trung bình cộng khơng cĩ ý nghĩa nữa.
Ví dụ 2.15 (Thăm dị cử tri): Tại California (Hoa Kỳ), các cuộc thăm dị dư luận được tổ chức để dự đốn mức độ ủng hộ Tổng thống trong cuộc bầu cử sắp tới. Bốn tờ báo đã tiến hành riêng biệt trên tồn quốc các cuộc thăm dị. Kết quả của chúng được thể hiện dưới đây:
Tờ báo thứ 1: 36,5 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 6/1 với 500 cơng dân cĩ quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 2: 41,0 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 20/1 với 500 cơng dân cĩ quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 3: 39,0 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 20/1 với 1000 cơng dân cĩ quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tờ báo thứ 4: 44,5 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 20/1 với 1000 độc giả gọi điện bình chọn).
Câu hỏi: Theo em, kết quả của tờ báo nào dự đốn gần đúng nhất mức độ ủng hộ cho Tổng thống nếu cuộc bầu cử được tổ chức vào ngày 25/1? Giải thích lý do?
Ví dụ này rèn luyện cho HS khả năng đánh giá, phê bình của những thơng tin được đưa ra trong sách, báo, tài liệu, các phương tiện thơng tin đại
những cuộc thăm dị dư luận ngày càng phổ biến. Để được điểm câu hỏi này HS cần trả lời đúng là tờ báo thứ 3 bởi vì cĩ thời gian thăm dị gần hơn, kích thước mẫu lớn hơn, cử tri được lựa chọn ngẫu nhiên. HS cần cĩ ít nhất là 2 luận cứ cho lập luận của mình, ví dụ:
- Chọn tờ báo thứ 3 vì cơng dân được lựa chọn ngẫu nhiên và cĩ quyền bỏ phiếu.
- Chọn tờ báo thứ 3 vì cĩ 1000 người, được lựa chọn ngẫu nhiên và gần đến ngày bầu cử nên ít cĩ thời gian để họ thay đổi quyết định.
- Chọntờ báo thứ 3 vì nĩ khảo sát nhiều người hơn và cử tri được lựa
chọn ngẫu nhiên.
Một vấn đề nữa cần làm sáng tỏ cho HS là nên chọn số đặc trưng nào làm đại diện cho mẫu? Vấn đề này cịn phụ thuộc vào sự quan tâm của con người đối với mẫu, trong ngữ cảnh đĩ. Chẳng hạn, xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 2.16: Một cửa hàng điện tử gia dụng bán 5 loại tivi với giá mỗi loại tương ứng là 1; 2; 3; 4; 5 (triệu đồng). Trong năm vừa qua cĩ 1285 lượt khách đến mua các mặt hàng trên với bảng số liệu dưới đây:
Giá tiền 1 2 3 4 5 Số chiếc bán được 256 350 500 104 75 256 350 500 104 75 0 100 200 300 400 500 1 2 3 4 5 số ti vi
Biểu đồ 2.1: Biểu đồ mơ tả số lƣợng ti vi bán ra trong năm
Ở đây, một chiếc tivi với giá tiền trung bình là 2,527 triệu đồng, mốt của dãy số liệu trên là 3 (GV cĩ thể vẽ biểu đồ 2.1 để mơ tả số lượng ti vi bán ra trong năm để HS xác định được rõ giá trị mốt). Cục thuế thì quan tâm đến giá tiền trung bình của mỗi chiếc tivi (số trung bình cộng); cịn chủ của hàng thì quan tâm tới mốt của dãy kí hiệu trên (loại tivi giá 3 triệu đồng được mua nhiều nhất). Như vậy đối với cục thuế, số đặc trưng đại diện cho mẫu trên là số trung bình cộng 2,572 cịn đối với chủ của hàng, số đặc trưng đại diện cho mẫu số liệu là 3 (giá trị mốt) [12, tr.231].
Thứ tư, rèn luyện kỹ năng biểu diễn số liệu thơng qua vẽ các biểu đồ, đa giác tần số (tần suất) ghép lớp,…cũng chính là rèn luyện kỹ năng xây dựng mơ hình tốn (mơ hình thực nghiệm). Cái đích của GV cần đạt được ở đây là HS phải hiểu được quy luật ẩn dấu bên trong các số liệu của các biểu đồ, đồ thị. Chú ý cần tập luyện cho người học phát hiện ra những cách biểu diễn sai, làm mất đi những thơng tin quan trọng. Sau đây là một vài ví dụ.
Ví dụ 2.17: Bảng 2.3 chỉ ra tiền lương (tính bằng nghìn bảng) trong một tuần của một số cầu thủ trong đội Manchester United (lấy thơng tin từ tháng 11 năm 2012), cịn biểu đồ 2.2 mơ tả bảng số liệu đĩ.
Bảng 2.3: Tiền lƣơng của một số cầu thủ đội Manchester United (nghìn bảng)
Tên cầu thủ Tiền lƣơng Tên cầu thủ Tiền lƣơng
Nick Powell 5 Rafael da Silva 40
Federico Macheda 6 Phil Jones 40
Tom Cleverley 20 Chris Smalling 40
Rooney 180 Nemanja Vidic 90
Van Persie 180 Ashley Young 90
Paul Scholes 30 Darren Fletcher 50
0 2 4 6 8 10 12 0-50 50-100 100-150 150-200 lương Biểu đồ 2.2
Hãy bình luận biểu đồ tần số hình cột trên mơ tả bảng số liệu đĩ.
Biểu đồ hình cột ở trên, che dấu một thơng tin khá là quan trọng. Cột thứ nhất tính từ trái sang phải biểu diễn 12 người cĩ mức lương dưới 50 nghìn bảng, trong đĩ cĩ đến 2 người cĩ mức lương dưới 10 nghìn bảng. Sai lầm này cĩ liên quan đến sự phân lớp cho mẫu số liệu. Sẽ là tốt hơn, nếu biểu diễn bằng biểu đồ 2.3.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 lương Biểu đồ 2.3
Đối với dạy học xác suất: Quá trình vận dụng xác suất vào trong thực
tiễn cĩ thể mơ tả như sau: Phép thử (sự kiện, hiện tượng) Xây dựng khơng
gian mẫu (mơ hình tốn của phép thử) Dựa trên khơng gian mẫu để đánh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
giá khả năng (xác suất) xảy ra của các tình huống. Trên cơ sở đĩ, HS dựa vào kết quả thu nhận được để vận dụng vào hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Dạy học quy trình này cũng cĩ thể rèn luyện nhiều thành tố của năng lực tốn học hĩa tình huống thực tiễn cho HS.
Thứ nhất, khác với dạy học các tri thức tốn học khác, ngồi những suy
luận cĩ tính lơgíc, người học cần cĩ sự liên tưởng đến các tình huống xảy ra
trong cuộc sống. Quá trình đĩ được diễn ra trong đầu HS, các em cĩ thể tự đặt ra những câu hỏi: cĩ những kết quả nào cĩ thể xảy ra khi sự kiện, hiện tượng xảy ra (phép thử thực hiện)? Đây là một quá trình làm việc xây dựng mơ hình định tính của HS.
Thứ hai, dạy học xác suất cĩ nhiều vấn đề liên quan đến mơ hình tốn
học: khơng gian mẫu là mơ hình tốn của phép thử; xác suất là mơ hình tốn để lượng hĩa khả năng xảy ra biến cố ngẫu nhiên. Do đĩ, dạy học phần này
thực tiễn. Trước hết, thơng qua dạy học xác suất ở trường THPT, ta cĩ thể rèn luyện cho HS về mặt ngơn ngữ (cả về ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học) và thơng qua đĩ rèn luyện cho HS kỹ năng mơ hình hĩa các bài tốn xác suất. Điều đĩ, được thể hiện qua một số hoạt động chính sau:
- Hướng dẫn cho HS dùng ngơn ngữ tự nhiên để mơ tả sự kiện (biến cố) đúng ngữ nghĩa và cú pháp. Thực tế dạy học ở phổ thơng, nhiều em khi dùng
ngơn ngữ của mình cĩ thể diễn ta biến cố ngẫu nhiên sai về mặt cú pháp.
