TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. Lý thuyết Đường tròn lượng giác sin tan cos x x x cos cot sin x x x Bảng giá trị của các góc đặc biệt: Góc GTLG 0 0 (0) 30 0 ( 6 ) 45 0 ( 4 ) 60 0 ( 3 ) 90 0 ( 2 ) sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 1 3 1 3 cot 3 1 1 3 0 Hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 R tan .cot 1 k ,k Z 2 1 1 tan ;cot cot tan 1 1 tan k ,k Z cos 2 1 1 cotg k ,k Z sin Các góc cung lượng giác có liên quan đặc biệt và – sin sin cos cos tan tan cot cot Hai cung đối nhau và - sin sin cos cos tan tan cot cot Hai cung bù nhau và 2 sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 Hai cung phụ nhau và 2 sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 Hai cung hơn kém nhau 2 và + sin sin cos cos tan tan cot cot Hai cung hơn kém nhau và + 2k sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot k k k k Hai cung hơn kém nhau 2 Công thức lượng giác 1. Công thức cộng: cos(a–b)=cosa.cosb+sina.sinb cos(a+b)=cosa.cosb–sina.sinb sin(a–b)=sina.cosb–cosa.sinb sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb tan(a–b)= tan tan 1 tan .tan a b a b tan(a+b)= tan tan 1 tan .tan a b a b 2. Công thức nhân đôi: sin2a=2sina.cosa 1 sina.cosa= sin2 2 a cos2a=cos 2 a–sin 2 a=2cos 2 a–1=1–2sin 2 a tan2a= 2 2tan 1 tan a a 3. Công thức nhân ba: sin3a=3sina–4sin 3 a cos3a=4cos 3 a–3cosa 4.Công thức hạ bậc: sin 2 0 3 2 cos 0 TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - cos 2 a= 1 cos2 2 a sin 2 a= 1 cos2 2 a 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a Hệquả 3 3sin sin 3 sin 4 3 cos 3 3cos cos 4 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan 2 x : sinx= 2 2 1 t t cosx= 2 2 1 1 t t tanx= 2 2 1 t t cotx= 2 1 2 t t Hệ quả: Công thức tính sin2x, cos2x,tan2x theo t=tanx: sin2x= 2 2 1 t t cos2x= 2 2 1 1 t t tan2x= 2 2 1 t t cot2x= 2 1 2 t t 6. Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 a b a b cosa cosb 2sin sin 2 2 a b a b sina sinb 2sin cos 2 2 a b a b sina sinb 2cos sin 2 2 sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2 a b a b a b k k Z a b sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin a b a b a b k k Z a b sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin a b a b a b k k Z a b Hệ quả sin cos 2sin( ) 2 ( ) 4 4 a a a cos a sin cos 2sin( ) 2 ( ) 4 4 a a a cos a cos sin 2 ( ) 2sin( ) 4 4 a a cos a a 7. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 b a a b a b B. Các dạng bài tập Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác Tínhcácgiátrịcònlạicủagóccunglượng giáckhibiết a. 3 sin 5 và 0; 2 b. cos 0,6 và thuộcvàogócphântư thứIV c. tan 5 và thuộcvàogócphầntưthứ III d. cot 10 và thuộcvàogócphầntư thứII Rút gọn biểu thức sin sin sin 2 A a b a b 1 os cos sin 4 4 2 B c a a a os sin sin 2 2 C c a b a b 2 sin 2 sin 4 2 sin 2 sin 4 D 2 1 os tan sin sin c E sin cos 4 4 sin cos 4 4 F TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - sin 5 sin 3 2 os2 G c sin sin 3 sin 5 os + os3 os5 H c c c Chứng minh đẳng thức lượng giác a. os a-b cot cot 1 os a+b co t cot 1 c a b c a b 2 2 2 2 .sin