Một số bài toán có tính định lượng trong giải tích vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT PHAN PHIẾN MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Đà Lạt - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT PHAN PHIẾN MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62.46.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Tạ Lê Lợi PGS TS Phạm Tiến Sơn Đà Lạt - 2012 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Đà Lạt hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Lê Lợi PGS TS Phạm Tiến Sơn đọc sửa chữa luận án Các kết báo [P1] [P2] danh mục công trình liên quan đến luận án, tác giả nghiên cứu hướng dẫn gợi ý PGS TS Tạ Lê Lợi Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Đà Lạt, tháng 10 năm 2012 Phan Phiến LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào Tạo Đại học Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán Tin học, Trưởng ngành Toán Giải tích, Lãnh đạo Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang, Khoa Tự Nhiên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình làm nghiên cứu sinh Đại học Đà Lạt từ tháng 11 năm 2007 Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Tạ Lê Lợi tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phạm Tiến Sơn đọc sửa chữa luận án Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp chia sẻ, động viên tác giả khóa học Đà Lạt, tháng 10 năm 2012 Phan Phiến Mục lục LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH TÓM TẮT MỞ ĐẦU 11 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐỊNH LƯỢNG VỀ ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC, HÀM ẨN 17 1.1 Giới thiệu 17 1.2 Kiến thức sở 19 1.2.1 Ký hiệu 19 1.2.2 Jacobi suy rộng 20 1.2.3 Không gian ánh xạ Lipschitz 21 1.2.4 Chặn cho C k -chuẩn ánh xạ hợp ánh xạ nghịch đảo 22 1.3 Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz 24 1.4 Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz 27 1.5 Tính mở lớp ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke 33 1.6 Định lý hạng định lượng 37 ĐỊNH LÝ SARD VÀ ĐỊNH LÝ MORSE ĐỊNH LƯỢNG 41 2.1 Giới thiệu 41 2.2 Các khái niệm, định nghĩa 43 2.2.1 Giá trị kỳ dị ánh xạ tuyến tính 43 2.2.2 Điểm tới hạn γ-tới hạn 44 2.2.3 Entropy 44 2.3 Dạng định lượng bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng 45 2.4 Bổ đề tách định lượng 47 2.5 Định lý Sard định lượng 53 2.6 Định lý Morse định lượng 54 CHẶN TRÊN CHO CÁC SỐ BETTI CỦA TẬP NỬA ĐẠI SỐ 60 3.1 Giới thiệu 60 3.2 Các khái niệm số kết 62 3.3 3.2.1 Trường thực đóng 63 3.2.2 Tập nửa đại số 63 3.2.3 Tương đương đồng luân nửa đại số 66 3.2.4 Số Betti tập nửa đại số 67 3.2.5 Một số kết topo đại số 68 Chặn cho số Betti tập nửa đại số sở 69 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN 75 4.1 Giới thiệu 75 4.2 Kiến thức sở 78 4.2.1 Cấu trúc o-tối tiểu 78 4.2.2 Phân hoạch tế bào 79 4.2.3 Một số tính chất cấu trúc o-tối tiểu 4.2.4 Phân tầng định nghĩa 83 4.2.5 Tầm thường hóa định nghĩa 84 4.2.6 Tập nửa-Pfaff 85 4.2.7 Độ đo tích phân hình học 87 81 4.3 Độ đo Hausdorff tập định nghĩa 90 4.4 Chặn cho độ đo Hausdorff thớ định nghĩa 94 KẾT LUẬN 102 CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO 105 DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Trang Mm×n không gian ma trận thực cấp m × n 19 Bn cầu đơn vị mở Rn 19 Bnr cầu mở bán kính r, tâm ∈ Rn 19 Bnr (x0 ) cầu mở bán kính r, tâm x0 ∈ Rn 19 Sn−1 mặt cầu đơn vị Rn 19 Bm×n cầu đơn vị Mm×n 19 ∥x∥ chuẩn vector x ∈ Rn 19 ∥A∥ chuẩn ma trận A 19 ∥A∥F chuẩn Frobenius ma trận A 19 ∥f ∥C k C k -chuẩn f 20 ∂f (x0 ) Jacobi suy rộng f x0 20 Jf (xi ) ma trận Jacobi f xi 21 ∂p×p f (x0 ) Jacobi suy rộng cấp p × p