- Hướng dẫn HS “tốn học hĩa” các biến cố ngẫu nhiên bằng cách mơ tả chúng bởi các tập hợp. Thực tiễn dạy học cho thấy rằng: nhiều HS (ngay cả một số GV) cũng làm tắt bỏ qua cơng đoạn này, khi giải quyết các bài tốn xác suất liên quan đến đời sống thực tiễn. Cần phân biệt cho HS cái biểu diễn và cái được biểu diễn, cái kí hiệu và cái được kí hiệu trong khi dạy học các vấn đề cụ thể liên quan đến chủ đề này, để gĩp phần bồi dưỡng năng lực tốn học hĩa các tình huống thực tiễn. Chẳng hạn, khi cho HS xét bài tốn sau:
Bài tốn 2.1: Gieo một con súc sắc trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm xác
suất để:
a. Mặt cĩ số chấm là số nguyên tố xuất hiện.
b. Mặt cĩ số chấm khơng phải là số nguyên tố xuất hiện.
GV cĩ thể yêu cầu HS lập bảng sau đây để hướng dẫn các em thực hiện các hoạt động sau:
Cái đƣợc biểu diễn (cái đƣợc kí hiệu) Cái biểu diễn (kí hiệu)
Phép thử: Gieo con súc sắc ={1,2,3,4,5,6}
A: “xuất hiện số chấm là số nguyên tố” A={2,3,5}
Khả năng xảy ra biến cố A là 1
2 P(A)=
1 2
Khả năng xảy ra biến cố B là 1
2 P(B)=
1 2
Phân biệt cái được biểu diễn, cái được kí hiệu với cái biểu diễn và cái kí hiệu giúp cho người học thấy được sự chuyển đổi giữa ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học. Thơng qua đĩ, HS cũng thấy được rằng: chính là mơ hình tốn của phép thử thứ tự là các tập hợp mơ tả các biến cố A, B. Trong thực tiễn dạy học do khơng tách bạch rõ ràng giữa cái kí hiệu, cái biểu diễn với cái được kí hiệu cái được biểu diễn nên nhiều HS đã mắc sai lầm.
- Giải thích cho HS khái niệm xác suất là mơ hình tốn để lượng hĩa khả năng xảy ra các biến cố ngẫu nhiên. Trong một số ngữ cảnh nhất định, con số đĩ, đồng nghĩa với „„tỉ lệ‟‟ hay „„khả năng‟‟. Làm như vậy, HS sẽ thấy được khái niệm này „„gần gũi‟‟ với cuộc sống hơn và dễ áp dụng được vào trong cuộc sống.
- Cần chú ý rằng, các bài tốn về xác suất trong chương trình phổ thơng cĩ liên quan đến các tri thức về tổ hợp và chỉnh hợp. Các tri thức này được xây dựng trên nền tảng tập hợp nên cĩ tính phổ dụng rất lớn. Bởi vậy, khi hướng dẫn người học giải các bài tốn dạng này, cần yêu cầu họ phát biểu các bài tốn cùng dạng trong những ngữ cảnh khác nhau, gĩp phần đưa tốn học xâm nhập sâu rộng vào đời sống thực tiễn. Chẳng hạn, ví dụ sau đây:
Ví dụ 2.18: Một hộp cĩ 13 viên bi được đánh số thứ tự từ 1 đến 13. Lần lượt lấy các viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để 4 viên bi lấy ra cuối cùng lần lượt là 10, 11, 12, 13.
GV cĩ thể dẫn ra ở đây một ví dụ và yêu cầu HS nhận xét xem bài tốn mới cĩ cùng dạng với bài tốn đã nêu ở trên hay khơng? Bài tốn mới như sau:
Một người muốn gửi một bức thư mật cĩ nội dung như sau: „„M. you in the Park‟‟ (chữ M viết tắt của từ „„Meet‟‟). Anh ta dùng hốn vị các chữ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
mật nếu từ „„Park‟‟ khơng xuất hiện ở vị trí cuối cùng của dãy các chữ cái. Anh ta mã hĩa bức thư một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất bức thư được mã hĩa là bí mật.
Rõ ràng, để thực hiện được yêu cầu của GV, HS đã buộc phải hoạt động ngơn ngữ. HS phải hiểu được việc mã hĩa bức thư trên chính là một hốn vị