Dạy học giải toán phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HOÀNG TRUNG HIẾU DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thái Nguyên, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HOÀNG TRUNG HIẾU DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT Chuyên ngành: Lí luận và PPDH môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Việt Cƣờng Thái Nguyên, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả luận văn Hoàng Trung Hiếu Xác nhận của trƣởng khoa chuyên môn Xác nhận của ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS. Trần Việt Cường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ Lời cam đoan i Mục lục ii Danh mục ký hiệu, từ viết tắt iii MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4 1.1. Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng THPT 4 1.2. Nội dung dạy học PT, BPT ở trƣờng THPT 9 1.3. Một số sai lầm thƣờng gặp khi giải toán PT và BPT bằng phƣơng pháp hàm số 24 1.4. Thực trạng vận dụng phƣơng pháp hàm số để giải một số dạng toán về PT và BPT của HS phổ thông 32 1.5. Kết luận chƣơng I 33 Chƣơng 2. DẠY HỌC GIẢI TOÁN PT VÀ BPT BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT 34 2.1. Một số kiến thức cơ bản liên quan giữa hàm số, PT và BPT 34 2.2. Vận dụng các kết quả nghiên cứu hàm số để giải các bài toán về PT và BPT 38 2.3. Một số chú ý khi dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT 63 2.4. Kết luận chƣơng 2 65 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 66 3.1. Mụ c nghiệm sƣ phạm 66 3.2. Nộ ệm sƣ phạm 66 3.3. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm 67 ệm sƣ phạm 67 3.5. Kết luận chƣơng 3 72 KẾT LUẬN 73 CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 74 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN TT Viết tắt Cụm từ viết tắt 1. BPT Bất phƣơng trình 2. GTLN Giá trị lớn nhất 3. GTNN Giá trị nhỏ nhất 4. GV 5. HS Học sinh 6. NXB Nhà xuất bản 7. PPDH Phƣơng pháp dạy học 8. PT Phƣơng trình 9. THPT Trung học phổ thông 10. TXĐ Tập xác định Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong đổi mới phƣơng pháp dạy học (PPDH) môn Toán ở trƣờng Trung học phổ thông (THPT), đổi mới PPDH giải bài tập có vai trò quan trọng vì: “Ở trƣờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán. Học sinh (HS) có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trƣờng phổ thông là một phƣơng tiện hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học ở trƣờng phổ thông” ([16]). Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán đƣợc sử dụng với nhiều chức năng khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Giải toán giúp cho HS hình thành đƣợc thế giới quan duy vật biện chứng, gây hứng thú học tập, say mê tìm tòi sáng tạo. Trong nội dung chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, phƣơng trình (PT) và Bất phƣơng trình (BPT) là một trong những nội dung quan trọng và chiếm một khối lƣợng lớn kiến thức, cũng nhƣ thời gian học ở trƣờng phổ thông. Chủ đề PT, BPT có mối liên hệ mật thiết với chủ đề hàm số. Hơn nữa, việc sử dụng các tính chất của hàm số trong giải một số dạng toán tỏ ra khá hiệu quả. Bởi vậy, việc sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm số để giải các bài toán về PT và BPT là điều cần thiết và bổ ích đối với HS. Phƣơng pháp giải các bài toán về PT và BPT bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu về hàm số ta có thể gọi là "phƣơng pháp hàm số". Phƣơng pháp hàm số không phải là phƣơng pháp có tính chất thuật giải nhƣ phƣơng pháp giải PT bậc hai bằng cách tính biệt số , nhƣng cũng không hoàn toàn là một phƣơng pháp có tính chất tìm kiếm nhƣ quy lạ về quen, tƣơng tự hóa Vì vậy, chúng tôi nghĩ rằng cần nghiên cứu phƣơng pháp này để có cách truyền thụ thích hợp cho HS. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Phƣơng pháp hàm số cũng nhƣ mọi phƣơng pháp khác không phải thích hợp cho mọi bài toán về PT và BPT. Tuy vậy, số bài tập có thể áp dụng đƣợc phƣơng pháp hàm số để giải cũng không phải là ít. Thực tế cho thấy, phƣơng pháp hàm số ít đƣợc áp dụng trong nhà trƣờng phổ thông nên có thể xem là phƣơng pháp mới. Thông qua cách giải bằng phƣơng pháp hàm số, HS thấy đƣợc sự liên hệ mật thiết giữa hàm số và PT, BPT, thấy đƣợc sự tác động qua lại giữa chúng, bổ sung và hỗ trợ cho nhau và cho ta thấy đƣợc mối quan hệ chặt chẽ giữa đại số và giải tích. Giải toán bằng phƣơng pháp hàm số giúp HS phát triển khả năng tổng hợp, rèn luyện tƣ duy linh hoạt, sáng tạo Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Dạy học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT”. 2. Mục đích nghiên cứu Dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT. 3. Giả thuyết khoa học Nếu dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT một cách hợp lý thì sẽ góp phần nâng cao khả năng giải toán PT và BPT cho HS THPT. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu về vai trò của phƣơng pháp hàm số trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông. - Nghiên cứu việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT. - Bƣớc đầu thử nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của việc dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về PPDH toán và các tài liệu có liên quan tới đề tài. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu hồ sơ kinh nghiệm dạy học của giáo viên (GV) phổ thông để thấy đƣợc vƣớng mắc và khó khăn của HS khi học nội dung này. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm dạy học một số nội dung hƣớng dẫn HS giải bài toán về PT và BPT bằng phƣơng pháp hàm số để bƣớc đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc nghiên cứu. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, luận văn gồm có các nội dung sau: Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chƣơng 2. Dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT. Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Nội dung dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông 1.1.1. Vị trí và tầm quan trọng của nội dung hàm số Khi đánh giá về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm số trong chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông, nhà toán học Khinsin viết: “Không có khái niệm nào khác có thể phản ánh hiện thực khách quan một cách trực tiếp và cụ thể nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm, không có một khái niệm nào có thể thể hiện đƣợc ở trong nó những nét biện chứng của tƣ duy toán học hiện đại nhƣ khái niệm tƣơng quan hàm” [19]. Thật vậy, bản chất của vật chất là vận động và sự vận động diễn ra trong những mối tƣơng quan nhất định. Với khái niệm hàm, ngƣời ta nghiên cứu các sự vật trong trạng thái biến đổi liên tục và trong mối liên hệ tác động lẫn nhau của nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại và tách rời nhau. Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tƣ duy biện chứng trong quá trình nghiên cứu. Chính vì vậy, khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm trong chƣơng trình môn Toán ở nhà trƣờng phổ thông. Việc dạy học môn toán ở nhà trƣờng phổ thông cho HS đều đƣợc xoay quanh khái niệm này [19]. Việc đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cƣờng tính thống nhất của sách giáo khoa phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới “giả tạo” giữa các phân môn toán học, giữa các phần khác nhau của chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông. Quan điểm này đƣợc thể hiện rõ nét trong chƣơng trình toán THPT [16]. Việc làm cho HS nắm vững khái niệm hàm sẽ giúp cho HS học tập thuận lợi và có kết quả tốt các nội dung có liên quan nhƣ: Đại số, lƣợng giác, hình học và vật lý… 1.1.2. Sơ lƣợc quá trình hình thành và phát triển nội dung dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông Căn cứ vào nội dung chƣơng trình môn toán ở nƣớc ta hiện nay, chúng ta thấy: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Trƣớc lớp 7: HS chƣa đƣợc học định nghĩa hàm số một cách tƣờng minh. Tuy nhiên, HS dần đƣợc tiếp xúc với những ví dụ cụ thể của khái niệm này. Chẳng hạn một số phép toán số học hoặc đại số ở trƣờng THCS. Ở lớp 7: HS bắt đầu đƣợc giới thiệu định nghĩa hàm số, khái niệm đồ thị hàm số, tiếp đó là nghiên cứu một số hàm số cụ thể: Hàm số y = ax (a ≠ 0) và hàm số a ( 0)ya x . Trên tập số hữu tỷ thể hiện sự tƣơng quan đại lƣợng tỉ lệ thuận và đại lƣợng tỉ lệ nghịch. Lớp 9: HS đƣợc xét các hàm số trên tập số thực  hoàn chỉnh hơn và bắt đầu đƣợc làm quen với khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Sau đó, HS đƣợc nghiên cứu các hàm số bậc nhất y = ax (a ≠ 0) và hàm số y = ax 2 (a ≠ 0) trên  . Lớp 10: HS đƣợc nghiên cứu một cách chính hơn hơn, đầy đủ hơn các vấn đề về hàm số nhƣ: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số đồng thời đƣa ra các khái niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số, hàm số chẵn, hàm số lẻ. Tiếp đó, HS đƣợc nghiên cứu hàm số bậc hai dạng tổng quát. Lớp 11: HS đƣợc học về hàm số lƣợng giác, hàm số với đối số là số tự nhiên: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Việc khảo sát hàm số trƣớc lớp 12 đƣợc tiến hành bằng phƣơng pháp sơ cấp (chủ yếu dựa vào các tính chất đã biết của hàm số). Lớp 12: HS đƣợc làm quen với việc sử dụng đạo hàm để nghiên cứu các tính chất của hàm số nhƣ: Tính đồng biến, nghịch biến, cực trị… của hàm số. HS sử dụng những kiến thức này để khảo sát một số hàm số nhƣ: 32 ax ( 0)y bx cx d a 42 ax ( 0)y bx c a ax ( 0) b y ad bc cx d [...]... số với đối số nguyên, hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, giới hạn, liên tục… Việc khảo sát hàm số ở THPT đƣợc tiến hành qua hai giai đoạn: Giai đoạn I (Lớp 10, 11): Khảo sát bằng phƣơng pháp sơ cấp các hàm số bậc hai, hàm số lƣợng giác… Giai đoạn II (Lớp 12): Khảo sát bằng phƣơng pháp dùng đạo hàm các hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số bậc ba, hàm số. .. (Chương trình nâng cao) px q Ngoài ra trong chƣơng trình lớp 12, HS đƣợc nghiên cứu về các hàm số khác: hàm lũy thừa, hàm căn thức, hàm số mũ, hàm số lôgarit 1.1.3 Mục đích yêu cầu dạy học hàm số ở trƣờng phổ thông Nghiên cứu hàm số đƣợc coi là nhiệm vụ chủ yếu xuyên suốt chƣơng trình THPT Nhiều kiến thức mở đầu về hàm số đƣợc học ở bậc THCS Chƣơng trình THPT hệ thống lại có bổ sung và hoàn chỉnh hơn: Hàm. .. chƣơng trình môn toán ở nhà trƣờng phổ thông (1) - HS nắm vững đƣợc phƣơng pháp khảo sát hàm số bằng phƣơng pháp sơ cấp và bằng công cụ đạo hàm, biết vận dụng những phƣơng pháp đó để khảo sát một số hàm số cụ thể (Các hàm đa thức, hàm phân thức, hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm số lƣợng giác…) và tiến tới rèn luyện kỹ năng thành thạo về mặt này Thấy đƣợc mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị cũng nhƣ... phƣơng pháp cần đƣợc thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ báo cho HS trong hoạt động giải toán về PT và BPT Đây cũng là một trong những hoạt động quan trọng trong chƣơng trình môn toán ở trƣờng phổ thông cho HS c) Một số phƣơng pháp giải các dạng toán về PT và BPT Các bài toán về PT, BPT cũng nhƣ hệ PT có thể xem nhƣ những dạng toán cơ bản của chƣơng trình đại số ở bậc THPT. .. 