Dạy học giải toán phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG TRUNG HIẾU DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP H

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRUNG HIẾU

DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thái Nguyên, 2014

Trang 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRUNG HIẾU

DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT

Chuyên ngành: Lí luận và PPDH môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Việt Cường

Thái Nguyên, 2014

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014

Tác giả luận văn

Hoàng Trung Hiếu

Xác nhận

của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

TS Trần Việt Cường

Trang 4

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ

Lời cam đoan i

Mục lục ii

Danh mục ký hiệu, từ viết tắt iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Nội dung dạy học hàm số ở trường THPT 4

1.2 Nội dung dạy học PT, BPT ở trường THPT 9

1.3 Một số sai lầm thường gặp khi giải toán PT và BPT bằng phương pháp hàm số 24

1.4 Thực trạng vận dụng phương pháp hàm số để giải một số dạng toán về PT và BPT của HS phổ thông 32

1.5 Kết luận chương I 33

Chương 2 DẠY HỌC GIẢI TOÁN PT VÀ BPT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT 34

2.1 Một số kiến thức cơ bản liên quan giữa hàm số, PT và BPT 34

2.2 Vận dụng các kết quả nghiên cứu hàm số để giải các bài toán về PT và BPT 38

2.3 Một số chú ý khi dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT 63

2.4 Kết luận chương 2 65

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 66

3.1 Mụ c nghiệm sư phạm 66

3.2 Nộ ệm sư phạm 66

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 67

ệm sư phạm 67

3.5 Kết luận chương 3 72

KẾT LUẬN 73

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 74

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

Trang 5

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Trang 6

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) môn Toán ở trường Trung học phổ thông (THPT), đổi mới PPDH giải bài tập có vai trò quan trọng vì: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán Học sinh (HS) có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông” ([16])

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với nhiều chức năng khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Giải toán giúp cho HS hình thành được thế giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say

mê tìm tòi sáng tạo

Trong nội dung chương trình môn toán ở trường phổ thông, phương trình (PT) và Bất phương trình (BPT) là một trong những nội dung quan trọng và chiếm một khối lượng lớn kiến thức, cũng như thời gian học ở trường phổ thông Chủ đề PT, BPT có mối liên hệ mật thiết với chủ đề hàm số Hơn nữa, việc sử dụng các tính chất của hàm số trong giải một số dạng toán tỏ ra khá hiệu quả Bởi vậy, việc sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm số để giải các bài toán về PT và BPT là điều cần thiết và bổ ích đối với HS Phương pháp giải các bài toán về PT và BPT bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm

số ta có thể gọi là "phương pháp hàm số"

Phương pháp hàm số không phải là phương pháp có tính chất thuật giải như phương pháp giải PT bậc hai bằng cách tính biệt số , nhưng cũng không hoàn toàn là một phương pháp có tính chất tìm kiếm như quy lạ về quen, tương

tự hóa Vì vậy, chúng tôi nghĩ rằng cần nghiên cứu phương pháp này để có cách truyền thụ thích hợp cho HS

Trang 7

Phương pháp hàm số cũng như mọi phương pháp khác không phải thích hợp cho mọi bài toán về PT và BPT Tuy vậy, số bài tập có thể áp dụng được phương pháp hàm số để giải cũng không phải là ít Thực tế cho thấy, phương pháp hàm số ít được áp dụng trong nhà trường phổ thông nên có thể xem là phương pháp mới Thông qua cách giải bằng phương pháp hàm số, HS thấy được sự liên hệ mật thiết giữa hàm số và PT, BPT, thấy được sự tác động qua lại giữa chúng, bổ sung và hỗ trợ cho nhau và cho ta thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa đại số và giải tích Giải toán bằng phương pháp hàm số giúp HS phát triển khả năng tổng hợp, rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dạy học giải

toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

Dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT

3 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT một cách hợp lý thì sẽ góp phần nâng cao khả năng giải toán PT và BPT cho HS THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về vai trò của phương pháp hàm số trong dạy học toán ở trường phổ thông

- Nghiên cứu việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số

ở trường THPT

- Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về PPDH toán và các tài

liệu có liên quan tới đề tài

Trang 8

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu hồ sơ kinh nghiệm dạy

học của giáo viên (GV) phổ thông để thấy được vướng mắc và khó khăn của

HS khi học nội dung này

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm dạy học một số nội

dung hướng dẫn HS giải bài toán về PT và BPT bằng phương pháp hàm số để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc nghiên cứu

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, luận văn gồm có các nội dung sau:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Trang 9

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Nội dung dạy học hàm số ở trường phổ thông

