Hệ thức lượng giác

Các dạng toán Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác Bài toán: CMR : Asin,cos,tan,cot = Bsin,cos,tan,cot.. Dạng 2: Rút gọn biểu thức lượng giác.Phương pháp:  Đưa về cùng một loại h

Hệ thức lượng giác

Đinh Tiến Nguyện

Team_BQT

The first: Biến đổi lượng giác

A Công thức thường sử dụng

1 sin2a + cos2a = 1 sin2a = 1 - cos2a hoặc cos2a = 1-sin2a

2 tan a = sin

cos

a

a ; cot cos

sin

a a

a



3 tan cot 1 tan 1

cot

a

tan 1 ; cot 1

B Các dạng toán

Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác

Bài toán: CMR : A(sin,cos,tan,cot) = B(sin,cos,tan,cot).

Phương pháp:

 Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang về đơn giản

1 2

1 2

m

n





 Cách 2: Biến đổi đến cùng biểu thức trung gian

1 2

1 2

m n

A B



 



 Cách 3: Biến đổi tương đương

1 1 n m

A B A B  A B (luôn đúng)

Các ví dụ minh họa:

2

1 sin

1 2 tan

1 sin

a

a a



Bài 2: CMR : tan2 2 1 cot2 2 1 tan2 4 2

1 tan cot tan cot

cos 1 sin





Dạng 2: Rút gọn biểu thức lượng giác.

Phương pháp:

 Đưa về cùng một loại hàm số lượng giác

 Rút gọn đến biểu thức đơn giản nhất

 Nếu gặp dạng phân thức thì biến đổi cả tử và mẫu về dạng tích các hàm

số lượng giác rồi rút gọn nhân tử chung

 Nếu gặp dạng căn thức thì phải biến đổi biểu thức trong dấu căn dưới dạng lũy thừa rồi rút gọn chỉ số căn thức

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Rút gọn biểu thức : A = cos2a + cos2a.cot2a

cos cos

Bài 3: Rút gọn biểu thức : C = 2 cos2 1

sin cos

a



sin a(1 cot ) cos  a  a(1 tan )  a

Dạng 3: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến số.

Phương pháp:

 Biến đổi và rút gọn biểu thức cho đến khi nhận được biểu thức đơn giản mà không phụ thuộc vào biến số đúng theo yêu cầu bài toán

 Các biểu thức ta chuyển về một biến số ( theo t chẳng hạn) thì biểu thức rút gọn là một hằng số

Các ví dụ minh họa:

Bài 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

cos sin 2 sin cos sin cos sin 2(sin cos ) 3(sin cos ) 3(sin cos ) 4(cos 2 sin ) 6 sin sin 4 cos cos 4 sin

Dạng 4: Giá trị biểu thức lượng giác liên quan đến tổng hiệu.

Phương pháp:

 Đặt sinx±cosx = t sinxcosx=f(t) Biến đổi biểu thức cần tính giá trị về dạng sao cho xuất hiện dạng tổng và tích của sinx và cos x

 Đặt tanx±cotx = t  tan2x+cot2x=t22 Sử dụng hằng đẳng thức đưa về xuất hiện các dạng giống như ta đặt

 Nếu biểu thức cần tính giá trị dạng phân thức chứa cả sinx và cos x dạng lũy thừa Ta chia cả tử và mẫu cho cosx≠0 Rồi chuyển về biểu thức chỉ chứa tan hoặc cot

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho sin x+ cos x = 5

4 Tính giá trị của các biểu thức:

sin cos ; sin cos ; sin cos

A x x B x x C x x

Bài 2: Cho tan x-cot x = 2 Tính giá trị các biểu thức:

tan cot ; tan cot ; tan cot

D x x E x x F  x x

Bài 3: Cho tan x = 2 Tính giá trị biểu thức sau:

3sin 5sin cos 77 sin cos 4sin cos 2 cos 5sin 3sin cos 4sin cos 2sin cos 3cos

G



Dạng 5: Tính giá trị biểu thức bằng cách giải phương trình.

Phương pháp:

Đặt t = sin2x ( -1≤ t ≤1) cos2x = 1 - t Sau đó thay vào giả thiết tìm ra t

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho 3sin4x - cos4x=1

2 Tính A=sin4x + 3cos4x

Bài 2: Cho 3sin4x + 2cos4x Tính B = 2sin4x - 5cos6x

Chuyên đề 2: Công thức rút gọn các góc lớn

A Kiến thức cơ bản:

1 Đường tròn lượng giác.

2 Các công thức rút gọn góc.

 sin k2sin

 cosk2cos

 tank tan

 cot k cot

 sin(  ) sin

 cos(  )cos

 tan(  )tan

 cot(  )cot

 cos()cos

 sin() sin

 tan() tan

 cot() cot

 sin(  )sin

 cos(  ) cos

 tan(  ) tan

 cot(  ) cot

 sin( ) cos

2



   

 cos( ) sin

2



   

 tan( ) cot

2



    

 cot( ) tan

2



   

 sin( ) cos

2

   

 cos( ) sin

2

   

 tan( ) cot

2

   

 cot( ) tan

2

   

B Bài tập vận dụng

1 Tính giá trị của các hàm số lượng giác của góc 4950; 43

6

 .

2 Tính giá trị biểu thức:

0

(cot 44 cot 226 ).cos 406

cot 72 cot18 cos 316

cos 20 cos 40 cos 60 cos160 cos180

c. Ctan10 tan 20 tan 30 tan 70 tan 800 0 0 0 0

I Các công thức sử dụng:

1.cos( ) cos cos sin sin

2.sin( ) sin cos cos sin

tan tan

3 tan( )

1 tan tan

a b







II Bài tập minh họa:

1 Tính giá trị của các hàm số lượng giác của ;5 ;7

12 12 12

   .

2 Tính giá trị của biểu thức:

sin10 cos 20 sin 20 cos10 cos17 cos13 sin17 sin13





sin 9 cos 39 cos 9 sin 39

cos cos sin sin

7 28 7 28

B







3 Cho

12 sin

13 ớnh cos( )

2 2

a

a



  



  



.

4 Cho

1 sin ; 0

2 5

:

sin ; 0

2 10

CMR a b











.

5 CMR: 1 0 3 0 4

sin10 cos10  .

6 Chứng minh rằng:

a. tanA tanB tanC tan tan tanA B C

b. tanAtanBtanC3 3

tan Atan Btan C81.

d. tan tan tan tan tan tan 1

e. tan tan tan 3

A Tóm tắt công thức hay sử dụng

I Công thức góc nhân đôi

1 sin2a = 2sina.cosa

2 cos2a = cos2a - sin2a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a

Lưu ý: Từ công thức nhân đôi trên ta có thể rút ra vài đẳng thức đặc biệt như:

2 2

2

1 sin 2 (sin cos )

1 cos 2 2 sin

1 cos 2 2 cos

II Công thức góc nhân ba

1 sin3a = 3sina - 4sin3a

2 cos3a = 4cos3a - 3cosa

III Công thức hạ bậc

1 sina.cosa = 1

2sin2a

2 2 1 cos 2

sin

2

a

a 

3 2 1 cos 2

cos

2

a



3 3sin sin 3 sin

4

a  3 3cos cos 3

cos

4

B Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác

2

1 2 sin

1

2 cot( ) cos ( )

a

2 CMR: 1 cos 2 cos 2 cos 3 2 cos

cos cos 1

a



3 CMR: 1 2sin2 1 tan

1 sin 2 1 tan

4 CMR:

2

1 1 2sin tan 2

cos 2 1 sin 2

a a





5 CMR:tan( ) 1 sin 2

4 cos 2

a a

a

   

6 CMR: tan ( 1 1) tan

2 cos

a

a

Dạng 2: Rút gọn các biểu thức lượng giác

Ví dụ : Rút gọn các biểu thức sau:

a tan152 0 0

1 tan 15

A



cos sin sin cos

c C 1 sin a 1 sin a với 0

2

a 

 

cos cos 3 sin sin 3

sin cos 3 cos sin 3

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức lượng giác bằng CT sin của góc nhân đôi

Công thức: sin 2a = 2 sina.cosa.

cos 20 cos 40 cos 60 cos80

A

2 Tính : cos cos4 cos5

3 Tính : Csin10 sin 50 sin 700 0 0

sin 5 sin15 sin 25 sin 75 sin 85

D

Chuyên đề 5: Công thức biến đổi tổng thành tích

A Công thức sử dụng

1 cos cos 2.cos cos

2 cos cos 2.sin sin

3 sin sin 2.sin cos

4 sin sin 2.cos sin

5

2 sin( )

4 sin cos

2 cos( )

4

a

a









6

2 sin( )

4 sin cos

2 cos( )

4

a

a







B Các dạng toán

Dạng 1: Rút gọn biểu thức lượng giác

1 Rút gọn sin sin 3 sin 5

sin 3 sin 5 sin 7

A



2 Rút gọn: 1 2 cos 2

3 2 sin 2

a B

a







Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a cos4a + 4cos2a + 3 = 8.cos4a

b cos850+ cos350- cos250= 0

c 3 - 2cos2a + cos4a = 8.sin4a

Chuyên đề 6: Công thức biến đổi tích thành tổng

I Công thức sử dụng:

1. sin sin 1[cos( ) cos( )]

2

a b a b  a b

2. cos cos 1[cos( ) cos( )]

2

a b a b  a b

3 sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

a b a b  a b

II Bài tập vận dụng

1 Chứng minh rằng:

a sin(a b ).sin(a b  ) sin(b c ).sin(b c  ) sin(ca).sin(ca)  0

b 4 sin sin( ).sin( ) sin 3

a  a  a  a.

2 Tính giá trị biểu thức:

a sin sin7

12 12

b cos11 .cos5

12 12

c cos2 cos4 cos6

C     

d cos2 cos4 cos6 cos8

Cỏc em lưu ý là phần hệ thức lượng trong tam giỏc thày để lại khi nào ụn thi đại học sẽ dạy !

The end

Ai cũng cú một cuộc sống riờng của mỡnh Mỗi người cú một lựa chọn để hướng cuộc sống theo ý riờng của mỡnh Riờng tụi, cuộc sống là những thử thỏch, là chụng gai, là những con đường khụng bằng phẳng, trong đú cú những ngó rẽ mà tụi luụn phải phõn võn nờn lựa chọn như thế nào? Cuộc sống là đồng xu hai mặt mà ta luụn phải chọn mặt sấp hay ngửa Nhưng dự là mặt nào đi chăng nữa, hóy nỗ lực, học tập lao động hết mỡnh rồi thành cụng

sẽ đến Đừng bao giờ chờ đợi may mắn sẽ đến với mỡnh Hóy bắt tay vào hành động bởi chỉ cú hành động mới đem lại thành cụng.

Hà Nội, ngày 19 thỏng 3 năm 2012