các hàm (mầm) chỉnh hình
Như trong mục trước, bằng cách sử dụng Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.4 chúng ta đã mở rộng các kết quả của Boyd và Peris [5] và của Peris [14] trong quá trình đi tìm các điều kiện để rHpUq, τs và rHpKq, τs với τ P tτ0, τω, τδ, τbu thoả mãn điều kiện pQN oq1 từ trường hợp giá trị vô hướng đến trường hợp giá trị trong
Một không gianE được gọi là thoảđiều kiện Macky chặt bởi toán tử hay (QNo)’ nếu tồn tại hệ cơ sở B các tập con lồi cân bị chặn của E sao cho
@B P B,DC P B,@ε ¡0,DP P LpEq
thoả mãn:
(i) P1pCq là lân cận của 0P E; (ii) pI PqpBq εC.
Chi tiết về không gian (QNo)’ và các tính chất liên quan có thể tham khảo trong [14].
Định lý 3.3.1. ([17]) Nếu U là tập con mở cân của (F)-không gian E P pQN oq
thì rHpU, Fq, τs thoả mãn pQN oq1 với mọi (DFN)-không gian F với τ P tτω, τδu. Chứng minh. Theo Định lý 12 trong [5] ta có rHpUq, τs P pQN oq1. Khi đó, từ Mệnh
đề 3.4 trong [14] và Định lý 2.2.4 ta có rHpU, Fq, τs P pQN oq1.
Định lý 3.3.2. ([17]) Nếu K là tập con cân compact của không gian Fréchet Schwartz E P pQN oq thì rHpK, Fq, τωs thoả mãn pQN oq1 với mọi pDF Nq-không gian F.
Chứng minh. Chứng minh tương tự như chứng minh của Định lý 3.3.1 nhưng sử
dụng Định lý 11 trong [5].
Định lý 3.3.3. ([17]) Cho E là không gian Fréchet và F là (DFN)-không gian. Khi đó,
(i) Nếu Eb1 P pQN oq thì rHbpE, Fq, τbs P pQN oq;
(ii) Nếu Eco1 P pQN oq thì rHpE, Fq, τ0s P pQN oq.
Kết luận
Nội dung chủ yếu của luận văn là đi tìm các biểu diễn tensor của không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector và vận dụng các biểu diễn đó để giải quyết một số bài toán về sự trùng nhau của các topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình. Luận văn đã đạt được một số kết quả sau.
• Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về không gian vector topo và không gian lồi địa phương cùng một số lớp không gian lồi địa phương quan trọng. Tìm hiểu được một số kiểu tích tensor và tính chất của chúng trên một số lớp không gian quan trọng này.
• Mô tả tương đối chi tiết về các topo thường gặp nhất trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector cũng như trên không gian các đa thức thuần nhất liên tục đồng thời chỉ ra thứ tự của chúng trên các không gian này.
• Đưa ra được các biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector dưới dạng
rHpU, Fq, τs rHpUq, τspbπF
với τ P tτ0, τω, τδu được trình bày trong các Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.4.
• Mở rộng được một số kết quả trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng đến không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector.
Tiếng Việt:
[1] Thái Thuần Quang (2011),Bài giảng không gian vector topo, Trường Đại học Quy Nhơn.
Tiếng Anh:
[2] Barraoso, J. A. (1985), Introduction to Holomorphy, Elsevier Science Publish- ers B.V.
[3] Boland, P. (1975), “Holomorphic functions on nuclear spaces”, Trans. Amer. Math. Soc., 209, 275-281.
[4] Boyd, C. (2000), “Exponential law for the Nachbin ported topology”, Canad. Math. Bull., 43 (2), 138-144.
[5] Boyd, C., and Peris, A. (1996), “A projective description of the Nachbin-ported topology”, J. of Math. Anal. and Appl., 197, 635-657.
[6] Bonet, J., Doma´nski, P., and Mujica, J. (1994), “complete spaces of vector- valued holomorphic germs”, math. scand., 75, 150 - 160.
[7] Difant, A., and Maestre, M. (1993), “Property (BB) and holomorphic functions on Fréchet - Montel spaces”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 115, 303- 313.
[8] Dineen, S. (1999),Complex Analysis on Locally Convex Spaces, North-Holland Math. Stud.
[9] Dineen, S. (1994), “Holomorphic functions and the pBBq-property”, Math. Scand., 74, 215-236.
[10] Galindo, P., Garcia, D., and Maestre, M. (1991), “The coincidence of τ0 and
τω for spaces of holomorphic functions on some Fréchet-Montel spaces”, Proc. Roy. Irish Acad., Sect. A , 91 (2), 137-143.
[11] Jarchow, H. (1981), Locally Convex Spaces, B. G. Teubner Stuttgart.
[12] K¨othe, G. (1979), Topological vector spaces II, Springer-Verlag New York Inc. [13] Meise, R., Vogt, D. (1997), Introduction to Functional Analysis, Clarendon
Press, Oxford.
[14] Peris, A. (1994), “Quasinormable spaces and the problem of topologies of Grothendieck”, Ann. Acad. Sci. Fennicæ., Series A. I. Math.19, 167-203. [15] Pietsch, A. (1971), Nuclear locally convex spaces, Ergeb. Math. Grenzgeb.
Springer Verlag, 66.
[16] Ryan, R. A. (2002),Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer - Verlag, London.
[17] Quang, T. T., Vỹ, D. T., and Huy, D. Q. (2012), “Tensor representation of spaces of holomorphic functions and applications”, (submitted).