Một số bài toán trong mặt phẳng oxy trọng anh

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG GV: HỒNG TRỌNG ANH Trong kì thi ĐH-CĐ năm gần dạng tốn phương pháp tọa độ mặt phẳng ln có đề thi, thường rơi vào câu điểm – (thang 10 điểm) Để giải dạng toán này, em phải có vốn kiến thức liên quan đến tọa độ mặt phẳng biết phân chia dạng toán nắm phương pháp giải Trong chuyên đề, đưa số dạng tốn chủ yếu liên quan đến phương trình đường thẳng mặt phẳng tọa độ Oxy – KIẾN THỨC CƠ BẢN: Toạ độ điểm vectơ a) Toạ độ điểm: OM  xi  y j  M  x; y  Cho A( xA ; yA ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) Khi đó: + AB   xB  xA ; yB  y A  ; A  xA ; y A  ; B  xB ; yB   AB   xB  xA    yB  y A  2  x  x y  yB  + Công thức tọa độ trung điểm: I trung điểm AB I  A B ; A ;    x  x  x y  yB  yC + Công thức tọa độ trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABCthì: G  A B C ; A 3  b) Toạ độ vectơ: Định nghĩa : u  xi  y j  u   x; y   ;  Cho u   x; y  ; u '   x '; y ' Ta có: x  x ' + Hai vecto : u  u '   ; y  y'  x  kx ' + Hai vecto phương: u, u ' phương    xy '  x ' y  y  ky ' + Các phép toán vecto: u  u '   x  x '; y  y ' ; ku   kx; ky  ; + Tích vơ hướng vecto : u.u '  x.x ' y y ' , ý : u  u '  xx ' yy '  + Độ dài vectơ : u   x; y   u  x  y   + Góc hai vectơ: cos u; u '  u.u ' u u'  x.x ' y y ' x  y x '2  y '2 Phƣơng trình đƣờng thẳng a) Phương trình tổng quát Đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ pháp tuyến n  (a; b)  : a( x  x0 )  b( y  y0 )  b) Phương trình tham số x  x  at Đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u  (a; b)  :  y  y  bt x  x  at Điểm M thuộc  :  M(x0 + at; y0 + bt).(Tham số hóa tọa độ điểm thuộc đthẳng) y  y  bt c) Phương trình tắc x  x0 y  y0  Đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) vectơ phương u  (a; b) , với ab  ,  : a b d) Phương trình đoạn chắn GV biên soạn: Hồng Trọng Anh x y  1 a b Chú ý: 1) Đường thẳng  có hệ góc k  có dạng: y = kx + b Do phương trình đường thẳng qua (x0; y0) có hệ số góc k: y = k(x - x0) + y0 u 2) Mối liên hệ vec tơ phương hệ số góc: k  , với u   u1; u2  vec tơ phương u1 3) Hai đường thẳng   ’ có hệ số góc k k’ Khi đó:  / /  '  k  k ';    '  k.k '  1 Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng ax  by  c  Cho  : ax + by + c = vaø  ’ : a’x + b’y +c’ = Xét hệ phương trình:  a ' x  b ' y  c '  - TH1: hệ có cặp nghiệm hai đường thẳng cắt nhau; - TH2: hệ vô nghiệm hai đường thẳng song song; - TH3: hệ có vô số nghiệm hai đường thẳng trùng Chú ý: Có thể xét trường hợp sau: Nếu a’, b’, c’ khác thì: a b + TH 1:  hai đường thẳng cắt nhau; a' b' a b c + TH :   hai đường thẳng song song; a' b' c' a b c + TH 3:   hai đường thẳng trùng a' b' c' Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng ax  by0  c Cho  : ax + by + c = M(x0; y0) Ta có: d ( M , )  a2  b2 Góc hai đƣờng thẳng Cho  : ax + by + c = vaø  ’ : a’x + b’y +c’ = Với n, n ' vectơ pháp tuyến   ’, gọi Đường thẳng  qua A(a; 0) B(b; 0), với ab  ,  :  góc hai đường thẳng đó, ta có: cos   | n.n ' | a.a ' b.b ' | n | | n' | a2  b2 a '2  b '2 Chú ý: Có thể sử dụng cơng thức cách tương tự với cặp vectơ phương  vaø  ’ Đƣờng phân giác hai đƣờng thẳng + Cho  : ax + by + c = vaø  ’ : a’x + b’y +c’ = Phương trình đường phân giác góc tạo ax  by  c a' x  b' y  c'  đường thẳng là: 2 a b a '2  b'2 * Lƣu ý: Xét phía hai điểm A( x A ; yA ) B( xB ; yB ) đường thẳng d: ax  by  c   + Nếu  axA  byA  c  axB  byB  c   A B phía so với d; + Nếu  axA  byA  c  axB  byB  c   A B khác phía so với d - MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG Dạng 1: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG DẠNG CƠ BẢN * Trƣờng hợp 1: Viêt phương trình đường thẳng d qua điểm M1 ( x1; y1 ) M ( x2 ; y2 ) Phƣơng pháp: + VTCP ud  M1M  ( x2  x1; y2  y1 ) Suy VTPT nd  ( y1  y2 ; x2  x1 )  x  x1  ( x2  x1 )t Vậy phương trình tham số d di qua M1 ( x1; y1 ) có véc tơ phương ud là:  (t R )  y  y1  ( y2  y1 )t GV biên soạn: Hồng Trọng Anh Ptrình tổng quát d qua M1 ( x1; y1 ) có véc tơ pháp tuyến nd là: ( y1  y2 )( x  x1 )  ( x2  x1 )( y  y1 )  Ví dụ 1: Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(3;-2), B(5;1)  x   2t Giải: Đthẳng d qua A(3;-2) nhận ud  AB  (2;3) làm VTCP, suy d có phương trình tham số:   y  2  3t VTCP ud  AB  (2;3)  VTPT nd  (3; 2) Vậy phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(3;-2) là: 3(x-3)-2(y+2)=0  3x-2y-13=0 * Trƣờng hợp 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k Phƣơng pháp: Áp dụng công thức y  y0  k ( x  x0 )  kx  y  y0  kx0  phương trình tổng qt Ví dụ 2: Viết phương trình tổng qt đường thẳng d qua E(3;-4) có hệ số góc k  Giải: Phương trình tổng quát đường thẳng d là: y   ( x  3)  x  y  26  * Trường hợp 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) song song với  : ax  by  c  Phƣơng pháp: Đường thẳng  có VTPT n  (a; b) đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) song song  nên nhận véc tơ n  (a; b) làm véc tơ pháp tuyến Vậy ta có phương trình tổng qt là: a( x  x0 )  b( y  y0 )  Lưu ý: Hai đường thẳng song song có vecto pháp tuyến vecto phương Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát d qua M(1;3) song song với đường thẳng  : 2x-y   Giải: Phương trình d có dạng 2x+y+c=0 Vì M (1;3)  d    c   c  5 Vậy d có phương trình tổng qt: 2x+y-5=0 * Trường hợp 4: Viết phương trình tổng quát d qua M ( x0 ; y0 ) vng góc với  : ax  by  c  Phƣơng pháp: Đường thẳng  có VTPT n  (a; b) đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) vng góc  nên nhận véc tơ n  (a; b) làm véc tơ phương, suy nd  (b; a) Vậy phương trình tổng quát đường thẳng d qua M ( x0 ; y0 ) là: b( x  x0 )  a( y  y0 )  Ví dụ 4: Viết phương trình tổng qt đường thẳng d qua M(13;4) vng góc với  : 2x-5y   Giải: Đường thẳng  có VTPT n  (2; 5) đường thẳng d qua M(13;4)   nên nhận véc tơ n  (2; 5) làm VTCP VTPT n  (5; 2) Phương trình tổng quát là: 5x  y  77  Bài 1: Cho đường thẳng d: x  3y   điểm M(1; -2) a) Tìm vecto pháp tuyến đường thẳng? b) Điểm M có thuộc d khơng? Hai điểm N P thuộc d c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M song song với d d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M vng góc với d Bài 2: Viết phương trình đường thẳng  biết rằng: a) Đi qua A(1; 0) B(0; -3); b) Đi qua M(3; 4) có hệ số góc k = 2; GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh x  1 t c) Đi qua N(2; 3) song song với d1 :  ;  y  2t d) Đi qua P(1; -3) vng góc với d2 : x  y   ; x  1 t e) Đi qua giao điểm d1 :  d2 : x  y   vng góc với d : y  5x   y  2t Bài 3: Chuyển phương trình tổng quát sau dạng tham số a) x  y   ; b) x  y   ; c) 3x  4y   ; d) x  3y   Bài 4: Viết phương trình đường thẳng qua A(-1; 0) điểm B(0; 5) Bài 5: Viết phương trình đường thẳng qua M(4; 1) cắt tia Ox A, cắt tia Oy B cho: a) Diện tích OAB nhỏ nhất; b) Tổng OA + 4OB nhỏ nhất; c) Tổng OA + OB nhỏ nhất; d) Tổng nhỏ  OA OB Hướng dẫn: Giả sử A(a; 0) B(0; b) Câu a, sử dụng BĐT Cauchy Câu b, sử dụng lần BĐT Cauchy Câu c, rút b theo a sử dụng BĐT Cauchy Câu d, sử dụng BĐT Bunhiakopxki ******************************************************************************************* Dạng 2: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG VÀ GĨC GIỮA ĐƢỜNG THẲNG PP: Xem vị trí tương đối hai đường thẳng cách xét góc hai đường thẳng Bài 6: Hãy xét vị trí tương đối, tìm tọa độ giao điểm (nếu có) tính cosin góc cặp đường thẳng sau: x  1 t a) d: x  y   d’: 5x  y   ; b) d: x  y   d’:  ; y  t  x  1  2t x   t x  t c) d:  d’:  ; d) d:  d’: x  y    y   3t  y  1 t  y  2  t Bài 7: Cho ba điểm A(-4; 1); B(0; 2) C(3; -1) a) Chứng minh ba điểm lập thành tam giác Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB AC c) Tính cosin góc ABC cosin góc tạo đường thẳng AB BC d) Gọi M trung điểm BC Viết phương trình tổng quát đường thẳng AM e) Viết phương trình tham số đường trung tr c đoạn BC f) Viết phương trình đường cao kẻ từ A tam giác ABC Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A, từ suy diện tích tam giác ABC Hướng dẫn:   c) cos BAC  cos AB; AC  AB AC AB AC ; e) Đường trung trực BC đường qua trung điểm BC nhận BC vecto pháp tuyến Bài 8: Trong hệ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x + 3y – = 0, BC: 4x + 5y – = 0, CA: 3x + 2y – = Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC (CĐ-2011) Bình luận: Trong số đề thi, việc viết phương trình đường thẳng d biết đường thẳng d qua điểm tạo với đường thẳng  góc  (hoặc biết cos  ) toán phụ quan trọng Muốn giải toán phức tạp hơn, em phải nắm phương pháp dạng PP: - Gọi vecto pháp tuyến  n  (a; b)   - Áp dụng cơng thức góc hai đường thẳng thơng qua cos   cos n, n ' GV biên soạn: Hồng Trọng Anh - Từ suy phương trình đẳng cấp bậc hai theo a, b Do ta nghiệm a/b nên ta chọn n  (a; b) viết phương trình d Bài 9: Cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình d’ qua A(2; -1) tạo với đường thẳng d góc  cho cos   10 Giải: Gọi vecto pháp tuyến d’ n  (a; b) Do d có vecto pháp tuyến n '  (2;-1) tạo với d’ góc  nên a b 1 | 2a  b | cos   cos n, n '    5(a  b )  10(2a  b)2  35a  5b  40ab    a 10 a  b2   b  a - Với  , chọn a = b = Suy d’: 1.(x – 2) + 1.(y + 1) =  x + y – = b a - Với  , chọn a = b = Suy d’: 1.( x  2)  7(y  1)   x  7y   b Bài 10: Cho đường thẳng d: 2x + 3y + = điểm M(2; 1) Viết phương trình d’ qua M tạo với đường thẳng d góc 450 Bài 11: Cho đường thẳng d: x + y + = Viết phương trình đường thẳng qua A(2; -4) tạo với d góc 450 (CĐ KA – 2011) ĐS: y + = x – =  5 Bài 12: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường BC có phương trình: x  7y  31  , điểm N  1;  thuộc  2   đường AC, điểm M  2; 3 thuộc đường thẳng AB Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm A có hồnh độ âm Hướng dẫn: Cho tam giác ABC vng cân ta tính cos ABC  , ta viết phương trình