sin sin sin os os b a a b a b a b c a c b c. 1 osx+ os2x cotx sin2x-sinx c c d. x sinx+sin x 2 tan x 2 1+cosx+cos 2 e. 2 2 os2x-sin4x tan 2 os2x+sin4x 4 c x c f. sin x-y t anx-tany= cosx.cosy 4 4 6 6 sin cos 1 2 sin cos 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos cos sin 1 cot cot cot 1 2sin sin sin sin 4 4 4 4 3 5 7 3 sin sin sin sin 16 16 16 16 2 0 0 0 0 16sin10 .sin30 .sin 50 .sin 70 1 8 4 tan 2 tan tan cot 8 16 32 32 1 1 1 1 cot cot16 sin 2 sin 4 sin 8 sin16 x x x x x x 3 0 2 0 8sin 18 8sin 18 1 4 4 1 sin cos 3 cos 4 4 x 1 sin 6 cos6 5 3cos 4 8 x x x 8 8 1 sin cos 35 28cos 4 cos8 64 x x x x 3 3 3 sin 3 .sin cos3 .cos cos 2 x x x x x 0 0 0 0 0 3 1 cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24 2 0 0 0 0 0 8 3 tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 cos 20 3 Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau 1. 3 3 1 cot sin 1 tan cos sin cos 2. 2 2 2 2 sin 2cos 1 sin cot 3. 2 2 6 2 2 sin tan tan cos cot 4. 2 2 sin cos 1 2 tan cot sin cos 5. 1 cos 1 cos 2cos 1 cos 1 cos sin 6. 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos sin 7. sin sin 2 tan 1 cos cos2 8. 1 cos cos2 cot sin 2 sin 9. sin sin 3 sin5 tan 3 cos cos3 cos5 10. 2 1 cos cos 5 5 2 11. 0 0 0 0 cos15 sin15 3 cos15 sin15 12. 2 4 6 1 cos cos cos 7 7 7 2 13. 3 3 3 sin 2 .sin 6 cos 2 .cos6 cos 4 x x x x x 14. 0 0 0 0 tan 20 .tan40 .tan 60 .tan80 3 15. 2 5 8 3 tan tan tan tan cos 6 9 18 3 3 9 16. 7 2 3 4 5 6 7 1 cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 2 17. tan .tan . tan tan3 3 3 x x x 18. 0 0 0 0 tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3 TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - 19. 0 0 0 0 tan 5 .tan 55 . tan 65 .tan 75 1 Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào x sin os 4 4 A x c x os sin 6 3 B c x x 2 sin os . os 3 3 C x c x c x 1 os2x+sin2x .cotx 1 os2x+sin2x c D c 6 6 4 4 2 sin cos 3 sin cos E x x x x 4 4 4 sin cos os4x F x x c 4 4 2 2 2 2 cos sin sin .cos 3sin G x x x x x 2 cot 1 tan 1 cot 1 x H x x 4 2 4 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos 5sin .cos 1 I x x x x x x 8 8 6 6 4 3 sin cos 4 cos 2sin 6sin K x x x x x 2 2 cos sin 2cos sin sin L x a x b x a x b a b 2 2 2 2 2 3 cos cos cos 3 3 2 M x x x Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác Bài tập 1: Chứngminhrằng: ABCvớiR làbánkínhđườngtròncủa ABC,rlàbán kínhđườngtrònnộitiếp ABC,taluôn có 4 .sin sin sin 2 2 2 A B C r R Bài tập 2: Chứngminhrằng: ABCcân khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức tan tan 2cot 2 A B C Bài tập 3: Cho ABCvớibagócnhọn a.Chứngminhrằng tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C b.