Một số bài toán có tính định lượng trong giải tích vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc BẢN TRÍCH YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ Tên tác giả: PHAN PHIẾN Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ LÊ LỢI Tên luận án: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN Ngành: Toán học Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62.46.01.01 Đơn vị đào tạo sau đại học: Trường Đại học Đà Lạt. NỘI DUNG BẢN TRÍCH YẾU 1. Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu các đánh giá định lượng về định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn, định lý hạng hằng, bổ đề tách và định lý Morse; Nghiên cứu đánh giá chặn trên cho các số Betti và độ đo Hausdorff của các đối tượng trong cấu trúc otối tiểu. 2. Đối tượng nghiên cứu: Lớp các ánh xạ Lipschitz; Lớp các ánh xạ khả vi lớp Ck; Lớp các tập và ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc otối tiểu như các đối tượng nửa đại số và nửaPfaff; Các kết quả định tính đã có trong Giải tích vi phân. 3. Các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng: Luận án được nghiên cứu dựa trên các phương pháp tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số, Đại số tuyến tính và Tích phân hình học; Các phương pháp về đánh giá độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực và Topo đại số. 4. Nguồn tài liệu chính: 1 Ta Le Loi and Phan Phien, Bound of Hausdorff measurse of tame sets, (Submitted 2010). (Proceedings of the International Conference on Topology, Geometry, Algebra Arithmetics, University of Dalat, December 2224, 2008, (2009), pp. 156169). 2 Phan Phien, Betti numbers and Hausdorff measures of basic semialgebraic sets, Journal of Science University of Dalat, Volume 1 (2011), pp. 1322. (Vietnamese) 3 Phan Phien, Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit function theorems, EastWest Journal of Mathematics, Vol. 13, No 1 (2011), pp. 722. 4 Ta Le Loi and Phan Phien, The Quantitative Morse theorem, International Journal of Mathematical Analysis, Vol. 6, no. 10 (2012), pp. 481491. 5 Ta Le Loi and Phan Phien, A Numerical approach to some basic theorems in Singularity theory (2012). (Submitted) 5. Các kết quả chính và kết luận: Qua luận án, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới mà có thể được áp dụng cho một số lĩnh vực như Giải tích số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán và Động lực học vi phân... Các kết quả chính bao gồm: 5.1. Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipchitz; Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz; Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke; Định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz và ánh xạ lớp Ck. 5.2. Dạng định lượng của Bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng; Bổ đề tách định lượng; Bổ đề Morse định lượng; Chứng minh chi tiết của Định lý Morse định lượng (Y. Yomdin phát biểu (2005)). 5.3. Đánh giá chặn trên cho các số Betti và tổng các số Betti của tập nửa đại số cơ sở. 5.4. Chặn đều cho các số Betti của các thớ của ánh xạ định nghĩa được; Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được; Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được; Chặn trên cho độ đo Hausdorff của nghịch ảnh qua ánh xạ định nghĩa được của một họ các đường cong định nghĩa được. Đà Lạt 2012 Người hướng dẫn khoa học Nghiên cứu sinh TẠ LÊ LỢI PHAN PHIẾN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT PHAN PHIẾN MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Đà Lạt - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT PHAN PHIẾN MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TS. Tạ Lê Lợi 2. PGS. TS. Phạm Tiến Sơn Đà Lạt - 2012 1 LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Đà Lạt dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS Tạ Lê Lợi. PGS. TS Phạm Tiến Sơn đã đọc và sửa chữa luận án. Các kết quả trong các bài báo [P1] và [P2] ở danh mục các công trình liên quan đến luận án, tác giả nghiên cứu dưới sự hướng dẫn và gợi ý của PGS. TS Tạ Lê Lợi. Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Đà Lạt, tháng 10 năm 2012 Phan Phiến 2 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào Tạo Đại học và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán Tin học, Trưởng ngành Toán Giải tích, Lãnh đạo Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang, Khoa Tự Nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh tại Đại học Đà Lạt từ tháng 11 năm 2007. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Tạ Lê Lợi đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phạm Tiến Sơn đã đọc và sửa chữa luận án. Tác giả xin cảm ơn gia đình, các bạn bè, đồng nghiệp đã luôn chia sẻ, động viên tác giả trong cả khóa học này. Đà Lạt, tháng 10 năm 2012 Phan Phiến 3 Mục lục LỜI CAM ĐOAN 1 LỜI CẢM ƠN 2 DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU 6 DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH 9 TÓM TẮT 10 MỞ ĐẦU 12 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐỊNH LƯỢNG VỀ ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC, HÀM ẨN 18 1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Jacobi suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Không gian các ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Chặn trên cho C k -chuẩn của ánh xạ hợp và ánh xạ nghịch đảo 23 1.3 Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . 25 1.4 Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . 28 1.5 Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6 Định lý hạng hằng định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 2 ĐỊNH LÝ SARD VÀ ĐỊNH LÝ MORSE ĐỊNH LƯỢNG 42 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Các khái niệm, định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.1 Giá trị kỳ dị của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.2 Điểm tới hạn và γ-tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Dạng định lượng của bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng . . . . . 46 2.4 Bổ đề tách định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Định lý Sard định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Định lý Morse định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 CHẶN TRÊN CHO CÁC SỐ BETTI CỦA TẬP NỬA ĐẠI SỐ 61 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Các khái niệm và một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2.1 Trường thực đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2 Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.3 Tương đương đồng luân nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.4 Số Betti của tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.5 Một số kết quả về topo đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3 Chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở . . . . . . . . . . 70 4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN 76 4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.1 Cấu trúc o-tối tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.2 Phân hoạch tế bào . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2.3 Một số tính chất của cấu trúc o-tối tiểu . . . . . . . . . . . . 82 4.2.4 Phân tầng định nghĩa được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.5 Tầm thường hóa định nghĩa được . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.6 Tập nửa-Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.7 Độ đo tích phân hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5 4.3 Độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được . . . . . . . . . . . . . 91 4.4 Chặn đều cho độ đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được . . . . . . 95 KẾT LUẬN 103 CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 6 DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Trang M m×n không gian các ma trận thực cấp m × n 20 B n quả cầu đơn vị mở trong R n 20 B n r quả cầu mở bán kính r, tâm tại 0 ∈ R n 20 B n r (x 0 ) quả cầu mở bán kính r, tâm tại x 0 ∈ R n 20 S n−1 mặt cầu đơn vị trong R n 20 B m×n quả cầu đơn vị trong M m×n 20 ∥x∥ chuẩn của vector x ∈ R n 20 ∥A∥ chuẩn của ma trận A 20 ∥A∥ F chuẩn Frobenius của ma trận A 20 ∥f∥ C k C k -chuẩn của f 21 ∂f(x 0 ) Jacobi suy rộng của f tại x 0 21 Jf (x i ) ma trận Jacobi của f tại x i 22 ∂ p×p f(x 0 ) 22 L(f) hệ số Lipschitz của f 22 Lip(R m , R n ) không gian các ánh xạ Lipschitz 22 Lip x 0 (R m , R n ) không gian các ánh xạ Lipschitz thỏa f(x 0 ) = 0 23 Inv Phép nghịch đảo ma trận 24 dist (x, A) Khoảng cách từ x đến tập A 26 ∂ 1 F (x 0 , y 0 ) Jacobi suy rộng của F (·, y 0 ) : U → R n 28 ∂ 2 F (x 0 , y 0 ) Jacobi suy rộng của F (x 0 , ·) : U → R n 28 σ i (L) giá trị kỳ dị thứ i của ánh xạ tuyến tính L 44 σ max (A) giá trị kỳ dị lớn nhất của A 44 σ min (A) giá trị kỳ dị nhỏ nhất của A 44 7 Ký hiệu Trang Σ(f, Λ) tập các điểm Λ-tới hạn của f 45 ∆(f, Λ) tập các giá trị Λ-tới hạn của f 45 Σ(f, Λ, A) tập các điểm Λ-tới hạn của f chứa trong A 45 ∆(f, Λ, A) tập f(Σ(f, Λ, A)) 45 M(ε, A) số quả cầu bán kính ε phủ A 45 Sym(n) không gian các ma trận đối xứng cấp n 46 ∆(n) không gian các ma trận tam giác trên cấp n 46 R k (f) hệ số Taylor 54 P h đa thức thuần nhất hóa của P 63 Z(P, S) tập các không điểm của P trong S 64 R⟨ε⟩ trường thực đóng của các chuỗi Puiseux 64 D(A) lược đồ của tập nửa đại số A 66 f ∼ sa g f và g đồng luân nửa đại số 67 Ext(S, R⟨ε⟩ k ) mở rộng của S vào R⟨ε⟩ k 67 H p , H p nhóm đồng điều và đối đồng điều thứ p 68 b p (S) số Betti thứ p của S 69 b(S) tổng các số Betti của S 69  H i (A) và  H i (A) nhóm đồng điều và đối đồng điều rút gọn của A 69 Γ(f) đồ thị của f 80 (f, g) dải băng giữa f và g 80 dim A chiều của tập A 81 cl(A) bao đóng của tập A 82 int(A) phần trong của tập A 82 A x thớ của tập A 84 length(g) chiều dài của đường cong g 83 F (A) format của tập nửa-Pfaff A 87 O(m, n) tập các ánh xạ trực giao từ R m vào R n 88 O(m) O(m, m) 88 O ∗ (m, n) tập các phép chiếu trực giao từ R m vào R n 88 C(ε, A) 88 c(α) 89 8 Ký hiệu Trang H α ε (A) 89 H α (A) độ đo Hausdorff chiều α của tập A 89 #(A) lực lượng của tập A 90 Γ(s) hàm Gamma 90 c(m, k) 90 B 0,m−k (A) 92 Vol k (B k ) Thể tích k−chiều của quả cầu đơn vị trong R k 94 I k (f) 95 B 0,m−k (f) 96 Σ s (f, C i ), Σ s (f, A) 101 [...]