Góc cung và công thức lượng giác

Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 56 I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho OAOM (,) a = . Giả sử Mxy (;) . ( ) xOH yOK ATk BSk cos sin sin tan cos2 cos cot sin a a ap aap a a aap a == == æö ==¹+ ç÷ èø ==¹ Nhận xét: · ,1cos1;1sin1 aaa "-££-££ · tana xác định khi kkZ , 2 p ap ¹+Î · cota xác định khi kkZ , ap ¹Î · k sin(2)sin apa += · k tan()tan apa += k cos(2)cos apa += k cot()cot apa += 2. Dấu của các giá trị lượng giác 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 6 p 4 p 3 p 2 p 2 3 p 3 4 p p 3 2 p 2 p 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 - 2 2 - –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3 - –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 - –1 0 CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cosa + – – + sina + + – – tana + – + – cota + – + – cosin O cotang sin tang H A M K B S a T Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 57 4. Hệ thức cơ bản: 22 sin cos1 aa += ; tan.cot 1 aa = ; 22 22 11 1tan;1cot cossin aa aa +=+= 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi sin22sin.cos aaa = 2222 cos2cossin2cos112sin aaaaa =-=-=- 2 2 2tancot1 tan2;cot2 2cot 1tan aa aa a a - == - sin()sin.cossin.cos ababba +=+ sin()sin.cossin.cos ababba -=- cos()cos.cossin.sin ababab +=- cos()cos.cossin.sin ababab -=+ tantan tan() 1tan.tan ab ab ab + += - tantan tan() 1tan.tan ab ab ab - -= + Hệ quả: 1tan1tan tan,tan 41tan41tan papa aa aa æöæö +- +=-= ç÷ç÷ -+ èøèø Góc hơn kém p Góc hơn kém 2 p sin()sin paa +=- sincos 2 p aa æö += ç÷ èø cos()cos paa +=- cossin 2 p aa æö +=- ç÷ èø tan()tan paa += tancot 2 p aa æö +=- ç÷ èø cot()cot paa += cottan 2 p aa æö +=- ç÷ èø Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos()cos aa -= sin()sin paa -= sincos 2 p aa æö -= ç÷ èø sin()sin aa -=- cos()cos paa -=- cossin 2 p aa æö -= ç÷ èø tan()tan aa -=- tan()tan paa -=- tancot 2 p aa æö -= ç÷ èø cot()cot aa -=- cot()cot paa -=- cottan 2 p aa æö -= ç÷ èø Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 58 3. Công thức biến đổi tổng thành tích 4. Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1cos2 sin 2 1cos2 cos 2 1cos2 tan 1cos2 a a a a a a a - = + = - = + 3 3 3 2 sin33sin4sin cos34cos3cos 3tantan tan3 13tan aaa aaa aa a a =- =- - = - coscos2cos.cos 22 abab ab +- += coscos2sin.sin 22 abab ab +- -=- sinsin2sin.cos 22 abab ab +- += sinsin2cos.sin 22 abab ab +- -= sin() tantan cos.cos ab ab ab + += sin() tantan cos.cos ab ab ab - -= sin() cotcot sin.sin ab ab ab + += ba ab ab sin() cotcot sin.sin - -= sincos2.sin2.cos 44 pp aaaa æöæö +=+=- ç÷ç÷ èøèø sincos2sin2cos 44 pp aaaa æöæö -=-=-+ ç÷ç÷ èøèø 1 cos.coscos()cos() 2 1 sin.sincos()cos() 2 1 sin.cossin()sin() 2 ababab ababab ababab éù =-++ ëû éù = + ëû éù =-++ ëû Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 59 VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = 00 sin50.cos(300) - b) B = 0 21 sin215.tan 7 p c) C = 32 cot.sin 53 pp æö - ç÷ èø d) D = c 449 os.sin.tan.cot 5335 pppp Bài 2. Cho 00 090 a << . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 sin(90) a + b) B = 0 cos(45) a - c) C = 0 cos(270) a - d) D = 0 cos(290) a + Bài 3. Cho 0 2 p a << . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = cos() ap + b) B = tan() ap - c) C = 2 sin 5 p a æö + ç÷ èø d) D = 3 cos 8 p a æö - ç÷ èø Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = ABC sinsinsin ++ b) B = ABC sin.sin.sin c) C = ABC cos.cos.cos 222 d) D = ABC tantantan 222 ++ Bài 5. a) VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin a , tính cos a , tan a , cot a · Từ 22 sincos1 aa += Þ 2 cos1sin aa =±- . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 cos1sin aa =- . – Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 cos1sin aa = . · Tính sin tan cos a a a = ; 1 cot tan a a = . 2. Cho biết cos a , tính sin a , tan a , cot a · Từ 22 sincos1 aa += Þ 2 sin1cos aa =±- . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 sin1cos aa =- . – Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 sin1cos aa = . · Tính sin tan cos a a a = ; 1 cot tan a a = . Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 60 3. Cho biết tan a , tính sin a , cos a , cot a · Tính 1 cot tan a a = . · Từ 2 2 1 1tan cos a a =+ Þ 2 1 cos 1tan a a =± + . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 1 cos 1tan a a = + . – Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 1 cos 1tan a a =- + . · Tính sintan.cos aaa = . 4. Cho biết cot a , tính sin a , cos a , tan a · Tính 1 tan cot a a = . · Từ 2 2 1 1cot sin a a =+ Þ 2 1 sin 1cot a a =± + . – Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 1 sin 1cot a a = + . – Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 1 sin 1cot a a =- + . II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức · Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. · Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: ABABAB 222 ()2 +=+- ABABAB 4422222 ()2+=+- ABABAABB 3322 ()() +=+-+ ABABAABB 3322 ()() -=-++ IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình · Đặt txt 2 sin,01 =££ Þ xt 2 cos = . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. · Thiết lập phương trình bậc hai: tStP 2 0 -+= với SxyPxy ; =+= . Từ đó tìm x, y. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: a) aa 00 4 cos,270360 5 =<< b) 2 cos,0 2 5 p aa =-<< c) aa 5 sin, 132 p p =<< d) 00 1 sin,180270 3 aa =-<< e) aa 3 tan3, 2 p p =<< f) tan2, 2 p aap =-<< g) 0 cot1523 =+ h) 3 cot3, 2 p apa =<< Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 61 a) aa Akhiaa aa cottan3 sin,0 cottan52 p + ==<< - ĐS: 25 7 b) aa Bkhiaa aa 2 00 8tan3cot11 sin,90180 tancot3 +- ==<< + ĐS: 8 3 c) aaaa Ckhia aaaa 22 22 sin2sin.cos2cos cot3 2sin3sin.cos4cos +- ==- -+ ĐS: 23 47 - d) aa Dkhia aa 33 sin5cos tan2 sin2cos + == - ĐS: 55 6 e) aaa Ekhia aa 33 3 8cos2sincos tan2 2cossin -+ == - ĐS: 3 2 - g) aa Gkhia aa cot3tan2 cos 2cottan3 + ==- + ĐS: 19 13 h) aa Hkhia aa sincos tan5 cossin + == - ĐS: 3 2 - Bài 3. Cho aa 5 sincos 4 += . Tính giá trị các biểu thức sau: a) Aaa sin.cos = b) Baa sincos =- c) Caa 33 sincos =- ĐS: a) 9 32 b) 7 4 ± c) 417 128 ± Bài 4. Cho aa tancot3 -= . Tính giá trị các biểu thức sau: a) Aaa 22 tancot =+ b) Baa tancot =+ c) Caa 44 tancot =- ĐS: a) 11 b) 13 ± c) 3313 ± Bài 5. a) Cho xx 44 3 3sincos 4 += . Tính Axx 44 sin3cos =+ . ĐS: 7 A 4 = b) Cho xx 44 1 3sincos 2 -= . Tính Bxx 44 sin3cos =+ . ĐS: B = 1 c) Cho xx 44 7 4sin3cos 4 += . Tính Cxx 44 3sin4cos =+ . ĐS: CC 757 428 =Ú= Bài 6. a) Cho xx 1 sincos 5 += . Tính xxxx sin,cos,tan,cot . b) Cho xx tancot4 += . Tính xxxx sin,cos,tan,cot . ĐS: a) 4343 ;;; 5534 b) 123 ;;23;23 2 223 - +- - hoặc 231 23;23;; 2 223 - -+ - Bài 7. a) Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 62 VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 0000000000000 120;135;150;210;225;240;300;315;330;390; 420;495;2550 b) 71351051116132931 9;11;;;;;;;;;; 2443333664 pppppppppp pp Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) Axxx coscos(2)cos(3) 2 p pp æö =++-++ ç÷ èø b) Bxxxx 73 2cos3cos()5sincot 22 pp p æöæö = +-+- ç÷ç÷ èøèø c) Cxxxx 3 2sinsin(5)sincos 222 ppp p æöæöæö =++-++++ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø d) Dxxxx 33 cos(5)sintancot(3) 22 pp pp æöæö = ++-+- ç÷ç÷ èøèø Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) A 0000 00 sin(328).sin958cos(508).cos(1022) cot572tan(212) =- - ĐS: A = –1 b) B 00 0 00 sin(234)cos216 .tan36 sin144cos126 = - ĐS: B 1 =- c) C 00000 cos20cos40cos60 cos160cos180 =+++++ ĐS: C 1 =- d) D 20202020 cos10cos20cos30 cos180 =++++ ĐS: D 9 = e) E 00000 sin20sin40sin60 sin340sin360 =+++++ ĐS: E 0 = f) xxxx 0000 2sin(790)cos(1260)tan(630).tan(1260) ++-++- ĐS: Fx 1cos =+ Bài 4. a) VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: ABC p ++= và ABC 2222 p ++= Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) xxx 442 sincos12cos -=- b) xxxx 4422 sincos12cos.sin +=- c) xxxx 6622 sincos13sin.cos +=- Trn S Tựng Lng giỏc Trang 63 d) xxxxxx 882244 sincos14sin.cos2sin.cos +=-+ e) xxxx 2222 cotcoscos.cot -= f) xxxx 2222 tansintan.sin -= g) xxxxx 1sincostan(1cos)(1tan) +++=++ h) xxxxxxxx 22 sin.tancos.cot2sin.costancot ++=+ i) xxx xxx sincos12cos 1cossincos1 +- = + k) x x x 2 2 2 1sin 1tan 1sin + =+ - Bi 2. Chng minh cỏc ng thc sau: a) ab ab ab tantan tan.tan cotcot + = + b) aaa aaaa a 2 2 sincos1cot sincoscossin 1cot + -= - c) aa aa aa 22 sincos 1sin.cos 1cot1tan = ++ d) aaa aa aa a 2 2 sinsincos sincos sincos tan1 + -=+ - - e) aa a a a 2 2 1cos(1cos) 12cot sin sin ộự +- -= ờỳ ởỷ f) aaa aaaa 224 2222 tan1cot1tan . 1tancottancot ++ = ++ g) aa a aa 2 2 1sin1sin 4tan 1sin1sin ổử +- -= ỗữ -+ ốứ h) abab abab 2222 2222 tantansinsin tan.tansin.sin = i) aa a aa 22 6 22 sintan tan coscot - = - k) aa aa aa aa 33 33 22 tan1cot tancot sin.cos sincos -+=+ Bi 3. Cho xa vụựiab abab 44 sincos1 ,,0. +=> + Chng minh: xx abab 88 333 sincos1 () += + . Bi 4. Rỳt gn cỏc biu thc sau: a) xxx 222 (1sin)cot1cot -+- b) xxxx 22 (tancot)(tancot) + c) xxx xxx 222 222 coscos.cot sinsin.tan + + d) xayaxaya 22 (.sin.cos)(.cos.sin) -++ e) xx ax 22 22 sintan coscot - - f) xxx xxx 224 224 sincoscos cossinsin -+ -+ g) xxxx 22 sin(1cot)cos(1tan) +++ h) xx x xx 1cos1cos ;(0,) 1cos1cos p +- -ẻ -+ i) xx x xx 1sin1sin ;; 1sin1sin22 pp ổử +- +ẻ- ỗữ -+ốứ k) xxxx 22 3 costansin;; 22 pp ổử ẻ ỗữ ốứ Bi 5. Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x: a) xxxx 4466 3(sincos)2(sincos) +-+ S: 1 b) xxxxx 88664 3(sincos)4(cos2sin)6sin -+-+ S: 1 c) xxxx 4422 (sincos1)(tancot2) +-++ S: 2 d) xxxxx 22222 cos.cot3coscot2sin +-+ S: 2 e) xx xxx 44 664 sin3cos1 sincos3cos1 +- ++- S: 2 3 Lượng giác Trần Sĩ Tùng Trang 64 f) xxxx xx 2222 22 tancoscotsin sincos + ĐS: 2 g) xx xx 66 44 sincos1 sincos1 +- +- ĐS: 3 2 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) BAC sinsin() =+ b) ABC cos()cos +=- c) ABC sincos 22 + = d) BCAC cos()cos(2) -=-+ e) ABCC cos()cos2 +-=- f) ABC A 3 cossin2 2 -++ =- g) ABC C 3 sincos 2 ++ = h) ABCC 23 tancot 22 +- = Bài 7. a) VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin()sin.cossin.cos ababba +=+ sin()sin.cossin.cos ababba -=- cos()cos.cossin.sin ababab +=- cos()cos.cossin.sin ababab -=+ tantan tan() 1tan.tan ab ab ab + += - tantan tan() 1tan.tan ab ab ab - -= + Hệ quả: 1tan1tan tan,tan 41tan41tan papa aa aa æöæö +- +=-= ç÷ç÷ -+ èøèø Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) 000 15;75;105 b) 57 ;; 121212 ppp Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 3 tansin, 352 pp aaap æö +=<< ç÷ èø ĐS: 38253 11 - b) khi 123 cossin,2 3132 pp aaap æö -=-<< ç÷ èø ĐS: (5123) 26 - c) ababkhiab 11 cos().cos()cos,cos 34 +-== ĐS: 119 144 - d) ababab sin(),cos(),tan() -++ khi ab 85 sin,tan 1712 == và a, b là các góc nhọn. ĐS: 2114021 ;;. 221221220 e) abab tantan,tan,tan + khi abab0,, 24 pp <<+= và ab tan.tan322 =- . Từ đó Trần Sĩ Tùng Lượng giác Trang 65 suy ra a, b . ĐS: 222 - ; ababtantan21, 8 p ==-== Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a) A = ooo 222 sin20sin100sin140 ++ ĐS: 3 2 b) B = ooo 22 cos10cos110cos130 ++ ĐS: 3 2 c) C = oooooo tan20.tan80tan80.tan140tan140.tan20 ++ ĐS: –3 d) D = oooooo tan10.tan70tan70.tan130tan130.tan190 ++ ĐS: –3 e) E = ooo oo cot225cot79.cot71 cot259cot251 - + ĐS: 3 f) F = oo 22 cos75sin75 - ĐS: 3 2 - g) G = o 0 1tan15 1tan15 - + ĐS: 3 3 h) H = 00 tan15cot15 + ĐS: 4 HD: 000000 406020;806020 =-=+; 000000 506010;706010 =-=+ Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) xyxyxy 22 sin().sin()sinsin +-=- b) xy xy xyxy 2sin() tantan cos()cos() + += ++- c) xxxxxx 22 tan.tantan.tantan.tan3 3333 pppp æöæöæöæö ++++++=- ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø d) xxxx 32 cos.coscos.cos(13) 34644 pppp æöæöæöæö -++++=- ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø e) oooo (cos70cos50)(cos230cos290) ++ oooo (cos40cos160)(cos320cos380)0 +++= f) xx xx xx 22 22 tan2tan tan.tan3 1tan2.tan - = - Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) aabkhibacosab 2tantan()sinsin.() =+=+ b) aabkhibab 2tantan()3sinsin(2) =+=+ c) abkhiabab 1 tan.tancos()2cos() 3 =-+=- d) k abbkhiabka k 1 tan().tancos(2)cos 1 - +=+= + HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) CABBA sinsin.cossin.cos =+ b) C ABAB AB 0 sin tantan(,90) cos.cos =+¹ c) ABCABCABC 0 tantantantan.tan.tan(,,90) ++=¹ d) ABBCCA cot.cotcot.cotcot.cot1 ++= . cos()cos paa -= - cossin 2 p aa æö -= ç÷ èø tan()tan aa -= - tan()tan paa -= - tancot 2 p aa æö -= ç÷ èø cot()cot aa -= - cot()cot paa -= - cottan 2 p aa æö -= ç÷ èø Lượng giác Trần. 1 2 - 2 2 - –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3 - –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 - –1 0 CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phần tư Giá trị lượng giác I. 2 2 2 1cos2 sin 2 1cos2 cos 2 1cos2 tan 1cos2 a a a a a a a - = + = - = + 3 3 3 2 sin33sin4sin cos34cos3cos 3tantan tan3 13tan aaa aaa aa a a =- =- - = - coscos2cos.cos 22 abab ab +- += coscos2sin.sin 22 abab ab +- - =- sinsin2sin.cos 22 abab ab +- += sinsin2cos.sin 22 abab ab +- -=