Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình

hình

Trong mục này, chúng tôi trình bày các biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình giá trị Fréchet rHpU, Fq, τsdưới dạng rHpUq, τspbπF trong đó U là tập con mở của không gian Fréchet và τ P tτ0, τω, τδu.

Định lý 2.2.1. ([17]) Cho U là tập con mở của không gian Fréchet E và F là không gian Fréchet hạch. Khi đó

rHpU, Fq, τs rHpUq, τspbπF

với τ P tτ0, τω, τδu.

Để chứng minh Định lý 2.2.1 ta cần các kết quả bổ trợ sau đây.

Bổ đề 2.2.2. ([17]) Cho K là tập compact trong không gian Fréchet và B là không gian Banach phản xạ. Khi đó

HpK, Bq :limind

K€V H8pV, Bq

đầy đủ, trong đó H8pV, Bq là ký hiệu không gian Banach các hàm chỉnh hình bị chặn trên V giá trị trong B.

Chứng minh. Đặt I SB là hình cầu đóng đơn vị trong không gian đối ngẫu B

của B.

(i) Trước hết ta chứng minh rằng HpK, Bq chính quy. Thật vậy, ta có

H8pV, `8pIqq `8pI, H8pVqq với V K. Do đó limind K€V H8pV, `8pIqq limind K€V `8pI, H8pVqq. Vì không gian ± IHpVq là Montel và các ánh xạ chính tắc `8pI, H8pVqq ѹ I HpVq ѹ I HpWq

liên tục với mọi lân cận V, W của K sao cho W €V nên hình cầu đóng đơn vị S

trong không gian `8pI, H8pVqq là tập compact trong ±

IHpWq và do đó nó đóng trong `8pI, H8pWqq. Vậy giới hạn quy nạp

limind

K€V H8pV, `8pIqq

chính quy. Giả sử A là tập bị chặn trong limind

K€V H8pV, Bq. Khi đó, ta có thể tìm được lân cậnV củaK trong E sao choAđược chứa và bị chặn trongH8pV, `8pIqq. Do đó A bị chặn trong H8pV, Bq, tức là limind

(ii) Giả sử tfαu là lưới Cauchy bị chặn trong limind K€V H8pV, Bq. Theo (i) rlimind K€V H8pV, Bqs limproj K€V rH8pV, Bqs

là không gian Fréchet và tồn tại lân cận W của K sao cho tfαu được chứa và bị chặn trong H8pW, Bq. Điều này kéo theofα Ñf trong rlimind

K€V H8pV, Bqs. Ta sẽ chứng minh rằng f P limind

K€V H8pV, Bq và do đó fα Ñ f trong limind

K€V H8pV, Bq. Vì

fαptq Ñfptq trong HpWq với mọi tP I và

supt|fptqpxq|: tP I, x PWu ¤supt|fαptqpxq| :t PI, x P W, αu   8

dẫn đến f P`8pI, H8pWqq H8pW, `8pIqq. Vì fαpxq P B với mọi α và mọi xP W

nên f P H8pW, Bq. Do đó limind

K€V H8pV, Bq là (DF)-không gian tựa đầy đủ nên nó đầy đủ theo [12].

Bổ đề 2.2.3. ([17]) Cho U là tập con mở của không gian Fréchet E và F là không gian lồi địa phương hạch đầy đủ. Khi đó rHpU, Fq, τsđầy đủ với mọi τ P tτ0, τω, τδu. Chứng minh. Trường hợp topo compact mở τ0 là tầm thường. Ta xét các trường hợp topo τ τω và τ τδ.

Vì rPpnE, Bq, τωs là không gian con đóng đầy đủ của HpK, Bq (xem [8], Mệnh đề 3.22, trang 176) nên theo Bổ đề 2.2.2 không gian rPpnE, Bq, τωs đầy đủ với mọi

n ¥0và mọi không gian Banach phản xạ B. Vậy theo [8] không gian rHpU, Bq, τωs

đầy đủ. Vì

rHpU, Fq, τs limproj

αPcspFq rHpU, Fαq, τs

và từ tính chất hạch của F ta suy ra rHpU, Fq, τs đầy đủ. Ở đây cspFq là họ các nửa chuẩn liên tục trên F và Fα là không gian Banach kết hợp với α.

Bây giờ, ta có thể chứng minh Định lý 2.2.1 như sau.

Chứng minh. (i) Trường hợp τ τ0: Với topo này, dễ thấy rằng ánh xạ chính tắc

θ : rHpUq, τ0s bπF Ñ rHpU, Fq, τ0sliên tục nên chỉ cần chứng minhrHpUq, τ0s bπF

trù mật trong rHpU, Fq, τ0s. Thật vậy, với mọi f P HpU, Fq và mọi φ P F1 thì

φ f P HpUq. Lấy K € U là tập compact, ε ¡ 0 bé tuỳ ý và p P cspFq. Khi đó

chất xấp xỉ. Vậy tồn tại u P F1bF sao cho ppyupyqq   ε với mọi y P fpKq. Rõ ràng, ta có u °n i1φibyi trong đó φ1, . . . , φn P F1 và y1, . . . , yn PF. Do đó ppfpxq n ¸ i1 φifpxqyiq   ε,

với mọi xP K. Bất đẳng thức trên chứng tỏ f P rHpUq, τ0spbπF.

(ii) Trường hợp τ τω: Cho f PHpU, Fq và định nghĩa ánh xạ tuyến tính

ϕτωpfq: F1 Ñ rHpUq, τωs

bởi

ϕτωpfqpuqpzq upfpzqq với uP F1 và z P U .

Ta sẽ chỉ ra rằng ϕτωpfq liên tục. Vì F1 limind

n Fn1 trong đó t} }nu là hệ cơ sở các nửa chuẩn trên F và Fn là không gian Banach chính tắc kết hợp với } }n nên cần chỉ ra rằng ϕτωpfq

Fn1 liên tục với mọi n ¥ 1. Gọi % là nửa chuẩn τω-liên tục trên HpUq chuyển qua bởi tập compact K trong U và tuku €Fn1 với uk Ñ0. Chọn

x1, . . . , xp P F sao cho fpKq € p ¤ j1 pxj Unq € fpUq.

Với V f1p”pj1pxj Unqq là lân cận của K, lấy C ¡0 sao cho

%pgq ¤ C}g}V với mọi g P HpUq.

Khi đó, ta có

%pϕτωpfqpukqq %pukfq ¤ C}ukf}V Ñ0 khi k Ñ 8.

Điều này chứng tỏ rằng ϕτωpfq P LepF1,rHpUq, τωsq liên tục. Ở đây, chúng ta ký hiệu LepF1,rHpUq, τωsq là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ F1 vào

rHpUq, τωs với topo hội tụ đều trên các tập con đồng liên tục của F1. Hơn nữa, ta có thể kiểm tra được ánh xạ

ϕτω : rHpU, Fq, τωs ÑLepF1,rHpUq, τωsq

liên tục. Mặt khác, vì

nên để hoàn thành chứng minh ta cần kiểm tra tính liên tục của ánh xạ song tuyến tính chính tắc

γτω :rHpUq, τωs F Ñ rHpU, Fq, τωs.

Giả sử tpfs, vsqu Ñ 0 trong rHpUq, τωs F. Cho % là nửa chuẩn τω-liên tục trên

HpU, Fq. Chọn tập compact K trong U và nửa chuẩn liên tục α trên F thoả mãn

pτωq. Với mỗi g P HpUq lấy lân cận V của K trong U sao cho trên đó g bị chặn. Khi đó

r

%pgq: supt%pγτωpg, vqq: αpvq ¤1u

¤CV suptαpgpzqvq :z P V, αpvq ¤1u ¤CV}g}V   8

trong đó CV là hằng số độc lập với g. Điều này chứng tỏ dạng

r

%pgq :supt%pγτωpg, vqq: αpvq ¤1u

xác định nửa chuẩn τω-liên tục trên HpUq. Do đó

%pγτωpfs, vsqq %pγτωpfs, vs

αpvsqqqαpvsq ¤ r%pfsqαpvsq Ñ0

và tính liên tục của γτω được chứng minh.

(iii) Trường hợp τ τδ. Tương tự trường hợp (ii) ta sẽ chỉ ra rằng dạng

ϕτδpfqpuqpzq upfpzqq

xác định ánh xạ tuyến tính liên tục ϕτδ từ rHpU, Fq, τδs vào rHpUq, τδspbπF.

Trước hết ta chứng minh rằng ϕτδ : F1 Ñ rHpUq, τδs liên tục. Với n ¥ 1, cho

tuku € Fn1 sao cho uk Ñ 0 và nửa chuẩn τδ-liên tục % trên HpUq. Xét dãy phủ mở

tVju8j1 của U với Vj f1pjUnq với mọi j ¥ 1. Chọn C ¡ 0 và j0 ¥ 1 thoả mãn

pτδq. Khi đó

%pukfq ¤ supt|ukfpzq|: z PVj0u Ñ0 khi k Ñ 8.

