4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN
4.2.6 Tập nửa-Pfaff
• Xích Pfaff. Một xích Pfaff có độ dài l ≥ 0 và bậc α ≥ 1 trong một miền mở
U ⊆Rm là một dãy các hàm giải tíchf = (f1, . . . , fl)trongU thỏa mãn một hệ các phương trình Pfaff
∂ fi
∂ xj(x) = Pij(x, f1(x), . . . , fi(x)), ∀x∈U (1≤i≤l, 1≤j ≤m).
Ở đây Pij là các đa thức có bậc không vượt quá α.
• Hàm Pfaff.Ta nói rằng q là mộthàm Pfaff của bậc β với xích Pfafff nếu tồn tại một đa thức Q có bậc không vượt quá β sao cho
Ví dụ 4.2.23.
1. Các đa thức là các hàm Pfaff mà l = 0.
2. Hàm mũ f1(x) =ex là Pfaff, với l = 1 và α = 1, bởi vì f1′ =f1. Tổng quát hơn, ta có thể định nghĩa lặp lại các hàm mũ bằng quy nạpfr(x) =exp(fr−1(x))với mọi
x. Khi đó từ fr′ =fr′−1fr =f1· · ·fr,(f1, . . . , fr)là một xích Pfaff có độ dài rvà bậc
r với mọir.
3. Cho U =R\ {0}. Đặtf(x) =x−1 và g(x) = ln|x|. Khi đó(f, g)là một xích Pfaff có bậc α= 2 trên U, do f′ =−f2 và g′ =f.
4. Cho f(x) = (x2+ 1)−1 và g(x) =arctanx. Khi đó(f, g)là một xích Pfaff có bậc
α = 3 trên R, do f′ =−2xf và g′ =f.
• Công thức không lượng tử. Cho P = {p1, . . . , ps} là một tập các hàm Pfaff. Một công thức không lượng tử với các nguyên tử trong P được xây dựng như sau:
- Một nguyên tử có dạng pi⋆0, ở đây 1≤ i≤s và ⋆∈ {>,=, <}, là một công thức không lượng tử;
- Nếu Φvà Ψ là các công thức không lượng tử, thì hội của chúngΦ∧Ψ, tuyển của chúng Φ∨Ψ, và phép lấy phần bù ¬Φ là các công thức không lượng tử.
• Tập nửa-Pfaff.Một tập A⊆U được gọi là nửa-Pfaff nếu tồn tại một tập hữu hạn P của các hàm Pfaff và một công thức không lượng tử Φ với các nguyên tử trong P sao cho
A={x∈U : Φ(x)}.
•Format của tập nửa-Pfaff.ChoAlà một tập nửa-Pfaff như trên. Khi đóformat
của A là tập dữ liệu F = F(A) = (m, l, α, β, s), ở đây m là số biến, l là chiều dài của f, α là maximum của các bậc của các đa thức Pij, β là maximum của các bậc của các hàm trong P, và s là số các hàm trong P.