4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN
4.2.4 Phân tầng định nghĩa được
Định nghĩa 4.2.17. Một Cp-phân tầng định nghĩa được của X ⊂ Rm là một phân hoạch S của X thành hữu hạn các tập con, được gọi là cáctầng (strata), sao cho:
(S1) Mỗi tầng (stratum) là một đa tạp con lớp Cp của Rm và cũng là các tập định nghĩa được;
(S2) Với mỗi S ∈ S, S\S là hợp hữu hạn của một số tầng.
Ta nói rằng S thỏa mãn điều kiện Whitney (a) nếu thỏa mãn điều sau: với mọi
S, R ∈ S với S ⊂R, cho một dãy các điểm (xk)trong R hội tụ đến một điểmy của
S sao cho TxkR hội tụ đến một không gian vectơ con T của Rm, ta có TyS⊂T. Ta nói rằng một phân tầng S là tương thích với một lớp các tập con A của Rm nếu với mỗi S∈ S và A ∈ A, S⊂A hoặc S∩A=∅.
Định nghĩa 4.2.18. Chof :X →Y là một ánh xạ định nghĩa được. MộtCp−phân tầng của f là một bộ (X,Y), ở đây X và Y là các Cp−phân tầng Whitney định
nghĩa được của X và Y tương ứng, và với mỗi S ∈ X, tồn tại R ∈ Y, sao cho
f(S)⊂R và f|S :S →R là một phép nhúng lớp Cp.
Ví dụ 4.2.19. Trong R3 cho mặtV xác định bởi: x2−zy2 = 0 (cái dù Whitney). Phân hoạch: Oz, V \Oz,R3\V, không là phân tầng vì không thỏa mãn (S2). Phân hoạch: O,{(0,0, z) : z > 0},{(0,0, z) : z < 0}, V \Oz,R3 \V, là phân tầng tương thích với V.
Hình 4.6: ví dụ phân tầng định nghĩa được
Định lý 4.2.20. Cho f : X → Y là một ánh xạ liên tục định nghĩa được. Cho A
và B là các tập hữu hạn các tập con định nghĩa được của X và Y tương ứng. Khi đó tồn tại một Cp−phân tầng (X,Y) của f sao cho X là tương thích với A và Y là tương thích với B.
Chứng minh. Xem [L2, Theorem 2.1].