Dễ thấy rằng

ϕτδ : rHpU, Fq, τδs ÑLepF1,rHpUq, τδsq rHpUq, τδspbεF rHpUq, τδspbπF

cũng liên tục. Để hoàn thành chứng minh ta cần chỉ ra rằng ánh xạ song tuyến tính chính tắc

liên tục. Cho % là nửa chuẩn τδ-liên tục trên HpU, Fq. Với mỗi g P HpUq, phủ U

bởi dãy các tập con mở tWnu sao cho

}g}Wn supt|gpzq|: z PWnu   8 với n¥1.

Khi đó, từ pτδq tồn tại n0 ¥1 nào đó và C ¡0 sao cho

r

%pgq: supt%pγτδpg, vqq: αpvq ¤1u

¤Csuptαpgpzqvq: z P Wn0, αpvq ¤ 1u ¤C}g}Wn0   8

trong đó C là hằng số độc lập với g. Điều này chứng tỏ dạng

r

%pgq:supt%pγτδpg, vqq;αpvq ¤ 1u

xác định nửa chuẩn τδ-liên tục trên HpUq. Do đó

%pγτδpfs, vsqq %pγτδpfs, vs

αpvsqqqαpvsq ¤ r%pfsqαpvsq Ñ 0

tức là γτδ liên tục.

Định lý 2.2.4. ([17]) Cho U là tập con mở cân của không gian Fréchet E và F là không gian lồi địa phương hạch đầy đủ. Khi đó

rHpU, Fq, τs rHpUq, τspbπF

với τ P tτ0, τω, τδu.

Chứng minh. Với mỗi f P HpU, Fq ta xét chuỗi Taylor của f tại 0P U

fpxq

8

¸ n0

Pnpxq.

Theo [8] chuỗi trên hội tụ tới f theo topo τδ và do đó hội tụ tới f theo topo τω. Vậy tương tự Định lý 2.2.1 chỉ cần chứng minh rằng tập

A

" ¸p j1

fjvj : fj PHpUq, vj P F, j 1,2, . . . , p

*

trù mật trong rPpnE, Fq, τδs với mọi n ¥ 0. Cho P P PpnE, Fq và % là nửa chuẩn

nửa chuẩn liên tục β ¡ α trên F sao cho ánh xạ chính tắc ωβα : Fβ Ñ Fα là ánh xạ hạch. Ta viết ωβαpyq 8 ¸ j1 y, ejej,

trong đó ej P F với mọi j ¥1 và

8

¸ j1

}ej}β}ej}α   8.

Với phủ mở tWk P1pkUαqu của U ta lấy C ¡ 0 và k0 ¥ 1 thoả mãn pτδq. Cho

ε ¡0 và chọn j0 đủ lớn sao cho 8 ¸ jj0 1 }ej}β}ej}α   ε Ck0. Khi đó % Ppzq j0 ¸ j1 Ppzq, ejej ¤C sup zPWk0 α Ppzq j0 ¸ j1 Ppzq, ejej C sup zPWk0 α ¸8 jj0 1 Ppzq, ejej ¤Ck0 8 ¸ jj0 1 }ej}β}ej}α  ε.

Một số ứng dụng

3.1 Luật mũ với các topo τ0, τω

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các đồng nhất thức sau đây mà nó được biết đến là luật mũ:

rHpU Vq, τs rHpUq, τsεrHpVq, τs rHpU,rHpVq, τqs, τs, (EL)

trong đó U và V tương ứng là các tập con mở của các không gian lồi địa phương

E và F.

Ta sẽ chứng minh (EL) đúng cho các trường hợp τ τ0 và τ τω nếu E là không gian Fréchet và F là không gian Fréchet hạch.

Định lý 3.1.1. ([17]) Cho U và V tương ứng là các tập con cân mở của các không gian Fréchet E và F. Khi đó với τ P tτ0, τωu ta có

rHpU Vq, τs rHpU,rHpVq, τsq, τs rHpUq, τspbπrHpVq, τs

nếu một trong các điều kiện sau đúng:

(i) E P pQN oq, F P pQN oq;

(ii) F là không gian hạch.

Trường hợp (i) là kết quả của Boyd [4].