đường thẳng AB Từ suy tọa độ A, lưu ý A có hồnh độ âm Bài 13: Cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, điểm H(2; -1), phương trình đường BD là: x – y = Gọi M trung điểm CD Giả sử H hình chiếu A lên đường thẳng BM Viết phương trình đường thẳng AH Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AC: x  3y  , AD: x  y   , điểm   M   ;1 thuộc đường thẳng BD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật (ĐH KD 2012)   Bài 15: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật, biết hồnh độ A dương Hướng dẫn: x  y 1   21 13   B ;  - Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm hệ :   5  x  y  14  - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: 21  x   t  u  1; 2   nBC   2;1   BC  :   y  13  2t   27 2a  b   cos  AC;BC   + Mặt khác : cos  BD;BC   5.5 10 a  b2 GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh 2a  b  a  b    2a  b   a  b2  7a  8ab  b    10 a  b2 b  7a  nAC   b; b  / / n '   1;1   AC  :   x    y     x  y   + Do   nAC   a; 7a  / / n '  1; 7    AC  :  x     y  1   x  y    + Có AC, tìm tọa độ A (lưu ý hồnh độ A dương) + Tìm tọa độ điểm C + Gọi I tâm, tìm tọa độ I, có A I suy điểm D Lưu ý: Nếu biết tọa độ hai ba điểm biết tỉ lệ vecto điểm (kể tỉ lệ độ dài đoạn trường hợp thẳng hàng) ta tìm tọa độ điểm lại Chẳng hạn:  Bài 16: Cho A(2; -5) M(-1; 3) Tìm tọa độ điểm B cho: a) MB  3MA ; b) AB  3MA ; c) MA = 3MB A, B, M thẳng hàng Bài 17: Cho hai đường thẳng d: x  y   , d’: x  y   Viết phương trình đường thẳng qua M(1; -1) cắt d, d’ A B cho MB  2MA Hướng dẫn: Tham số hóa tọa độ điểm A, B thuộc d d’ Suy hệ phương trình từ giả thiết MB  2MA Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, có AD: x  y   , điểm I(-3; 2) thuộc BD cho IB  2ID , điểm D có hồnh độ dương AD = 2AB Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Hướng dẫn: - Có phương trình AD cos ADB , BD qua I nên ta viết phương trình BD; - Có AD BD, suy tọa độ D - Có tọa độ I, D tỉ lệ vecto IB  2ID nên suy B - Viết phương trình AB qua B vng góc với AD, suy tọa độ A từ suy tọa độ điểm C Bài 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có M trung điểm AB M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) N(2; -1) (ĐH KA – 2014) Hướng dẫn: Ta sử dụng toán để giải (cách khác đáp án Bộ) - Gọi P giao điểm MN CD Sử dụng tỉ lệ vecto tìm tọa độ P; - Vì DN vng góc với MN nên ta viết DN; - Ta tính cos NDC dựa vào toán ta viết phương trình CD  11  Bài 20: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3), tr c tâm H(9; 7) trọng tâm G  ;1 Tìm 3  tọa độ đỉnh B C tam giác ABC Bài 21: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(3; -7), tr c tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2; 0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương (ĐH KD – 2010) ĐS: C (2  65;3) ****************************************************************************************** Dạng 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Phƣơng pháp: Khoảng cách hai điểm A  xA ; y A  ; B  xB ; yB   AB   xB  xA    yB  y A  2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng - Chuyển phương trình đường thẳng dạng tổng quát  : ax + by + c = ax  by0  c - Áp dụng công thức d ( M , )  2 a b Lƣu ý dạng toán: Cho A  xA ; y A  ; B  xB ; yB  d: ax + by + c = Tìm điểm M thuộc d cho: GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh 2.1: Độ lớn: h.MA2 + k.MB2 nhỏ (lớn nhất), h, k số cho trƣớc PP: - Tham số hóa điểm M thuộc d cách viết phương trình tham số d; - Tính h.MA2 + k.MB2, ta biểu thức hai theo t giả sử h.MA2 + k.MB2= at2 + bt + c, đạt GTNN t = -b/2a (nếu a > 0) GTLN t = -b/2a (nếu a < 0) Suy t, ta có M 2.2: Độ lớn MA + MB nhỏ PP: Xét phía A B d, ta có hai trường hợp: TH1: Nếu A B khác phía so với d M điểm cho A, B, M thẳng hàng điểm cần tìm TH2: Nếu A B phía với d ta làm bước sau: + Tìm A’ đối xứng với A qua d + Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng 2.3: Độ lớn: | MA – MB | lớn PP: Xét phía A B d, ta có hai trường hợp: TH1: Nếu A B phía so với d M điểm cho A, B, M thẳng hàng điểm cần tìm TH2: Nếu A B khác phía với d ta làm bước sau: + Tìm A’ đối xứng với A qua d + Điêm M cần tìm thỏa A’, M, B thẳng hàng  x   2t Ví dụ: Cho d:  M(1; -3) Tính d(M,d)=?  y  1 t Giải: Phương trình tổng quát d là: x + 2y – = Suy ra: d ( M , d )  1.1  2.(3)  12  22  8  5 Bài 22: Tìm Ox điểm M cách đường thẳng d: 2x + y – = khoảng  x  17 / Hướng dẫn: Gọi M(x; 0) thuộc Ox Khi d ( M; d )  | x  | 10    x  3 / Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC M(3,2), trọng tâm 2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G( , ) I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C 3 4  Giải: IM  (2;4), GM   ;  3 3 Gọi A(xA; yA) Có AG  GM  A(-4; -2) (Sử dụng tỉ lệ vecto) Đường thẳng BC qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT: 2(x - 3) + 4(y - 2) =  x + 2y - = Gọi C(x; y) Có C  BC  x + 2y - = Mặt khác IC = IA  ( x  1)2  ( y  2)2  25  ( x  1)2  ( y  2)2  25 x  2y   Tọa độ C nghiệm hệ phương trình:  2 ( x  1)  ( y  2)  25 x  x  Giải hệ phương trình ta tìm   y  y  Vậy có điểm C thỏa mãn C(5; 1) C(1; 3) Bài 24: Cho điểm A(0; 6), B(2; 5) d: x – 2y +2 = Tìm điểm M thuộc d cho: a) MA2 + 5MB2 nhỏ b) MA + MB nhỏ c) | MA – MB | lớn Bài 25: Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thoả mãn: a) M thuộc d: 3x – y + = cách hai điểm A(1; -2) B(3; 1); GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh  x   2t b) M thuộc đường thẳng d :  cho M cách N(1 ; -5) khoảng ngắn nhất; y  2 t c) M đối xứng với N(2; -3) qua đường thẳng  : 3x  4y   ; x  1 t d) M thuộc  :  cho M tạo với hai điểm N(-1; 2) P(3; 1) tam giác cân P y  2t  Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) B(5; -1) Viết phương trình đường thẳng qua M(3; 5) cách hai điểm A B Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 4) N(6; 2) Viết phương trình đường thẳng qua M cho: a) Khoảng cách từ N đến đường thẳng b) Khoảng cách từ N đến đường thẳng lớn Bài 28: Trong mp Oxy, cho đường thẳng d1: x – 2y – = d2: x + y + = Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 (CĐ– 2009) Bài 29: Trong mp Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x – 2y – 1=0 cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB (ĐH KB – 2004) ĐS: C(7; 3) C(-43/11; -27/11) Bài 30: Cho ba đường thẳng: d1: x + y + = 0; d2: x – y – = 0; d3: x – 2y = Tìm toạ độ điểm M nằm d3 cho khoảng cách từ M đến dường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến d2 (ĐH KA – 2006) Bài 31: Cho A(-1 ; 4), B C thuộc đường thẳng d : x – y – = 0, tam giác ABC cân A Xác định B C cho diện tích tam giác ABC 18 (ĐH KB – 2009) ĐS: B(11/2; 3/2), C(3/2; -5/2) Bài 32: Trong mp Oxy cho điểm A(0; 2) đường thẳng d qua O Gọi H hình chiếu vng góc A d Viết phương trình đường thẳng d, biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH (ĐH KD – 2010) Bài 33: Trong mp Oxy, cho hai đường thẳng  : x – y – = d: 2x – y – = Tìm tọa độ N thuộc d 6 2 cho ON cắt  M thỏa OM.ON = (ĐH KB-2011) ĐS: N(0; -2) N  ;  5 5  3 Bài 34: Cho tam giác ABC có trung điểm AB M   ;  , chân đường cao từ B H(-2; 4), tâm đường  2 tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(-1; 1) Tìm tọa độ điểm C (ĐH KD-2013) *************************************************************************************** Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC VNG Chú ý: Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh góc vng nửa cạnh huyền Bài 35: Cho tam giác ABC vuông A, có A(2; -1), trung điểm M(1; 3) cạnh BC, AB : x  y   Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC Hướng dẫn: - Tham số hóa tọa độ điểm B theo t - Vì tam giác ABC vng A nên ta có AM = MB, suy t - Vì M trung điểm BC nên suy tọa độ C  3 Bài 36: Cho tam giác ABC vng A(3; 2), tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC I  1;  , điểm C  2 thuộc d: x  y   Tìm tọa độ B C Bài 37: Cho tam giác ABC có M(2; 1) trung điểm AC, điểm H(0; -3) chân đường cao từ A tam giác, điểm E(23; -2) thuộc đường trung tuyến từ đỉnh C, A thuộc d: x  3y   C có hồnh độ dương Bài 38: Cho hình chữ nhật ABCD có A(-4; 8), điểm C thuộc d: x  y   Điểm M đối xứng với B qua C, gọi N hình chiếu B lên DM, N(5; -4) Tìm tọa độ điểm B C (ĐH KA 2013) ****************************************************************************************** Dạng 5: BÀI TỐN KẾT HỢP PHƢƠNG TRÌNH CÁC ĐƢỜNG CAO, ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƢỜNG TRUNG TRỰC TRONG TAM GIÁC GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh Lƣu ý: - Nếu giả thiết cho đường cao phải khai thác đường trung tuyến - Nếu thiết thiết cho đường trung tuyến ta khai thác tính chất trọng tâm, trung điểm thơng qua tỉ lệ vecto Giao hai đường trung tuyến tam giác trọng tâm tam giác - Nếu giả thiết cho đường trung trực ta khai thác tính chất trung điểm (tỉ lệ vecto) vecto pháp tuyến đường trung tuyến Bài 39: Cho tam giác ABC có M(2; 0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao từ A có phương trình: 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC (ĐH KD- 2009) 7 x  y   Giải: + Tọa đọ A thỏa mãn :   A  1;  6 x  y   + Vì M trung điểm AB suy B=(3;-2) + Đường thẳng BC qua B(3;-2) vng góc với đường cao AH :  x  3   y     x  y   + (BC) cắt đường trung tuyến (AN) N thỏa mãn hệ : x  y   3    N   0;   Vì C đối xứng với B qua N suy C=(-3;-1) 2  7 x  y   x 1 y  Vậy (AC) qua A(1;2) có AC   4; 3 // u   4;3   AC  :   3x  y   Bài 40: Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC , biết A  2;2  hai đường cao thuộc đường thẳng d1 : x  y   d2 : x  y   Bài 41: Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A  3;1 hai đường trung tuyến có phương trình d1 : x  y   d2 : x   Bài 42: Cho tam giác ABC có phương trình hai đường trung tuyến AM BN là: 2x – y + = x   t , đường thẳng AB có phương trình 5x – 3y + = Viết phương trình đường thẳng AC BC   y   2t Bài 43: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3), phương trình đường trung tr c cạnh AB 3x  y   trọng tâm G(4; -2) Tìm tọa độ đỉnh B C Bài 44: Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết C(-4; -5) hai đường cao tam giác ABC có phương trình d1 : 5x  y   d2 : 3x  y  13  Bài 45: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;2), đường trung tuyến CM: 5x + 7y – 20 = đường cao BK: 5x – 2y – = Viết phương trình cạnh AC BC Bài 46: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có C(-1; -2), đường trung tuyến từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5x + y – = x + 3y – = Tìm toạ độ đỉnh A B (CĐ-2009) Bài 47: Trong mp Oxy cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y – = Tìm toạ độ đỉnh B C, biết điểm E(1; -3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác (ĐH KA-2010) ĐS: B(0; -4), C(-4; 0) B(-6; 2), C(2; -6) Bài 48: Cho tam giác ABC có đường cao BH: x  3y  18  , đường trung tr c BC: 3x  19y  279  , đỉnh C thuộc d: x  y   Tìm tọa độ đỉnh A biết góc BAC  1350 ****************************************************************************************** Dạng 6: BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC Lưu ý: - Muốn viết phương trình đường phân góc A tam giác ABC ta làm bước sau: + Viết phương trình tổng quát AB AC + Áp dụng phần kiến thức (mục 6) GV biên soạn: Hồng Trọng Anh - Muốn viết phương trình đường phân góc A tam giác ABC ta làm bước sau: + Viết phương trình tổng quát AB AC + Áp dụng phần kiến thức (mục 6), ta đường phân giác góc A d1 d2 + Xét phía điểm B C so với d1 d2 kết luận (Đường cần tìm B C phả nằm khác phía) - Tính chất đường phân giác góc A: Cho d đường phân giác góc A tam giác ABC, giả sử M điểm thuộc AB, M’ điểm đối xứng với M qua d Khi M’ thuộc AC Bài 49: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x – y – = Tìm tọa độ A C (ĐH KD–2011) Giải: Gọi M trung điểm AC E điểm đối xứng với B qua phân giác (AD) Với G trọng tâm  BG  2GM (1)  5   x  1  x  7  + Ta có : M(x;y)  GM   x  1; y  1 BG   5;0  suy (1) ta có hệ :     M  ;1 2  0   y  1 y 1    x  y 1  + Gọi E(x;y)  I   ;  ; BE   x  4; y  1 ( I trung điểm BE ) Với u  1;1 Nếu E đối xứng   với B qua (AD): x-y-1=0 :  x  1  1 y  1   BEu  x  y   x       x  y 1    E   2; 5   1  I  d x  y    y  5    2 x   t   + (AC) qua E(2;-5) có véc tơ phương ME    ; 6  // u '  1;    AC  :  t  R     y  5  4t x   t x   t   + (AC) cắt d A :   y  5  4t   y  5  4t  A   4;3 x  y 1  t      xC    + C đối xứng với A qua M C :   C   3; 1  yC  2.1   1  Bài 50: Trong mp Oxy cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(-4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – =0 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương (ĐH KB-2010) Giải: + Gọi C' điểm đối xớng C qua phân giác d C' phải nằm AB tam giác AC'C vuông cân  x  4  t  x  y   d' cắt d H tọa độ A Gọi d' đường thẳng qua C(-4;1) vng góc với d : d'   y  1 t  x  4  t  x  4  t     y   t  H  0;5  H nghiệm hệ :   y   t x  y   t    C' đói xứng với C qua H suy C'=(4;9) Vì A nằm d suy A(t;5-t ) Do hồnh đọ A dương t>0 Ta có : CH  42  42  32; AC  t  4  t  4 2  t  16 Xét tam giác vuông cân AHC : AC  HC  t  16  32  t  16  32  t  16  t  ( t>0) Với t=4 suy A(4;1) x  Đường thẳng (BC') qua A(4;1) có AC '   0;8 // u   0;1   AC ' :   y  1 t B thuộc (AC') suy B(4;1+t)  AB  02  t  t Và AC  82  02  GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh 10 + Từ giả thiết : S ABC  24  t  6  B(4; 5) AB AC  48  t  t    t   B  4;7  Do AB, AC hướng suy : với B(4;-5) AB   0; 6  , AC '   0;5 Hai véc tơ ngược hướng B(4;-5) loại Vậy B(4;7) phương trình (BC) qua B(4;7) có véc tơ phương x4 y 7 BC   8; 6  // u   4;3   BC  :   3x  y  16  Bài 51: Cho đường thẳng d: x – 3y + = điểm M(2; -2) a) Tìm tọa độ hình chiếu M lên đường thẳng d; b) Tìm tọa độ điểm đối xứng M qua đường thẳng d Bài 52: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AB: 3x – 4y + = 0, AC: 5x + 12y – 25 = BC: y = a) Viết phương trình đường phân giác góc B tam giác ABC; b) Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC Bài 53: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-6; -3), B(-4; 3) C(9; 2) Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC Bài 54: Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết C(4; 3), đường phân giác trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác có phương trình là: x + 2y – = 4x + 13y – 10 = Bài 55: Cho tam giác ABC có A(2;4), đường cao đường phân giác kẻ từ đỉnh tam giác ABC có pt: 3x  y   x  y   Viết phương trình cạnh tam giác ABC Bài 56: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD: x – y = 0, đường cao CH: 2x + y + = 0, đường thẳng AC qua M(0; -1), AB = 2AM Viết phương trình cạnh tam giác ABC Bài 57: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM: x  y   đường phan giác CD: x  y   Viết phương trình đường thẳng BC Bài 58: Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; -1), phương trình đường cao hạ từ A 3x  y  27  đường phân giác kẻ từ C x  y   Bài 59: Cho tam giác ABC có A(2,-1), phương trình đường phân giác kẻ từ B C d B : x  y   dC : x  y   Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Bài 60: Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 1), phương trình đường phân giác góc BAC nhọn Bài 61: Trong mp Oxy, xác định toạ độ điểm C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(-1; -1), đường phân giác góc A có phương trình x – y + = đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y - = (ĐH KB- 2008) ĐS: C(-10/3; 3/4)  17  Bài 62: Cho tam giác ABC, chân đường cao AH H  ;   , chân đường phân giác góc A D(5; 3),  5 trung điểm cạnh AB M(0; 1) Tìm tọa độ điểm C (ĐH KB – 2013) góc A x – y = Tìm tọa độ đỉnh B C biết BC  ****************************************************************************************** GV biên soạn: Hoàng Trọng Anh 11 ... 1) tam giác cân P y  2t  Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 2) B(5; -1) Viết phương trình đường thẳng qua M(3; 5) cách hai điểm A B Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 4) N(6;... phương trình CD  11  Bài 20: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3), tr c tâm H(9; 7) trọng tâm G  ;1 Tìm 3  tọa độ đỉnh B C tam giác ABC Bài 21: Trong mp Oxy cho tam giác ABC... 5 Bài 22: Tìm Ox điểm M cách đường thẳng d: 2x + y – = khoảng  x  17 / Hướng dẫn: Gọi M(x; 0) thuộc Ox Khi d ( M; d )  | x  | 10    x  3 / Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,