1 15 33 27 12 33 27 m 12 33 12 Phương pháp đạo hàm Khi giải một PT, BPT hay hệ PT, ta có thể áp dụng phép tính đạo hàm nhƣ một phƣơng pháp giải Ý tƣởng chung của phƣơng pháp này: Quy bài toán đã cho về việc xem xét hàm số y f ( x) có đạo hàm trên tập X nào đó Sử dụng các định lý về đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số y f ( x) Nhờ đó, bài toán gián tiếp đƣợc giải quyết Ví dụ 1.11: Tìm m để... thuật toán chung để giải một số dạng PT, BPT Các phƣơng pháp giải toán ở đây chủ yếu có tính định hƣớng chung cho những bài toán cơ bản thƣờng gặp trong sách giáo khoa và trong các kì thi Các phƣơng pháp thƣờng áp dụng để giải PT, BPT 1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng, biến đổi hệ quả 2 Phƣơng pháp đổi biến số 3 Phƣơng pháp sử dụng tam thức bậc hai 4 Phƣơng pháp đánh giá 5 Phƣơng pháp đồ thị 6 Phƣơng pháp. .. 1.1.4 Một số kiến thức về hàm số thƣờng đƣợc vận dụng vào việc giải PT và BPT ở trƣờng phổ thông a) Định nghĩa hàm số Cho D là một tập con khác rỗng của tập hợp các số thực  Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tƣơng ứng mỗi phần tử x D một và chỉ một số thực y +) D gọi là tập xác định (miền xác định) của hàm f +) Phần tử bất kì x D gọi là biến số độc lập (biến số, đối số) +) Số thực y... phƣờng, hàm số bậc nhất/bậc nhất và hàm số bậc hai/ bậc nhất… Từ đó, mục đích yêu cầu trong dạy học hàm số ở trƣờng THPT là [19]: - HS nắm vững đƣợc khái niệm hàm số và các khái niệm có liên quan, thấy đƣợc những dạng khác nhau muôn hình muôn vẻ của khái niệm này trong các phân môn toán học và qua các chƣơng mục khác nhau, từ đó thấy đƣợc vị trí trung tâm của khái niệm này trong toàn bộ chƣơng trình môn toán. .. sát hàm số trong giải toán, đặc biệt là trong việc giải PT, BPT và giải các bài toán cực trị (2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ - Phát triển ở HS năng lực tƣ duy hàm thông qua việc thực hiện các yêu cầu (1) và (2) trong toàn bộ chƣơng trình môn Toán Rèn luyện cho HS những thao tác tƣ duy, đặc biệt là trừu tƣợng hóa và khái quát hóa trong việc hình thành khái niệm hàm số -... trọng trong toán học: tƣ duy ngữ nghĩa và tƣ duy cú pháp Việc dạy học PT, BPT có thể đƣợc khai thác để rèn luyện cho HS cả hai loại hình tƣ duy và hoạt động nói trên Muốn vậy, ta cần giải quyết hợp lý mối Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ quan hệ giữa hai phƣơng diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học PT và BPT Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng trong dạy học PT, ban . học giải toán PT, BPT bằng phương pháp hàm số ở trường THPT . 2. Mục đích nghiên cứu Dạy học giải toán PT, BPT bằng phƣơng pháp hàm số ở trƣờng THPT. 3. Giả thuyết khoa học Nếu dạy học giải. DẠY HỌC GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Ở TRƢỜNG THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thái Nguyên, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học. chƣơng trình THPT. Nhiều kiến thức mở đầu về hàm số đƣợc học ở bậc THCS. Chƣơng trình THPT hệ thống lại có bổ sung và hoàn chỉnh hơn: Hàm số với đối số nguyên, hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần