4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN
4.2.3 Một số tính chất của cấu trúc o-tối tiểu
Các tính chất quan trọng của cấu trúc o-tối tiểu có thể tham khảo ở [D1], [D-M], [C], [L1] và [W]. Phần này trình bày một số tính chất cơ bản và các tính chất về chiều của cấu trúc o-tối tiểu phục vụ cho các chứng minh kết quả của chương.
Bổ đề 4.2.9.
(i) NếuA⊆Rm là định nghĩa được, thì cl(A)và int(A) cũng là định nghĩa được.
(ii) Nếu A ⊆B ⊆ Rm là các tập định nghĩa được, và A là mở trong B, thì tồn tại một tập mở định nghĩa được U ⊆Rm với U ∩B =A.
Chứng minh. Xem [D1, Ch.1 Lemma 3.3].
Bổ đề 4.2.10.
(i)Các tập con liên thông định nghĩa được của Rgồm các dạng sau: tập rỗng, các khoảng, các tập [a, b)với −∞< a < b≤+∞, các tập (a, b] với−∞ ≤a < b <+∞, và các tập [a, b] với −∞< a≤b <+∞.
(ii) Ảnh của các tập liên thông định nghĩa được X ⊆ Rm dưới ánh xạ liên tục định nghĩa được f :X →Rn là liên thông định nghĩa được.
(iii) Nếu X và Y là các tập con định nghĩa được của Rm, X ⊆Y ⊆X, và X là liên thông định nghĩa được, thì Y là liên thông định nghĩa được.
(iv)NếuX và Y là các tập con liên thông định nghĩa được củaRm vàX∩Y ̸=∅, thì X∪Y là liên thông định nghĩa được.
Chứng minh. Xem [D1, Ch.1 Lemma 3.6].
Mệnh đề 4.2.11.
(i) NếuX ⊆Y ⊆Rm và X, Y là định nghĩa được, thì dimX≤dimY ≤m.
(ii) Nếu X ⊆ Rm và Y ⊆ Rn là định nghĩa được và tồn tại một song ánh định nghĩa được giữa X và Y, thì dimX = dimY.
(iii)NếuX, Y ⊆Rmlà các tập định nghĩa được, thìdim(X∪Y) = max{dimX,dimY}. Chứng minh. Xem [D1, Ch.4 Proposition 1.3].
Mệnh đề 4.2.12. ChoS ⊂Rm×Rn là định nghĩa được. Chod∈ {−∞,0,1, . . . , n}, đặt
S(d) = {a∈Rm : dimSa=d}.
Khi đó S(d) là định nghĩa được và bộ phận của S trên S(d) có số chiều được cho bởi
dim ∪ a∈S(d) {a} ×Sa = dim (S(d)) +d, ở đây, Sa ={x∈Rn : (a, x)∈S}.
Chứng minh. Xem [D1, Ch.4. Proposition 1.5]. Từ Mệnh đề 4.2.11 và 4.2.12 cho ta hệ quả sau:
Hệ quả 4.2.13.
(i) dimS = max0≤d≤n(dimS(d) +d)≥dimπ(S), với π(S)⊂Rm.
(ii) Cho X ⊆Rn là định nghĩa được và f :X →Rm là ánh xạ định nghĩa được. Khi đó với mỗi d∈ {0, . . . , n} tậpSf(d) = {a∈Rm : dimf−1(a) = d} là định nghĩa được và dimf−1(Sf(d)) = dimSf(d) +d. Hơn nữa, dimX ≥dimf(X).
(iii) dim(A×B) = dimA+ dimB, với A, B là các tập định nghĩa được. Chứng minh. Xem [D1, Ch.4. Corollary 1.6] .
Ký hiệuΦp là tập các ánh xạ định nghĩa được, song ánh, lẻ, tăng chặt thuộc lớp
Cp từ Rvào R và p−phẳng tại 0.
Cho g = (g1, . . . , gn) : [a, b]→Rn là một đường thuộc D. Định nghĩa Mono(g) := {t∈(a, b) : tồn tạia′, b′ với a < a′ < t < b′ < b
sao cho một vài gt tăng trên (a′, t)và giảm chặt trên (t, b′),
hoặc một vài gt giảm trên (a′, t)và tăng chặt trên (t, b′)}
Chú ý rằng Mono(g) là hữu hạn, và khi đó nếu a = t0 < t1 < · · · < tk = b và các điểm của Mono(g)thuộc t1, . . . , tk−1, thì length(g)≤∑k
Bổ đề 4.2.14. Cho B ∈ Dn là compact và h : B → Rm là ánh xạ liên tục định nghĩa được. Khi đó tồn tại ψ ∈Φp sao cho length(h◦g)≤N ψ−1(length(g)) với mọi đường định nghĩa được g : [a, b]→B, ở đây N = 1 + #(Mono(h◦g)).
Chứng minh. Xem [D-M, C.17].
Mệnh đề 4.2.15 (Chặn đều trên các thớ - [D-M, 4.4]). Cho A ⊆Rm+n thuộc vào
D. Khi đó tồn tại N ∈N sao cho với mọi x∈ Rm, tập Ax :={y∈Rn : (x, y)∈A}
có nhiều nhất N thành phần liên thông.
Định lý 4.2.16([D-M, 4.5]).Cho A⊆Rm+nlà tập định nghĩa được, choπ(A)⊆Rm
là chiếu của A lên m tọa độ đầu. Khi đó tồn tại một ánh xạ f : π(A) → Rn thuộc vào D sao cho đồ thị Γ(f) ⊆A. Đặc biệt, nếu b ⊆ Rm và g : B → Rn thuộc Dm+n
thì tồn tại f :g(B)→Rm thuộc vàoD sao cho
f(g(x)) =x với mọi x∈B.