1.1.1 Vị trí và tầm quan trọng của nội dung hàm số

Khi đánh giá về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm số trong chương trình môn toán ở trường phổ thông, nhà toán học Khinsin viết: “Không

có khái niệm nào khác có thể phản ánh hiện thực khách quan một cách trực tiếp

và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không có một khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm” [19] Thật vậy, bản chất của vật chất là vận động và sự vận động diễn ra trong những mối tương quan nhất định

Với khái niệm hàm, người ta nghiên cứu các sự vật trong trạng thái biến đổi liên tục và trong mối liên hệ tác động lẫn nhau của nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại và tách rời nhau Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng trong quá trình nghiên cứu Chính vì vậy, khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông Việc dạy học môn toán ở nhà trường phổ thông cho HS đều được xoay quanh khái niệm này [19]

Việc đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cường tính thống nhất của sách giáo khoa phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới “giả tạo” giữa các phân môn toán học, giữa các phần khác nhau của chương trình môn toán ở trường phổ thông Quan điểm này được thể hiện rõ nét trong chương trình toán THPT [16] Việc làm cho HS nắm vững khái niệm hàm sẽ giúp cho

HS học tập thuận lợi và có kết quả tốt các nội dung có liên quan như: Đại số, lượng giác, hình học và vật lý…

1.1.2 Sơ lược quá trình hình thành và phát triển nội dung dạy học hàm số

ở trường phổ thông

Căn cứ vào nội dung chương trình môn toán ở nước ta hiện nay, chúng ta thấy:

Trang 10

Trước lớp 7: HS chưa được học định nghĩa hàm số một cách tường minh Tuy nhiên, HS dần được tiếp xúc với những ví dụ cụ thể của khái niệm này Chẳng hạn một số phép toán số học hoặc đại số ở trường THCS

Ở lớp 7: HS bắt đầu được giới thiệu định nghĩa hàm số, khái niệm đồ thị hàm số, tiếp đó là nghiên cứu một số hàm số cụ thể: Hàm số y = ax (a ≠ 0) và

Lớp 11: HS được học về hàm số lượng giác, hàm số với đối số là số tự nhiên: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Việc khảo sát hàm số trước lớp 12 được tiến hành bằng phương pháp sơ cấp (chủ yếu dựa vào các tính chất đã biết của hàm số)

Lớp 12: HS được làm quen với việc sử dụng đạo hàm để nghiên cứu các tính chất của hàm số như: Tính đồng biến, nghịch biến, cực trị… của hàm số

HS sử dụng những kiến thức này để khảo sát một số hàm số như:

Trang 11

2

y

px q (Chương trình nâng cao)

Ngoài ra trong chương trình lớp 12, HS được nghiên cứu về các hàm số khác: hàm lũy thừa, hàm căn thức, hàm số mũ, hàm số lôgarit

1.1.3 Mục đích yêu cầu dạy học hàm số ở trường phổ thông

Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu xuyên suốt chương trình THPT Nhiều kiến thức mở đầu về hàm số được học ở bậc THCS Chương trình THPT hệ thống lại có bổ sung và hoàn chỉnh hơn: Hàm số với đối số nguyên, hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, giới hạn, liên tục… Việc khảo sát hàm số ở THPT được tiến hành qua hai giai đoạn:

Giai đoạn I (Lớp 10, 11): Khảo sát bằng phương pháp sơ cấp các hàm số bậc hai, hàm số lượng giác…

Giai đoạn II (Lớp 12): Khảo sát bằng phương pháp dùng đạo hàm các hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phường, hàm số bậc nhất/bậc nhất và hàm số bậc hai/ bậc nhất…

Từ đó, mục đích yêu cầu trong dạy học hàm số ở trường THPT là [19]:

- HS nắm vững được khái niệm hàm số và các khái niệm có liên quan, thấy được những dạng khác nhau muôn hình muôn vẻ của khái niệm này trong các phân môn toán học và qua các chương mục khác nhau, từ đó thấy được vị trí trung tâm của khái niệm này trong toàn bộ chương trình môn toán ở nhà trường phổ thông (1)

- HS nắm vững được phương pháp khảo sát hàm số bằng phương pháp

sơ cấp và bằng công cụ đạo hàm, biết vận dụng những phương pháp đó để khảo sát một số hàm số cụ thể (Các hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm số lượng giác…) và tiến tới rèn luyện kỹ năng thành thạo về mặt này Thấy được mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị cũng như ứng dụng của việc khảo sát hàm số trong giải toán, đặc biệt là trong việc giải PT, BPT và

giải các bài toán cực trị (2)

