Chuyên Đề Cung Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Có Lời Giải Và Đáp Án - Tài Liệu Toán - Thư Viện Học Liệu

Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm về đường tròn định hướng, cung, góc lượng giác cũng như một số công thức lượng giác cơ bản để thực hiện các biến đổi lượng giác, chuẩn[r]

(1)

CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Trong chủ đề tìm hiểu khái niệm đường trịn định hướng, cung, góc lượng giác số cơng thức lượng giác để thực biến đổi lượng giác, chuẩn bị cho chủ đề hàm số phương trình lượng giác đề cập tới sách Cơng Phá Tốn Ngồi ra, kiến thức chủ đề công cụ quan trọng việc học vật lí sau này.



§1 Cung góc lượng giác

A Lý thuyết

1 Đơn vị đo góc cung trịn a Độ

Đường trịn bán kính R có độ dài R có số đo 360° chia đường trịn thành

360 phần, phần có độ dài

360 180

R R

 



  có số đo 1 (góc tâm chắn cung

180

R

  )

Vậy cung 1 có độ dài

180

R



; cung a có độ dài 180

a R

b.Radian

- Cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo radian (cung radian) - Góc tâm chắn cung radian gọi góc có số đo radian (góc radian viết tắt rad)

Nhận xét:

+ Cung độ dài R có số đo rad

+ Đường trịn có độ dài 2 R có số đo 2 rad

ủ đề

6 ủ đề

6

STUDY TIP Diện tích:

Chu vi:

STUDY TIP

(2)

+ Cung có số độ dài l có số đo

R

  rad

+ Cung có số đo  rad có độ dài l.R

c Liên hệ giữ độ rad

360 2 (số đo đường trịn bán kính R)

180 

   rad rad 180 57 17 '45''

 

   

1 0,0175

180 rad rad



  

Bảng chuyển đổi số góc lượng giác đặc biệt:

Độ 30 45 60 90 120 135 150 180

Rad

6 

4 

3 

2



3



4



6 



Ví dụ 1: Một đường trịn có bán kính R10cm Tìm số đo (rad) cung có độ

dài 5cm

A. B. C. D. 0,5

Lời giải

Theo cơng thức tính độ dài cung trịn l ta có: 0,5 

10 rad

l R

   

Đáp án D

Ví dụ 2: Cho đường trịn O R;  ngoại tiếp lục giác ABCDEF Khi số sso cung đường trịn có độ dài chu vi lục giác theo độ rad là:

A. 360 2 B. 360  C. 1080

 

D. 1080 6

Lời giải ABCDEF lục giác  360 60

6

AOB 

   

OA OB  AOB  AB OA R   Chu vi ABCDEF 6R

 Cung có độ dài 6R có số đo rad

STUDY TIP Khi viết góc theo đơn vị radian ta không viết chữ rad sau số đo góc Ví dụ: thay cho rad

STUDY TIP

(3)

6 rad 6.180 1080

 

 

 

Đáp án C. 2 Cung lượng giác, góc lượng giác số đo chúng

a Đường tròn định hướng

- Đường tròn định hướng đường tròn mà ta chọn chiều là dương, chiều ngược lại chiều âm

- Quy ước: Chiều ngược kim đồng hồ chiều dương, chiều thuận kim đồng hồ chiều âm

b Cung lượng giác

- Cho hai điểm A, B đường tròn định hướng M chạy đường tròn treo một chiều (chiều dương chiều âm) từ A tới B, ta nói M tạo nên cung

lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Kí hiệu ABÐ

c Góc lượng giác

- Khi M từ A tới B OM quay từ OA tới OB Ta nói tia OM tạo góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OB.

Kí hiệu OA OB, 

- Số đo góc lượng giác OA OB,  số đo cung lượng giác ABÐ

- Số đo cung lượng giác: Cho cung tròn ABÐ Nếu OM quay theo chiều dương từ

OA tới OB tạo góc  cung ABÐ có số đo k2k  Kí hiệu: sđ ABÐ

Vậy:

Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều dương thì: sđ AB  k2k 

Ð

Khi OM quay từ OA đến OB theo chiều âm thì: sđ AB k2k 

Ð

(4)

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn lượng giác đường trịn định hướng tâm O bán kính R 1, cắt Ox A1;0 A ' 1;0 ; cắt Oy B0,1 B' 0,1  Ta lấy A điểm gốc đường trịn đó.

e Biểu diện cung lượng giác đường tròn lượng giác

- Để biểu diễn cung  , ta xác định điểm M đường tròn lượng giác cho sđ AMÐ .

+ Nếu  2  360, ta chọn điểm M cho AOM  (theo chiều

dương)

+ Nếu  2, ta viết    k2 ta chọn điểm M cho AOM  .

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn lượng giác M thuộc

đường tròn cho 

6

AOM  (M thuộc góc phần tư thứ tư) Số đo AMÐ

là giá trị sau đây?

A.

6 

B.

6 

C. 13

6  

D. 11

6  

Lời giải

Vì M thuộc góc phần tư thứ IV AOM  30 nên góc tính theo chiều âm

AOM 

  theo chiều dương 2  

6 k k



       

 

11

6 k k



     

 sđ 11  

6

AM   k  k 

Ð

Vì k   nên có đáp án C thỏa mãn (với k 2)

Đáp án C.

Ví dụ 2: Cho bốn cung (trên đường tròn định hướng): ; 10

3

 

    ;

5

;

3

 

(5)

A.   B  và  C.  và  D.  

Lời giải

3 

   điểm cuối M1

10

2

3

 

      điểm cuối M3

5

2

3

 

     điểm cuối M1

7

2

3

 

      điểm cuối M4

Đáp án B Ví dụ 3: Cung  có điểm đầu A điểm cuối M số đo  là:

A.

4 k

 

 B.

4 k

  

 C.

4 k

  

 D.

4 k

  

Lời giải

Cung  có điểm đầu A điểm cuối M theo chiều dương có số đo

 

7

4 k k

 

  

Đáp án D.

Ví dụ 4: Cho góc lượng giác OA OB;  có số đo 12



Trong số sau, số số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc lượng giác

OA OB;  ?

A. 13

12 

B. 25

12  

C. 49

12 

D. 19

12 

Lời giải

+ 13

12 12

 



  ; 49

12 12

 



  ;

+ 25

12 12

 

 

  ; 19

12 12

 



(6)

Đáp án C

B Các dạng toán điển hình

Ví dụ 4: Đổi số đo cung sau sang radian: 70 (làm trịn đến hàng phần nghìn)

A. 2,443 B. 1,222 C. 2,943 D. 1,412

Lời giải

Cách 1: Dùng công thức đổi từ độ sang radian

  70 70   1, 222 

180 rad 180 rad rad

a

a       

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi: - Chuyển sang chế độ Radian: - Sau ấn:

Đáp án B

Ví dụ 2: Đổi số đo cung sau sang độ, phút, giây: 5

6rad

A. 47 44 '47 '' B. 37 33'37 '' C. 150 D. 30 Lời giải

Cách 1: Dùng công thức: 180 5 180

6

rad = rad=

a a

 

   

  

   

   

Chuyển đổi sang độ, phút, giây máy tính

Nhập biểu thức 5.180

6 vào máy tính, sau ấn ta kết A

Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:

- Chuyển sang chế độ: Sau ẩn:

Đáp án A. Ví dụ 3: Trên đường trịn lượng giác lấy điểm M cho AOM 150 Tính

(7)

A 5

3 

(đvdt) B.

6 

(đvdt) C.

9 

(đvdt) D.

12 

(đvdt)

Lời giải

Diện tích hình trịn lượng giác là:

0

S R  (đvdt)

 150 150 360 ( )

360 150 360 210 360

AM k

AOM k

AM k

sđ

k sđ



   



   



         





Ð Ð

+ 150 150

360 12

tp

M

s Ađ    S     

Ð

+ 210 210

360 12

tp

M

s Ađ    S     

Ð

+ sđ AMÐ 360 360

12

s AMđ     S 

Ð

(đvdt)

Đáp án D.

