Tổng hợp công thức lượng giác

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cơng thức cộng: cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ sin 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 ± 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 ± sin 𝑏 cos 𝑎 tan 𝑎 ± tan 𝑏 tan(𝑎 ± 𝑏) = ∓ tan 𝑎 tan 𝑏 Công thức nhân đôi: sin  (𝑘 chẵn) sin 2𝑎 = 2sin 𝑎 cos 𝑎  sin( + 𝑘𝜋) = { 2 − sin  (𝑘 lẻ) cos 2𝑎 = cos 𝑎 − sin 𝑎 cos  (𝑘 chẵn) = 2cos 𝑎 −  cos( + 𝑘𝜋) = { − cos  (𝑘 lẻ) = − sin2 𝑎 tan 𝑎  tan( + 𝑘𝜋) = tan  ∀𝑘 ∈ 𝑍 tan 2𝑎 =  cot( + 𝑘𝜋) = cot  ∀𝑘 ∈ 𝑍 − tan2 𝑎 𝜋 Công thức hạ bậc:  sin ( ∓ ) = cos  + cos 2𝑎 𝜋 cos 𝑎 =  cos ( ∓ ) = ±sin  2 − cos 2𝑎 𝜋  tan ( ∓ ) = ±cot  sin2 𝑎 = 2 𝜋 cos 𝑎 + cos 3𝑎  cot ( ∓ ) = ±tan  cos 𝑎 = sin 𝑎 − sin 3𝑎 sin3 𝑎 = Hai cung đối nhau: cos 4𝑎 + cos 2𝑎 +  cos(−) = cos  cos 𝑎 =  sin(−) = −sin  cos 4𝑎 − cos 2𝑎 +  tan(−) = −tan  sin 𝑎 =  cot(−) = −cot  − cos 4𝑎 sin2 𝑎 cos2 𝑎 = Công thức nhân ba: Hai cung bù nhau: sin 3𝑎 = sin 𝑎 − sin3 𝑎  sin(𝜋 − ) = sin  cos 3𝑎 = cos 𝑎 − cos 𝑎  cos(𝜋 − ) = −cos  tan 𝑎 − tan3 𝑎  tan(𝜋 − ) = −tan  tan 3𝑎 = − tan2 𝑎  cot(𝜋 − ) = −cot  Cơng thức tính theo t = 𝐭𝐚𝐧(𝒂/𝟐): 1−𝑡 Cơng thức biến tích thành tổng: sin 𝑎 sin 𝑏 = − [cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)] cos 𝑎 cos 𝑏 = [cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)] sin 𝑎 cos 𝑏 = [sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)] Công thức biến tổng thành tích: 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 cos 𝑎 + cos 𝑏 = cos cos 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 cos 𝑎 − cos 𝑏 = −2 sin sin 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 sin 𝑎 + sin 𝑏 = sin cos 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 sin 𝑎 − sin 𝑏 = cos sin 2 ☆ Cơ bản: sin 𝑥 cos 𝑥 tan 𝑥 = cot 𝑥 = cos 𝑥 sin 𝑥 sin2 𝑥 + cos 𝑥 = tan 𝑥 cot 𝑥 = 1 1 + tan2 𝑥 = + cot 𝑥 = cos 𝑥 3+cos 4𝑥 sin 𝑥 5+3cos 4𝑥 sin4 𝑥 + cos 𝑥 = sin6 𝑥 + cos 𝑥 = ± sin 2𝑥 = (sin 𝑥 ± cos 𝑥) ☆ Đặc biệt: 𝜋 𝜋 sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2 sin (𝑥 + ) = √2 cos (𝑥 − ) 4 𝜋 𝜋 sin 𝑥 − cos 𝑥 = √2 sin (𝑥 − ) = −√2 cos (𝑥 + ) 4 𝜋 𝜋 sin 𝑥 ± √3 cos 𝑥 = sin (𝑥 ± ) = ±2 cos (𝑥 ∓ ) 𝜋 𝜋 √3 sin 𝑥 ± cos 𝑥 = sin (𝑥 ± ) = ∓2 cos (𝑥 ∓ ) tan 𝑥 + cot 𝑥 = tan 𝑥 − cot 𝑥 = −2 cot 2𝑥 sin 2𝑥 2𝑡 cos 𝑎 = 1+𝑡 sin 𝑎 = 1+𝑡 2𝑡 tan 𝑎 = 1−𝑡 cot 𝑎 = 1−𝑡 2𝑡 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1) Phương trình dạng đặc biệt: cos  = ⇔  = 𝑘2𝜋 cos  = −1 ⇔  = 𝜋 + 𝑘2𝜋 𝜋 𝜋 cos  = ⇔  = + 𝑘𝜋 𝜋 sin  = ⇔  = + 𝑘2𝜋 sin  = −1 ⇔  = − + 𝑘2𝜋 sin  = ⇔  = 𝑘𝜋 2 𝑢 = 𝑣 + 𝑘2𝜋 𝑢 = 𝑣 + 𝑘2𝜋 2) Phương