Trang 12

- Phát triển ở HS năng lực tư duy hàm thông qua việc thực hiện các yêu cầu (1) và (2) trong toàn bộ chương trình môn Toán Rèn luyện cho HS những thao tác tư duy, đặc biệt là trừu tượng hóa và khái quát hóa trong việc hình

thành khái niệm hàm số

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng trước hết là tập dượt cho

HS xem xét những sự vật, hiện tượng trong trạng thái động và trong những mối

liên hệ tác động lẫn nhau

1.1.4 Một số kiến thức về hàm số thường được vận dụng vào việc giải PT

và BPT ở trường phổ thông

a) Định nghĩa hàm số

Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực  Một hàm số

f xác định trên D là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x D một và chỉ một số thực y

+) D gọi là tập xác định (miền xác định) của hàm f

+) Phần tử bất kì x D gọi là biến số độc lập (biến số, đối số)

+) Số thực y tương ứng với biến số x gọi là giá trị của hàm số f tại x, kí hiệu là f(x)

+) Tập hợp tất các giá trị y = f(x) với x D được gọi là tập giá trị của

hàm số

b) Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b):

+) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trên khoảng (a; b) nếu với mọi

- Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

+) Nếu f x'( ) 0, x ( ; )a b thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

Trang 13

+) Nếu f x'( ) 0, x ( ; )a b thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)

+) Nếu f x'( ) 0 ( '( )f x 0), x ( ; )a b và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số

hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

c) Cực đại, cực tiểu của hàm số

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và

d) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

+) Số M đƣợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập

D nếu: x D f x: ( ) M, x0 D f x: ( 0) M Kí hiệu: ax ( )

D

+) Số m đƣợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập

D nếu: x D f x: ( ) m, x0 D f x: ( 0) m Kí hiệu: min ( )

D

Trang 14

- Một số định lý:

+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì nó đạt được GTLN, GTNN

và mọi giá trị trung gian giữa GTNN và GTLN trên đoạn đó

+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f’(a).f’(b) < 0 thì tồn tại ít

nhất một điểm c ( ; )a b sao cho f c'( ) 0

+) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu tăng trên [a; b] thì:

trong đó x x1, 2 , x n a b; là các điểm tới hạn của hàm số

1.2 Nội dung dạy học PT, BPT ở trường phổ thông

1.2.1 Vị trí và tầm quan trọng của nội dung PT, BPT trong chương trình toán học ở nhà trường phổ thông

PT, BPT là một trong những khái niệm quan trọng của toán học Theo Ănghen: Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Quan hệ bằng nhau, lớn hơn hoặc nhỏ hơn giữa hai số lượng, giữa hai đại lượng là những quan hệ cơ bản

Lý thuyết PT đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển thành lý thuyết đại số, số học và nó còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ môn khác của toán học Người ta nghiên cứu không chỉ là những PT đại số mà còn cả các

PT vi phân, PT tích phân, PT toán lý, PT hàm…

PT và BPT là một trong những nội dung chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình môn toán ở nhà trường phổ thông Từ lớp 1, HS đã được làm quen

Trang 15

với PT và BPT dưới dạng ẩn tàng là các bài toán điền vào chỗ trống, so sánh…

Có thể nói, xuyên suốt từ lớp 1 cho đến lớp 12, nội dung PT và BPT xuất hiện ở mọi cấp học, bậc học và mọi lớp học Do đó, trình bày lý thuyết PT, BPT một cách hợp lý cũng là một yêu cầu của cải cách giáo dục [19]

1.2.2 Triển khai dạy học PT, BPT qua các lớp ở trường phổ thông

Căn cứ vào nội dung chương trình môn toán ở nước ta hiện nay, chúng ta

có thể thấy:

Trước khi học tường minh về PT và BPT, HS ở bậc tiểu học cũng đã được làm quen một cách ẩn tàng với những bài toán về PT và BPT Ở lớp 1,

HS được làm quen với các bài toán về PT, BPT dưới dạng “điền vào ô trống”

Ở lớp 2, lớp 3, lớp 4, HS được làm quen với các bài toán về PT, BPT dưới dạng

“Tìm x trong các biểu thức” dạng a - x = b; ax = b hay a b

x trên tập hợp số tự

nhiên

Khái niệm PT và BPT được định nghĩa ở lớp 7, sau đó được định nghĩa lại ở lớp 10 Các kiến thức về PT và BPT như quan hệ tương đương, quan hệ hệ quả giữa hai PT và hai BPT, giải PT và BPT được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng lớp và có phần lặp đi lặp lại, nâng cao dần từ lớp 8 đến lớp 10 HS được dần dần làm quen với từng loại PT, BPT thích ứng với những yếu tố lý thuyết đã học