Ví dụ 4: Trên đường trịn lượng giác lấy điểm M M M M1; 2; 3; cho ngũ

giác AM M M M1 ngũ giác đều, sđ AM3 Ð

là:

A. 27 B. 144 C. 60 D. 120

Lời giải

Vì AM M M M1 ngũ giác nên

    

1 2 3 4

360 72

AOM M OM M OM M OM M OA   

sđ   

3

3 AOM AOM4 144

M M

A    OM  

Ð

Nếu M M M M1, 2, 3, xếp theo thứ tự ngược lại, ta có đáp án khơng đổi

Đáp án B

Ví dụ 5: Trên đường tròn lượng giác, số tập hợp n điểm M M1, 2, ,Mn thỏa mãn

n điểm tạo thành đa giác là:

A 0 B. C. D. vô số

Lời giải

Để M M1 Mn đa giác

STUDY TIP Tập hợp n điểm tạo thành đa giác đường tròn lượng giác tập hợp điểm M thỏa

STUDY TIP

(8)

    

1 2 3 1

2

n n n

M OM M OM M OM M OM M OM

n





     

 Tập hợp điểm cần tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:

 

2

AM k k

n

sđ     

Ð

Vì  góc nên có vơ số tập hợp n điểm thỏa mãn yêu cầu toán.

Đáp án D. Ví dụ 6: Trên đường trịn lượng giác, cho cung lượng giác sđ AMÐ có số đo

8,18

 Hỏi M nằm goác phần tư thứ mấy?

A. I B. II C. III D. IV

Lời giải

Ta có: 8,182, 6  3  8,18 2,5

4 8,18 1,5

   

     

 M nằm góc phần tư thứ III (M nằm điểm  3

2 

)

Lưu ý: đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AMÐ có số đo  Với

k   ta có:

+ M nằm góc phần tư thứ 2

2

k    k 

+ M nằm góc phần tư thứ hai 2

2 k k



   

   

+ M nằm góc phần tư thứ ba

2

k  k

      

+ M nằm góc phần tư thứ tư 3 2

2 k k



   

   

Đáp án C.

Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định sđ AM Ð  Gọi

1

M điểm đối xứng M qua đường thẳng d thỏa mãn đường thẳng cắt

(9)

có số đo     Khi số đo cung lượng giác

1 AMÐ là:

A. 2 k2 B. 2k2 C.  2k2 D.   2k2

Lời giải

Dễ thấy đường thẳng d trục đối xứng đường tròn nên M1 đối xứng với M

qua d thuộc đường tròn lượng giác. Gọi giao điểm d với  O D y  D 0

Vì M1 đối xứng với M qua d  sđ AM sđDM1

Ð Ð

Ta có: MDÐ AD AMÐ  Ð  sđMDÐ    s DMđ Ð 1  

Lại có : AM1 AD DM 1 sđ AM1   2 

Ð Ð Ð Ð

1 2

đ AM

s   k 

   

Ð

Đây trường hợp với 0 90 ,  có giá trị dương Những trường hợp khác

chứng minh tương tự ta có kết

Đáp án A

Ví dụ 8: Chọn điểm A1;0 làm điểm đầu cung lượng giác đường tròn lượng

giác Tìm điểm cuối M cung lượng giác có số đo 27

4 

A. M điểm cung phần tư thứ nhất

B. M điểm cung phần tư thứ hai

C. M điểm cung phần tư thứ ba

D. M điểm cung phần tư thứ tư

Lời giải

sđ 27 

4 4

AM        AOM  

Ð

M

 điểm cung phần tư thứ hai

Đáp án B. Ví dụ 9: Một đường trịn bán kính 20cm Tính độ dài cung đường trịn có số

STUDY TIP Với đối xứng với M qua

d d cắt D tung độ

không âm) ; sđ Thì số sđ

STUDY TIP

Với đối xứng với M qua

d d cắt D tung độ

(10)

đo 16



(tính gần đến hàng phần trăm)

A. 3,92 B. 3,93 C. 24,67 D. 24,68

Lời giải

Cung có số đo rad có độ dài R20cm

Cung có số đo 16



rad có độ dài là: 3,93

16R cm





Đáp án B. Ví dụ 10: Khi biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Khẳng

định sai?

A. Điểm biểu diễn cung  cung   đối xứng qua trục tung

B. Điểm biểu diễn cung  cung  đối xứng qua gốc tọa độ

C. Mỗi cung lượng giác biểu diễn điểm

D. Cung  cung a k 2k  có điểm biểu diễn Lời giải

Điểm biểu diễn cung  cung  đối xứng qua trục hoành.

Đáp án B.

Ví dụ 11: Cho góc lượng giác có sđ  ;  2

Ox Ou   m  sđ

 ;   , 

2

Ox Ov  n  m n  Chọn khẳng định

A Ou Ov đối xứng B Ou Ov vng góc

C. Ou Ov trùng nhau

D. Ou Ov tạo với góc

4 

Lời giải

Ta có: sđ  ;  2  2

2 2

Ox Ou   m     m    m  với m  

Vậy n m 1

(11)

C Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết trang 268

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M cho 2

AM   k 

Ð

Khi đó diện tích hình quạt OAM là:

A.

