Giả sử α pαnqnPN là dãy đơn điệu tăng trên r0,8q và thoả mãn lim
nÑ8αn 8
thì với mỗi r P p8,8s ta định nghĩa
Prpαq tx pxnq P KN : }x}2 t 8 ¸ n1 |xn|2e2tαj 8, @t ru.
Không gian Prpαq với họ chuẩn t} }tut r là không gian Fréchet. Vì với mọi dãy đơn điệu tăng ngặt ptkq thoả mãn lim
đề 1.4.20 và Mệnh đề 1.4.22 ta có Prpαq Λ2pAq là không gian Schwartz phản xạ. Với t r ta có Ptα :Prpαqt Ptα !xP KN : }x}2 t ¸ jPN |xj|2e2tαj 8)
là không gian Hilbert. Đặc biệt, nếu s t thì ta có Ptα Psα.
Định nghĩa 1.4.3. ([13]) Không gian Prpαq được gọi là không gian các chuỗi luỹ thừa kiểu hữu hạn nếu r 8, được gọi là không gian các chuỗi luỹ thừa kiểu vô hạn nếu r 8 và dãy α được gọi là dãy luỹ thừa.
Để xác định lớp các không gian đẳng cấu với Prpαqta nhận xét rằng với r PR, phép biến đổi đường chéo
D: Prpαq ÝÑP0pαq,
xÞÝÑDx perαnxnqnPN
là một đẳng cấu khi }Dx}t }x}t r với mọi t P R. Vì vậy, chúng ta có thể đưa về việc xét các không gian P0pαq và P8pαq.
Mệnh đề 1.4.23. ([13]) (i) P8pαq là hạch nếu và chỉ nếu suptlnn
αn : nP Nu 8.
(ii) P0pαq là hạch nếu và chỉ nếu lim
nÑ8α 1
Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình