tổng hợp công thức lượng giác

TỔNG HỢP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Công thức cộng  sin .cos cos .sin sin( )a b a b a b    sin .cos cos .sin sin( )a b a b a b    cos .cos sin .sin cos( )a b a b a b    cos .cos sin .sin cos( )a b a b a b    tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b      tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b     2. Công thức góc nhân đôi, nhân ba  sin2 2sin .cosa a a  2 2 os2 os sinc a c a a  = 2 2cos 1a  = 2 1 2sin a  3 sin3 3sin 4cosa a a   3 cos3 4cos 3cosa a a  Một số trường hợp hay sử dụng:  2 1 cos2 2cosa a  3 3 3 1 cos .cos3 sin .sin3 cos2 cos6 4 4 a a a a a a    2 1 cos2 2sina a  3 3 1 sin .cos3 cos .sin3 sin4 4 a a a a a   2 1 sin2 (sin cos )a a a    cos2 (cos sin ).(cos sin )a a a a a   3. Công thức hạ bậc  1 sin .cos sin2 2 a a a  2 1 cos (1 cos2 ) 2 a a   2 1 sin (1 cos2 ) 2 a a   2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a     3 1 sin (3sin sin3 ) 4 a a a   3 1 cos (3cos cos3 ) 4 a a a  4. Công thức biểu diễn theo tan 2 x t   2 2 sin 1 t a t   2 2 tan 1 t a t    2 2 1 cos 1 t a t    2 1 cot 2 t a t   5. Công thức biến đổi tổng thành tích  cos cos 2.cos .cos 2 2 a b a b a b      cos cos 2.sin .sin 2 2 a b a b a b       sin sin 2.sin .cos 2 2 a b a b a b      sin sin 2.cos .sin 2 2 a b a b a b     Một số trường hợp đặc biệt hay sử dụng:  sin cos 2.sin( ) 2. os( ) 4 4 a a a c a         sin cos 2.sin( ) 2. os( ) 4 4 a a a c a          sin 3.cos 2.sin( ) 2.cos( ) 3 6 a a a a         sin 3.cos 2.sin( ) 2.cos( ) 3 6 a a a a         6. Công thức biến đổi tích thành tổng    1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b       1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b       1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b    7. Công thức hay sử dụng khác  4 4 2 1 3 1 sin cos 1 sin 2 cos4 2 4 4 a a a a      6 6 2 3 5 3 sin cos 1 sin 2 cos4 4 8 8 a a a a      4 4 2 2 cos sin cos sin cos2a a a a a     2 tan cot sin2 a a a   ; sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b     sin( 2 ) sin ; cos(a+k2 )= cosaa k a      Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan, cot ( phải hiểu câu này nhé) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình cơ bản  2 sin sin ( ) 2 x k x k x k                    2 cos cos ( ) 2 x k x k x k                   tan tan ( )x x k k          cot cot (k )x x k         Một số trường hợp đặc biệt:  sin 0 ( )x x k k       sin 1 2 (k ) 2 x x k         cos 0 ( ) 2 x x k k         cos 1 2 (k )x x k      . 2. Phương trình bậc hai của hàm số lượng giác  2 .sin sin 0a x b x c    2 .cos cos 0a x b x c    2 tan tan 0a x b x c    2 cot cot 0a x b x c   Đặt sin (cos )t x x ( 1 1t   ) hoặc tan (cot )t x x ( t ) Pt trở thành : 2 . . 0a t bt c   Lưu ý: Với phương trình bậc 3 cũng làm tương tự 3. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx  .sin .cos 0a x b x c   2 2 2 2 2 2 sin cos sin( ) sin a b c x x a b a b a b x             Trong đó: 2 2 2 2 2 2 cos ;sin ;sin a b c a b a b a b           Điều kiện phương trình có nghiệm 2 2 2 a b c   §inh TiÕn NguyÖn 0982 648 156 http://dinhtiennguyen.com 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx  2 2 .sin sin .cos .cosa x b x x c x d    Cách 1:  cosx = 0  sinx= ±1. Thay vào phương trình kiểm tra có là nghiệm không ( a = d thì pt có nghiệm)  cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos 2 x ta được: 2 2 2 .tan tan (tan 1) ( ).tan tan 0 a x b x c d x a d a b x c d            Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc 2.  2 2 1 1 1 sin (1 cos2 ) ; cos (1 cos2 ) ; sinx.cosx= sin2 2 2 2 x x x x x    (1 cos2 ) sin2 (1 cos2 ) 2 2 2 a b c pt x x x d      . 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx  .(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c    Đặt : sin cos 2cos( ) ( - 2 2) 4 t x x x t        2 1 sin .cos ( 1) 2 x x t   . Thay vào phương trình ta được: 2 2 . ( 1) 0 2 . 2 0 2 b a t t c bt at c b         4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx  2 2 .sin sin .cos .cosa x b x x c x d    Cách 1:  cosx = 0  sinx= ±1. Thay vào phương trình kiểm tra có là nghiệm không ( a = d thì pt có nghiệm)  cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos 2 x ta được: 2 2 2 .tan tan (tan 1) ( ).tan tan 0 a x b x c d x a d a b x c d            Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc 2.  2 2 1 1 1 sin (1 cos2 ) ; cos (1 cos2 ) ; sinx.cosx= sin2 2 2 2 x x x x x    (1 cos2 ) sin2 (1 cos2 ) 2 2 2 a b c pt x x x d      . 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx  .(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c    Đặt : sin cos 2cos( ) ( - 2 2) 4 t x x x t        2 1 sin .cos ( 1) 2 x x t   . Thay vào phương trình ta được: 2 2 . ( 1) 0 2 . 2 0 2 b a t t c bt at c b         4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx  2 2 .sin sin .cos .cosa x b x x c x d    Cách 1:  cosx = 0  sinx= ±1. Thay vào phương trình kiểm tra có là nghiệm không ( a = d thì pt có nghiệm)  cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos 2 x ta được: 2 2 2 .tan tan (tan 1) ( ).tan tan 0 a x b x c d x a d a b x c d            Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc 2.  2 2 1 1 1 sin (1 cos2 ) ; cos (1 cos2 ) ; sinx.cosx= sin2 2 2 2 x x x x x    (1 cos2 ) sin2 (1 cos2 ) 2 2 2 a b c pt x x x d      . 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx  .(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c    Đặt : sin cos 2cos( ) ( - 2 2) 4 t x x x t        2 1 sin .cos ( 1) 2 x x t   . Thay vào phương trình ta được: 2 2 . ( 1) 0 2 . 2 0 2 b a t t c bt at c b         . TỔNG HỢP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Công thức cộng  sin .cos cos .sin sin( )a b a b a b    sin .cos cos .sin sin(. (3cos cos3 ) 4 a a a  4. Công thức biểu diễn theo tan 2 x t   2 2 sin 1 t a t   2 2 tan 1 t a t    2 2 1 cos 1 t a t    2 1 cot 2 t a t   5. Công thức biến đổi tổng thành tích  cos.   2. Công thức góc nhân đôi, nhân ba  sin2 2sin .cosa a a  2 2 os2 os sinc a c a a  = 2 2cos 1a  = 2 1 2sin a  3 sin3 3sin 4cosa a a   3 cos3 4cos 3cosa a a  Một số trường hợp hay