Nội dung chủ yếu của luận văn là đi tìm các biểu diễn tensor của không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector và vận dụng các biểu diễn đó để giải quyết một số bài toán về sự trùng nhau của các topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình. Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về không gian vector topo và không gian lồi địa phương cùng một số lớp không gian lồi địa phương quan trọng. Tìm hiểu được một số kiểu tích tensor và tính chất của chúng trên một số lớp không gian quan trọng này. Mô tả tương đối chi tiết về các topo thường gặp nhất trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector cũng như trên không gian các đa thức thuần nhất liên tục đồng thời chỉ ra thứ tự của chúng trên các không gian này. Mở rộng được một số kết quả trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng đến không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY BIỂU DIỄN TENSOR CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY BIỂU DIỄN TENSOR CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Thái Thuần Quang Bình Định - 2012 Mục lục Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii Mở đầu iv Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian vector topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tích tensor xạ ảnh và tích tensor nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Tích tensor xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Tích ε-tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Giới hạn quy nạp và giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Giới hạn quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Một số không gian lồi địa phương quan trọng . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Không gian Fréchet và đối ngẫu Fréchet . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Không gian Schwartz và không gian Montel . . . . . . . . . 16 1.4.3 Không gian hạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.4 Không gian các dãy K¨othe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.5 Không gian các chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 i ii Chương 2. Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình 24 2.1 Không gian các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Hàm chỉnh hình - Mầm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Không gian hàm chỉnh hình và mầm chỉnh hình . . . . . . . 30 2.2 Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình . . . . . . . . 35 Chương 3. Một số ứng dụng 42 3.1 Luật mũ với các topo τ 0 , τ ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Sự trùng nhau của các topo τ 0 , τ b , τ ω trên không gian các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Tính chất (QNo) và (QNo)’ trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Γ : Toán tử bao lồi cân Γ : Toán tử bao đóng của bao lồi cân E : Đối ngẫu đại số của E E : Đối ngẫu topo của E E co : Không gian E với topo compact mở A : polar của tập A E V : Không gian Banach kết hợp với lân cận V E V : Không gian Banach sinh bởi V E intU : Phần trong của U U : Bao đóng của U L E : Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E E H b E, F : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn của E giá trị trong F P n E, F : Không gian các đa thức n-thuần nhất liên tục từ E F H U : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng H U, F : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F H K : Không gian các mầm chỉnh hình trên K giá trị vô hướng H K, F : Không gian các mầm chỉnh hình trên K giá trị trong F DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT t.