Xét một ma trận vô hạn A pai,jqi,jPN thoả mãn (i) 0¤aj,k ¤aj,k 1 với mọi j, k P N;
(ii) Với mỗi j P N tồn tại k PN sao cho aj,k ¡0.
Với 1¤p 8 ta xác định không gian các dãy K¨othe ΛppAq như sau
ΛppAq txPCN : 8 ¸ j1 p|xj|aj,kqp 8,@k P Nu. Nếu x pxnq P ΛppAq, y pynq P ΛppAq và λ P K ta xác định các phép toán x y pxn ynq và λx pλxnq.
Khi đó ΛppAq là một không gian vector metric với cơ sở lân cận của 0 P ΛppAq là các tập có dạng Vk,ε txP ΛppAq: 8 ¸ j1 |xj|papj,k εu.
Không gian này trở thành không gian lồi địa phương metric với topo được xác định bởi dãy các nửa chuẩn
}x}k ¸8 j1 |xjaj,k|p 1{p , k ¥1. Với p 8 ta có Λ8pAq txP CN : sup j¥1 |xj|aj,k 8,@k ¥1u.
Hiển nhiên Λ8pAq là không gian lồi địa phương metric với topo được xác định bởi dãy các nửa chuẩn
}x}k sup
j¥1 |xj|aj,k, k ¥1.
Với p0 ta xác định không gian các dãy K¨othe bởi
c0pAq txP Λ8pAq : lim
jÑ8xjaj,k 0,@k ¥1u.
Không gian này cũng được trang bị topo sinh bởi dãy các nửa chuẩn
}x}k sup
j¥1
|xj|aj,k, k ¥1.
Các nửa chuẩn } }k trên không gian các dãy K¨othe được gọi là các nửa chuẩn chính tắc.
Mệnh đề 1.4.20. ([13]) Với mọi ma trận K¨othe A các không gian ΛppAq với
1 ¤ p¤ 8 và c0pAq là các không gian Fréchet. Hơn nữa, ΛppAq là các không gian phản xạ với mọi 1 p 8.
Chứng minh. VìΛppAqcó hệ đếm được các nửa chuẩn nên chúng là các không gian khả metric. Do tính đầy đủ của các không gian `p với pP r1,8s nên dễ thấy rằng
ΛppAq đầy đủ với mọi pP r1,8s. Vì c0pAq là không gian con đóng của không gian đầy đủ Λ8pAqnên nó cũng đầy đủ. Tính phản xạ của các ΛppAq là hiển nhiên.
Định lý 1.4.21. (Dieudonné - Gomes) Với mọi ma trận K¨othe A, các khẳng định sau tương đương:
(i) Tồn tại pP r1,8s sao cho ΛppAq là không gian Montel.
(ii) Với mỗi pP r1,8s không gian ΛppAq là không gian Montel.
(iii) Λ8pAq c0pAq.
(iv) Λ1pAq phản xạ.
(v) Với mỗi pP r1,8s không tồn tại không gian con định chuẩn vô hạn chiều của
ΛppAq.
(vi) Với mỗi tập con vô hạn I của N và mỗi n P N tồn tại k P N sao cho
inftaj,naj,k1 : j PIu 0.
Chứng minh. Xem [13], Định lý 27.9, trang 329.
Mệnh đề 1.4.22. ([13]) Với ma trận K¨othe A, các khẳng định sau tương đương:
(i) Tồn tại pP r1,8s sao cho ΛppAq là không gian Schwartz.
(ii) ΛppAq là không gian Schwartz với mọi pP r1,8s.
(iii) Với mỗi k P N, tồn tại m¥k sao cho lim
jÑ8aj,ka 1
j,m 0.
Chứng minh. Xem [13], Mệnh đề 27.10, trang 330.