4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN
4.2.1 Cấu trúc o-tối tiểu
Định nghĩa 4.2.1. Ta nói rằng C là một phạm trù hình học giải tích nếu mỗi đa tạp M được trang bị tương ứng một tập C(M) các tập con của M sao cho năm điều kiện sau thỏa mãn với mọi đa tạp M và N:
(AG1)C(M) là một đại số Bool của các tập con của M, với M ∈ C(M).
(AG2)Nếu A∈ C(M), thì A×R∈ C(M ×R).
(AG3)Nếu f : M →N là một ánh xạ giải tích chính thường và A∈ C(M), thì
f(A)∈ C(N).
(AG4) Nếu A ⊆M và (Ui)i∈I là một phủ mở của M, thì A ∈ C(M) nếu và chỉ nếu A∩Ui ∈ C(Ui)với mọi i∈I.
(AG5)Mọi tập bị chặn trong C(R) có hữu hạn biên.
Ví dụ 4.2.2. Tập các tập con sub giải tích của đa tạp giải tích thực M bất kỳ thỏa mãn các tiên đề (AG1) đến (AG5), do đó nó là một phạm trù hình học giải tích.
Định nghĩa 4.2.3. Mộtcấu trúc o-tối tiểutrên một trường thực(R,+,·)là một dãy D = (Dn)n∈N sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn với mọi n∈N:
(S1) Dn là một đại số Bool của các tập con của Rn.
(S2) Nếu A∈ Dn, thì A×R và R×A∈ Dn+1.
(S3) Nếu A ∈ Dn+1, thì π(A) ∈ Dn, ở đây π : Rn+1 →Rn là ánh xạ chiếu lên n
tọa độ đầu.
(S5) Mỗi tập trong D1 là hợp hữu hạn của các điểm và khoảng mở.
Một tập thuộc D được gọi là định nghĩa được (trong cấu trúc đó). Ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc D là ánh xạ mà đồ thị của nó là các tập định nghĩa được trong D.
Ví dụ 4.2.4. Lớp các tập nửa đại số và lớp được sinh bởi các tập nửa-Pfaff (xem mục 2.4.6) là các ví dụ cho cấu trúc trên, và có nhiều lớp các tập thú vị đã được chứng minh thuộc cấu trúc o-tối tiểu (xem [D1], [D-M]).
Định nghĩa 4.2.5. Một tập thuộc vào một phạm trù hình học giải tích hoặc một cấu trúc o-tối tiểu được gọi là một tập thuần.
Trong chương này, chúng ta cố định một cấu trúc o-tối tiểu trên(R,+,·). “Định nghĩa được” nghĩa là định nghĩa được trong cấu trúc đó.