nghịch đảo
Trong phần này, ta đưa ra các ước lượng cho Ck-chuẩn của ánh xạ hợp và ánh xạ nghịch đảo. Các ước lượng này sẽ được sử dụng để tính toán các chặn trên trong các kết quả của Chương 1 và Chương 2.
Bổ đề 1.2.7. Cho f : U →V và g : V →Rp là các ánh xạ khả vi lớp Ck, k ≥ 1, trên các tập mở U ⊂Rn, V ⊂Rm. Khi đó
∥g◦f∥Ck ≤(1k+ 2k+· · ·+kk)∥g∥Ckmax(∥f∥Ck,∥f∥k Ck).
Trong luận án này ta ký hiệu
E(Kf, Kg, k) = (1k+ 2k+· · ·+kk)Kgmax(Kf, Kfk),
với K∗ =∥ ∗ ∥Ck.
Chứng minh. Áp dụng quy tắc xích (xem [A-M-R]), với p ≤ k, ta nhận được ước lượng sau ∥Dp(g◦f)(x)∥ ≤ p ∑ i=1 ∑ j1+···+ji=p p! j1!· · ·ji!∥Dig(f(x))∥∥Dj1f(x)∥ · · · ∥Djif(x)∥ ≤ p ∑ i=1 ∑ j1+···+ji=p p! j1!· · ·ji!∥g∥Ck∥f∥i Cp ≤ p ∑ i=1 ip ∥g∥Ckmax(∥f∥Ck,∥f∥p Ck). Vì vậy ∥g◦f∥Ck ≤(1k+ 2k+· · ·+kk)∥g∥Ckmax(∥f∥Ck,∥f∥k Ck).
Bổ đề 1.2.8. Cho φ : U → V là một ánh xạ vi phôi lớp Ck giữa các tập con mở
U, V của Rn, k≥1. Khi đó ta có
∥φ−1∥Ck ≤EI(∥φ∥Ck,∥Dφ−1∥, k),
với EI được xây dựng như sau: Cho M0 =E(∥φ∥Ck, max 0≤p≤k−1p!∥Dφ−1∥p+1, k−1), M1 =∥Dφ−1∥, và Mp =E(Mp−1, M0, p−1), p= 2, . . . , k. Khi đó EI(K, L, k) = Mk, với K =∥φ∥Ck, L=∥Dφ−1∥. Chứng minh. Đặt Inv: Gl(n) → Gl(n) M 7→ Inv(M) =M−1.
Từ Dφ−1 =Inv◦Dφ◦φ−1, sử dụng Bổ đề 1.2.7, ta nhận được các bất phương trình
∥φ−1∥Cp = max(∥Dφ−1∥,∥Dφ−1∥Cp−1)≤E(∥φ−1∥Cp−1,∥Inv◦Dφ∥Cp−1, p−1),vớip≥2.
Trước hết, ta ước lượng ∥Inv◦Dφ∥Ck−1:
TừDpInv(M)(δM) = p!(−1)p(M−1δM)pM−1, ta nhận được∥DpInv(M)∥ ≤p!∥M−1∥p+1. Do vậy, sử dụng các ký hiệu K =∥φ∥Ck, L=∥Dφ−1∥, ta có ∥DpInv(Dφ(x))∥ ≤p!∥(Dφ(x))−1∥p+1 ≤p!Lp+1. Áp dụng Bổ đề 1.2.7, ta nhận được ∥Inv◦Dφ∥Ck−1 ≤E(K, max 1≤p≤k−1p!Lp+1, k−1) =M0. Đặt M1 =L, Mp =E(Mp−1, M0, p−1), p= 2,· · · , k. Từ ∥φ−1∥C1 =∥Dφ−1∥ ≤M1, áp dụng Bổ đề 1.2.7 và các bất phương trình trên, ta có ∥φ−1∥Ck ≤Mk=EI(K, L, k).
1.3 Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz
Phần này phát biểu một dạng định lượng cho định lý hàm ngược Lipschitz của F. H. Clarke (1976 - [C1]). Trước hết ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1 ([C1]). Cho f :Rn →Rn là K-Lipschitz trong lân cận điểm x0. Cho
δ >0, tồn tại r >0 thỏa mãn
∂f(x)⊂∂f(x0) +δBn×n,
với mọi x∈Bn r(x0).
Định lý 1.3.2. Cho f : Rn → Rn là ánh xạ K-Lipschitz trong lân cận x0. Giả sử rằng ∂f(x0) có hạng cực đại, và
δ = 1
2M0∈inf∂f(x0)
1
∥M0−1∥.
Chọn r sao cho f là K-Lipschitz trên Bn
r(x0)và ∂f(x) ⊂ ∂f(x0) +δBn×n, khi x ∈
Bn
r(x0). Khi đó f là khả nghịch trong Bn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
rδ
2K
(x0) và tồn tại duy nhất ánh xạ ngược
g :Bnrδ
2
(f(x0))→Rn
, g(f(x0)) =x0;
g là 1δ-Lipschitz.
