Cho X và Y là các không gian định chuẩn. Khi đó, theo Seán Dineen [8] ánh xạ tuyến tính liên tục Nr : X ÑY được gọi là ánh xạ hạch nếu
r N 8 ¸ n1 λnϕnyn
trong đó tλnu P `1, các dãy tϕnu X1 và tynu pY bị chặn. Nếu E và F là các không gian lồi địa phương thì ánh xạ tuyến tính liên tục N : E Ñ F được gọi là ánh xạ hạch nếu với mỗi nửa chuẩn liên tục β P cspFq đều tồn tại nửa chuẩn liên tục α PcspEq và ánh xạ hạch Nr : Epα Ñ pFβ sao cho biểu đồ sau giao hoán
E N // πα F πβ p Eα r N / /Fpβ
Như vậy, ánh xạ tuyến tính liên tục N : E ÑF được gọi là ánh xạ hạch giữa các không gian lồi địa phương E và F nếu tồn tại dãy tλnu P `1, dãy tϕnu E1 đồng liên tục và tynu pF là dãy bị chặn sao cho
N
8
¸ n1
λnϕnyn. (1.3)
Từ định nghĩa ánh xạ hạch, dễ thấy rằng chuỗi (1.3) khả tổng tuyệt đối trong Fp.
Định nghĩa 1.4.2. ([8]) Một không gian lồi địa phương E được gọi là không gian hạch nếu mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào không gian lồi địa phương F là ánh xạ hạch. Không gian lồi địa phương E được gọi là đối ngẫu hạch nếu Eβ1 là không gian hạch.
Từ Định nghĩa 1.4.2 dễ thấy ánh xạ đồng nhất trên không gian hạchE có dạng
I
8
¸ n1
λnϕnyn
trong đó các dãy tλnu,tϕnu và tynu thoả định nghĩa của ánh xạ hạch. Do đó, mọi không gian hạch đều có tính chất xấp xỉ. Ngoài ra, mệnh đề sau đây còn cho ta một đặc trưng khác tương đương của không gian hạch.
Mệnh đề 1.4.15. ([15]) Nếu E là không gian lồi địa phương hạch và F là không gian lồi địa phương tuỳ ý thì
Ebε F E bπ F,
tức là π-topo và ε-topo trùng nhau trên EbF. Chứng minh. Xem [15], Mệnh đề 7.3.2.
Trên thực tế người ta chứng minh được rằng không gian lồi địa phương E là hạch khi và chỉ khi
`1pIq bε E `1pIq bπE
trong đó I là tập chỉ số tuỳ ý (xem [15]). Do đó Mệnh đề 1.4.15 cũng chính là điều kiện cần và đủ để E trở thành không gian hạch. Do định lý đầy đủ của Grothendieck (xem [11]) tính hạch của không gian lồi địa phương cũng được bảo tồn qua bao đầy của tích tensor (xạ ảnh) Ebπp F.
Ngoài các tính chất được trình bày ở trên, tính chất hạch còn được bảo tồn qua một số phép toán được phát biểu trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.4.16.([15]) (i) Tích tensor lồi địa phương của hai không gian hạch là không gian hạch.
(ii) Mọi không gian con và không gian thương (theo một không gian con đóng) của không gian hạch là không gian hạch.
(iii) Không gian con và không gian thương (theo một không gian con đóng) của không gian Fréchet hạch là không gian Fréchet hạch.
(iv) Tích Descartes của họ tuỳ ý các không gian hạch là không gian hạch và tổng trực tiếp của dãy các không gian hạch là không gian hạch.
(v) Giới hạn xạ ảnh của họ tuỳ ý các không gian hạch là không gian hạch và giới hạn quy nạp của dãy các không gian hạch là không gian hạch.
Mệnh đề sau đây cho ta đặc trưng về tính nửa phản xạ của không gian hạch. Hơn nữa, tính nửa phản xạ trên không gian thùng tương đương với tính phản xạ. Tính chất này đặc trưng cho lớp không gian Fréchet hạch.
Mệnh đề 1.4.17. ([18]) Không gian Fréchet E là hạch nếu và chỉ nếu nó là giới hạn xạ ảnh của dãy các không gian Hilbert, tức là E limprojEn trong đó các En
là các không gian Hilbert và các ánh xạ chính tắc En 1 ÑEn là hạch.
Mệnh đề 1.4.18. ([11]) Cho E là không gian lồi địa phương metric. Khi đó E là không gian hạch khi và chỉ khi Eβ1 là hạch.
Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa các không gian Schwartz và không gian hạch.
Mệnh đề 1.4.19. ([13]) Mọi không gian hạch là không gian Schwartz.