4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN
4.2.5 Tầm thường hóa định nghĩa được
Định nghĩa 4.2.21. Xét ánh xạ định nghĩa được f : S → A, ở đây A ⊆ Rm và
S ⊆ Rn là các tập định nghĩa được. Xem A như là một không gian cơ sở hoặc không gian tham số, f mô tả họ của các tập (f−1(a))a∈A. Một phép tầm thường hóa định nghĩa được của f là một bộ (F, λ) bao gồm một tập định nghĩa được
F ⊆RN, với N nào đó, và một ánh xạ định nghĩa đượcλ :S→F sao cho
Như vậy (f, λ) đồng nhất hóa S với tích đề cácA×F, và dưới phép đồng nhất này f tương ứng với ánh xạ chiếu A×F →A. Chú ý rằng khi đó f và λ liên tục, và (f, λ) ánh xạ mỗi thớ f−1(a) của f đồng phôi vào {a} ×F, đặc biệt tất cả các thớ là đồng phôi định nghĩa được với F.
Ta gọi f là tầm thường định nghĩa được nếu f có một phép tầm thường hóa định nghĩa được. Cho tập con định nghĩa được A′ ⊆A, ta nói f là tầm thường định nghĩa được trên A′ nếu ánh xạ hạn chếf|f−1(A′):f−1(A′)→A′ là tầm thường định nghĩa được. Chú ý rằng nếu f là tầm thường định nghĩa được, thì f là tầm thường định nghĩa được trên mỗi tập con định nghĩa được của không gian cơ sở
A: nếu (f, λ) là một phép tầm thường hóa định nghĩa được của f và A′ ⊆ A là định nghĩa được, thì(
F, λ|f−1(A′))
là một phép tầm thường hóa định nghĩa được của
f|f−1(A′):f−1(A′)→A′.
Định lý 4.2.22 (Định lý tầm thường Hardt). Cho f : S → A là ánh xạ liên tục định nghĩa được, ở đây A⊆Rm và S ⊆Rn là các tập định nghĩa được. Khi đó tồn tại một phân hoạch hữu hạn A =A1∪ · · · ∪AM của không gian cơ sở A thành các tập định nghĩa được Ai sao cho f là tầm thường định nghĩa được trên mỗi Ai. Chứng minh. Xem [D1, Ch.9 Theorem 1.2].