Định lý được chứng minh tương tự [C1, Theorem 1] nhưng thay [C1, Lemma 3] bằng Bổ đề 1.3.5.
Ta có các kết quả sau với các giả thiết của Định lý 1.3.2 được thỏa mãn:
Mệnh đề 1.3.3 ([C1]). ∂f(x0) là tập con khác trống, lồi, compact của Mn×n.
Ta giả sử rằngh:Rn →Rlà một hàm lớp C1, hàm f là Lipschitz gần x.
Bổ đề 1.3.4 ([C1]).
Bổ đề 1.3.5. Với mọi vectơ đơn vị v trong Rn, tồn tại một vectơ đơn vịw trong Rn
sao cho nếu x∈x0+rBn và M ∈∂f(x) thì
⟨w, M v⟩ ≥δ. (1.1)
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.3.3 và ∂f(x0) có hạng cực đại, tập con ∂f(x0)Sn−1
của Rn là compact và không chứa 0. Lấy M0 ∈∂f(x0). Ta có
min
∥x∥=1∥M0x∥= 1
∥M0−1∥.
Do đó với δ đã cho, ta nhận được dist( 0, ∂f(x0)Sn−1) = 2δ. Đặt G=∂f(x0) +εBn×n. Khi đó nếu M ∈Gthì min ∥x∥=1∥M x∥ ≥ min ∥x∥=1∥M0x∥ −ε.
Do vậy nếu chọn ε=δ, ta nhận được
dist(0, GSn−1)≥δ.
Theo Bổ đề 1.3.1, tồn tại số dương r sao cho
Nếux∈x0+rBn thì ∂f(x)⊂G. (1.2) Như vậy, với mọi vectơ đơn vị v tùy ý đã cho, áp dụng kết quả trên, ta nhận được dist(0, Gv) ≥ δ. Áp dụng Định lý tách các tập lồi, tồn tại một vectơ đơn vị w sao cho
⟨w, γv⟩ ≥δ,
với mọi γ ∈G. Từ đó, áp dụng (1.2) ta nhận được (1.1).
Bổ đề 1.3.6. Nếu x và y thuộc x0+rBn thì
Chứng minh. Chứng minh tương tự [C1, Lemma 4] nhưng thay [C1, Lemma 3] bằng Bổ đề 1.3.5. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bổ đề 1.3.7. f(x0) + (rδ2)Bn⊂f(x0+rBn).
Chứng minh. Chứng minh tương tự [C1, Lemma 5] nhưng thay [C1, Lemma 3] bằng Bổ đề 1.3.5.
Chứng minh Định lý 1.3.2. Theo Bổ đề 1.3.7, ta đặt V =f(x0) + (rδ/2)Bn và định nghĩa g trên V như sau: g(v) là duy nhất x trong x0+rBn sao cho f(x) = v. Ta chọn U là một lân cận tùy ý của x0 thỏa mãn f(U) ⊂ V. Từ Bổ đề 1.3.6 ta nhận được g là Lipschitz với hằng số 1/δ, từ đó ta nhận được kết quả định lý.
Chú ý 1.3.8. Bộ (δ, r) của Định lý 1.3.2 chính là các ký hiệu thường được sử dụng sau đây.
Đặt Σ ={A∈Mn×n: detA = 0}. Khi đó bởi công thức Eckart-Young (xem [G-L]), ta có
1
∥M−1∥ =d(M,Σ), với mọiM thuộc Mn×n\Σ.
Do đó, δ= 1 2M0∈inf∂f(x0) 1 ∥M0−1∥ = 1 2d(∂f(x0),Σ).
Như vậy, δ chính là một phần hai khoảng cách từ Jacobi suy rộng của f tại x0 đến tập kỳ dị Σ. Chú ý rằng nếu δ′ ≤δ thì Định lý 1.3.2 vẫn đúng khi δ được thay thế bởi δ′.
Do tính nửa liên tục dưới của Jacobi suy rộng (xem [C2]), với mỗi δ > 0 tồn tại
r >0, sao cho
∂f(x)⊂∂f(x0) +δBn×n, khi x∈Bnr(x0).
Vậy đại lượng r phản ánh độ biến đổi của Jacobi suy rộng củaf trong một lân cận của x0. Nếu r′ ≤r thì Định lý 1.3.2 vẫn đúng khi r được thay bởi r′.
Hệ quả 1.3.9. Với các giả thiết và ký hiệu của Định lý 1.3.2, và thêm điều kiện f là ánh xạ lớp Ck, k≥2, ∥f∥Ck ≤K. Ta có thể chọn δ = 1 2∥Df(0)−1∥ và r = δ K.
Hơn nữa f−1 cũng thuộc lớp Ck, ∥Df−1∥ ≤ 1
δ và
∥f−1∥Ck ≤EI(K,1 δ, k).