f x0 21 L(f ) hệ số Lipschitz f 21 Lip(Rm , Rn ) không gian ánh xạ Lipschitz 21 Lipx0 (Rm , Rn ) không gian ánh xạ Lipschitz thỏa f (x0 ) = 22 Inv Phép nghịch đảo ma trận 23 dist (x, A) Khoảng cách từ x đến tập A 25 ∂1 F (x0 , y0 ) Jacobi suy rộng F (·, y0 ) : U → Rn 27 ∂2 F (x0 , y0 ) Jacobi suy rộng F (x0 , ·) : U → Rn 27 σi (L) giá trị kỳ dị thứ i ánh xạ tuyến tính L 43 σmax (A) giá trị kỳ dị lớn A 43 σmin (A) giá trị kỳ dị nhỏ A 43 Σ(f, Λ) tập điểm Λ-tới hạn f 44 Ký hiệu Trang A bao đóng tập A 44 ∆(f, Λ) tập giá trị Λ-tới hạn f 44 Σ(f, Λ, A) tập điểm Λ-tới hạn f chứa A 44 ∆(f, Λ, A) tập f (Σ(f, Λ, A)) 44 M (ε, A) số cầu bán kính ε phủ A 44 Sym(n) không gian ma trận đối xứng cấp n 45 ∆(n) không gian ma trận tam giác cấp n 45 Rk (f ) hệ số Taylor 53 Ph đa thức hóa P 62 Z(P, S) tập không điểm P S 63 R⟨ε⟩ trường thực đóng chuỗi Puiseux 63 D(A) lược đồ tập nửa đại số A 65 f g đồng luân nửa đại số 66 f ∼sa g k Ext(S, R⟨ε⟩ ) Hp , H p mở rộng S vào R⟨ε⟩ k 66 nhóm đồng điều đối đồng điều thứ p 67 bp (S) số Betti thứ p S 68 b(S) tổng số Betti S 68 Hi (A) H i (A) nhóm đồng điều đối đồng điều rút gọn A 68 Γ(f ) đồ thị f 79 (f, g) dải băng f g 79 dim A chiều tập A 80 int(A) phần tập A 81 Ax thớ tập A 83 length(g) chiều dài đường cong g 82 F (A) format tập nửa-Pfaff A 86 O(m, n) tập ánh xạ trực giao từ Rm vào Rn 87 O(m) tập ánh xạ trực giao từ Rm vào Rm 87 O∗ (m, n) tập phép chiếu trực giao từ Rm vào Rn 87 Hα (A) độ đo Hausdorff chiều α tập A 88 #(A) lực lượng tập A 89 Γ(s) hàm Gamma 89 Volk (Bk ) Thể tích k−chiều cầu đơn vị Rk 93 DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH Trang Hình 2.1 Entropy 45 Hình 3.1 Chiếu tập nửa đại số 64 Hình 3.2 Các tập không nửa đại số 64 Hình 3.3 Tương đương đồng luân 66 Hình 3.4 Mặt trụ Bk1/ε × R giao với mặt cầu Sk2/ε 70 Hình 4.1 Các đối tượng giao với đường thẳng tổng quát 75 Hình 4.2 Đường dao động, đường xoắn ốc Fractal 76 Hình 4.3 Ước lượng độ dài đường cong mặt phẳng 76 Hình 4.4 Ước lượng độ dài đường cong mặt phẳng 77 Hình 4.5 Tế bào Rn+1 80 Hình 4.6 Phân tầng định nghĩa 84 96 Nếu f nửa đại số nửa-Pfaff, khẳng định cuối nhận từ Nhận xét 4.4.1 Hệ 4.4.3 Cho f : A → Rn ánh xạ liên tục định nghĩa được, A ⊂ Rm Khi với k ∈ {0, , dim A} với cầu Bm r có bán kính r Rm , k k Hk (f −1 (y) ∩ Bm r ) ≤ c(m, k)B0,m−k (f )Vol k (B )r , với y ∈ Ik (f ) Đặc biệt, f ánh xạ nửa đại số nửa-Pfaff, k Hk (f −1 (y) ∩ Bm r ) ≤ Ck r , với y ∈ Ik (f ), số Ck phụ thuộc vào lược đồ format f Ví dụ 4.4.4 Cho α1 , , αq ∈ Nm Xét họ mặt đại số góc phần tư dương xác định ‘fewnomials’ bao gồm đơn thức xαi , i = 1, , q: A = {(x, a) : x = (x1 , , xm ) ∈ Rm , a = (a1 , , aq ) ∈ Rq , x1 > 0, , xm > 0, q ∑ xαi = 0} i=1 Giả sử f phép chiếu (x, a) → a Aa = A ∩ f −1 (a) Khi k = m − 1, dim Aa ≤ m − 1, từ Hệ 4.4.3 ta có ước lượng sau: Ước lượng Từ Aa tập nửa đại số có lược đồ (m, 1, m + 1, (1, , 1, d)), với d = maxi |αi |, sử dụng chặn Oleinik-Petrovskii-Thom-Milnor (xem [O-P], [Th], [M]), ta nhận m−1 m−1 Hm−1 (Aa ∩ Bm )r , r ) ≤ c(m, m − 1)B0 (D(Aa ))Volm−1 (B B0 (D(Aa )) ≤ 21 (m + d)(m + d − 1)m−1 Ước lượng Sử dụng chặn Khovanskii [K, Ch.III Corollary 5], ta nhận m−1 m−1 )r , Hm−1 (Aa ∩ Bm r ) ≤ c(m, m − 1)B0 (f )Volm−1 (B B0 (f ) ≤ q(q−1) (2m)m−1 (2m2 − m + 1)q 97 Họ (Cp )p∈P gọi họ định nghĩa đường cong định nghĩa B ⊂ Rn tồn ánh xạ định nghĩa γ : P × [0, 1] → B, cho với p ∈ P , ánh xạ γp : [0, 1] → B, t → γ(p, t), liên tục, đơn ánh Cp = γp ([0, 1]) Định lý 4.4.5 Cho f : A → Rn ánh xạ liên tục định nghĩa được, A ⊂ Rm tập compact, k ∈ {0, , dim A} Khi với tập compact định nghĩa B Ik (f ) họ định nghĩa đường cong định nghĩa (Cp )p∈P Rn , tồn φ ∈ Φ1 cho Hk+1 (f −1 (Cp ∩ B)) ≤ φ−1 (H1 (Cp )), với p ∈ P Đặc biệt, f nửa đại số, (Cp )p∈P họ nửa đại số đường cong nửa đại số, tồn C, α > Hk+1 (f −1 (Cp ∩ B)) ≤ C(H1 (Cp ))α , với p ∈ P Trước hết ta có bổ đề sau Bổ đề 4.4.6 Cho h : B → Rm ánh xạ liên tục định nghĩa B tập compact Rn Khi tồn ψ ∈ Φ1 H1 (h(Cp ∩ B)) ≤ ψ −1 (H1 (Cp )), với p ∈ P Chứng minh Áp dụng Bổ đề 4.2.14 Mệnh đề 4.2.15 tính chất chặn với họ ({t ∈ [0, 1] : ∃i, hi ◦ γp không đơn điệu lân cận t})p∈P , h = (h1 , , hm ), ta có ψ1 ∈ Φ1 H1 (h(Cp )) ≤ ψ1−1 (H1 (Cp )), với p ∈ P Với họ đường cong định nghĩa Rn , số thành phần liên thông Cp ∩ B bị chặn M , với p ∈ P Do vậy, ký hiệu thành phần liên thông Cp ∩ B Cp,i áp dụng trường hợp trên, ta nhận ∑ ∑ −1 H1 (h(Cp ∩ B)) ≤ i H (h(Cp,i )) ≤ i ψ1 (H (Cp,i )) ≤ M ψ1−1 (H1 (Cp )) ≤ ψ −1 (H1 (Cp )), với p ∈ P, ψ ∈ Φ1 , ψ(t) = ψ1 (t/M ) 98 Chứng minh Định lý 4.4.5 Chứng minh định lý dựa theo [H, Theorem 5] Với k = 0: Từ B compact thớ f B hữu hạn, áp dụng phép tầm thường hóa định nghĩa (Định nghĩa 4.2.21, Định lý 4.2.22), f −1 (B) = ∪Jj=1 Aj , Aj tập compact định nghĩa được, f |Aj đơn ánh Với j ∈ {1, , J}, áp dụng Bổ đề 4.4.6 với (f |Aj )−1 , ta nhận ψj ∈ Φ1 , cho H1 ((f |Aj )−1 (Cp ∩ B)) ≤ ψj−1 (H1 (Cp )), với p ∈ P Cho nên H1 (f −1 (Cp ∩ B)) ≤ ∑ −1 φ−1 j (H (Cp )) ≤ φ (H (Cp )), với p ∈ P, j φ ∈ Φ với φ −1 ≥ J ∑ φ−1 j j=1 m Với k ≥ 1: ký hiệu Gk (R ) Grassman không gian tuyến tính k-chiều Rm Định nghĩa dist(L, L′ ) = sup{d(x, L′ ) : x ∈ L, ∥x∥ = 1}, với L ∈ Gk (Rm ), L′ ∈ Gl (Rm ) Cho π : Rm → Rk phép chiếu tắc Chọn tập hữu hạn I O(m) δ > 0, cho với L ∈ Gk (Rm ), tồn g ∈ I dist(L, (π ◦ g)−1 (0)) > δ Áp dụng kết phân tầng định nghĩa được, Định nghĩa 4.2.17, 4.2.18 Định lý 4.2.20, ta chọn phép phân tầng S A thỏa mãn điều kiện Whitney (a), cho với S ∈ S, rankf |S số f (S) ⊂ Ik (f ) f (S) ∩ Ik (f ) = ∅ Đặt J = {S ∈ S : dim S − rankf |S = k} Ta làm mịn phân tầng cho với g ∈ I T ∈ J , hàm định nghĩa d(T, g)(x) = dist(Tx T ∩ f −1 (f (x)), (π ◦ g)−1 (0)) − δ có dấu không đổi T Với S ∈ S\J ta có dim(S ∩ f −1 (y)) ≤ k − với y ∈ Ik (f ), vậy, 99 Hk+1 (f −1 (Cp ∩ Ik (f ))\ ∪T ∈J T ) = p ∈ P Với T ∈ J , tồn gT ∈ I cho d(T, gT ) dương T Do đó, theo điều kiện Whitney (a), dim(f −1 (y) ∩ (π ◦ gT )−1 (w) ∩ cl(T )) ≤ 0, với y ∈ Ik (f ), w ∈ Rk Với g ∈ I, đặt Ag = ∪{cl(T ) : T ∈ J , gT = g} Sử dụng công thức co-area áp dụng trường hợp k = với A := Ag , f := (f, π ◦ g)|Ag , ((Cp × w))(p,w)∈P ×Rk cho họ đường cong, ta nhận Hk+1 (f −1 (Cp ∩ B)) ≤ ∑ ( ) Hk+1 g(Ag ∩ f −1 (Cp ∩ B)) g∈I = ∑∫ g∈I = dHk+1 g(Ag ∩f −1 (Cp ∩B)) ∑∫ ( ) H1 g(Ag ∩ f −1 (Cp ∩ B)) ∩ π −1 (w) dw g∈I = ∑∫ ( ) H1 (Ag ∩ f −1 (Cp ∩ B)) ∩ g −1 (π −1 (w)) dw g∈I = ∑∫ ( ) H1 Ag ∩ (f, π ◦ g)−1 [(Cp × w) ∩ (B × π(g(A)))] dw g∈I ≤ ∑∫ g∈I ≤ ∑ 1π◦g(A) φ−1 (H1 (Cp ))dw ( ) Hk (π ◦ g(A)) φ−1 H1 (Cp ) g∈I ( ) ≤ φ¯−1 H1 (Cp ) , với p ∈ P, φ¯ ∈ Φ1 có dạng φ(t) ¯ = φ(t/K) Nếu f ánh xạ nửa đại số, áp dụng bất đẳng thức Lojasiewicz, φ có dạng φ−1 (y) = C∥y∥α Ví dụ 4.4.7 a) Áp dụng Định lý 4.4.5 với họ đoạn thẳng, ta nhận φ ∈ Φ1 , cho ( ) Hk+1 f −1 ([y, z]) ∩ B ≤ φ−1 (∥y − z∥), y, z ∈ Rn Đặc biệt, f ánh xạ nửa đại số nửa-Pfaff, tồn C, α > ( ) Hk+1 f −1 ([y, z]) ∩ B ≤ C∥y − z∥α 100 b) Tổng quát, với trường hợp nửa đại số, chọn C phụ thuộc vào lược đồ f , α = ước lượng Định lý 4.4.5, chẳng hạn, cho trường hợp √ n fk (x) = kxn với n ≥ 2, k > 0, H1 (fk−1 ([0, y])) = √ y, với y > n k c) Cho f (x) = e− |x| Khi f định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu Rexp , 1 ] Từ α → ∞, y → 0, không tồn C > và f −1 ([0, y]) = [0, − ln |y| y ln |y| α > H1 (f −1 ([0, y])) ≤ C|y|α với y ∈ [0, 1] Từ kết trên, ta nhận định lý Morse-Sard cấu trúc o-tối