... phẳng 78 Hình 4.5 Tế bào trong Rn+1 81 Hình 4.6 Phân tầng định nghĩa được 85 10 TÓM TẮT Trong luận án này, tác giả đưa ra một số kết quả về đánh giá định lượng trong giải tích vi phân Luận án có 4 chương Nội dung của hai chương đầu bao gồm các kết quả về đánh giá định lượng dựa trên các kỹ thuật tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính Nội dung của hai chương sau được nghiên... tượng trong các kết quả đó Vi c đánh giá định lượng cho các định lý hàm ngược, hàm ẩn là cần thiết cho toán học Các kết quả nghiên cứu về định lượng nếu đạt được, có thể có nhiều áp dụng trong một số lĩnh vực khác nhau như: Lý thuyết số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán, Một số kết quả định tính khác trong Giải tích vi phân như Định lý hạng hằng, Định lý chuẩn bị, Định lý... tạp topo trong Hình học đại số thực và Topo đại số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và Tích phân hình học Nội dung chính của Chương 1 bao gồm: Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2); Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.4.2); Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke (Định lý 1.5.1); Định lý hạng hằng định lượng cho... topo trong Hình học đại số thực và Topo đại 13 số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và phương pháp Tích phân hình học Các đối tượng nghiên cứu chính bao gồm: Lớp các ánh xạ Lipschitz; Lớp các ánh xạ khả vi lớp C k ; Lớp các tập và ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu (như các đối tượng nửa đại số và nửa-Pfaff); Các kết quả định tính đã có trong Giải tích vi phân Tổng quan những vấn... phức tạp thuật toán, Các kết quả trong Giải tích vi phân được ứng dụng nhiều phải kể đến đó là: định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn, định lý Sard, định lý Morse, định lý hoành Có thể nói sự thiếu vắng những định lý đó ở dạng định lượng thực sự cản trở vi c xây dựng các kết quả về định lượng và ứng dụng trong Lý thuyết kỳ dị Hơn nữa, các định lý trên còn là cơ sở cho các kết quả hình học trong lĩnh vực... chưa có các nghiên cứu về đánh giá định lượng Với những lý do trên, trong chương này, tác giả đưa ra một số kết quả định lượng về định lý hàm ngược, hàm ẩn Dạng định lượng của định lý hàm ngược Lipschitz Clarke (Định lý 1.3.2) được trình bày trong phần 1.3, kết quả đưa ra đánh giá định lượng cho các lân cận U , V và hệ số Lipschitz L(g) phụ thuộc vào ∂f (x0 ) Định lý hàm ẩn Lipschiz định lượng (Định. .. Đại số tuyến tính và Giải tích số, bổ đề tách định lượng (Bổ đề 2.4.1) được chứng minh dựa trên cơ sở chứng minh dạng định lượng của bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng (Bổ đề 2.3.1) Khi đó Bổ đề Morse định lượng là trường hợp riêng của Bổ đề tách định lượng (Hệ quả 2.4.2) Từ các kết quả trên, áp dụng định lý Sard định lượng và định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz, tác giả đưa ra một chứng... tách, định lý Morse Các kết quả nghiên cứu dựa trên các phương pháp tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính - Nghiên cứu các đánh giá định lượng dựa trên Độ phức tạp topo: đưa ra các kết quả định lượng về số Betti và các đánh giá chặn trên cho độ đo Hausdorff của các đối tượng thuần Các kết quả được nghiên cứu dựa trên các phương pháp về đánh giá độ phức tạp topo trong. .. cuối chương, định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1) được chứng minh dựa trên định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz và dạng định lượng, khi đó định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ lớp C k là một trường hợp riêng (Hệ quả 1.6.2) Chương 2 Định lý Sard và định lý Morse định lượng nghiên cứu các kết quả định lượng về bổ đề Morse, định lý Sard và định lý Morse Áp dụng các kết... sau Chương 1 Một số kết quả định lượng về định lý hàm ngược, hàm ẩn” nghiên cứu các kết quả định lượng về định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn cho ánh xạ Lipschitz, định lý hạng hằng Dạng định lượng của định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2) được chứng minh dựa trên kết quả của F H Clarke về định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz, từ đó ta chứng minh định lý hàm ẩn định lượng cho ánh