ư : tương ứng iv Mở đầu Hai bài toán topo trên không gian các hàm chỉnh hình rất được quan tâm là bài toán phân lớp topo và xét sự trùng nhau của chúng. Các topo tự nhiên nhất trên không gian các hàm chỉnh hình phải kể đến lần lượt là topo compact mở τ 0 , topo τ b , topo Nachbin τ ω , topo τ δ và topo mạnh β. Việc nghiên cứu các topo này trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng H U cũng như trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector H U, F đã đạt được nhiều kết quả đáng chú ý. Một trong những kết quả rất sớm về sự trùng nhau của các topo τ 0 và τ ω trên H U được Ansemil và Ponte tìm ra vào năm 1988 (xem [10]). Sau đó vào năm 1991, P. Galindo, D. Garcia và M. Maestre [10] đã đưa ra các điều kiện về (BB) tính chất và T-không gian trên không gian Fréchet-Montel để τ 0 τ ω trên H U . Thậm chí đẳng thức này vẫn đúng nếu U là tập con mở cân của không gian Fréchet-Montel Hilbert. Một số kết quả tương tự cũng được A. Defant và M. Maestre [7] chỉ ra vào năm 1993. Các kết quả trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector H U, F được tìm ra muộn hơn. Vào năm 1994, T. Bonet, P. Doma´nski và J. Mujica [6] đã giới thiệu một kỹ thuật tuyến tính hoá mầm chỉnh hình giá trị vector. Phương pháp này cho phép chúng ta nghiên cứu hàm chỉnh hình giá trị vector thông qua các hàm tuyến tính thuận tiện hơn nhiều. Đến năm 1996, C. Boyd và A. Peris [5] đã đưa ra các mô tả xạ ảnh của topo Nachbin τ ω trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector H U, X . Kết quả là các tác giả này đã chỉ ra được sự trùng nhau của τ 0 τ ω và τ b τ ω trên H U, X . Rõ ràng việc nghiên cứu các topo này trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng H U có nhiều thuận lợi so với trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector H U, F . Do đó, ngoài cách tuyến tính hoá các hàm chỉnh hình như trong [6] thì một điều tự nhiên là phải đi tìm cách biểu diễn các hàm chỉnh hình giá trị vector thông qua các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng. Một công cụ hiện đại ngày nay giúp chúng ta thực hiện điều này là sử dụng tích tensor. Tích tensor cho phép biểu diễn H U, F , τ dưới dạng tích tensor của H U , τ và F , tức là các biểu diễn dạng H U, F , τ H U , τ π F. (*) Bởi tầm quan trọng của nó, nhiều bài toán được đặt ra trên tích tensor giữa các v không gian cho đến nay vẫn còn là một trong những hướng nghiên cứu lớn của toán học. Chẳng hạn như “Bài toán topo của Grothendick” rất nổi tiếng được đề xướng từ những năm 50 của thế kỷ trước cho đến nay được phân chia theo nhiều mảng nghiên cứu khác nhau và vẫn đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Chính vì lẽ đó, mục đích chính của luận văn là đi tìm các biểu diễn dưới dạng tích tensor của không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector có dạng (*) và vận dụng các biểu diễn trên để giải quyết một số bài toán về sự trùng nhau, không trùng nhau của các topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector. Để đạt được các mục đích trên, ngoài mục lục, bảng ký hiệu chữ viết tắt, phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chúng tôi chia thành ba chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này được chúng tôi dành để trình bày các kiến thức cơ cở cần thiết nhất về không gian vector topo, không gian lồi địa phương, giới hạn quy nạp, giới hạn xạ ảnh và các kiểu tích tensor cùng các tính chất của chúng. Chúng tôi kết thúc chương này bằng việc trình bày một số lớp không gian lồi địa phương quan trọng được sử dụng ở các chương tiếp theo. Chương 2. Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình. Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết về hàm (mầm) chỉnh hình giữa các không gian lồi địa phương. Chúng tôi cũng mô tả và định nghĩa các topo compact mở τ 0 , topo τ b , topo Nachbin τ ω , topo τ δ và topo mạnh β trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector. Cuối chương này dành cho việc trình bày các kết quả chính đạt được là các biểu diễn tensor của không gian các hàm (mầm) chỉnh hình dưới dạng (*). Chương 3. Một số ứng dụng. Chương này dành cho việc trình bày ứng dụng của các kết quả chính trong Chương 2. Đó chính là việc mở rộng các kết quả topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng lên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector trên một số lớp không gian cụ thể. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và đầy nhiệt tâm của PGS. TS. Thái Thuần Quang. Nhân đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn vi sâu sắc đến thầy và gia đình. Mặc dù đã rất nỗ lực cố gắng nhưng chắc chắn luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn. Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý thẳng thắn, chân tình của quý thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán khoá XIII đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi xin gửi đến Trường Đại học Tây Nguyên lời cảm ơn chân thành. Tôi cũng xin được gửi đến gia đình, các đồng nghiệp và bạn bè những lời tri ân trong suốt quá trình học tập và công tác của mình. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương Ký hiệu K là trường số thực R hoặc phức C và E là không gian vector trên K. 1.1.1 Không gian vector topo Một topo trên E được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của E nếu các phép toán cộng đại số và nhân ngoài : E E E x, y x y và : K E E λ, x λx liên tục theo topo này. Một không gian vector cùng với topo tương thích với cấu trúc đại số trên nó được gọi là không gian vector topo. Nếu E là một không gian vector topo thì phép tịnh tiến và phép vị tự trên E là các phép đồng phôi lên chính nó. Điều này được suy trực tiếp từ tính tương thích của topo trên E. Nói riêng, nếu U là lân cận của 0 E thì a U là lân cận của a và αU là lân cận của 0 với mọi α 0. Ngoài ra, một không gian vector topo còn có các tính chất quan trọng sau đây. Mệnh đề 1.1.1. ([1]) Giả sử E là một không gian vector topo. Nếu U là cơ sở lân cận của 0 E thì (i) Mọi U U là tập hút, tức là mọi x E luôn tồn tại ε 0 sao cho λx U với mọi λ ε. 1 2 (ii) Với mọi U U tồn tại lân cận V của 0 sao cho V V U. (iii) Với mọi U U tồn tại một lân cận cân V của 0 sao cho V U. Ở đây, lân cận V được gọi là cân nếu λV V với mọi λ 1. Theo tính chất (ii) của Mệnh đề 1.1.1, với mọi U U, tồn tại V U sao cho V V U. Điều này chứng tỏ V U nên mỗi tập trong U đều chứa bao đóng của một tập nào đó trong nó. Ngoài ra, hiển nhiên với mọi V thuộc U thì V V nên V cũng là một lân cận của 0. Do đó, không gian vector topo E có một cơ sở lân cận của 0 gồm toàn các tập cân đóng. Mệnh đề 1.1.2. ([1]) Giả sử E là một không gian vector topo. Khi đó E là Hausdorff nếu và chỉ nếu với mọi x 0 thuộc E tồn tại lân cận U của 0 không chứa x. Ta nói rằng topo τ trên không gian vector E là bất biến đối với phép tịnh tiến nếu mọi phép tịnh tiến trên E là một phép đồng phôi. Ngược lại với Mệnh đề 1.1.1, ta có Mệnh đề 1.1.3. ([1]) Giả sử E là một không gian vector và τ là một topo trên E bất biến đối với phép tịnh tiến. Nếu E có một cơ sở lân cận U của 0 trong topo τ thoả mãn: (i) Với mọi U U tồn tại V U sao cho V V U, (ii) Mọi V U là cân và hút thì topo τ là topo vector trên E. Giả sử E là không gian vector topo và F là không gian con của E. Xét không gian vector thương E F cùng với topo thương trên nó, tức là topo mạnh nhất trên E F sao cho ánh xạ tuyến tính chính tắc Φ : E E F liên tục, hay topo mà tập con của E F mở khi và chỉ khi nó có dạng Φ G với G là tập mở trong E. Dễ thấy rằng với topo này E F là không gian vector topo và ta sẽ gọi nó là không gian thương của E theo F . Mệnh đề 1.1.4. ([1]) Giả sử E là không gian vector topo và F là không gian con của E. Khi đó, không gian thương E F là Hausdorff khi và chỉ khi F là không gian con đóng trong E. [...]