2.3.1. Phƣơng pháp mơ hình hĩa
Quan niệm về mơ hình
Dưới đây là một số quan niệm khác nhau về mơ hình:
- Khách thể M là mơ hình của khách thể A đối với một hệ thống S các đặc trưng nào đĩ, nếu M được xây dựng hoặc chọn để bắt chước A theo những đặc trưng đĩ (dẫn theo [1, tr.107]).
- Mơ hình là một “vật” hay “hệ thống” đĩng vai trị đại diện hoặc vật thay thế cho “vật” hay “hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [29, tr.175].
- Mơ hình là một hệ thống được hình dung trong ĩc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu…[18, tr.347].
Nĩi tĩm lại, mơ hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) mà ta quan tâm.
Các đặc trưng của mơ hình
- Mơ hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mơ hình phải bảo tồn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mơ hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mơ hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hồn tồn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mơ hình đơn giản hơn vật gốc. Iu. M. Xviregiev cho rằng: “Mơ hình bao giờ cũng „nghèo nàn‟ hơn hiện thực mà nĩ mơ tả” và ơng khẳng định rằng: “mơ hình cĩ thể là thơ thiển và chưa hồn thiện, song nĩ phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới” [13, tr.128]. Tuy nhiên,
khơng phải bao giờ mơ hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mơ tả đối tượng nghiên cứu, cho nên cĩ thể phức tạp hơn vật gốc.
- Đứng về mặt nhận thức, mơ hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nĩ ra đời nhờ quá trình trừu tượng hĩa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu tượng hĩa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu khơng bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nĩi cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hĩa. Bởi vậy, mơ hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đĩ những yếu tố chưa hề cĩ trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp mơ hình hĩa cĩ tính chất
cách mạng, cĩ tính phát triển. Do đĩ, quá trình xây dựng mơ hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực [29, tr.177].
- Mơ hình khơng thể thay thế hồn tồn vật gốc. Một mơ hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đĩ, một vài mặt nào đĩ của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mơ hình để mơ tả chúng. Tuy nhiên việc lắp ráp chúng lại để cĩ một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu khơng phải là một việc đơn giản.
- Thực tiễn cuộc sống luơn vận động và biến đổi, bởi vậy mơ hình khơng phải là cái bất biến. Phát triển mơ hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn địi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhĩm mơ hình của các quá trình cụ thể, trong đĩ mơ hình tổng quát hơn phải tương thích với các mơ hình cụ thể trước đĩ. Một mơ hình cĩ thể là chưa thành cơng về nhiều phương diện nhưng nĩ vẫn cĩ vai trị quan trọng trong việc
phán đốn tình huống thực tiễn.
Đặc điểm quan trọng của mơ hình tốn học là sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả hiện thực khách quan. Tác giả Nguyễn Cảnh Tồn cho rằng: “mơ hình tốn học khác các mơ hình trong các khoa học khác ở chỗ nĩ bỏ qua các
những quan hệ số lượng cơ bản, từ đĩ cĩ thể suy ra quan hệ số lượng khác” [27, tr.98]. Theo [17] thì mơ hình sử dụng trong dạy học tốn cĩ thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mơ hình ảo trên máy tính điện tử.
Quá trình mơ hình hĩa
Quá trình mơ hình hĩa một sự kiện nào đĩ thường xảy ra 3 giai đoạn chính:
- Giai đoạn 1: Là giai đoạn xây dựng mơ hình, đĩ là quá trình tìm “vật” đại diện; thơng thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự. Trong giai đoạn này, vai trị của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng. Nhờ trí tưởng tượng và trực giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu, thay nĩ bằng một “hình mẫu” chỉ mang những tính chất, những mối quan hệ chủ yếu. “Hình mẫu” chỉ cĩ trong ĩc và căn cứ vào đĩ, người ta xây dựng mơ hình thật (nếu như người đĩ sử dụng mơ hình vật chất) hoặc liên tưởng đến những mơ hình đã sẵn cĩ.
- Giai đoạn 2: Là giai đoạn nghiên cứu trên mơ hình. Trong giai đoạn này mơ hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đĩ, người ta áp dụng các phương pháp lí thuyết và thực nghiệm khác nhau.
- Giai đoạn 3: Là giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mơ hình. Trong giai đoạn này, kết quả thu được trên mơ hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mơ hình.
Cũng theo [17] thì mơ hình hĩa trong dạy học tốn là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng cơng cụ và ngơn ngữ tốn học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Quá trình này cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới gĩc nhìn của tốn học. Do vậy, nĩ địi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy tốn học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hĩa, trừu tượng hĩa. Ở
trường phổ thơng, cách tiếp cận này giúp việc học tốn của HS trở nên thiết thực và cĩ ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập mơn tốn.
2.3.2. Vai trị của phƣơng pháp mơ hình hĩa trong dạy học tốn
Mơ hình hĩa là phương pháp xây dựng và cải tiến một mơ hình tốn học nhằm diễn đạt và mơ tả các bài tốn thực tiễn. Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo dục tốn học cũng đã nhận ra tầm quan trọng của phương pháp mơ hình hĩa trong dạy học tốn ở trường phổ thơng. Phương pháp này giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài tốn thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các cơng cụ, phương pháp tốn học phù hợp. Qua đĩ, giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức tốn học. Lesh & Zawojewski (2007) khẳng định rằng mơ hình hĩa tốn học giúp HS phát triển sự thơng hiểu các khái niệm và quá trình tốn học. Quá trình mơ hình hĩa giúp HS hệ thống hĩa các khái niệm, ý tưởng tốn học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đĩ. Do vậy, GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt động mơ hình hĩa như: các bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, phân tích các tin tức trên báo chí, số liệu trong sách giáo khoa hoặc trên mạng internet.
Ngồi ra, sử dụng phương pháp mơ hình hĩa trong dạy học giúp HS
phát triển các kỹ năng tốn học, đồng thời nĩ cịn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề cĩ hiệu quả hơn (Martinez- Luacles, 2005; Mousoulides, Sriraman & Christou, 2007). GV nên sử dụng các dạng bài tập mơ hình hĩa giao cho cá nhân hoặc nhĩm nhỏ nhằm các mục đích sau đây:
- Giúp việc học tốn của HS trở nên cĩ ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố tốn học trong thực tiễn (Lesh & English, 2005; Ang, 2009; Dindyal, 2009). Tuy nhiên, GV cần chú ý lựa chọn các tình huống thực tế phù hợp với khả năng nhận thức của HS cũng như lựa chọn các
- Giúp HS nâng cao năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tiễn, rèn luyện các thao tác tư duy tốn học vì quá trình mơ hình hĩa trong dạy học tốn địi hỏi HS phải phân tích và tổng hợp, trừu tượng hĩa và tổng quát hĩa, so sánh và tương tự, hệ thống hĩa và đặc biệt hĩa, suy diễn và quy nạp,…
- Nâng cao tinh thần hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS thơng qua trao đổi nhĩm, sử dụng phần mềm dạy học hỗ trợ quá trình giải quyết vấn đề, mơ hình hĩa và cải tiến mơ hình cho phù hợp với thực tiễn.
- Tăng cường tính liên mơn trong học tập các mơn như địa lý, khoa học, lịch sử, mơi trường,…Thí dụ như thơng qua hoạt động mơ hình hĩa tốn
học giúp HS hiểu được đồ thị của hàm số y = f(x) = ex
mơ tả về tốc độ sinh trưởng của các lồi thực vật.