Trước khi chứng minh trường hợp (i) chúng ta sẽ nhắc lại khái niệm (QNo) không gian theo [4]. Một không gian lồi địa phương E được gọi là tựa chuẩn theo

toán tử hay (QNo) nếu mọi lân cậnU của0PE luôn chứa lân cận mở V của0PE

sao cho với mọi ε¡0 tồn tại P P LpEq thoả mãn:

(i) PpVq bị chặn trong E; (ii) pI PqpVq € εU.

Lân cận V thoả mãn điều kiện trên được gọi là kết hợp với U. Một số ví dụ về lớp không gian (QNo) có thể tham khảo trong [4]; cũng trong đó, Boyd đã chứng minh được rằng nếu K là tập con cân compact của không gian lồi địa phương E

thì GpKqlà (QNo) nếu và chỉ nếu E là (QNo). Hơn nữa, nếuK và L tương ứng là các tập con compact của các không gian Fréchet E và F thì

GpK Lq GpKqpbπGpLq.

Nếu các không gian Fréchet E và F có (BB)-tính chất thì pEbπp Fq1b LbpE, Fb1q. Sử dụng các kết quả trên, ta chứng minh trường hợp (i) của Định lý 3.1.1.

Chứng minh. Vì K và L tương ứng là các tập con compact của các không gian

Fréchet E và F tựa khả chuẩn theo toán tử nên cặp pGpKq, GpLqq có pBBq-tính chất. Do đó

rHpK Lq, τωs GpK Lq1b pGpKqpbπGpLqq1b LbpGpKq,pHpLq, τωqq.

Lấy giới hạn xạ ảnh trên tất cả các tập con cân compact K của U và L của V ta có pHpU Vq, τωq limproj K€U,L€V pHpKLq, τωq limproj K€U,L€V LbpGpKq,pHpLq, τωqq limproj K€U LbpGpKq,limproj L€V pHpLq, τωqq limproj K€U LbpGpKq,pHpVq, τωqq. Mặt khác, ta có thể viết pHpVq, τωq limproj α Xα,

trong đó Xα pHpVq, τωqα là không gian Banach kết hợp với nửa chuẩn liên tục α trên pHpVq, τωq. Do đó limproj K€U LbpGpKq,pHpVq, τωqq limproj α,K€U LbpGpKq, Xαq.

Vì GpKq là (QNo) nên từ Định lý 4.7 trong [14] và Mệnh đề 1 trong [6] ta có

limproj α,K€U LbpGpKq, Xαq limproj α,K€U pHpK, Xαq, τωq limproj α pHpU, Xαq, τωq pHpU,pHpVq, τωqq, τωq. Do đó pHpU Vq, τωq pHpU,pHpVq, τωqq, τωq

và trường hợp (i) của Định lý 3.1.1 được chứng minh xong.

Để chứng minh trường hợp (ii) của Định lý 3.1.1 ta cần một số kết quả bổ trợ sau đây.

Bổ đề 3.1.2. ([17]) Cho E limind

n En, F limind

m Fm là các giới hạn quy nạp chính quy của dãy các không gian Banach và các ánh xạ hạch Fm ÑFm 1 với mọi

m¥1. Khi đó Ebπp F limind n,m Enbπp Fm. Chứng minh. Vì các ánh xạ Fm ÑFm 1 là ánh xạ hạch nên ta có limind n,m rEnbπp Fms limind n,m rEnbεp Fms và do đó ánh xạ chính tắc ϕ: limind n,m rEnbπp Fms Ñ rEbπp Fs

là đơn ánh. Hơn nữa ϕ cũng là toàn ánh.

Thật vậy, cho f P Ebπp F LepE, Fq. Vì E là không gian Fréchet nên ta có thể tìm được m0 sao cho f ánh xạ liên tụcE vào Fm0, tức là f PEbεp Fm0. Tương tự, tồn tại n0 sao cho

f P En0bεp Fm0 „limind

Mặt khác, vì ϕ ¸ n,m¥1 ΓpUnbVmq Γ ¸ n¥1 Unb ¸ m¥1 Vm , nên ϕ1 liên tục. Do đó ϕ : limind n,m Enbπp Fm Ebπp F.

Bổ đề 3.1.3. ([17]) Cho K và L tương ứng là các tập compact trong các không gian Fréchet E và F. Giả sử F là không gian hạch. Khi đó

HpK Lq HpKqpbπHpLq.

Chứng minh. Giả sử tUnuvà tVmu tương ứng là các cơ sở lân cận giảm dần củaK

và L sao cho các ánh xạ thu hẹp

H8pVmq ÑH8pVm 1q là ánh xạ hạch với mọi m¥1. Ta có