tiểu sau Định lý 4.4.8 Cho f : A → Rn ánh xạ định nghĩa Giả sử A = ∪i∈I Ci hợp hữu hạn đa tạp định nghĩa Ci thuộc lớp C , cho ánh xạ hạn chế f |Ci thuộc lớp C Với s ∈ N i ∈ I, đặt Σs (f, Ci ) = {x ∈ Ci : rank df |Ci (x) < s} Σs (f, A) = ∪ Σs (f, Ci ) i∈I Khi Cs (f, A) = f (Σs (f, A)) tập định nghĩa có chiều < s Đặc biệt, Hs (Cs (f, A)) = Chứng minh (c.f [L3, Theorem 1]) Ta có Σs (f, Ci ) định nghĩa được, nên ∪ i∈I Σs (f, Ci ) định nghĩa Do vậy, áp dụng Bổ đề 4.2.10 ta nhận Cs (f, A) = f (Σs (f, A)) định nghĩa Giả sử dim Cs (f, A) ≥ s Theo Định lý 4.2.16, tồn tập định nghĩa U Cs (f, A) ánh xạ định nghĩa lớp C s : U → Σs (f, A) cho f ◦ s = idU Như rankdf (s(y))ds(y) ≥ s, với y ∈ U Do rankdf (x) ≥ s, với x ∈ s(U ) Điều mâu thuẫn với giả thiết Định lý Vậy dim Cs (f, A) < s, 101 Hs (Cs (f, A)) = Nhận xét 4.4.9 Một tập thuộc phạm trù hình học giải tích C gọi C−tập, có tính chất hữu hạn thành phần liên thông địa phương Hơn hữa, theo [D-M, S.3], phạm trù hình học giải tích tương ứng với cấu trúc o-tối tiểu trường số thực với hàm giải tích hạn chế Ran := (R, +, ·, (f )): từ phạm trù hình học giải tích C, ta nhận cấu trúc o-tối tiểu D = D(C) Ran định nghĩa Dn = D(C)n := {X ⊆ Rn : X ∈ C(Pn (R))}, ta đồng đa tạp giải tích Rn với tập mở không gian xạ ảnh Pn (R) phép nhúng (y1 , , yn ) → (1 : y1 : · · · : yn ) : Rn → Pn (R) Do vậy, kết chương cho tập (xem định nghĩa [D-M], [S], [T]) với biến đổi từ toàn cục đến địa phương Bằng việc áp dụng Định lý 4.3.3 4.4.2, nhận ước lượng tường minh cho trường hợp sub-Pfaff (xem [G-V-Z]) Kết luận Chương Các kết chương bao gồm: - Chặn cho số Betti thớ định nghĩa (Mệnh đề 4.3.1) - Chặn cho độ đo Hausdorff tập định nghĩa (Định lý 4.3.3) - Chặn cho độ đo Hausdorff thớ định nghĩa (Định lý 4.4.2) - Chặn cho độ đo Hausdorff nghịch ảnh qua ánh xạ định nghĩa họ đường cong định nghĩa (Định lý 4.4.5) 102 KẾT LUẬN Trong luận án tác giả đưa số kết đánh giá định lượng theo hai hướng: - Nghiên cứu đánh giá định lượng theo hướng Giải tích số: đưa kết định lượng định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn, định lý hạng hằng, bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng, bổ đề tách, định lý Morse - Nghiên cứu đánh giá định lượng dựa Độ phức tạp topo: đưa kết định lượng số Betti đánh giá chặn cho độ đo Hausdorff đối tượng Các kết luận án bao gồm: Dựa kết F H Clarke định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz, tác giả chứng minh định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipchitz (Định lý 1.3.2), định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.4.2) Các kết nhận từ định lý hàm ngược định lý hàm ẩn Lipschitz định lượng Với f0 ánh xạ Lipschtz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke, nhiễu f0 ánh xạ Lipschitz h có số Lipschitz thích hợp ánh xạ thu f = f0 + h thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke (Định lý 1.5.1) Hơn nữa, áp dụng định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz, ta chứng minh định lý hạng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1), dạng định lượng định lý hạng cho ánh xạ lớp C k trường hợp riêng (Hệ 1.6.2) 103 Áp dụng kết Lý thuyết kỳ dị, Đại số tuyến tính Giải tích số, tác giả chứng minh bổ đề tách định lượng (Bổ đề 2.4.1), bổ đề chứng minh dựa sở chứng minh dạng định lượng bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng (Bổ đề 2.3.1) áp dụng định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn Lipschitz định lượng Khi Bổ đề Morse định lượng (Hệ 2.4.2) trường hợp riêng Bổ đề tách định lượng Từ kết trên, áp dụng định lý Sard định lượng định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz, tác giả đưa