trình lượng giác bản:sin 𝑢 = sin 𝑣 ⇔ [ cos 𝑢 = cos 𝑣 ⇔ [ 𝑢 = 𝜋 − 𝑣 + 𝑘2𝜋 𝑢 = −𝑣 + 𝑘2𝜋 tan 𝑢 = tan 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋 cot 𝑢 = cot 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋 3) Phương trình bậc sin cos: 𝒂 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝒄 (1) 𝑎 𝑏 𝑐 Chia hai vế cho √𝑎2 + 𝑏 ta có: pt (1) ⇔ 2 sin 𝑥 + 2 cos 𝑥 = 2 Gọi  góc thỏa: cos  = 𝑎 √𝑎2 +𝑏 √𝑎 +𝑏 𝑏 , sin  = √𝑎2 +𝑏 2 √𝑎 +𝑏 √𝑎 +𝑏 ; pt (1) ⇔ sin(𝑥 + ) = 𝑐 √𝑎2 +𝑏  𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑐 có nghiệm x ⇔ 𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑐 ⇒ −√𝑎2 + 𝑏 ≤ 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 ≤ √𝑎2 + 𝑏 4) Phương trình đẳng cấp theo sin cos:  Đẳng cấp bậc 2: 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 = 𝒅 (2) 𝜋  TH1: Xét cos 𝑥 = ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋 (∀𝑥 ∈ 𝑍)  TH2: Xét cos 𝑥 ≠ 0: Chia hai vế pt (2) cho cos 𝑥 ta phương trình bậc theo tan 𝑥 → Giải phương trình → Kết luận nghiệm: gộp trường hợp  Đẳng cấp bậc 3: 𝒂 𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙 + 𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 + 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 + 𝒅 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 + 𝒆 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝒈 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟎 (3) 𝜋  TH1: Xét cos 𝑥 = ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋  TH2: Xét cos 𝑥 ≠ 0: Chia hai vế pt (3) cho cos 𝑥 ta phương trình bậc theo tan 𝑥 → Giải phương trình → Kết luận nghiệm: gộp trường hợp 5) Phương trình đối xứng theo sin cos: 𝒂(𝐬𝐢𝐧 𝒙 ± 𝐜𝐨𝐬 𝒙) + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄 = 𝟎; 𝒇(𝐬𝐢𝐧 𝒙 ± 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ; 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙) = 𝟎 (4) Đặt 𝑡 = sin 𝑥 ±cos 𝑥 với 𝑡 ∈ [−√2; √2] → sin 𝑥 cos 𝑥 = ± pt (4) ⇔ 𝑎𝑡 ± 𝑏 𝑡 −1 + 𝑐 = hay 𝑓 (𝑡; ± 𝑡 −1 𝑡 −1 )=0 𝒙 𝑥 𝟐 6) Phương trình dạng: 𝒇 (𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝐭𝐚𝐧 , 𝐭𝐚𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐭 𝒙) = 𝟎, ta đặt t = tan , pt thay x 2x ta đặt t = tan 𝑥 sin tan √3 −√3 -1 𝝅/𝟐 −√3/3 𝟐𝝅/𝟑 √2/2 𝟓𝝅/𝟔 -1 √3 cot 𝝅/𝟒 √3/2 𝟑𝝅/𝟒 √3/3 𝝅/𝟑 /4 𝝅/6 √3/3 1/2 −√3 −√2 −1 2 2 √2 √3 2 A (Điểm gốc) O cos -1/2 −𝟓𝝅/𝟔 −√2/2 −𝟑𝝅/𝟒 −𝝅/𝟔 −√3/3 −√3/2 −𝟐𝝅/𝟑 −𝝅/𝟒 -1 −𝝅/𝟐 −𝝅/𝟑 -1 −√3 Đường tròn lượng giác dấu giá trị lượng giác: sin tan cot II cos III IV -1 I II III IV sin 𝛼 + + − − cos 𝛼 + − − + tan 𝛼 + − + − cot 𝛼 + − + − Giá trị lượng giác I -1 Cung phần tư ... −