4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN
4.2.2Phân hoạch tế bào
Định nghĩa 4.2.6. Một Cp tế bào trong Rn là đa tạp con lớp Cp liên thông của Rn thuộc vàoD mà được định nghĩa bằng quy nạp theo n như sau:
- Cp tế bào trongR là các điểm hoặc các khoảng mở.
- Cp tế bào trongRn+1 là các tập thuộc một trong các dạng sau: 1. Γ(f) ={(x, t) :t=f(x)},
2. (f, g) ={(x, t) :f(x)< t < g(x)},
3. C×R, (−∞, f) = {(x, t) :t < f(x)}và (f,+∞) = {(x, t) :f(x)< t}, ở đây C ⊂Rn là một Cp tế bào và f, g : C →R là các hàm định nghĩa được thuộc lớp Cp, f < g.
Định nghĩa 4.2.7. Một phân hoạch Cp của Rn được định nghĩa bằng quy nạp theo n như sau:
Hình 4.5: Tế bào trong Rn+1
- Một phân hoạch Cp của Rn+1 là một phân hoạch hữu hạn của Rn+1 vào các
Cp tế bào C, sao cho tập hợp tất cả các phép chiếu π(C)là một phân hoạch
Cp của Rn, ở đâyπ :Rn+1 →Rn là phép chiếu lên n tọa độ đầu.
Ta nói rằng một phân hoạch tương thích với một lớpA của các tập con củaRn, nếu mỗi S∈ A là hợp của một số tế bào của phân hoạch.
Định lý 4.2.8 (Phân hoạch tế bào).
(In) Cho S1, . . . , Sk là các tập định nghĩa được trong Rn, khi đó tồn tại một phân hoạch Cp của Rn tương thích với {S1, . . . , Sk}.
(IIn) Với mỗi hàm định nghĩa được f :S →R, S ⊂Rn, tồn tại một phân hoạchCp
của Rn tương thích với S sao cho mỗi tế bào C ⊂S của phân hoạch, f|C thuộc lớp
Cp.
Chứng minh. Xem [D1, Ch.3 Theorem 2.11].
Theo định lý phân hoạch tế bào, ta có thể định nghĩa chiều của một tập định nghĩa được A bởi