- Lớp 8: HS được học khái niệm PT, ẩn số, nghiệm của PT và giải PT, quan hệ tương đương giữa hai PT và BPT Dạng PT tương ứng: PT, BPT bậc nhất, PT có hệ số bằng chữ, PT có ẩn ở mẫu

- Lớp 9: HS được học về hệ PT, các phép biến đổi tương đương về hệ

PT Dạng PT tương ứng: PT bậc 2 một ẩn số, PT quy về PT bậc 2, hệ PT bậc nhất 2 ẩn số, các phương pháp giải hệ PT

- Lớp 10: Tổng kết và nâng cao những kiến thức về PT mà HS đã được học ở THCS Các dạng PT tương ứng: PT bậc nhất, bậc 2 một ẩn số, hệ PT bậc

Trang 16

nhất 2 ẩn, nhiều ẩn số, hệ PT đưa về một PT bậc 2, đi sâu vào các PT có chứa tham số, BPT bậc 2

- Lớp 11: HS được học về PT lượng giác Các dạng PT tương ứng: PT lượng giác cơ bản, PT bậc nhất, bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

- Lớp 12: HS được học về các PT mũ, lôgarit và PT nghiệm phức

1.2.3 Mục đích yêu cầu trong dạy học PT và BPT ở trường phổ thong

Dạy học PT và BPT ở trường THPT nhằm mục đích yêu cầu sau [19]:

- HS nắm vững khái niệm PT, BPT và những khái niệm có liên quan như: Nghiệm của PT, BPT; giải PT, BPT; phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả

- Thông qua chủ đề PT, BPT cần củng cố và đào sâu cho HS một số kiến thức về tập hợp và lôgic toán như: tập hợp, quan hệ bao hàm, quan hệ giao nhau, các phép toán về tập hợp, giao của các tập hợp, các phép toán lôgíc như kéo theo, tương đương

- HS có kỹ năng giải PT và BPT, thành thạo với việc giải PT và BPT theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi, xác định HS có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập PT, BPT thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hóa những tình huống thực tế, làm quen với một số bài toán tối ưu đơn giản có vận dụng kiến thức về PT và BPT

- HS biết nhìn nhận khái niệm PT, BPT cả về mặt ngữ nghĩa và cú pháp

HS biết cách giải PT, BPT bằng đồ thị, thông qua đó giúp HS thấy được mối quan hệ giữa nội dung PT, BPT với nội dung hàm số

- HS được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải PT và BPT theo thuật giải hoặc theo một hệ quy tắc xác định HS được rèn luyện về tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những PT theo nội dung, những PT không mẫu mực

- HS được rèn luyện về tính quy củ, tính kế hoạch, tính kỷ luật trong việc giải PT và BPT theo thuật giải, theo công thức hoặc theo một hệ thống quy tắc

Trang 17

biến đổi xác định được giáo dục về tính cẩn thận, tính chính xác và thói quen tự kiểm tra trong việc giải PT và BPT nói chung

- HS thấy rõ được ý nghĩa thực tế của PT và BPT thông qua việc giải những bài toán có nội dung vật lý, kỹ thuật và thực tế

1.2.4 Dạy học giải các bài toán về PT và BPT ở trường phổ thông

a) Dạy học biến đổi PT và BPT

Khi dạy học giải các bài toán về PT (BPT), GV thường hướng dẫn HS biến đổi PT (BPT) đã cho về những PT (BPT) đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến những PT (BPT) đã biết cách giải Việc dạy học BPT nhìn chung tương tự như dạy học PT nên trong phần này, chúng tôi chỉ tập trung trình bày về dạy học PT

Biến đổi PT hiểu theo nghĩa rộng bao gồm những phép biến đổi đồng nhất và những phép biến đổi biến số (đặt ẩn phụ) Khi thực hiện phép biến đổi đồng nhất cần phải quan tâm đến miền xác định Khi ta sử dụng những phép biến đổi đồng nhất không làm thay đổi miền xác định của biểu thức biến đổi thì

ta được một PT tương đương Khi ta sử dụng những phép biến đổi đồng nhất làm thay đổi miền xác định của biểu thức biến đổi thì nói chung ta được một

PT không tương đương với PT đã cho Nếu phép biến đổi đó làm cho miền xác định mở rộng thì nói chung dẫn đến PT hệ quả (có thể có thêm nghiệm) Khi

