Một số bài toán về đa giác và đa diện đều

Trong Hình học cổ điển, đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằngnhau và các góc ở đỉnh bằng nhau.. Chú ý bài báo cuối tìm hiểu về dựng đa giác đều 17 cạnhnội tiếp đường tròn được n

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐẶNG TÀI TUỆ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC

VÀ ĐA DIỆN ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐẶNG TÀI TUỆ

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC

VÀ ĐA DIỆN ĐỀU

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Đa giác đều và đa diện đều 4

1.1 Một số yếu tố và bài toán cơ bản trong đa giác đều 4

1.2 Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compas 12

1.3 Đa diện đều và phân loại đa diện 26

Chương 2 Một số đa giác và đa diện đều đặc biệt 37

2.1 Ngũ giác đều 37

2.2 Yếu tố cơ bản của các khối Platon 44

Kết luận 56

Tài liệu tham khảo 56

Mở đầu

Hình học (geometry) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp cổ geo- "đất", -metron

"đo đạc", nghĩa là đo đạc đất đai Cùng với Số học, Hình học là một tronghai ngành toán học được con người nghiên cứu từ thời cổ đại

Hình học cổ điển (Hình học Euclid) tập trung vào xây dựng các hìnhdựa trên compas và thước kẻ Euclid đã cách mạng hóa hình học bằng cáchgiới thiệu phương pháp chứng minh toán học và các tiên đề mà ngày nay vẫncòn sử dụng Cuốn sách của ông "Cơ sở hình học" (The elements) được coi

là sách giáo khoa có ảnh hưởng nhất mọi thời đại

Trong thời hiện đại, khái niệm hình học đã được khái quát hóa đếnmột mức độ trừu tượng cao và phức tạp Hình học trở thành đối tượng củacác phương pháp Giải tích và Đại số trừu tượng Nhiều ngành hiện đại củahình học khác biệt với hình học cổ điển ra đời như Hình học đại số và Hìnhhọc giải tích

Trong Hình học cổ điển, đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằngnhau và các góc ở đỉnh bằng nhau Đa giác đều được chia làm hai loại là đagiác lồi đều và đa giác sao đều Luận văn tìm hiểu về đa giác lồi đều, gọitắt là đa giác đều Đa giác đều được nghiên cứu chi tiết ở phổ thông Chúngkhông chỉ xuất hiện trong toán học mà còn xuất hiện trong tự nhiên, trongcác tác phẩm nghệ thuật, công trình kiến trúc, mà con người tạo ra Mụcđích chính thứ nhất của luận văn là tìm hiểu những tính chất cơ bản của đagiác đều và một số đa giác đều đặc biệt Ở phổ thông ta đã làm quen với tamgiác đều và hình vuông Mặc dù còn nhiều điều thú vị, chẳng hạn xem tàiliệu "Mysteries of the equilateral triangle" của Brian J McCartin cho tamgiác đều, nhưng do khuôn khổ luận văn chỉ tìm hiểu một loại đa giác đềumới là ngũ giác đều Nội dung của mục đích thứ nhất này tổng hợp từ nhiềunguồn tài liệu trong đó chủ yếu theo ba tài liệu đó là bài báo "A Study of the

regular pentagon with a classic geometric approach" của A C Sparavigna

và M M Baldi; báo cáo môn học "A Constructibility for a regular polygons"của Eric T.Eekhoff Chú ý bài báo cuối tìm hiểu về dựng đa giác đều 17 cạnhnội tiếp đường tròn được nghiên cứu bởi Carl Friedrich Gauss Năm 1796,nhà toán học Carl Friedrich Gauss đã tìm được cách vẽ đa giác đều có 17cạnh bằng thước thẳng và compas, bằng cách xem các đỉnh của đa giác trên

sau, ông đã khám phá lý thuyết mà sau này được gọi là “Chu kỳ Gauss”(Gaussian periods) viết trong sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu

Số học) Lý thuyết này giúp ông tìm được điều kiện đủ để một đa giác đều

có thể vẽ được bằng thước kẻ và compas Điều kiện đó như sau “Một đa giá

số của một luỹ thừa của 2 với một số bất kỳ các số Fermat nguyên tố khácnhau” Gauss cũng cho là điều kiện đó cũng là điều kiện cần nhưng khôngchứng minh Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng minh được điều kiện củaGauss

Mục đích chính thứ hai của luận văn tìm hiểu về các khối đa diện đều.một khối đa diện đều là một khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giácđều bằng nhau và các cạnh bằng nhau Đa diện đều được chia thành đa diệnđều lồi và lõm Luận văn tìm hiểu một số yếu tố cơ bản về các đa diện đềulồi gọi tắt là đa diện đều Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đadiện đều lồi còn gọi là các khối đa diện Platon là tứ diện đều (tetrahedron),hình lập phương (hexahedron), bát diện đều (octahedron), thập nhị diện đều(dodecahedron) và nhị thập diện đều (icosahedron) Chúng được tìm thấytại nhiều vùng khác nhau ở Scotland và trở thành nền tảng kiến trúc trongthế giới cổ đại Xuất hiện từ rất sớm nhưng cho tới thời điểm cách đây hơn

2500 năm thì các quy luật toán học xung quanh vấn đề các khối đa diện đềuPlaton mới lần đầu tiên được đề cập tới và nghiên cứu sâu rộng Một điềukhá thú vị là theo Platon thì 5 đa diện đều này còn là đại diện cho các yếu

tố cơ bản trong vũ trụ: lửa (tứ diện đều), nước (hình lập phương), không khí(bát diện đều), trái đất (thập nhị diện đều) và vũ trụ (nhị thập diện đều).Tài liệu chính trình bày mục đích này là công trình "A geometric analysis of

the platonic solids and other semi-regular polyhedra" của K.J.M Maclean.

Luận văn được chia làm hai chương Chương 1 trình bày một số vấn

đề cơ bản về đa giác đều (một số tính chất cơ bản, dựng đa giác đều nội tiếpđường tròn bằng thước kẻ và compas), đa diện đều (một số tính chất cơ bản,Định lý Euler về mối liên hệ giữa số cạnh, số đỉnh, số mặt của đa diện vàphân loại đa diện) Chương 2 trình bày một lớp đa giác đặc biệt ngũ giác đều(một số tính chất liên quan đến tỉ số vàng, các cách dựng ngũ giác), 5 khốiPlaton (thể tích, diện tích xung quang, một số khoảng cách, góc cơ bản)

Trong quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡtận tình của TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Caohọc khóa Cao học Toán khóa 11B (2017-2019) - trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu khoa học

Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ và gia đình vì đãchia sẻ những khó khăn để tác giả hoàn thành công việc học tập của mình

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 10 năm 2019

Tác giả

Đặng Tài Tuệ

Chương 1

Đa giác đều và đa diện đều

1.1 Một số yếu tố và bài toán cơ bản trong đa giác đều

là các cạnh của đường gấp khúc

Hình 1.1: Các đường gấp khúc

(n ≥ 3) A1A2 An+1 sao cho đỉnh đầu A1 và đỉnh cuối An+1 trùng nhau,

Hình 1.2: Các đa giác

Định nghĩa 1.1.3 (Đa giác lồi) Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về mộtphía đối với đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó Ở Hình1.2b) là đa giác lồi, các đa giác còn lại đều không phải là đa giác lồi

Nội dung của luận văn này ở phần đa giác tác giả chỉ trình bày về cácnội dung xoay quanh đa giác lồi

Định nghĩa 1.1.4 (Đường chéo của đa giác lồi) Đường chéo của đa giác lồi

là đường thẳng nối 2 đỉnh không liên tiếp

2 .

Hình 1.3:

Chứng minh Chia đa giác n cạnh thành những tam giác như Hình 1.3 Có

n − 2tam giác, lại có tổng ba góc trong một tam giác bằng 180o Suy ra tổng

Hệ quả 1.1.7 Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác (mỗi đỉnh chỉ xét

ngoài Tại mỗi đỉnh có 1 góc trong và 1 góc ngoài nằm ở vị trí kề bù với nhau(α + α0 = 180o) Tổng số đo các cặp góc là n180o, mà ta có tổng số đo góc

n180o − (n − 2)180o = 360o

Hình 1.4:

Số cạnh Tên gọi Tên bằng tiếng Anh

3 Tam giác đều Equilateral triangle

4 Hình vuông Square

5 Ngũ giác đều Pentagon

6 Lục giác đều Hexagon

7 Thất giác đều Heptagon

8 Bát giác đều Octagon

9 Cửu giác đều Nonagon

10 Thập giác đều Decagon Bảng 1.1: Bảng tên gọi các đa giác đều

Định nghĩa 1.1.8 (Đa giác đều) Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnhbằng nhau và các góc ở đỉnh bằng nhau Đa giác đều được chia làm hai loạilà: đa giác lồi đều và đa giác sao đều

Ở nội dung luận văn này tác giả chỉ trình bày về đa giác lồi đều và gọitắt đa giác lồi đều là đa giác đều.

M, N ∈ H, khoảng cách giữa hai điểm M, N bằng khoảng cách giữa haiđiểm s(M ), s(N ) Tập hợp các phép đẳng cự của hình H làm thành mộtnhóm với phép hợp thành các ánh xạ, và ta gọi nó là nhóm các phép đẳng

Nhóm trên cũng được gọi là nhóm nhị diện hay nhóm đối xứng của tam giác

cả các trục đối xứng đều đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diệnvới đỉnh ấy

Mệnh đề 1.1.10 Tồn tại đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp đa giác đều.Hơn nữa hai đường tròn này đồng tâm

Vì \ABC = BCD\ nên cB2 = Cc3 Kéo theo 4OBC cân tại O và OB = OC

Hình 1.5:

tiếp đa giác đều

cách OH, H là trung điểm BC

tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau và là giao điểm của 2 đườngphân giác (2 đường trung trực) của 2 góc (2 cạnh) bất kì

Định nghĩa 1.1.12 Tâm (center of regular polygon) của đa giác đều là tâmđường tròn ngoại tiếp (nội tiếp) đa giác

Mệnh đề 1.1.13 Góc ở tâm của đa giác đều là góc giữa 2 tia xuất phát từtâm tới đỉnh liên tiếp của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó

n .

Định nghĩa 1.1.15 Trung đoạn của đa giác đều là đoạn nối tâm đa giác

và trung điểm của một cạnh của đa giác đó

2 sin(πn) =

acos(πn).

Hình 1.6: Đa giác đều n cạnh

(i) Tìm số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh trong 2n đỉnh của đagiác?

(ii) Tìm xác suất để 4 đỉnh chọn ra là 4 đỉnh của một hình chữ nhật?(iii) Tìm số tam giác vuông, tam giác tù mà các đỉnh của tam giác đó

(iv) Biết số hình thang cân có các đỉnh là đỉnh đa giác là 14100 Tìm

n?

qua tâm tương ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh đa giác Vậy số

C2n2 .

(iii) Có n cách chọn cạnh huyền là đường chéo qua tâm Mỗi cách chọn

giác vuông

(1 + + (n − 2)).2n = n(n − 1)(n − 2)

tam giác tù

Số hình thang cân có trục đối xứng đi qua đỉnh của đa giác đều:Với hình thang cân nội tiếp đường tròn trục đối xứng là đường kínhđường tròn Số đường chéo là đường kính đường tròn ngoại tếp đa giác đều

P = nCn−12 hình thang cân có trục đối xứng đi qua các đỉnh của đa giác đều

(phải trừ đi M vì mỗi hình chữ nhật có 2 trục đối xứng nên sẽ bị đếm 2

2 = 14100, ta được n = 25 Lưu ý hình

thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân nên số hình thang có các đỉnh

là các đỉnh của đa giác đều bằng số hình thang cân có các đỉnh là đỉnh đa

C2n3 =

15

Bài toán 1.1.19 Cho một đa giác đều H gồm 16 đỉnh Ta đánh số thứ tự

số thứ tự các đỉnh ta luôn tìm được ba đỉnh liên tiếp mà tổng số các thứ tựcủa chúng ít nhất bằng 26

