Tổng hợp công thức lượng giác và bài tập Đại số 10

Các dạng bài tập Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác Tính các giá trị còn lại của góc cung lượng giác khi biết a... Chứng minh rằng tanA tanB tanC  ta

Trang 1

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A Lý thuyết

Đường tròn lượng giác

sin

tan

cos

x

cos cot

sin

x

Bảng giá trị của các góc đặc biệt:

Góc

GTLG

00

(0)

300 ( 6

 )

450 ( 4

 )

600 ( 3

 )

900 ( 2

 )

sin 0 1

2

1 cos 1 3

2

1 2

0

3

0

Hằng đẳng thức lượng giác





2 2

tan cot 1 k , k Z

2

1

1 cotg k , k Z

sin

Các góc cung lượng giác có liên quan đặc biệt

 và – 

  

Hai cung đối nhau

 và - 

  

   Hai cung bù nhau

 và 2







2



Hai cung phụ nhau

 và 2







2



  

Hai cung hơn kém nhau

2



 và  +

  

Hai cung hơn kém nhau 

 và  + 2k

k k k k

Hai cung hơn kém nhau 2 

Công thức lượng giác

1 Công thức cộng:

 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

 tan(a – b) = tan tan

1 tan tan





a b

 tan(a + b) = tan tan

1 tan tan





a b

2 Công thức nhân đôi:

 sin2a = 2sina.cosa  sina.cosa= sin2 1

 cos2a = cos 2

a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a

 tan2a = 2 tan2

1 tan

a

3 Công thức nhân ba:

 sin3a = 3sina – 4sin 3

a

 cos3a = 4cos 3

a – 3cosa

4.Công thức hạ bậc:

sin

2



0



3 2

 cos

0 

Trang 2

 cos2a = 1 cos 2

2

a



 sin2a = 1 cos 2

2

a



 tan2 1 cos 2

1 cos 2

  



a

Hệ quả

 sin3 3sin sin 3

4

 cos3 cos 3 3cos

4

5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan

2

x

:

 sinx = 2 2

1

t t

  cosx =

2 2

1 1

t t





 tanx = 2 2

1

t t

  cotx =

2

1 2

t t



Hệ quả:

Công thức tính sin2x, cos2x,tan2x theo t=tanx:

 sin2x = 2 2

1

t t

  cos2x =

2 2

1 1

t t





 tan2x = 2 2

1

t t

  cot2x =

2

1 2

t t



6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a cos b 2 cos cos

cos a cos b 2 sin sin

sin a sin b 2 sin cos

sin a sin b 2 cos sin

 tan tan sin( ) ( , , )

cos cos 2





sin sin



 cot cot sin( )( , , )

sin sin

Hệ quả

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

1 cos cos cos( ) cos( )

2

1 sin sin cos( ) cos( )

2

1 sin cos sin( ) sin( )

2

1 sin cos sin( ) sin( )

2

B Các dạng bài tập

Tính các giá trị lượng giác còn lại khi

biết một giá trị lượng giác

Tính các giá trị còn lại của góc cung lượng giác khi biết

a. sin 3

5

  và 0;

2



 

 

b. cos 0,6 và  thuộc vào góc phân tư thứ IV

c. tan  5 và  thuộc vào góc phần tư thứ III

d. cot   10 và  thuộc vào góc phần tư thứ II

Rút gọn biểu thức

2

A a b   a b

1

B c  a  a a







2 sin 2 sin 4

D



2

1 os

sin

c E



F

Trang 3





 sin 5 sin 3

2 os2

G

c





sin sin 3 sin 5

os + os3 os5

H

Chứng minh đẳng thức lượng giác

os a-b co t co t 1

o s a+ b co t cot 1







c 1 osx+ os2x

c otx sin2x-sinx





d

x

1+cosx+cos

2



2

2 os2x-sin4x

tan

c

x c

f sin x-y 

t anx-tany=

cosx.cosy



1 cos



16 sin10 sin 30 sin 50 sin 70 1

8 4 tan 2 tan tan cot

cot cot16 sin 2xsin 4xsin 8xsin16x  x x

8sin 18 8sin 18 1

1 sin 6 cos 6 5 3cos 4

8

sin cos 35 28 cos 4 cos 8

64

sin 3 sinx xcos3 cosx xcos 2x

cos12 cos18 4 cos15 cos 21 cos 24

2



tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 cos 20

3

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau

1 cot   sin  1 tan   cos  sin cos 

2.

2 2

sin cot



3.

6

sin tan

tan cos cot





4. sin cos 2 1 2

2 tan cot sin cos





5. 1 cos 1 cos 2 cos

7. tan sin sin 2

1 cos cos 2







8. cot 1 cos cos 2

sin 2 sin





9. tan 3 sin sin 3 sin 5

cos cos 3 cos 5





10. cos cos2 1

11.

cos15 sin15

3 cos15 sin15





12. cos2 cos4 cos6 1

sin 2 sin 6x xcos 2 cos6x xcos 4x

tan 20 tan 40 tan 60 tan80 3

15. tan tan2 tan5 tan 8 3cos

16.cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 17



17. tan tan tan tan 3

      

tan 20 tan 40  3 tan 20 tan 40  3

Trang 4

19. 0 0 0 0

tan 5 tan 55 tan 65 tan 75 1

Chứng minh các đẳng thức sau không

phụ thuộc vào x

      

2







1 os2x+sin2x

.c otx

1 os2x+sin2x

c

D

c

2 sin6 cos6 3 sin4 cos4

4 sin4 cos4  os4x

2 cos sin sin cos 3sin

tan 1 cot 1

x H



sin 1 sin cos 1 cos 5sin cos 1

3 sin cos 4 cos 2sin 6 sin

Áp dụng công thức lượng giác trong

tam giác

Bài tập 1: Chứng minh rằng :  ABC với R

là bán kính đường tròn của  ABC, r là bán

kính đường tròn nội tiếp  ABC , ta luôn

có 4 sin sin sin

Bài tập 2: Chứng minh rằng:  ABC cân

khi và chỉ khi thỏa mãn đẳng thức

tan tan 2 cot

2

A

Bài tập 3: Cho  ABC với ba góc nhọn

a. Chứng minh rằng

tanA tanB tanC  tan tan tanA B C

b. Đặt T  tanA tanB tanC.

Chứng minh rằng T 3 3. Dấu bằng xẩy ra

khi nào?

Bài tập 4: Chứng minh rằng trong tam giác

ABC có ba góc nhọn thì

2 cos A 2 cos B 2 cos C 4

Bài tập 5: Chứng minh rằng  ABC vuông

khi và chỉ khi thỏa mãn đẳng thức

sin Asin Bsin C

Bài tập 6: Trong  ABC có các góc là A,

B, C và các cạnh là a, b, c . Chứng minh

rằng :

2

sin sin

Bài tập 7: Cho tam giác ABC . Chứng minh

rằng

cos cos cos 1 4 sin sin sin

Bài tập 8: Chứng minh rằng tam giác ABC

vuông khi và chỉ khi thỏa mãn

cos Acos Bcos C 1

Bài tập 9: Trong tam giác, Chứng minh

rằng

1



Bài tập 10: Cho tam giác ABC không phải

là tam giác vuông. Chứng minh rằng

cot cot cot tan tan tan

sin2 sin2 sin2

Bài tập 11:Các góc của tam giác ABC thỏa

mãn điều kiện

sin Asin Bsin C3 cos A cos B cos C  Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

Bài tập 12: Tính góc C của tam giác ABC

nếu :

1 cot  A1 cot  B 2

Bài tập 13: Cho tam giác ABC. Chứng

minh rằng nếu

2 2

tan sin tan sin

C  C, thì tam giác ABC vuông hoặc cân.

Bài tập 14: Chứng minh rằng tam giác

ABC là tam giác đều nếu điều kiện sau

được thỏa mãn 3 3 3

2

2 cos

a

b c a











 



Trang 5

Bài tập 15: Cho tam giác, có độ dài các BC,

CA, a b,  theo thứ tự lập thành cấp số

cộng. Tính giá trị của biểu thức

cot cot

P 

Bài tập 16: Cho tam giác ABC có ba góc

sinAcosAsinBcosBsinCcosC 1.

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác

vuông

Bài tập 17: Cho A, B, C là ba góc của tam

giác ABC. Chứng minh rằng

tan tan tan tan tan tan 1

Bài tập 18: Cho tam giác ABC có ba cạnh

tương ứng với các góc là a, b, c và đường

cao ứng với góc A là h a. Chứng minh rằng

nếu 3

2

a

h   b c thì tam giác ABC là

tam giác đều

Bài tập 19: Cho tam giác ABC thỏa mãn

điều kiện

2

c



Chứng minh rằng tam giác ABC cân hoặc

vuông

Bài tập 20: Chứng minh rằng nếu tam giác

ABC thỏa mãn điều kiện

2

3

S  R A B C thì tam giác

ABC là tam giác đều

Bài tập 21: Cho tam giác ABC thỏa mãn

điều kiện

sin sin 2 sin

Chứng minh rằng

1 tan tan tan tan

Bài tập 22: Chứng minh rằng với mọi tam

giác ABC ta đều có

Bài tập 23: Cho tam giác ABC có các cạnh

thỏa manc hệ thức 2bac. Chứng minh rằng cot cot 3

 Bài tập 24: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có các đẳng thức sau:

a.

3 cos cos cos tan tan tan

cos cos cos cos cos cos

Bài tập 25: Cho tam giác ABC trong đó cot , cot , cot

theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng . Chứng minh rằng

cot cot 3



Để thực hiện tốt các bài tập này học sinh cần nắm vững các kiến thức sách giáo khoa và các bài tập trong đó Bạn cũng có thể tham khảo tất cả các bài hướng dẫn giải trên Xuctu.com thông qua hình ảnh hoặc Video Chương trình được thực hiện bởi Xuctu.com website chuyên nghiệp về toán học kết hợp với Trung tâm giáo viên & gia sư tại Huế

Biên soạn: Nguyễn Quốc Tuấn

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	2,25 MB