đó, ta phải thử nghiệm vào PT đầu để loại những nghiệm ngoại lai Nếu phép biến đổi làm thu hẹp miền xác định thì nói chung sẽ làm mất nghiệm của phương trình ban đầu Ta cần phải căn cứ vào phép biến đổi để tìm nghiệm đã mất Việc thử nghiệm để loại những nghiệm ngoại lai hoặc tìm những nghiệm

đã mất sẽ gây ra những khó khăn trong khâu tính toán Do vậy khi thực hiện các phép biến đổi đồng nhất phải chú ý đến những phép biến đổi làm thay đổi miền xác định

Ví dụ 1.1: Tìm m để PT x 2 x m 1 (1) có hai nghiệm phân biệt

Một HS giải như sau:

Trang 18

m thì PT (1) có 2 nghiệm phân biệt

Nhận xét: Trong lời giải trên, HS đã mắc sai lầm: phép biến đổi từ PT

(2) sang PT (3) là không tương đương do đã làm mở rộng miền xác định của

PT Trong khi đó, HS lại không tiến hành thử lại để loại nghiệm ngoại lai Do

đó, lời giải bài toán không chính xác

Đáp số đúng của bài toán này: 3 11

tương ứng và ngược lại Có vậy thì hai bài toán mới tương đương

Trang 19

t thì PT (2) có hai nghiệm phân biệt x X

Vậy để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt x X thì (3) phải có hai nghiệm

phân biệt 9;

4

Vậy ta có bài toán 2 như sau: Tìm m để PT t2 2t m 0 có 2 nghiệm

phân biệt lớn hơn 9

4 Bài toán 1 và bài toán 2 tương đương với nhau, tức là

với giá trị m tìm được mà điều kiện bài toán 2 thỏa mãn thì điều kiện bài toán 1

củ, hợp lý trong suy nghĩ và hành động Hai phương diện này cũng phản ánh hai loại hình tư duy quan trọng trong toán học: tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp

Việc dạy học PT, BPT có thể được khai thác để rèn luyện cho HS cả hai loại hình tư duy và hoạt động nói trên Muốn vậy, ta cần giải quyết hợp lý mối

Trang 20

quan hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học PT và BPT Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng trong dạy học PT, ban đầu cần chú trọng chủ yếu là phương diện ngữ nghĩa, càng về sau càng tăng cường thêm những yếu tố về mặt cú pháp nhưng không được lãng quên mặt ngữ nghĩa [19]

Đến lớp 12, thông qua việc học đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, ta có thể hướng dẫn HS vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải bài toán "so sánh số với hai nghiệm của PT bậc hai" theo một phương pháp khác chú trong hơn về mặt ngữ nghĩa Nhờ đó, HS được làm quen với những phương pháp tương ứng mà nhận ra sự cần thiết của phương pháp này

Ví dụ 1.3: Với giá trị nào của m thì PT:

2

a) Có hai nghiệm lớn hơn -1

b) Có hai nghiệm nằm giữa -2 và 3

Ta có thể hướng dẫn HS lớp 12 ứng dụng đạo hàm để giải bài toán này

(3)

x m

x

Đặt

2 2

Trang 21

1 -3

Từ kiến thức về hàm số và đồ thị ta có thể hướng dẫn HS nhận thấy: a) PT có hai nghiệm lớn hơn -1 khi 3 m 1

b) PT có hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 khi 15 7

+ Nếu ' 0 m 2 thì (1) có nghiệm x ( ; )x1 ( ; )x2 , trong đó

x1 và x2 là nghiệm của f(x) = 0 và x1 < x2) BPT (1) nghiệm đúng x 0;2 khi

Trang 22

Từ kết quả hai trường hợp trên, suy ra với m 1 thì BPT (1) nghiệm đúng x 0;2

Song với bài toán này ta có thể hướng dẫn HS lớp 12 sử dụng đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số 2

Như vậy, ta có thể hướng dẫn HS giải bài toán trên bằng hai cách khác nhau Theo cách thứ nhất, ta vận dụng cho HS quy tắc có tính thuật giải Việc làm đó được lặp đi lặp lại nhiều lần với một quy tắc xác định sẽ giúp HS nâng cao được năng lực giải toán về PT, BPT và kỹ năng, kỹ xảo giải PT, BPT được phát triển Theo cách thứ hai, xuất phát từ nội dung bài toán, trên quan điểm hàm số ta hướng dẫn HS tìm được lời giải Việc làm đó có tác dụng gây hứng thú học tập, bồi dưỡng khả năng sáng tạo, tư duy linh hoạt, chống máy móc hình thức theo khuân mẫu cho HS