Đặt tan tan tan T A B C . Chứngminhrằng 3 3 T .Dấubằngxẩyra khinào? Bài tập 4: Chứngminhrằngtrongtamgiác ABCcóbagócnhọnthì 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 4 A B C Bài tập 5: Chứngminhrằng ABCvuông khivàchỉkhithỏamãnđẳngthức 2 2 2 sin sin sin A B C Bài tập 6: Trong ABCcócácgóclàA, B,Cvàcáccạnhlàa,b,c.Chứngminh rằng: 2 2 2 sin sin A B a b C c Bài tập 7: ChotamgiácABC.Chứngminh rằng cos cos cos 1 4sin sin sin 2 2 2 A B C A B C Bài tập 8: ChứngminhrằngtamgiácABC vuôngkhivàchỉkhithỏamãn 2 2 2 cos cos cos 1 A B C Bài tập 9: Trongtamgiác,Chứngminh rằng 1 sin sin sin 2 2 2 8 A B C Bài tập 10: ChotamgiácABCkhôngphải làtamgiácvuông.Chứngminhrằng 2 2 2 cot cot cot tan .tan .tan sin2 sin2 sin2 A B C A B C A B C Bài tập 11:CácgóccủatamgiácABCthỏa mãnđiềukiện 2 2 2 2 2 2 sin sin sin 3 A B C cos A cos B cos C ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác đều Bài tập 12: TínhgócCcủatamgiácABC nếu: 1 cot 1 cot 2 A B Bài tập 13: Cho tam giác ABC. Chứng minhrằngnếu 2 2 tan sin tan sin B B C C , thì tam giác ABC vuông hoặccân. Bài tập 14: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu điều kiện sau đượcthỏamãn 3 3 3 2 2 cosa b C b c a a b c a TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT: 0905671232– 0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Bài tập 15: Chotamgiác,cóđộdàicácBC, CA, , a b theo thứ tự lập thành cấp số cộng.Tínhgiátrịcủabiểuthức cot cot 2 2 A C P Bài tập 16: Cho tam giác ABCcóba góc thỏa mãn điều kiện sin cos sin cos sin cos 1 A A B B C C . ChứngminhrằngtamgiácABClàtamgiác vuông Bài tập 17: ChoA,B,Clàbagóccủatam giácABC.Chứngminhrằng tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A Bài tập 18: ChotamgiácABCcóbacạnh tươngứngvớicác góclàa,b,cvàđường caoứngvớigócAlà a h .Chứngminhrằng nếu 3 2 a a h b c thì tam giác ABC là tamgiácđều Bài tập 19: ChotamgiácABCthỏamãn điềukiện 2 2 2 sin a b A B c ChứngminhrằngtamgiácABCcânhoặc vuông Bài tập 20: Chứngminhrằngnếutamgiác ABCthỏamãnđiềukiện 2 3 3 3 2 sin sin sin 3 S R A B C thìtamgiác ABClàtamgiácđều Bài tập 21: ChotamgiácABCthỏamãn điềukiện sin sin 2sin 2 2 2 A C B Chứngminhrằng 1 tan tan tan tan 2 2 2 2 3 A B B C Bài tập 22: Chứngminhrằngvớimọitam giácABCtađềucó cot cot cot 0 2 2 2 C A B a b b c c a Bài tập 23: ChotamgiácABCcócáccạnh thỏamanchệthức 2 b a c .Chứngminh rằng cot cot 3 2 2 A C Bàitập24:Chứngminhrằngtrongmọi tamgiáctacócácđẳngthứcsau: a. 3 cos cos cos tan tan tan 2 2 2 sin sin sin A B C A B C A B C sin sin sin 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B C B C C A B A Bàitập25:ChotamgiácABCtrongđó cot ,cot ,cot 2 2 2 A B C theothứtựđólậpthành cấpsốcộng.Chứngminhrằng cot .cot 3 2 2 A C Để thực hiện tốt các bài tập này học sinh cần nắm vững các kiến thức sách giáo khoa và các bài tập trong đó. Bạn cũng có thể tham khảo tất cả các bài hướng dẫn giải trên Xuctu.com thông qua hình ảnh hoặc Video. Chương trình được thực hiện bởi Xuctu.com website chuyên nghiệp về toán học kết hợp với Trung tâm giáo viên & gia sư tại Huế. Biên soạn: Nguyễn Quốc Tuấn . B. Các dạng bài tập Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị lượng giác Tínhcácgiátrịcònlạicủagóccung lượng giác khibiết a. 3 sin 5 và 0; 2 . b. cos 0,6 và thuộcvàogócphântư thứIV c. tan 5 và thuộcvàogócphầntưthứ III d. cot 10 và thuộcvàogócphầntư thứII Rút gọn biểu thức sin. Bài tập 10: Chotam giác ABCkhôngphải làtam giác vuông.Chứngminhrằng 2 2 2 cot cot cot tan .tan .tan sin2 sin2 sin2 A B C A B C A B C Bài tập 11:Cácgóccủatam giác ABCthỏa mãnđiềukiện