1.2 Dựng đa giác đều bằng thước kẻ và compas

VớiA, B ∈ E với A 6= B, ta kí hiệu L(A; B) là đường thẳng qua A, B,

C(O; AB) là đường tròn tâm O bán kính AB với O ∈ E

LE = {L(A; B), L(A; D), L(B; D)},

CE = {C(A; AB), C(A; AD), C(A; BD), C(B; BA), C(B; BD), C(B; AD),C(D; AB), C(D; DB), C(D; DA)}

điều kiện sau:

OA = 1 Dựng một hệ tọa độ trực chuẩn từ 2 điểm đó

(iv) Dựng một đường thằng đi qua một điểm cho trước song song vớimột đường thẳng cho trước

(vi) Dựng đường phân giác của một góc cho trước

(vii) Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác cho trước

(viii) Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cho trước

(ix) Tìm tâm của một đường tròn cho trước

(x) Cho trước một đường thẳngd và một điểmM không thuộcd Dựng

2

n≥1

En

từ F (E) Thật vậy, mỗi điểm của F+(E) được tạo ra từ hữu hạn điểm của

F (E) qua các phép dựng (1), (2), (3), Các điểm này phải nằm trong một

sẽ tìm các tiêu chuẩn để một điểm cho trước dựng được bằng thước kẻ và

một vấn đề đại số

Hình 1.9:

là khoảng cách giữa hai điểm dựng được

dựng được Một đường tròn gọi là đường tròn dựng được nếu tâm của nó làđiểm dựng được và bán kính là một số thực dựng được

(iii) Một hình được gọi là hình dựng được nếu ta dựng được các điểm

các số thực dựng được

Ta công nhận một số kiến thức sau của lý thuyết trường (xem [3]).Mệnh đề 1.2.6 Tập hợp các số thực dựng được làm thành trường con củatrường R

Khi đó mọi phần tử của Fn đều dựng được.

[Q(a) : Q] = 2m với m ∈ N

là một đỉnh của đa giác đều thì các đỉnh khác của đa giác đều chính là các

thì deg Φn(X) là một lũy thừa của 2

(i,n)=1(X − i)

p với (p, n) = 1 Do g là ước của đa thức Xn − 1 nên ta có Xn − 1 = gh

có ab(Xn− 1) = g1h1 Nếu ab có một ước bất khả quy q thì mọi hệ số của

(f h1 + gh2)p = fphp1 + gphp2 = 1

Do fp = f (Xp) chia hết cho g nên 1 chia hết cho g Đây là một điều vô lý

vì deg g > 0 Vì vậy tồn tại một đa thức u bậc dương là ước chung của f và

p1 ps vớip1, , ps là các số nguyên tố Đặt% = p1 p s−1.Do(p1 ps−1, n) = 1

xét trên cho ta thấy phải xét các số nguyên tố p sao cho p − 1 là một lũy

m = 2as với s > 2 là một số lẻ Khi đó p = 2m+ 1 = (22a)s+ 1 chia hết cho

gọi này có xuất xứ từ một giả thuyết của Fermat nói rằng các số có dạng

thước kẻ và compas khi và chỉ khi n = 2ap1p2 ps trong đó p1, , ps là các

số nguyên tố Fermat khác nhau

n = 2ap1p2 ps là một sự phân tích n thành các thừa số nguyên tố Theo

số nguyên tố Fermat

Bài toán 1.2.14 Dựng tam giác đều nội tiếp một đường tròn cho trước

Hình 1.10:

giác đều nội tiếp đường tròn này

Bước 2: Dựng trung điểm M của OA.

dựng

Bài toán 1.2.15 Dựng hình vuông nội tiếp một đường tròn cho trước

vuông nội tiếp đường tròn này

hình vuông cần dựng

Hình 1.11:

đây là ví dụ về dựng ngũ giác đều

Ví dụ 1.2.16 Dựng ngũ giác đều của Richmond (1893)

2tan (45

◦ − θ

2).

Hình 1.13:

Cách dựng:

phẳng

p ,

2πR

(p, q) = 1 nên tồn tại các số nguyên u, v sao cho

Bài toán 1.2.19 Dựng đa giác đều 17 cạnh

Ngay từ thời Hy Lạp cổ đại, người ta đã biết dựng các hình đa giác

cũng không biết thêm một đa giác đều nào có thể dựng được bằng thước kẻ

và compas Phải đến năm1796, Gauss mới chỉ ra được một đa giác đều khác

cũng là người đưa ra tiêu chuẩn để dựng được một đa giác đều với số cạnhcho trước như trên Ông cũng là người đầu tiên khẳng định không thể gấpđôi một hình lập phương và chia ba một góc bằng thước kẻ và compas nhưng

Từ định lý Gauss (Định lý 1.2.13) về điều kiện cần và đủ để dựng đa

bằng thước kẻ và compas Sau đây là một cách chứng minh khác:

2π

17, x1 = cos θ, x2 = cos 2θ Chúng ta biết rằng tổng của các căn nguyên

x17− 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x16+ x15+ · · · + x + 1) = 0

lượng giác sau:

cos(α + β) + cos (α − β) = 2 cos α cos β

Vì x1 = cos θ, x4 = cos 4θ và vì x4 = x13 nên ta có: x1 + x4 = 2x6x7 Tương

và AC = −1

S2 − −1 +

√17

Hình 1.14:

Bước 1 : Vẽ C(O; OP0)

Bước 7 : Dựng C(E; EK) giao với OP tại N3, N5

Bước 10 : Dây cung P4P5 chính là chiều dài của đa giác đều muốndựng.

vọng của nhà toán học, trên bia mộ ở nghĩa địa Gottingen, người ta khắc

1.3 Đa diện đều và phân loại đa diện

thành góc phẳng nhị diện Vì các góc có cạnh tương ứng song song và cùng

Hình 1.15:

chiều thì bằng nhau nên tất cả các góc phẳng của góc nhị diện bằng nhau

Hình 1.16:

(a, b); (b, c); (c, a) gọi là mặt (góc phẳng) của góc tam diện

thành một góc nhị diện Góc nhị diện này được gọi là góc nhị diện của góc

sin αsin A =

sin βsin B =

sin βsin C.

Hình 1.17:

Dựng HA ⊥ a và HB ⊥ b (Hình 1.17) Khi đó, bA = M AH;\ B =b M BH.\

sin β sin A So sánh các đẳng thức trên ta có:

sin α sin β = sin β sin A

hay

sin αsin A =

sin βsin B.

Tương tự ta chứng minh được:

sin βsin B =

sin γsin C.

Vậy

sin αsin A =

sin βsin B =

sin γsin C.

cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos C

được kiểm tra trực tiếp Nếu một trong hai góc β, γ tù, chẳng hạn γ > π2 thì

A, B Giả sử SC = 1, khi đó:

BC = tan β; AC = tan γ; SB = 1

cos β; SA =

1cos γ.

AB2 = tan2β + tan2γ − 2 tan β tan γ cos C (1.1)và:

AB2 = 1

cos2β +

1cos2γ − 2

cos β cos γ cos α. (1.2)

cos β cos γ + sin β sin γ cos C = cos α

Định lý 1.3.5 Trong một góc tam diện, mỗi góc phẳng bé hơn tổng của haigóc phẳng khác

lý 1.3.4 ta có

cos γ = cos α cos β + sin α sin β.cosC

Vìcos C > −1 vàsin β, sin α > 0 nêncos γ > cos α.cosβ − sin α sin β,

hay cos γ > cos(α + β) Do hàm số côsin nghịch biến trong khoảng (0, π)

thẳng, trong đó không có ba nửa đường thẳng nào cùng thuộc một mặt