Như vậy, tương ứng với mỗi nội dung tri thức, ta có thể tập luyện cho

HS những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp cần được thông

Trang 23

báo cho HS trong hoạt động giải toán về PT và BPT Đây cũng là một trong những hoạt động quan trọng trong chương trình môn toán ở trường phổ thông cho HS

c) Một số phương pháp giải các dạng toán về PT và BPT

Các bài toán về PT, BPT cũng như hệ PT có thể xem như những dạng toán cơ bản của chương trình đại số ở bậc THPT Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải Chủ đề PT, BPT trong chương trình toán ở trường phổ thông có nội dung rất phong phú Vì vậy trong phạm vi của đề tài này, chúng tôi không có tham vọng có thể xem xét hết các khía cạnh của vấn đề này Tuy nhiên, việc hệ thông hóa các phương pháp giải các bài toán về PT và BPT sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán, từ đó giúp cho HS thấy được thuật toán chung để giải một số dạng PT, BPT Các phương pháp giải toán ở đây chủ yếu có tính định hướng chung cho những bài toán cơ bản thường gặp trong sách giáo khoa và trong các kì thi

Các phương pháp thường áp dụng để giải PT, BPT

1 Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả

2 Phương pháp đổi biến số

3 Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai

Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả

Khi giải một PT, BPT, hệ PT ta có thể biến đổi chúng về PT, BPT, hệ PT tương đương hay hệ quả đã biết cách giải nhờ vào các phép biến đổi đã biết Tuy nhiên, cần hạn chế biến đổi BPT đã cho về BPT hệ quả

Trang 24

Ví dụ 1.5: Giải hệ PT:

3 3

Vậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm: (0;0); ( 11; 11); ( 11; 11)

Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ)

Do một bộ phận khá lớn các PT, BPT giải được bằng cách dùng ẩn phụ nên ta có thể xem việc dùng ẩn phụ để giải PT, BPT là một trong các đường lối chủ yếu

Để giải PT, BPT ta có thể thực hiện theo các bước sau:

- Đặt ẩn số ban đầu: x ( )t hay t ( )x trong đó t được coi là ẩn số,

là hàm số liên tục theo biến t sao cho khi t biến thiên trên tập D 1 thì x biến thiên

trên tập xác định D của PT hay BPT đã cho

- Giải PT hay BPT theo ẩn số mới t

- Kết hợp với tập xác định D và các điều kiện ràng buộc khác, đưa ra kết luận về nghiệm theo ẩn ban đầu

Ví dụ 1.6: Tìm các giá trị của tham số a để PT sau có nghiệm

Trang 25

(1 3 )3

Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai

Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai thường được áp dụng để giải các bài toán về PT và BPT Vì khá nhiều PT bậc cao, PT vô tỷ, PT siêu việt thông qua một vài phép biến đổi sẽ dẫn tới một PT bậc hai

Phép giải các bài toán về PT bậc hai dựa trên việc xét dấu biểu thức hoặc dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai Các bài toán về PT bậc hai thường gặp ở hai dạng:

Dạng 1: Các bài toán về điều kiện tồn tại nghiệm

Dạng 2: Các bài toán về tính chất nghiệm

Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh

Trang 26

Suy ra, PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

Vậy, PT đã cho luôn có nghiệm

Phương pháp đánh giá

Khi giải toán về PT, BPT ta thường gặp nhiều bài toán không thể giải được bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc biến đổi Những bài toán như vậy thường được gọi là “bài toán không mẫu mực” Những bài toán này có tác dụng không nhỏ trong việc rèn tư duy toán học và có thể giải bằng cách sau:

- Đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán

- Áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc như Côsi, Bunhiacốpski và các bất đẳng thức khác

Trang 27

Suy ra, PT (2) vô nghiệm

Vậy, PT (1) có nghiệm duy nhất là x = 1

Phương pháp đồ thị

Phương pháp đồ thị giúp HS có thể giải được các bài toán tìm giá trị của tham số để PT hoặc BPT thỏa mãn một điều kiện nào đó Đôi khi từ những hình dạng một đồ thị của một hàm số nào đó, ta có thể tìm được một phương pháp khác để giải bài toán đã cho

Ví dụ 1.9: Tìm điều kiện để PT 3 2

ax bx cx d 0(1) có đúng ba nghiệm dương

a y S

a y

Phương pháp miền giá trị

Nội dung của phương pháp này là tìm miền giá trị của hàm số rồi từ đó suy ra những yêu cầu của bài toán

Trang 28

Xét hàm số sin 22 3

x y

x luôn đúng Tức là PT (2) dưới đây có nghiệm

Nhờ đó, bài toán gián tiếp được giải quyết

Trang 29

x -1 -2 3 f’(x) - 0 +

1.3.1 Sai lầm khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1.12 Chứng minh rằng BPT sinx x nghiệm đúng x 0

- Một HS giải như sau: Xét hàm số ( ) f x x sinx với x 0

Ta có f x'( ) 1 cosx 0; x 0

Do đó, hàm số f(x) luôn đồng biến trên khoảng 0;