Tĩm lại, vai trị của phương pháp mơ hình hĩa là nhằm truyền đạt nội dung kiến thức theo cách tích cực, tạo động cơ học tập, tăng cường tính liên mơn và tính khoa học trong quá trình dạy học mơn tốn ở trường phổ thơng
2.3.3. Mơ hình hĩa các bài tốn XS-TK
Các tri thức về xác suất và thống kê tốn là những tri thức cĩ liên hệ trực tiếp với thực tiễn, do đĩ dạy học những vấn đề này cĩ điều kiện đưa tốn học xâm nhập sâu rộng vào đời sống con người. Quá trình vận dụng
các phương pháp xác suất và thống kê tốn học vào trong thực tiễn cũng
bao hàm những đặc trưng của các phương pháp vận dụng tốn học vào giải các bài tốn thực tiễn.
Hiểu theo một nghĩa nào đĩ, các bảng số liệu, biểu đồ, đồ thị, đa giác
tần số (tần suất) ghép lớp trong thống kê và khái niệm xác suất là các mơ hình
tốn họcphản ánh một sự vật, hiện tượng nào đĩ.
Do đĩ, trong dạy học những kiến thức về thống kê, xác suất nếu biết khai thác hợp lí thì cĩ thể rèn luyện cho HS kĩ năng mơ hình hĩa các bài tốn
XS-TK đồng thời bồi dưỡng cho người học các thành tố của năng lực tốn học hĩa tình huống thực tiễn.
Đối với dạy học thống kê: Dạy học Thống kê phải làm cho HS tự mình cĩ thể giải quyết được bài tốn thống kê trong cuộc sống. Điều đĩ cĩ được khi họ nắm vững và thực hiện thành thạo tồn bộ quy trình vận dụng phương pháp thống kê vào thực tiễn:
Thu thập dữ liệu Tổ chức dữ liệu Phân tích và giải thích Biểu diễn.
Đầu tiên cĩ thể xem quá trình thu thập dữ liệu là quá trình thu nhận thơng tin từ tình huống thực tiễn. Quá trình này trong chương trình dạy học hiện hành bị cắt giảm. Chúng tơi cho rằng, phải làm cho HS ý thức được lấy thơng tin từ tập mẫu là thu nhận thơng tin từ thực tiễn. Thơng tin đĩ phải trung thực và phải đại diện cho lớp đối tượng mà mình quan tâm nghiên cứu. Việc lấy mẫu số liệu, nhiều khi cũng liên quan đến cơng tác điều tra, do đĩ các em phải cĩ kỹ năng đặt ra các câu hỏi để lấy được thơng tin, khơng tỏ ra thiên hướng, thiên vị. Theo [29], giáo dục tốn học phổ thơng ở Mỹ rất chú ý đến cơng đoạn này. Thơng qua cơng đoạn này người học được rèn luyện kỹ năng quan sát, biết lọc ra những thơng tin phản ánh mối quan hệ bản chất của sự vật hiện tượng.Trong điều kiện dạy học hiện tại ở nước ta, cĩ thể thực hiện một số hoạt động cụ thể sau: Cho HS thu thập số liệu hay tổ chức một hoạt động nhằm xác định mẫu số liệu về một dấu hiệu nào đĩ. Vấn đề này, cĩ thể xem là cơng tác chuẩn bị cho dạy học trên lớp. Chẳng hạn, cĩ thể yêu cầu từng tổ (nhĩm) HS điều tra: mức thu nhập của từng gia đình trong một tháng ở một khu phố; đo chiều cao của các HS trong một lớp học;… Chú ý nhắc nhở người học,
trong khi lấy mẫu số liệu cần đảm bảo tính ngẫu nhiên và mang tính đại diện.
Thứ hai, việc tổ chức số liệu được thể hiện qua lập bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp, cũng cĩ thể xem các mơ hình tốn của tập mẫu. Nếu như
hình cho vấn đề thực tế đang quan tâm. Do đĩ, rèn luyện cho HS kĩ năng lập luận bảng phân bố tần số (tần suất) ghép lớp là rèn luyện cho người học kĩ năng xây dựng mơ hình tốn cho tình huống thực tiễn. Ở đây, một thao tác cần được bổ sung là kĩ năng phân lớp mẫu số liệu, trong dự thảo chương trình 2009 – 2020 đã đề cập đến vấn đề này (dẫn theo [16]).
Thứ ba, việc nghiên cứu trên các bảng đã trình bày ở trên chính là khai thác chức năng của mơ hình, thơng qua việc tính các số đặc trưng; từ đĩ giải thích, đánh giá lại tình huống thực tiễn. Cần cho HS biết ý nghĩa của các số đặc trưng và dùng các số đặc trưng để đánh giá các khía cạnh của sự vật, hiện tượng. Thơng thường, người học biết thao tác tính các số đặc trưng; tuy nhiên, khơng nắm được ý nghĩa của chúng và sử dụng chúng trong ngữ cảnh nào cho phù hợp. Chẳng hạn, đối với mẫu cĩ kích thước đủ lớn (thơng thường n 10) và độ lệch giữa các phần tử khơng quá lớn thì số trung bình cĩ thể đại diện cho mẫu đang xét. Cĩ thể đưa ra các ví dụ cụ thể sau, cho HS thấy được điều đĩ.
Ví dụ 2.14: Kết quả điểm kiểm tra của Nam về mơn Tốn trong năm học
vừa qua được cho bởi mẫu số liệu sau: (7,7,6,5,8,9,8,7,6,8). Dưới đây là tình huống GV hỏi HS nhằm tìm hiểu khả năng hiểu ý nghĩa của số trung bình cộng trong một tình huống thực tiễn:
GV HS
- Hỏi: Điểm trung bình của Nam là bao nhiêu?
- Dựa vào điểm và điểm trung bình của Nam thì cĩ nhận xét gì về học lực của Nam về mơn Tốn?
- Nếu cho Nam kiểm tra thêm một bài nữa thì ta dự đốn điểm của Nam thế nào?
- Vậy đĩ chính là ý nghĩa của trung bình cộng.
- Là 7,1
- Nam là HS khá
- Dao động xung quanh 7 điểm
Tuy nhiên nếu Nam chỉ kiểm tra 2 bài và được điểm là 9 và 8. Như vậy, điểm trung bình của Nam là 8,5. Khi đĩ ta cĩ thể kết luận học lực mơn Tốn của Nam là giỏi được khơng?
- Ban đầu, kích thước mẫu bằng 10 (tương đối lớn) nên trung bình cộng tương đối ổn định. Nhưng với kích thước mẫu quá bé (n=2) thì giá trị trung bình cộng khơng cĩ ý nghĩa nữa.
Ví dụ 2.15 (Thăm dị cử tri): Tại California (Hoa Kỳ), các cuộc thăm dị dư luận được tổ chức để dự đốn mức độ ủng hộ Tổng thống trong cuộc bầu cử sắp tới. Bốn tờ báo đã tiến hành riêng biệt trên tồn quốc các cuộc thăm dị. Kết quả của chúng được thể hiện dưới đây:
Tờ báo thứ 1: 36,5 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 6/1 với 500 cơng dân cĩ quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 2: 41,0 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 20/1 với 500 cơng dân cĩ quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 3: 39,0 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 20/1 với 1000 cơng dân cĩ quyền biểu quyết được lựa chọn ngẫu nhiên).
Tờ báo thứ 4: 44,5 % (cuộc thăm dị tiến hành vào ngày 20/1 với 1000 độc giả gọi điện bình chọn).
Câu hỏi: Theo em, kết quả của tờ báo nào dự đốn gần đúng nhất mức độ ủng hộ cho Tổng thống nếu cuộc bầu cử được tổ chức vào ngày 25/1? Giải thích lý do?
Ví dụ này rèn luyện cho HS khả năng đánh giá, phê bình của những