Chương VI: LƯỢNG GIÁC BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC I.. Đường tròn định hướng và cung lượng giác: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều
Trang 1Chương VI: LƯỢNG GIÁC BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
I Khái niệm cung và góc lượng giác:
1 Đường tròn định hướng và cung lượng giác:
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó đã chọn một chiều di động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B Điểm M di động trên đường tròn theo
một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo thành một cung đgl cung lượng giác
Kí hiệu : AB chỉ cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với 2 điểm A, B có vô số cung lượng giác
2 Góc lượng giác:
Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động trên đường tròn từ C
đến D Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD Khi đó tia OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC tia cuối là OD
Kí hiệu: (OC,OD)
3-Đường tròn lượng giác :
Đường tròn lượng giác: là đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox tại A(1; 0) A’(-1; 0); cắt Oy tại B(0; 1) B’(0; -1)
II Số đo của cung và góc LG:
1 Độ và radian
Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad
1800 = rad
10 =
180
rad và rad=(180
) 0
với 3,14; 100,01745rad
Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường không viết chữ
rad sau số đó Ví dụ:
3
; 2
*Bảng chuyển đổi thông dụng:
Độ 300
450 600 900 1800 3600
-+ A
+ A'(-1; 0)
B'(0; -1)
B(0; 1)
O
A(1; 0)
Trang 2rad 6
4
3
2
2
*Độ dài của một cung lượng giác
Độ dài cung có số đo rad của đường trịn bán kính R là : l = R
§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I Các giá trị lượng giác của cung
1) Định nghĩa :
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có
sđ AM = Khi đó :
+ Khi đó tung độ y=OK của điểm M gọi là sin của
kí hiệu là sin sin = y
+ Khi đó hoảnh độ x=OH của điểm M gọi là côsin của
kí hiệu là cos cos = x
+ Nếu cos 0, tỉ số
cos
sin
gọi là tang của
kí hiệu tan (hoặc tg ) tan=
cos sin
+ Nếu sin 0, tỉ số
sin
cos
gọi là côtang của
kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot =
sin
cos
Các giá trị sin , cos, tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung Trục tung còn gọi là trục sin, trục hoành còn gọi là trục cosin
* Chú ý :
- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác
- Nếu 0 0 180 0 thì các giá trị lượng giác của cũng chính là các tỉ số lượng giác của góc
2) Các hệ quả :
a) sin và cos đều được xác định R Ta có:
sin( + k2) = sin cos( + k2) = cos
1 sin ,cos 1 b) m R, 1≤m≤ 1 đều tồn tại và sao cho sin = m và sin =m
c) tan xác định khi
2
+ k , k Z
cot xác định khi k , k Z
c) Dấu của các giá trị lượng giác
Góc phần tư
B'
B
A' O A
M (x;y)
K
H
Trang 33) Bảng giá trị lượng giác của một số cung hay góc đặc biệt :
Góc
Giá trị
lượng giác
0(00) /6(300) /4(450) /3(600) /2(900)
|| : không xác định
II) Ý nghĩa hình học của tan và cot
+ tan được biễu diễn bởi độ dài đại số của véctơ AT trên trục t’At,trục này gọi là trục tang
+ cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của véctơ BS trên trục s’Bs,trục này gọi là trục cotang
Từ ý nghĩa hình học của tan và cot ta có :
tan(+k ) = tan cot(+k ) = cot ( k Z )
III Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1/ Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
Với mọi k Z ta có :
sin2 + cos2 = 1
) 2 (
1 cot
) (
sin
1 cot
1 1
) 2 ( cos
1 1
1
2 2
2 2
k g
tg
k g
k tg
Ví dụ 1 : Cho sin = 3/5 với 0< </2 Tính cos ?
Ví dụ 2 : Cho tg =2/3 với 3 /2 <<2 Tính sin và cos ?