Suy ra, ta có ( )f x f(0), x 0 x sinx 0, x 0

Suy ra, sinx x nghiệm đúng x 0

- Phân tích lời giải của HS: Đây là một sai lầm tương đối phổ biến của

HS khi sử dụng tính đơn điệu Trong lời giải trên, HS đã vận dụng kiến thức

“Nếu hàm số y f x đồng biến trên D thì ( ) f u( ) f v( ) u v , u v, D” Tuy nhiên, trong lời giải trên HS mới chứng minh được hàm số y f x đồng ( )biến trên khoảng 0; nên không thể so sánh ( )f x với (0) f Do đó, lời giải của bài toán chưa chính xác

- Lời giải đúng: Xét ( ) f x x sinx với x 0

Ta có f x'( ) 1 cosx 0; x 0

Suy ra, hàm số f(x) luôn đồng biến trên 0;

Trang 30

Suy ra, ta có ( )f x f(0), x 0 x sinx 0, x 0

Do đó sinx x nghiệm đúng x 0

1.3.2 Sai lầm khi lập bảng biến thiên: Tính kết quả tại các điểm cực trị,

tính giới hạn tại các điểm tới hạn

Ví dụ 1.13: Tìm các giá trị tham số m để BPT

2

nghiệm đúng với mọi x thuộc 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có BPT (1) nghiệm đúng với mọi x khi và

chỉ khi BPT (2) nghiệm đúng với mọi t > 0 Điều đó xảy ra khi m >1

Trang 31

- Phân tích lời giải của HS: Lời giải trên mắc sai lầm khi HS tính giới

hạn của hàm số tại vô cực HS đã mắc thói quen, cứ thấy giới hạn tại vô cực là

hàm số tiến ra vô cực Do đó, lời giải của bài toán chƣa chính xác

- Lời giải đúng: BPT (1) xác định với mọi x thuộc 

Đặt t = 2x

, (t >0) Khi đó, BPT (1) trở thành

mt2 + 4(m - 1)t + m - 1 > 0 (t2 + 4t +1)m > 4t + 1 (2) Với t > 0 thì t2 + 4t + 1 > 0 Chia hai vế BPT (2) với t ta đƣợc:

0 Dựa vào bảng biến thiên, ta có BPT (1) nghiệm đúng với mọi x khi và

chỉ khi BPT (2) nghiệm đúng với mọi t > 0 Điều đó xảy ra khi m >1

1.3.3 Sai lầm khi xác định hàm f(x) và miền xác định D

Ví dụ 1.14: Tìm giá trị của tham số m để hệ PT sau có nghiệm

Trang 32

- Một HS giải như sau: Điều kiện x.y ≠ 0

7

4

Trang 33

Dựa vào bảng biến thiên, ta có 7

4

- Phân tích lời giải của HS: Sai lầm của lời giải trên là HS đã đặt ẩn phụ

nhƣng không lấy điều kiện cho ẩn phụ dẫn đến sai lầm khi xác định miền xác định D của hàm số f(t) Do đó, lời giải của bài toán chƣa chính xác

- Lời giải đúng: Điều kiện x.y ≠ 0

Ta có f’(t) = 2t – 5 và f’ t 0 t 5

2

Ta có bảng biến thiên:

Trang 34

22

7

4 Theo điều kiện của u và v Hệ PT có nghiệm khi PT (1) có hai nghiệm t1;

t2 thoả t2 t1 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có 7 2 22

- Phân tích lời giải của HS: Trong lời giải trên, HS đã mắc sai lầm khi

xét dấu của f’(x) HS có là thói quen cho rằng các khoảng liên tiếp sẽ đan dấu

Trang 35

nhau mà không để ý rằng qua giá trị 3

Trang 36

Xét hàm số

2

1( )

Ta có, PT (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm t 1;

Dựa vào bảng biến thiên ta được: 2

7

- Phân tích lời giải của HS: Sai lầm trong lời giải trên của HS là khi chia

hai vế của PT t2 1 m 4t 3 cho 4t 3, HS không xét trường hợp

4t 3 0 dẫn đến PT thu được không tương đương với PT đã cho Do đó, lời giải của bài toán chưa chính xác

Trang 37

Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lượng đào tạo, trong những

đây, việc vận dụng phương pháp hàm số để giải một số dạng toán về PT và BPT đang được áp dụng rộng rãi Trong các đề thi Đại học, Cao đẳng hay các

đề thi HS giỏi của các tỉnh những năm gần đây luôn có những bài toán vận dụng phương pháp hàm số

Đây là một phương pháp không mới đối với những GV đã ra trường khoảng 6, 7 năm trở lại đây nên đại đa số các GV này đều sử dụng phương pháp hàm số khi dạy HS lớp 12 nếu bài toán đó có thể sử dụng được vì những ưu điểm nổi bật của nó: đơn giản, an toàn trong quá trình tính toán và không cần phải sử dụng tư duy quá cao, nên phương pháp này phù hợp cho cả những đối tượng HS trung bình mà nếu sử dụng phương pháp thông thường sẽ khó giải được

Qua trao đổi, tìm hiểu từ 23 GV toán của 3 trường THPT Sáng Sơn, THPT Bình Sơn và THPT Ngô Gia Tự, chúng tôi nhận thấy: có 12/23 GV thường xuyên

Trang 38

sử dụng phương pháp hàm số, 5/23 GV ít khi sử dụng phương pháp hàm số còn 6/23 GV không sử dụng phương pháp này 12 GV thường xuyên sử dụng phương pháp này cho HS đều là những GV cốt cán của các trường, thường dạy những lớp chọn, ôn thi đại học và HS giỏi Các GV ít hoặc không sử dụng phương pháp này cho HS thường là mới ra trường chủ yếu dạy các lớp đại trà

Qua trao đổi đối với 35 HS của hai lớp 12A2, 12A3 của trường THPT Sáng Sơn, khi gặp một bài toán mà ngoài cách giải thông thường có thể sử dụng phương pháp hàm số, 15/35 HS nghĩ đến sử dụng phương pháp hàm số, 20/35 HS còn lại không biết định hướng giải bài toán theo phương pháp nào hay sử dụng các phương pháp thông thường

Một rào cản cũng khiến GV và HS gặp khó khăn khi sử dụng phương pháp hàm số đó là làm sao để có thể chọn được đúng hàm số cần xét, khi nào, gặp bài toán nào thì có thể sử dụng được phương pháp hàm số? GV thường gặp nhiều khó khăn khi mới bắt đầu giảng về phương pháp này vì đối với HS, việc chuyển đổi từ tư duy giải toán thông thường sang tư duy hàm là tương đối khó khăn Nhưng thực tế nhiều năm giảng dạy cho thấy, khi đã tiếp cận phương pháp hàm số, HS rất có hứng thú học và điểm thi đại học của trường THPT Sáng Sơn cũng đã được cải thiện đáng kể

1.5 Kết luận chương 1

Từ nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các quan điểm khác nhau của nhiều tác giả, Chương 1 của luận văn, chúng tôi đã trình bày một cách khái quát được các vấn đề như: Nội dung dạy học hàm số ở trường phổ thông; nội dung dạy học PT, BPT ở trường phổ thông; một số sai lầm thường gặp khi giải toán PT và BPT bằng phương pháp hàm số; thực trạng vận dụng phương pháp hàm số để giải một số dạng toán về PT và BPT của HS phổ thông

c

ứu việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số

ở Chương 2

Trang 39

CHƯƠNG 2 DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

và có chứng minh một số mệnh đề sẽ được sử dụng

1 Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn ( ) a b; thì hàm số đó đạt GTLN; GTNN trên đoạn a b; GTLN và GTNN của hàm số y f x trên ( )đoạn a b; kí hiệu là:

Trang 40

5 Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn ( ) a b; và có đạo hàm trên khoảng a b; thì tồn tại điểm c a b; sao cho ( )f b f a( ) f c'( ).(b a )

6 Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a b; , có đạo hàm trên khoảng a b; và ( )f a f b thì tồn tại điểm ( ) c a b; sao cho f c'( ) 0

7 Nếu hàm số y f x có đạo hàm trên ( ) a b; và PT f x'( ) 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn a b; thì trên đoạn a b; , PT ( )f x 0 không thể có quá hai nghiệm

8 Giả sử các hàm số y f x và ( ) y g x liên tục trên miền D và giả ( )thiết rằng tồn tại các GTLN và GTNN của các hàm số trên miền đó Khi đó, ta

x D f x , tức là không thuộc tập giá trị m M; của hàm số f x , ( )

có nghĩa là m hoặc M , trái với giả thiết m M

Vậy PT ( )f x có nghiệm trên D

Mệnh đề 2

a) Nếu hàm số f x đồng biến (nghịch biến) trên D thì nghiệm của PT ( )( )

f x (nếu có) là duy nhất

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	2,03 MB