Không gian hàm chỉnh hình và mầm chỉnh hình

Trong mục này, chúng tôi định nghĩa một số topo thường gặp nhất trên không gian các hàm chỉnh hình HpU, Fq.

Định nghĩa 2.1.2. ([8]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và U là tập con mở của E. Topo compact mở τ0 trên không gian các hàm chỉnh hìnhHpU, Fq

là topo lồi địa phương sinh bởi các nửa chuẩn

pα,Kpfq: }f}α,K sup

xPK

αpfpxqq (2.1)

trong đóK chạy trên các tập con compact của U và αchạy trên tập các nửa chuẩn liên tục trên F.

Định nghĩa 2.1.3. ([8]) Cho U là tập con mở của không gian lồi địa phương E

và F là không gian định chuẩn. Nửa chuẩn ptrên HpU, Fq chuyển qua bởi tập con compact K của U nếu với mỗi tập mở V, K €V €U, tồn tại cpVq ¡ 0 sao cho

với mọi f P HpU, Fq. Topo τω trên HpU, Fq là topo được sinh bởi họ nửa chuẩn p

chuyển qua bởi các tập con compact của U.

Nếu E và F là các không gian lồi địa phương phức tuỳ ý và U là tập con mở của E thì topo Nachbin τω trên không gian HpU, Fq được định nghĩa bởi giới hạn xạ ảnh

rHpU, Fq, τωs limproj

αPcspFq rHpU, Fαq, τωs (2.3) trong đó cspFq là họ nửa chuẩn liên tục trên F và Fα là không gian Banach kết hợp với α.

Với mọi lân cận mở V của tập compact K và mọi nửa chuẩn liên tục β P cspFq

ta có }f}β,K ¤ }f}β,V với mọi f P HpU, Fq. Điều này chứng tỏ sự tồn tại của các nửa chuẩn τω liên tục và τ0 ¤τω trên HpU, Fq.

Sau đây, ta sẽ định nghĩa topo τδ được sinh bởi dãy phủ mở. Topo này giúp chúng ta nghiên cứu topo Nachbin τω và tìm kiếm ở nó các tính chất phù hợp mà topo τω không có.

Định nghĩa 2.1.4. ([8]) Cho U là tập con mở của không gian lồi địa phương E

và F là không gian định chuẩn. Nửa chuẩn p trên HpU, Fq là τδ liên tục nếu với mỗi dãy tăng tVnu8n1 các phủ mở của U, tồn tại số dương n0 và c ¡0 sao cho

ppfq ¤c}f}Vn0 (2.4) với mọi f P HpU, Fq. Topo τδ trên HpU, Fq là topo lồi địa phương được sinh bởi họ nửa chuẩn τδ-liên tục. Đặc biệt, nếu F là không gian lồi địa phương tuỳ ý thì ta định nghĩa

rHpU, Fq, τδs limproj

αPcspFq rHpU, Fαq, τδs. (2.5) Từ Định nghĩa 2.1.3, giả sửplà nửa chuẩn τω-liên tục trênHpU, Fqchuyển qua bởi tập con compact K của U và tVnu8

n1 là dãy tăng các phủ mở của U. Khi đó, vì K compact nên tồn tạin0 sao cho Vn0 chứaK. Mặt khác, vìp làτω-liên tục nên tồn tại c ¡ 0 sao cho ppfq ¤ c}f}Vn0 với mọi f P HpU, Fq. Điều này chứng tỏ sự tồn tại các nửa chuẩn τδ-liên tục và τδ ¥τω trên HpU, Fq.

Dãy các tập con tAnu8n1 của không gian lồi địa phương E được gọi là hội tụ tới tập con A €E nếu A € An với mọi n và với mọi lân cận V của A đều tồn tại

Định nghĩa 2.1.5. ([8]) Cho U là tập con mở cân của không gian lồi địa phương

E và F là không gian Banach. Ký hiệu τb là topo trên HpU, Fq sinh bởi họ nửa chuẩn p 8 ¸ n0 p dnfp0q n! 8 ¸ n0 dpnnfp!0q Bn (2.6) với mọi f °8n0 p dnfp0q

n! P HpU, Fq trong đó tBnun chạy trên dãy các tập con bị chặn của U hội tụ tới tập con compact của U. Nếu F là không gian lồi địa phương tuỳ ý thì ta định nghĩa

rHpU, Fq, τbs limproj

αPcspFq rHpU, Fαq, τbs (2.7) trong đó cspFq là họ các nửa chuẩn liên tục trên F và Fα là không gian Banach kết hợp với α.

Nếu HpK, Fqlà không gian các mầm chỉnh hình thì ta định nghĩa topo tự nhiên trên HpK, Fq bởi

rHpK, Fq, τs limind

K€V rHpV, Fq, τs (2.8) trong đó τ P tτ0, τb, τωu.

Ngoài ra, đối với topo τω trên HpK, Fq ta còn có:

Mệnh đề 2.1.5. ([8]) Nếu K là tập con compact của không gian lồi địa phương

E và F là không gian định chuẩn thì ta có

rHpK, Fq, τωs limind

K€V rH8pV, Fq,} }Vs.

Chứng minh. NếuV là tập con mở củaEchứaK thì đơn ánh tự nhiên từH8pV, Fq

vào rHpV, Fq, τωs liên tục. Do đó, ánh xạ đồng nhất từ limind

K€V rH8pV, Fq,} }Vs vào

limind

K€V rHpV, Fq, τωs liên tục.

Ngược lại, nếu p là nửa chuẩn liên tục trên limind

K€V rH8pV, Fq,} }Vs thì với mọi

V mở chứa K, tồn tại cpVq ¡ 0 sao cho ppfq ¤ cpVq}f}V với mọi f P H8pV, Fq. Nếu f P HpV, FqzH8pV, Fq thì }f}V 8 nên bất đẳng thức trên vẫn đúng. Do đó, thu hẹp của p lên HpV, Fq là nửa chuẩn τω-liên tục chuyển qua bởi tập compact

K của V. Vì vậy p cũng là nửa chuẩn liên tục trên limind

K€V rHpV, Fq, τωs. Điều này chứng tỏ

limind

K€V rH8pV, Fq,} }Vs limind

K€V rHpV, Fq, τωs.

Về mặt cấu trúc đại số ta có:

Mệnh đề 2.1.6. ([8]) Cho U là tập con mở của không gian lồi địa phương E và

F là không gian lồi địa phương. Khi đó, ta có

HpU, Fq limproj

KPK

HpK, Fq

trong đó K là họ các tập con compact nằm trong U định hướng bởi quan hệ bao hàm.

Chứng minh. Họ tHpK, Fq, πK,LuK,LPK,K€L trong đó πK,L là ánh xạ thu hẹp tự nhiên từ HpL, Fq vào HpK, Fq là hệ xạ ảnh. Ánh xạ chính tắc

ϕ :HpU, Fq Ñlimproj

KPK

HpK, Fq

trong đó ϕpfqpKq : rfsK là mầm chỉnh hình trên K cảm sinh bởi f, là đơn ánh tuyến tính. Ta cần chỉ ra ϕ là toàn ánh. Thật vậy, lấy pfKqKPK P limproj

KPK

HpK, Fq

và định nghĩa hàm f trênU bằng cách đặt fpxq ftxupxqvới mọi xP U. Ta chứng minh f P HpU, Fq và ϕpfq pfKqKPK. Rõ ràng, vì pfKqKPK Plimproj

KPK

HpK, Fq nên nếu K là tập con compact tuỳ ý của U thì

p

dnftxupxq

n! dpnfKpxq

n!

với mọi xP K và mọi n. Vậy nếu V là lân cận lồi cân của0P E sao cho x V €U

và ftxu PH8px V, Fq thì với mọi y P V ta có fpx yq ftx yupx yq frx,x yspx yq. Từ đó fpx yq 8 ¸ n0 p dnfrx,x yspxq n! pyq 8 ¸ n0 p dnftxupxq n! pyq

trong đó rx, x ys là đoạn nối x với x y. Điều này chứng tỏ f P HpU, Fq. Hơn nữa, nếu K P K và x PK thì với mọi n tuỳ ý ta có

p dnrfsKpxq n! dp nrfstxupxq n! dpnfKpxq n!

và do đó rfsK fK. Vì vậy ta có ϕpfq pfKqKPK và mệnh đề được chứng minh xong.

Về mặt topo ta có:

Mệnh đề 2.1.7. ([8]) Nếu U là tập con mở của không gian lồi địa phương E và

F là không gian lồi địa phương thì

rHpU, Fq, τ0s limproj KPK rHpK, Fq, τ0s và các ánh xạ chính tắc rHpU, Fq, τωs Ñ limproj KPK rHpK, Fq, τωs rHpU, Fq, τbs Ñ limproj KPK rHpK, Fq, τbs liên tục.

Ngoài các topo đã biết ở trên, người ta còn xét topo β trên không gianHpU, Fq

với F là không gian lồi địa phương, topo này được xây dựng như sau. Ký hiệu

GpUq là không gian các dạng tuyến tính τ0-liên tục trên các tập con bị chặn địa phương của HpUq. Dễ thấy rằngGpUqvới topo hội tụ đều trên các tập con bị chặn địa phương của HpUq trở thành một không gian lồi địa phương. Hơn nữa, ta còn chứng minh được họ hàm Delta - Dirac tδx : x P Uu sinh ra không gian con trù mật trong GpUq.

Ký hiệu δU : U Ñ GpUq cho bởi δUpxq δx thì với mỗi f P HpU, Fq luôn tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính liên tục JFf P LpGpUq, Fq sao cho δUpJFfq f. Ánh xạ này thiết lập một đẳng cấu giữa HpU, Fq và LpGpUq, Fq, tức là

HpU, Fq LpGpUq, Fq.

Khi đó, topo β trênHpU, Fq LpGpUq, Fqđược định nghĩa là topo hội tụ đều trên các tập con bị chặn của GpUq.

Từ các định nghĩa và mô tả về các topo ở trên, ta có quan hệ thứ tự giữa các topo trên không gian HpU, Fq là τ0 ¤τω ¤τδ và τ0 ¤τb ¤β ¤τδ. Hơn nữa τ0 τb

nếu và chỉ nếu E là không gian nửa Montel.

Các topoτ0, τb vàτωtrên không gian các đa thứcn-thuần nhất liên tụcPpnE, Fq

cũng được định nghĩa tương tự. Nếu ký hiệu  n,s,π

E là tích tensor xạ ảnh đối xứng

n lần của E thì ta thiết lập được đẳng cấu

Lpâ n,s,π

Hơn nữa, với A là tập con của E ta có }P}A sup xPA |hP, xb bxi| }P} n,s A }P}Γp n,s Aq. Từ đó, đặt Bτ0 tΓpâ n,s Kq :K compact trong Eu, Bτb tΓpâ n,s Bq: B bị chặn trong Eu thì ta thu được rPpnEq, τs p yâ n,s,π Eq1Bτ với τ P tτ0, τbu, trong đó p y n,s,π Eq1

Bτ được hiểu là không gian p y n,s,π

Eq1 với topo hội

tụ đều trên các tập trong Bτ. Đối với topo τω trên PpnE, Fq ta có

rPpnEq, τωs limind

VPU PVpnEq

trong đó PVpnEq: tP P PpnEq: }P}V   8u tP PPpnEq: }P}ΓpÂ

n,s

Vq   8u. Topo mạnh β trên PpnEq được định nghĩa là topo hội tụ đều trên các tập con bị chặn của yÂ

n,s,π

E. Từ đó, dễ thấy rằng τb ¤ β trên PpnEq và τb β trên PpnEq

khi và chỉ khi E có pBBqn-tính chất, tức là họ các tập có dạng Γp n,s

Bq với B là tập bị chặn trong E tạo thành cơ sở các tập bị chặn trong tích tensor xạ ảnh đối xứng yÂ

n,s,π

E.

Từ các định nghĩa và mô tả về các topo ở trên, ta có τ0 ¤ τb ¤ β ¤ τω trên

PpnEq với mọi n.