Ví dụ 3 : Cho /2+k , k Z Chứng minh rằng :
1 cos
sin
tg tg
tg
Ví dụ 4 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào
A =
g
g tg
tg
cot
1 cot
1
2 2
y
x
t K
A'
B'
B
O M
T
y
x
S
H
K
A
B'
B
O M
Trang 42) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a) Cung đối nhau : và
sin() = sin
cos() = cos
tan() = tan
cot() = cot
b) Cung bù nhau : và
sin() = sin
cos() = cos
tan()= tan
cot()= cot
c) Cung hơn kém nhau : và +
sin(+) = sin
cos(+) = cos
tan(+) = tan
cot(+) =cot
d) Cung phụ nhau : và
2
sin(/2) = cos
cos(/2)= sin
tan(/2) = cot
cot(/2) = tan
e) Cung hơn kém nhau /2 : và
2
+ (Xem) sin(/2+) = cos
cos(/2+) = sin
tan(/2+) = cot
cot(/2+)= tan
Ví dụ : Tính
a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4)
b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 = 1
sin(10500)=sin(3003.3600) =sin300 = ½
2 Số đo của cung lượng giác:
VD: Xem hình 44
Kết luận: số đo của một cung lượng giác AM (A ≠M) là một số thực dương hay âm
Kí hiệu: số đo của cung AM là: sđAM
Ghi nhớ:Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội
của 2 Và viết là:
sđAM = k2 , (kZ)
Trong đó là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M
MA sđAA =k , (k2 Z)
k = 0 sđAA = 0
* Ta cũng có công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác AM là:
Trang 5Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng
Chú ý: Từ nay về sau khi nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại
4.Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:
Để biểu diễn một cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta lấy điểm A làm điểm gốc ,điểm cuối M được xác định theo hệ thức sau :
sđ AM = Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác
Ví dụ 1: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo là 25
4
; -7650 Giải: SGK tr139
Ví dụ 2: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung sau
a) 11 2
; b) 4050
Giải a) 11/2 = -/2 + 6 Điểm ngọn M của cung 11/2 được xác định bởi hệ thức :
sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 Vậy M là điểm B’(0;-1)
b) Ta có 4050
= 450 + 3600 Điểm ngọn N của cung 4050
được xác định bởi hệ thức: sđAN = 450
+ 3600 hay sđ AN = 450 Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB
Ví dụ 2 : Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung có số đo
= /2 + k , kZ
Giải
kZ nên k có thể là số chẵn hoặc là số lẻ : + Nếu k chẵn thì k = 2n, nZ Khi đó = /2 + n2 , nZ
Vậy điểm ngọn của là B(0;1)
+ Nếu k lẻ thì k = 2n - 1, nZ Khi đó = /2 + (2n-1) = -/2 + n2 , nZ
Vậy điểm ngọn của là B’(0;-1)
§ 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
I) Công thức cộng
Với mọi số thực a , b ta có :
cos(a b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb sina.sinb
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tgatgb 1
tgb tga ) b a
(
tg
(a /2 + k ;b /2 + k ;a+b /2 + k ;ab /2 + k )
Ví dụ1 : Tính
a) cos
12
13
14
7
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng
a)
tga 1
tga 1 ) a 4 ( tg
b)
tga 1
tga 1 ) a 4 ( tg
Trang 6
Áp dụng tính A =
0
0
15 1
15 1
tg
tg
tg150 = ?
II) Công thức nhân
1) Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a sin2a
= 2cos2a 1
= 1 2sin2a tg2a =
a tg 1
tga 2
2
( a /2 + k , a /4 + k /2 )
* Công thức nhân ba
sin3a = 3sina 4sin3a cos3a = 4cos3a 3cosa
tg3a =
a tg 3 1
a tg tga 3
2
3
Ví dụ :
2
1 1 a cos a
b) Chứng minh rằng
a sin a cos
a sin a cos a 2 sin 1
a 2 cos
2) Công thức hạ bậc
2
a 2 cos 1 a
2
a 2 cos 1 a
sin2
a 2 cos 1
a 2 cos 1 a
tg2
( a /2 + k )
Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8
3) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg
2
a
(không học)
Giả sử a + k ,đặt t = tg
2
a ,ta có :
2 2
2
t 2 tga
; t
1
t 1 a cos
; t
1
t 2 a
sin
Ví dụ1 : Biết tg
2
a
= 3
2
, tính
a sin 5 4
a cos 3 2
III) Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa.cosb =
2
1[cos(a+b) + cos(ab)]
sina.sinb =
2
1 [cos(a+b) cos(ab)]
sina.cosb =
2 1 [sin(a+b) + sin(ab)]
Trang 7Ví dụ 1 : Tính các biểu thức sau :
24
sin 24
5 sin B 12
7 sin 12
5 cos
Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng các biểu thức sau
C = cos5x.cos3x
D = 4sinx.sin2x.sin3x = 2 sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x = sin4x sin6x + sin2x
IV) Công thức biến đổi tích thành tổng
2
y x sin 2
y x sin 2 y cos x
cos
2
y x cos 2
y x cos 2 y cos x
cos
2
y x sin 2
y x cos 2 y sin x
sin
2
y x cos 2
y x sin 2 y sin x
sin
sin( ) tan tan
cos cos
Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích
Khi đó ta có các công thức :
) 4 x sin(
2 x cos x sin
) 4 x cos(
2 x sin x cos
) 4 x sin(
2 ) 4 x cos(
2 x sin x cos
Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích
A = sinx + sin2x + sin3x = (sin3x+sinx) + sin2x =2sin2xcosx + 2sinxcosx = 2cosx(sin2x + sinx ) =