... khụng gian li a phng quan trng Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by mt s khụng gian li a phng quan trng nh khụng gian Frộchet, khụng gian Schwartz , khụng gian i ngu Frộchet hay (DF)- khụng gian, khụng gian hch, khụng gian dóy Kăthe, khụng gian cỏc o chui ly tha 1.4.1 Khụng gian Frộchet v i ngu Frộchet Theo [1], mt khụng gian li a phng metric y c gi l khụng gian Frộchet hay (F)-khụng gian T nh ngha khụng gian. .. tớch tensor (x nh) E F Ngoi cỏc tớnh cht c trỡnh by trờn, tớnh cht hch cũn c bo tn qua mt s phộp toỏn c phỏt biu trong mnh sau Mnh 1.4.16 ([15]) (i) Tớch tensor li a phng ca hai khụng gian hch l khụng gian hch (ii) Mi khụng gian con v khụng gian thng (theo mt khụng gian con úng) ca khụng gian hch l khụng gian hch 20 (iii) Khụng gian con v khụng gian thng (theo mt khụng gian con úng) ca khụng gian. .. gian Montel luụn l khụng gian phn x v l khụng gian thựng 18 Mnh 1.4.14 ([11]) (i) Tớch Descartes ca cỏc khụng gian na Montel (t., Montel) l khụng gian na Montel (t., Montel) (ii) Khụng gian con úng ca khụng gian na Montel l khụng gian na Montel (iii) Gii hn x nh ca cỏc khụng gian na Montel l khụng gian na Montel (iv) Tng trc tip ca cỏc khụng gian na Montel (t., Montel) l khụng gian na Montel (t., Montel)... gian Frộchet hch l khụng gian Frộchet hch (iv) Tớch Descartes ca h tu ý cỏc khụng gian hch l khụng gian hch v tng trc tip ca dóy cỏc khụng gian hch l khụng gian hch (v) Gii hn x nh ca h tu ý cỏc khụng gian hch l khụng gian hch v gii hn quy np ca dóy cỏc khụng gian hch l khụng gian hch Mnh sau õy cho ta c trng v tớnh na phn x ca khụng gian hch Hn na, tớnh na phn x trờn khụng gian thựng tng ng vi tớnh... ([13]) Nu E l (F)-khụng gian thỡ E I l (DF)-khụng gian y T Mnh 1.4.6, d thy rng mi khụng gian li a phng ta thựng E cú mt h c s m c cỏc tp b chn cng l (DF)-khụng gian v mi khụng gian nh chun cng l (DF)-khụng gian H qu 1.4.7 ([13]) Nu E l khụng gian Frộchet thỡ E P cng l khụng gian Frộchet v cú th ng nht E vi khụng gian con úng ca E P Chng minh Theo Mnh 1.4.6, ta cú E I l (DF)-khụng gian Do ú, theo Mnh... khụng gian kh metric Mnh 1.4.2 ([1]) (i) Mi khụng gian con úng ca mt khụng gian Frộchet l khụng gian Frộchet (ii) Khụng gian thng ca mt khụng gian Frộchet theo mt khụng gian con úng l mt khụng gian Frộchet 15 Chng minh Xem [1], Mnh 3.2.3.3, trang 43 t} Ô }k ukƠ1 l dóy cỏc na chun ca E xỏc nh topo ca nú Khi ú, nu cỏc khụng gian Banach pEk , } Ô }k q phn x vi mi k Ơ 1 thỡ E limproj Ek cng l khụng gian. .. khụng gian na Montel [11] Do ú, mt khụng gian na Montel l na phn x v mi dóy hi t yu l hi t theo topo xut phỏt Vy trờn khụng gian na Montel thỡ tớnh phn x, tớnh thựng v tớnh ta thựng l tng ng vi nhau Mt khụng gian na Montel cú mt trong cỏc tớnh cht ny c gi l khụng gian Montel T Mnh 1.4.12 v nh ngha khụng gian na Montel, d thy rng mt khụng gian Schwartz y l khụng gian na Montel Hn na, mt khụng gian. .. khụng gian con v khụng gian thng c cho bi mnh sau Mnh 1.4.11 ([13]) Mi khụng gian con v khụng gian thng theo mt khụng gian con úng ca khụng gian Schwartz cng l mt khụng gian Schwartz Chng minh Xem [13], Mnh 24.18, trang 284 Mnh 1.4.12 ([13]) Nu E l khụng gian Schwartz y thỡ mi tp b chn B trong E l compact tng i Chng minh Gi tp uI l h na chun sinh ra topo trờn E Khi ú E cú th c ng nht vi khụng gian. .. khụng gian Frộchet v Chng minh D thy rng E ng cu vi khụng gian con E0 ca y nờn E0 úng trong k k Ek Vỡ cỏc khụng gian Ek l Banach nờn Ek Vỡ E k Ek l Frộchet Theo gi thit, cỏc khụng gian Ek phn x v tớch cỏc khụng gian phn x l phn x nờn k Ek cng phn x Vỡ E0 úng trong khụng gian phn x k Ek nờn nú cng phn x Do ú E phn x Mnh 1.4.4 ([1]) Nu E v F l cỏc khụng gian li a phng metric thỡ tớch p tensor. .. lp khụng gian Frộchet hch Mnh 1.4.17 ([18]) Khụng gian Frộchet E l hch nu v ch nu nú l gii limproj En trong ú cỏc En l cỏc khụng gian Hilbert v cỏc ỏnh x chớnh tc En1 ẹ En l hch hn x nh ca dóy cỏc khụng gian Hilbert, tc l E Mnh 1.4.18 ([11]) Cho E l khụng gian li a phng metric Khi ú E l I khụng gian hch khi v ch khi E l hch Mnh sau cho ta mi liờn h gia cỏc khụng gian Schwartz v khụng gian hch