chứng minh chi tiết cho định lý Morse định lượng phát biểu Y Yomdin (Định lý 2.6.1) Áp dụng số kết kỹ thuật chứng minh Hình học đại số thực Topo đại số, tác giả đưa đánh giá chặn cho số Betti tập nửa đại số sở (Định lý 3.3.1) chặn cho tổng số Betti (Hệ 3.3.2) Các đối tượng cấu trúc o-tối tiểu có tính chất hữu hạn thành phần liên thông, áp dụng phương pháp tích phân hình học cho phép ta ước lượng độ đo Hausdorff tập thông qua số thành phần liên thông giao tập với không gian affin tổng quát có chiều thích hợp Từ việc đưa chặn cho số Betti thớ định nghĩa (Mệnh đề 4.3.1), tác giả chứng minh đánh giá độ đo Hausdorff: Chặn cho độ đo Hausdorff tập định nghĩa (Định lý 4.3.3); Chặn cho độ đo Hausdorff thớ định nghĩa (Định lý 4.4.2) chặn cho độ đo Hausdorff nghịch ảnh qua ánh xạ định nghĩa họ đường cong định nghĩa (Định lý 4.4.5) Ngoài ra, số ví dụ tường minh đưa chương 1, Nội dung luận án tiếp tục nghiên cứu ứng dụng kết đạt dạng định lượng định lý: Định lý hàm ngược cho ánh xạ giải tích; Định lý chuẩn bị Weierstrass; Kỳ dị Thom-Boardman 104 CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [L-P1] Ta Le Loi and Phan Phien (2009), “Bound of Hausdorff measures of tame sets” Proceedings of the International Conference on Topology, Geometry, Algebra & Arithmetics December 22-24, 2008 Unviersity of Dalat, Dalat, Vietnam, pp 156-169 (Submitted to Discrete & Computational Geometry) [P1] Phan Phien (2011), “Betti numbers and Hausdorff measures of basic semialgebraic sets”, Journal of Science University of Dalat, Volume 1, pp 13-22 (Vietnamese) [P2] Phan Phien (2011), “Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems”, East-West Journal of Mathematics, Vol 13, No 1, pp 7-22 [L-P2] Ta Le Loi and Phan Phien (2012), “The Quantitative Morse Theorem”, International Journal of Mathematical Analysis, Vol 6, No 10, pp 481-491 [L-P3] Ta Le Loi and Phan Phien (2012), “A Numerical approach to some basic theorems in Singularity theory” (Submitted to Mathematische Nachrichten) 105 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [L] T L Loi (2007), Hình học đại số thực, Giáo trình cao học - Đại học Đà Lạt Tiếng Anh [A-M-R] R Abraham, J E Marsden, T Ratiu (2001), Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Spriger [B-L] Th Br¨ocker and L Lander (1976), Differentiable Germs and Catastrophes, Cambridge University Press [B-R] R Benedetti and J J Risler (1990), Real algebraic and semi-algebraic sets Actualités Mathématiques [Current Mathematical Topics] Hermann, Paris [Ba1] S Basu (1999), “On bounding the Betti numbers and computing the Euler characterstic of semi-algebraic sets”, Discrete and Computational Geometry, Vol 22, pp 1-18 [Ba2] S Basu (2003), “Different Bounds on the Different Betti Numbers of SemiAlgebraic Sets”, Discrete and Computational Geometry, Vol 30, No 1, pp 64-85 [Ba-K] S Basu and M Kettner (2008), “A sharper estimate on the Betti number of sets defined by quadratic inequalities”, Discrete and Computational Geometry, Vol 39, No 4, pp 734-746 [Ba-P-R] S Basu, R Pollack, M-F Roy (2003), Algorithms in real algebraic geometry, Spinger-Verlag 106 [Ba-P-R2] S Basu, R Pollack, and M-F Roy (2009), “An asymtotically tight bound on the number of semi-algebraically connected components of realzable sign conditions”, available at arXiv: math/0603256v3, 24 pages [B-C-R] J Bochnak, M Coste, M F Roy (1998), Real algebraic geometry, SpingerVerlag [B-L-R] R Benedetti, F Loeser, J J Risler (1991), “Bounding the number of connected components of a real algebraic set”, Discrete and Computational Geometry, Vol 6, pp 191-209 [C] F H Croom (1978), Basic Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag [C-H] D P L Castrigiano and S A Hayes (1993), Catastrophe Theory, AddisonWesley Publishing Company [Co] M Coste (2000), An Introduction to O-minimal Geometry, Dottorato di Ricerca in Matematica, Dip Mat Pisa Instituti Editoriali e Poligrafici Internazionali [C1] F H Clarke (1976), “On the inverse function theorem”, Pacific Journal of Mathematics, Vol 64, No 1, pp 97-102 [C2] F H Clarke (1975), “Generalized gradients and applications”, Trans Amer Math Soc., Vol 205, pp 247-262 [C-L-S-W] F H Clarke, Yu S Ledyaev, R J Stern and P R Wolenski (1998), Nonsmooth Analysis and Control Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York [D1] L.van den Dries (1997), Tame Topology and O-minimal Structures, LMS Lecture Notes, Cambridge University Press [D2] L van den Dries (2005), “Limit sets O-minimal structures”, Proceedings of the RAAG summer school, Lisbon 2003: O-minimal structures, pp 172-215 107 [D-M] L van den Dries and C Miller (1996), “Geometric Categories and O-minimal Structures”, Duke Math J Vol 84, No 2, pp 497-540 [D-K] D D’Acunto and K Kurdyka (2006), “Bounds for gradient trajectories and geodesic diameter of real algebraic sets”, Bull London Math Soc., Vol 38, No 6, pp 951-965 [D’Ac-Kur] D D’Acunto and K Kurdyka (2003), “Bound for gradients trajectories of definable functions with applications to robotics and semialgebraic geometry” (Preprint) [E] H Edelsbnenner (2006), “Computational Topology - Section IV.2 Homology”, http://www.cs.duke.edu/course/fall06/cps296.1, pp 81-87 [F] H Federer (1969), Geometric measures theory, Springer-Verlag [F-K-P] T Fukui, K Kurdyka, and L Paunescu (2010), “Tame Nonsmooth Inverse Mapping Theorems”, SIAM Journal On Optimization Vol 20, ISSUE 3, pp 1573-1590 [F-R] A Fornasiero and E Vasquez Rifo (2010), “Hausdorff measure on O-minimal structures”, arXiv: 1011.1629v1, 22 pages [Go] M S Gowda (2004), “Inverse and Implicit Function Theorems for HDifferentiable and Semismooth Functions”, Optimization Methods and Software, Vol 19, pp 443-461 [Gu-J] O Gutú and J A Jaramillo (2007), “Global homeomorphisms and covering projections on metric spaces”, Math Ann., Vol 338, pp 75-95 [G-L] G H Golub and C F van Loan (1983), Matrix computations, Johns Hopkins Univ [G-V] A Gabrielov and N Vorbjov (1997), “Betti numbers of semi-algebraic sets defined by quantifier-free formulae”, Discrete and Computational Geometry, Vol 33, pp 395-401 108 [G-V-Z] A Gabrielov, N Vorobjov and T Zell (2004), “Betti numbers of semialgebraic sub-Pfaffian sets”, J London Math Soc., Vol 69, No 2, pp 27-43 [H] R M Hardt (1983), “Some analytic bounds for subanalytic sets”, Differential geometric control theory (Houghton, Mich 1982), pp 259-267, Progr Math 27, Birkhauser Boston, Boston, Mass [Ha] J Hadamard (1906), ”Sur les transformations ponctuelles”, Bull Soc Math Fr., Vol 34, pp 71-84 [Hat] A Hatcher (2002), Algebraic topology, Cambridge University Press [He] P Henrici (1988), Applied and Computational Complex Analysis, Vol 1, Wiley, New York [Hir] M W Hirsch (1976), Differential Topology, Springer-Verlag, New York - Heidelberg - Berlin [K] A G Khovanski (1991), Fewnomials, Translations of mathematical monographs 88, AMS, Providence, RI [K-O-S] K Kurdyka, P Orro and S Simon (2000), “Semialgebraic Sard Theorem For Generalized Critical Values”, J Differential Geometry, Vol 56, pp 67-92 [L1] T L Loi (2003), “Tame topology and Tarski-type systems”, Vietnam J Math 31:2, pp 127-136 [L2] T L Loi (2002), “Stratification of families of functions definable in o-minimal structures”, Acta Math Vietnam, Vol 27, No 2, pp 239-244 [L3] T L Loi (2008), “Transversality theorem in o-minimal structures”, Compositio Math, Vol 144, pp 1227-1234 [M] J Milnor (1964), “On the Betti numbers of real varieties”, Proc Amer Math Soc., Vol 15, pp 275-280 [Morse] M Morse (1931), “The critical points of a function of n variables”, Trans Amer Math Soc., Vol 33, No 1, pp 71-91 109 [N] L Niederman (2007), “Prevalence of exponential stability among nearly intergrable Hamiltonian systems”, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Cambridge Univ Press, 25 pages [O-P] O A Oleinik and I G Petrovskii (1949), “On the topology of real algebraic hypersurfaces”, Izv Acad Nauk SSSR, Vol 13, pp 389-402 [PA] M Papi (2005), “On the domain of the implicit function and applications”, Journal of Inequalities and Applications, Vol 3, pp 221-234 [R] P J Rabier (1997), “Ehresmann fibrations and Palais-Smale conditions for morphisms of Finsler manifors”, Annals of Mathematics, Vol 146, pp 647-691 [Roh] A Rohde (1997), “On Sard’s theorem for nonsmooth functions”, Numer Funct Anal Optim., Vol 18, No 9-10, pp 1023-1039 [S] M Shiota (1997), Geometry of Subanalytic and Semialgebraic Sets, Progress in Math., Vol 150, Birkh¨auser, Boston [Sa] A Sard (1942), “The measure of the critical values of differentiable maps”, Bull Amer Math Soc 48, pp 883-890 [SL] S Lang (1996), Analysis II, Columbia University [T] B Tessier (1997), “Tame and stratified objects”, Geometric Galois Actions, Around Grothendieck’s esquisse d’un programme London Math Soc Lecture Note Series 242, pp 231-242 [Th] R Thom (1965), “Sur l’homologie des variétés algébriques réelles”, Differential and combinatorial topology, Princeton Univ Press, Princeton, pp 255-265 [V] V A Vassiliev (2001), Introduction to Topology, American Mathematical Society (AMS) [W] A J Wilkie (1999), “A Theorem of The Complement and Some New O-minimal Structures”, Sel Math , New ser 51, pp 397-421 110 [We] N Weaver (1999), Lipschitz Algebras, Uto-Print Singapore [Wh] H Whitney (1935), “A Function not Constant on Connected Set of Critical Points”, Duke Math J., Vol 1, pp 514-517 [Y1] Y Yomdin (2005), “Some quantitative results in singularity theory”, Anales Polonici Mathematici, Vol 37, pp 277-299 [Y2] Y Yomdin (1987), “Metric properties of semialgebraic sets and mappings and their applications in smooth analysis”, (Proceedings of the Second International Conference on Algebraic Geometry, La Rabida, Spain, 1984, J.M Aroca, T Sahcez-Geralda, J.L Vicente, eds.), Travaux en Course, Hermann, Paris, pp 165-183 [Y3] Y Yomdin (1983), “The Geometry of Critical and Near-Critical Values of Differentiable Mappings”, Math Ann., Vol 264, pp 495-515 [Y4] Y Yomdin (1990), “Sard’s Theorem and Its Improved Versions in Numerical Analysis”, Lectures in Applied Mathematics, Vol 26, pp 701-706 [Y-C] Y Yomdin and G Comte (2004), Tame geometry with application in smooth analysis, LNM, Vol 1834 [Z] T Zell (2003), Quantitative study of semi-Pfaffian sets, PhD thesis, School of Mathematics, Georgia Institue of Technology [...]... TẮT Trong luận án này, tác giả đưa ra một số kết quả về đánh giá định lượng trong giải tích vi phân Luận án có 4 chương Nội dung của hai chương đầu bao gồm các kết quả về đánh giá định lượng dựa trên các kỹ thuật tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính Nội dung của hai chương sau được nghiên cứu dựa trên các kỹ thuật về đánh giá Độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực... tượng trong các kết quả đó Vi c đánh giá định lượng cho các định lý hàm ngược, hàm ẩn là cần thiết cho toán học Các kết quả nghiên cứu về định lượng nếu đạt được, có thể có nhiều áp dụng trong một số lĩnh vực khác nhau như: Lý thuyết số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán, Một số kết quả định tính khác trong Giải tích vi phân như Định lý hạng hằng, Định lý chuẩn bị, Định lý... pháp tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính - Nghiên cứu các đánh giá định lượng dựa trên Độ phức tạp topo: đưa ra các kết quả định lượng về số Betti và các đánh giá chặn trên cho độ đo Hausdorff của các đối tượng thuần Các kết quả được nghiên cứu dựa trên các phương pháp về đánh giá độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực và Topo đại 12 số, các tính toán trong Đại số. .. thực và Topo đại số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và Tích phân hình học Nội dung chính của Chương 1 bao gồm: Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2); Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.4.2); Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke (Định lý 1.5.1); Định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1)... chưa có các nghiên cứu về đánh giá định lượng Với những lý do trên, trong chương này, tác giả đưa ra một số kết quả định lượng về định lý hàm ngược, hàm ẩn Dạng định lượng của định lý hàm ngược Lipschitz Clarke (Định lý 1.3.2) được trình bày trong phần 1.3, kết quả đưa ra đánh giá định lượng cho các lân cận U , V và hệ số Lipschitz L(g) phụ thuộc vào ∂f (x0 ) Định lý hàm ẩn Lipschiz định lượng (Định. .. Đại số tuyến tính và Giải tích số, bổ đề tách định lượng (Bổ đề 2.4.1) được chứng minh dựa trên cơ sở chứng minh dạng định lượng của bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng (Bổ đề 2.3.1) Khi đó Bổ đề Morse định lượng là trường hợp riêng của Bổ đề tách định lượng (Hệ quả 2.4.2) Từ các kết quả trên, áp dụng định lý Sard định lượng và định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz, tác giả đưa ra một chứng... xạ định nghĩa được của một họ các đường cong định nghĩa được (Định lý 4.4.5) 11 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài: Bài toán nghiên cứu đánh giá định lượng cho các kết quả định tính đã có, hoặc đưa ra các kết quả định lượng mới, đã được quan tâm nhiều bởi các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau như: Lý thuyết số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán, Các kết quả trong Giải tích. .. quả trong Giải tích vi phân được ứng dụng nhiều phải kể đến đó là: định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn, định lý Sard, định lý Morse, định lý hoành Có thể nói sự thiếu vắng những định lý đó ở dạng định lượng thực sự cản trở vi c xây dựng các kết quả về định lượng và ứng dụng trong Lý thuyết kỳ dị Hơn nữa, các định lý trên còn là cơ sở cho các kết quả hình học trong lĩnh vực Hình học đại số thực Mục đích... sau Chương 1 Một số kết quả định lượng về định lý hàm ngược, hàm ẩn” nghiên cứu các kết quả định lượng về định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn cho ánh xạ Lipschitz, định lý hạng hằng Dạng định lượng của định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2) được chứng minh dựa trên kết quả của F H Clarke về định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz, từ đó ta chứng minh định lý hàm ẩn định lượng cho ánh... cuối chương, định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1) được chứng minh dựa trên định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz và dạng định lượng, khi đó định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ lớp C k là một trường hợp riêng (Hệ quả 1.6.2) Chương 2 Định lý Sard và định lý Morse định lượng nghiên cứu các kết quả định lượng về bổ đề Morse, định lý Sard và định lý Morse Áp dụng các kết