5 

B.

5 

C.

2

2 

D. Không xác định

Câu 2: Trên đường tròn lượng giác, cho 3;

2

M  

 

Khi số đo cung AMÐ

là:

A.

3 k

 

 B.

3 k

 

 

C.

6 k

 

 D.

6 k

 

 

Câu 3: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn 3

5 k

 

 Khi gọi

', ''

M M điểm đối xứng M qua Ox, Oy Gọi AMÐ '  k2;

 

'' ,

AM   k     

Ð

Giá trị   là:

A. 2 B. 

 C.

5 

D.

5 

Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M thỏa mãn

AM   k 

Ð

,

điểm N thỏa mãn 13

12

AN  k 

Ð

Gọi M' điểm đối xứng M qua ON.

Khi số đo AMÐ ' là:

(12)

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm khơng thuộc đường trịn lượng giác?

A. M1;0 B. 5; 11

7

M  

 

C. 4; 5

M  

  D.

1

; 2

M 

 

 

Câu 6: Tính số đo góc hình học uOv, biết góc lượng giác Ou Ov;  có đo 1945

A.145 B. 45 C. 145 D. 235

Câu 7: Tính số đo góc hình học uOv, biết góc lượng giác Ou Ov;  có đo 2550

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Câu 8: Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A. Góc lượng giác Ou Ov;  có số đo dương góc lượng giác tia đầu

và tia cuối với có số đo dương

B. Góc lượng giác Ou Ov;  có số đo dương góc lượng giác Ou Ov; 

có số đo âm

C. Hai góc hình học uOv u Ov ; ' ' số đo góc lượng giác Ou Ov;  Ou Ov'; ' sai khác bội nguyên 2

D. Số đo  ;  11

6

Ou Ov   số đo  '; ' 13

Ou Ov   uOv u Ov  ' '

Câu 9: Cho đường tròn bán kính R2m Khi độ dài cung có số đo 30 là:

A.

3m



B.

3 m



C.

6m



D.

6 m



(13)

A. B. C. D.

Câu 11: Góc 120 có số đo radian là:

A.

3 

 B.

3 

 C.

6 

 D.

6  

Câu 12: Đổi số đo 68 

rad thành số đo độ ta được:

(14)

§2 Giá trị lượng giác cung. Công thức lượng giác

A Lý thuyết dạng tốn điển hình

I Giá trị lượng giác cung α đường tròn lượng giác

1 Trên đường trịn lượng giác, cho cung AM có sđ AM  (còn viết AM 

) Gọi H, K hình chiếu M lên Ox, Oy thỏa mãn M x y ;  ;

x OH y OK

  

Ta có: + Tung độ y M sin góc α: sin  sin  y OK

+ Hồnh độ x M cosin góc α: cos cos  x OH

+ Với cos 0, tỉ số sin

cos 

 gọi tang góc α:

sin

tan tan

cos 

 



 

+ Với sin 0, tỉ số cos

sin 

 gọi cotang góc α:

cos

cot cot

sin 

 



 

- sin ,cos , tan , cot    gọi giá trị lượng giác góc α - Ta gọi trục tung trục sin, trục hoành trục cosin

2 Hệ quả

a sin ,cos  xác định với   , ta có:

 

sin k2 sin    k

 

cos  k2 cos    k

b. Vì  1 OK  1; OH 1 nên ta có: sin

  

1 cos

(15)

c. Với   m mà  1 m1 tồn   cho sin m cos m

d. tan xác định với  

2 k k



 

    

cot xác định với  kk 

e. Dấu giá trị lượng giác góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối

AM  đường tròn lượng giác

Góc phần tư Giá trị

lượng giác

I 0;

2 

 

 

 

II ; 



 

 

 

III ;

2  

 

 

 

IV

; 2 



 

 

 

cos    +

sin + +  

tan +  + 

cot +  + 

3 Giá trị lượng giác cung đặc biệt

 0

6 

4 

3 

2



3



4



6 



sin

2

3

2

3

2

1

2

cos 1

2

1

2

1



2



2

 1

tan

3 | |  1

1



cot | | 1

3

1

 1  | |

4 Ý nghĩa hình học tang cotang a Ý nghĩa hình học tang

(16)

Trục t At' gọi trục tang

b Ý nghĩa hình học cotang

Kẻ tiếp tuyến s Bs' đường tròn lượng giác B. Gọi S OM s Bs' Khi cot BS

Chú ý: tank tan  k 

   

cot k cot  k 

Ví dụ 1: Giá trị biểu thức Psinx với x 420 A.

2 B.

3

 C.

2 D.

1 

Lời giải

Ta có 420

3

 



   

3

sin 420 sin sin

3

P       

 

Đáp án A

Ví dụ 2: Giá trị cot81 

là:

A.

2 B. 1 C.

2

 D.

Lời giải

Ta có: cot81 cot 20 cot

4 4

  



 

    

 

Đáp án D

Ví dụ 3: Giá trị biểu thức Psinx x với x 390 là:

A. 390,5 B. 389,5 C. 13

6



 D. 13

6

(17)

Lời giải

Ta có: 390 13

6 

  (rad)

13 13 13 13 13

sin sin sin sin

6 6 6 6

P x x                

 

Đáp án C

Ví dụ 4: Cho

2  

  Tìm số khẳng định khẳng định sau:

(1) sin cos  0

(2) tan sin

2 

 

 

 

 

 

(3) tan cot 3 1

(4) cos3 0

(5) sin 2 0

A. B. C. D.

Lời giải

Vì

2  

   điểm cuối M thuộc góc phần tư thứ nhất

sin 0;cos sin cos 

      (1)

3

0

2 2

  

  

      (góc phần tư thứ ba)

3

tan tan sin

2

 

  

   

         

    (2) sai

  sin

tan tan

cos 

  



  

  cos

cot cot

sin 

  



  

   

tan  cot  3

(18)

3

0

2

 

 

     (góc phần tư thứ I, II III)

Ở góc phần tư thứ I, cos 3  0 (4) sai

0 2   (góc phần tư thứ I, II)  sin 2  0 (5)

Vậy khẳng định 1, 3,

Đáp án C. II Hệ thức lượng giác bản

1. tan sin ,

cos k k

 

  



 

     

 



2. cot cos  , 

sin k k



  



   

3. sin2 cos2 1

   

4. 2

1

1 tan ,

cos k k



  



 

      

 



5.  

2

1

1 cot ,

sin k k

  



    

6. tan cot

2

k

     

 

7. cot

tan

k

 



 

   

 

Ví dụ 1: Cho sin

 

2 

   Giá trị cos là:

A.

5 B.

3 

C.

5

 D.

25

Lời giải

Ta có

2

2 2

sin cos cos sin

5

           

(19)

2

3 cos

9

cos

3 25

cos

5   

 

   

 



Vì cos

2



     

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho tan 2 Khi giá trị sin cos  gần với giá trị sau đây?

A. 2 B. 1 C. D.

Lời giải

2

1

tan tan

cos

 





      

2 2 4

cos sin cos

5 5

  

       

Mặt khác ta thấy tan sin

cos  



  nên sin ,cos  trái dấu

4

sin cos

25

  

  

Đáp án B

Ví dụ 3: Giá trị sin6x cos6x

 giá trị sau đây?

A. 2

1 2sin cos x x B. sin4xcos4xsin cos2 x 2x

C. 6

1

tan x1 cot x1 D.

2

1 3sin cos x x

Lời giải

 3  

6 2 2 2 2

sin xcos x sin xcos x  3sin cosx x sin xcos x  1 3sin cosx x

Hay sin6xcos6xsin2 xcos2 x sin4x sin cos2x 2xcos4x

4 2

sin x cos x sin cosx x

  

sin2x cos2x2 2sin cos2 x 2x sin cos2x 2x 1 3sin cos2x 2x

     

STUDY TIP +) sin6x cos6x



2

1 3sin xcos x

 

+) sin4x cos4x

(20)

Đáp án D

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

1 sin cos

cos cos

a a

P a

a



 

A. B. C. D. 1

Lời giải

Ta có:

2

1 sin cos

cos cos

a a

P a

a



  (ĐK: cosa 0)

2 2

2

sin cos sin cos

cos cos

a a a a

a a

 

 

2

2 2

2

sin

1 sin cos tan

cos

a

a a a a

a

       thỏa mãn cosa 0

Dấu “=” xảy  sina 0 cosa 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Đáp án A

Ví dụ 5: Trong biểu thức sau, biểu thức không phụ thuộc vào biến x?

A. sin2x 2 cos2x



B. sin 6xcos6x sin 4xcos4x

C. tan2x cot2 x 1

 

D.

1

sin x 

Lời giải

+ sin2 x 2cos2x sin2x cos2x cos2x 1 cos2x

      (loại)

+ sin xcos6x sin 4xcos4x

 2   2 

2 3sin cosx x 2sin cosx x

     (thỏa mãn)

Đáp án B. STUDY TIP

(21)

III Hệ thức liên hệ cung đặc biệt 1. Cung đối (  )

 

sin   sin tan  tan

 

cos  cos cot cot

2. Cung bù (   )

 

sin  a sin tan   tan

 

cos    cos cot   cot

3. Cung phụ (

2 



 )

sin cos

2 

 

 

 

 

  tan cot



 

 

 

 

 

cos sin

2 

 

 

 

 

  cot tan



 

 

 

 

 

4. Cung

2 

( 



 )

sin cos

2 

 

 

 

 

  tan cot



 

 

 

 

 

cos sin

2 

 

 

 

 

  cot tan



 

 

 

 

 

5. Cung  (   )

 

sin  sin tan tan

 

cos   cos cot  cot

STUDY TIP Cos - đối

(22)

Ví dụ 1: Giá trị cos29 

là:

A.

2 B.

1

2 C.

3 

D.

2 

Lời giải

29 30

cos cos cos 10 cos cos

3 3 3

     



     

         

     

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho tan 2 Giá trị cot

2  

 



 

  là:

A.

2 B. C.

1 

D. 2

Lời giải

Ta có: tan  2 tan 2

 

3

cot cot tan

2

 

    

   

          

   

Lưu ý: Có thể dùng máy tính cách ấn , ta góc

, sau tính biểu thức cách nhập vào hình

1 tan

2

Ans 

 



 

 

ta kết (để chế độ Radian)

Đáp án D

Ví dụ 3: Giá trị biểu thức: B tan10 tan 20 tan 30 tan 80    là:

A. B. 1 C. D. 8

Lời giải

tan10 tan 20 tan 30 tan 80 cot 80 cot 70 cot 60 cot10

(23)

     

2

tan10 cot10 tan 20 cot 20 tan 80 cot 80 1.1 1

B

         

Mặt khác B 0 tan10 , tan 20 , tan 30 , , tan 80    lớn 0 B1

Đáp án B

Ví dụ 4: Cho ABC Khi đẳng thức sau sai?

A. sinBsinA C  B. cosB C  cosA2C

C. cos sin

2

A B C

A

  

 D. tan cot3

2

A B  C C



Lời giải

Vì A B C   nên sinBsinA C 

Vì A B C   nên A2C  B C    cosB C   cosA2C

Vì sin

2 2

A B C  A B C

       

   

  (phụ chéo)

3

sin sin

2

A B C A B C

A

    

 

Vậy C sai

(24)

IV Công thức lượng giác 1 Công thức cộng

 

cos a b cos cosa b sin sina b tan  tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b



 



 

cos a b cos cosa bsin sina b tan  tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b



 



 

sin a b sin cosa bcos sina b cot  cot cot

cot cot

a b

a b

b a



 



 

sin a b sin cosa b cos sina b cot  cot cot

cot cot

a b

a b

b a



 



Ví dụ 1: Giá trị biểu thức sin

3

A  

  là:

A.

4 

B.

4 

C.

4

 

D.

4

 

Lời giải

3 2

sin sin cos cos sin

3 4 2 2

      

 

     

 

 

Đáp án A

Ví dụ 2: Cho cos

  Khi giá trị biểu thức sin cos

4

B      

   

là:

A.

3 B.

2 

C. 2

3  D.

2

3

 

Lời giải

sin sin cos cos sin

4 4

  

  

 

  

 

 

(25)

cos cos cos sin sin

4 4

  

  

 

  

 

 

Khi sin cos sin cos sin cos 2

4 4 3

B            

   

Đáp án B

Ví dụ 3: Biểu thức Asin cos nhận giá trị sau đây?

A. B. C. D. 2

Lời giải

1

sin cos sin cos

2

A        

 

2 sin cos cos sin 2sin

3 3

  

  

   

  

   

   

2 A

    (  )

Đáp án C

Ví dụ 4: Cho ABC, đẳng thức sau, đẳng thức không đúng?

A. sin cos cos sin sin

2 2 2

A B C B C

 

B.  

2

tan tan

1 tan tan

A B

A B C

A B



 



C. cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1

D. sin2 sin2 sin2 2sin sin sin

2 2 2

A B C A B C

  

Lời giải

+ sin cos cos cos cos sin sin

2 2 2 2

A  A  B C  B C B c

      

   

+    

2

tan tan

1 tan tan

A B

A B A B

A B



  



STUDY TIP Công thức biến đổi:

sin cos

a b 

2

2 sin

a a b

a b 

   

 

2 cos

b

a b 

 

 



2 cos sin

a b  

 



sin cos 



(với cos 2a 2

a b

 

 ;

2 sin b

a b

 

 )

 

2 2.sin

a b  

  

STUDY TIP Ta thử A, B, C là ba số thỏa mãn

A B C   A B C, ,

(26)

      tan A B tan  A B tan A B tanC

     

+ cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A

Có cot cot  cot  cot cot

cot cot

A B

C A B A B

A B

 

     



 

cot cotA B cotC cotA cotB cot cotA B cot cotA B

     

Vậy D sai

Đáp án D. 2 Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

2 2

cos 2acos a sin a2cos a1 2sin  a

2

2 tan tan

1 tan

a a

a

 

2

cot

2cot

a a

a

 

Hệ quả:

* Công thức hạ bậc: * Công thức nhân ba:

2

1 cos sin

2 cos cos

2 cos tan

1 cos cos cot

1 cos

a a

a a a

a

 

 

 

  



3

sin 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

3tan tan

tan

1 3tan

x x x

x x

x

 

 



* Công thức chia đơi (tính theo tan

a

): Đặt

2

2 2

2 cos

tan tan ; cos ;sin

2 1 cos 1

a t a t t

t a t a a

t a t t

 

      

(27)

Ví dụ 1: Cho sin 5;

13



     Khi giá trị biểu thức

sin cos 2 tan 2 gần với giá trị nào?

A. 2 B. 1 C. D.

Lời giải

Vì sin 5;

13

   thuộc góc phần tư thứ III nên cos 0

Vậy cos 522 12 tan

13 13 12

      

Có:  

2 tan

sin cos tan 2sin cos 2sin 1,508

1 tan 

     



    



Đáp án D

Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức A cos cos cos cos 2x x x nx

 ta kết là:

A. sin

sin

nx

n x B.

1

sin 2 sin

n n

x x



 C.

 

sin

2 sin

n x



 D.

1

cos 2n x

Lời giải

Có sin sin cos cos cos 1sin cos cos

2

n n

A x x x x x x x x

2

1

sin cos cos sin cos

2

n n n

n

x x x x x

 

1

sin 2 sin

n n

x A

x

 

 

Đáp án B

(28)

Ví dụ 3: Cho cot

14 a



 Khi giá trị biểu thức sin2 sin4 sin6

7 7

K      

là:

A. a B.

2

a

C.    

 

2

3

4

1

a a a

a

 

 D.

 

   

3

2

1

4

a

a a a



 

Lời giải

Ta có:

2

1

tan sin sin ;cos

1

14 1 7 1

a a

a a a

a a

     

      

 

 

2 2

4

2

sin 2sin cos

7 7 1

a a a

   

  



3

4

sin sin 3sin 4sin

7 7

   

  

3

4

sin sin 4sin 4sin 4sin sin

7 7 7

      

       

 

2

4sin cos 2sin cos

7 7

   

 

Khi đó:

 

   

 

2 2 2 2

2

4

2 2

sin 2cos

7 1 1

a a a a a a a

K

a

a a

        

    



   

Đáp án C. 3 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

2

a b a b

(29)

cos cos 2sin sin

2

a b a b

a a   tan tan sin 

cos cos

a b

a b



 

sin sin 2sin cos

2

a b a b

a b   cot cot sin 

sin sin

a b

a b



 

sin sin 2cos sin

2

a b a b

a b   cot cot sin 

sin sin

b a

a b



 

4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

   

1

sin cos sin sin

2

a b  a b  a b 

   

1

sin sin cos cos

2

a b  a b  a b 

   

1

cos cos cos cos

2

a b  a b  a b 

Ví dụ 1: Biểu thức thu gọn biểu thức sin sin sin

cos cos3 cos5

a a a

A

a a a

 



  là:

A. sin 3a B. cos 3a C. tan 3a D. 1 tan 3a

Lời giải

 

sin sin sin

cos cos3 cos5 cos cos5 cos3

a a a

A

a a a a a a

 

 

   

 

sin 2cos

2sin cos sin

tan

2cos cos cos3 cos 2cos

a a

a a a

a

a a a a a

 

  

 

(30)

Ví dụ 2: Biểu thức sau phụ thuộc vào biến x?

A. cos cos cos

3

x x   x 

   

B. sin sin sin

3

x x   x  

   

C. cos2 cos2 cos2

3

x x   x 

   

D. sin2 sin2 sin2

3

x x   x 

   

Lời giải

+) sin sin sin

3

x x  x 

   

4

sin sin sin

3

x x   x  

       

   

2 2

2sin cos sin

3 3

x   x 

   

       

   

2

sin 2cos

3

x  

   

      

   

+) cos2 cos2 cos2

3

x x   x  

   

4

cos cos

cos 3

2 2

x x

x

 

   

   

   

    

  

3

cos cos cos

2 3

3 4

2cos cos cos

2 3

x x x

x x

 

  

    

         

   

 

    

          

   

 

+) cos cos cos

3

x x  x  

(31)

2 2

2cos cos cos

3 3

x   x 

   

       

   

Đáp án D

Ví dụ 3: Giá trị tổng

   

1 1

cos cos cos cos3 cos cos

S

a a a a na n a

   



 

 

a n

 

 là:

A.

1 cos

1

n

 



B.

1 cos

n

 

C. cos

1

n

  

 D. cosn

  

Lời giải

Ta có:

     

   

sin

sin sin

.sin

cos cos cos cos3 cos cos

n a na

a a a a

S a

a a a a na n a

 

 

   

   



 

 

   

tan 2a tana tan 3a tan 2a tana n tan na

       

 

tan n a tana tan tana tana

     

tan 1

sin cos cos

1

a S

a a

n



  

   



(32)

B Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết trang 268 Câu 1: Cho phương trình:

5

cos 4cos

3

x   x

   

   

   

   

Nếu đặt cos

6

t   x

  phương trình cho trở thành

phương trình đây?

A.

4t  8t 3 B. 4t2 8t 0 C.

4t 8t 0 D. 4t2 8t 5 Câu 2: Với tan

2

  , giá trị biểu thức:

2

3 sin cos

3 cos sin

A  

 

 

 là:

A. 2

2



 B.

3 2

2



 

C. 2

2



 D.

3 2

2

 

Câu 3: Cho tan  3, giá trị biểu thức:

2

3

sin cos cos

cos sin

A   

 

 



A. B.

1 3 

 C.

3 1 3 

 D.

Câu 4: Tính cot tan

cot tan

A  

 

 

 với

3 cos

2

  

A.1 B.1 C.

1 D.

2

1

Câu 5: Cho 5sin12 cos 13 Khi giá trị tan là:

A.

12 B.

5

13 C.

12

13 D.

13 12

Câu 6: Có giá trị a thỏa mãn

cos sin

cos

x a x

A

x

 



 có giá trị lớn 1?

A. B. C. D.

Câu 7: Cho

6 

   Tính giá trị:

   

2

cos cos sin sin

sin cos sin cos

P    

   

  



  

A. P  2 B. P  2

C. P  3 D. P  3

Câu 8: Rút gọn biểu thức:

4sin sin sin

3

A x   x  x

    ta kết

bằng:

A.  sin x B. sin 3x C. sin x D. sin 3x



Câu 9: Tính sin 2x2 biết:

2 2

1 1

7

tan xcot xsin xcos x 

A.

9 B.

8

9 C.

2

9 D.

16

Câu 10: Tổng:

2018

1 1

sin sin sin sin

S

a a a a

(33)

A. tan tan 22018

a

 B. cot cot 22018

2

a



C. tan tan 2018

2

a

 D. cot cot 2018

2

a



Câu 11: Thu gọn biểu thức:

 

cos cos3 cos5 cos

S      n  với

k

  

A. sin

2sin

n

 B.

sin sin

n



C. cos

2cos

n

 D.

cos cos

n



Câu 12: Cho sin 2 a b  5sinb

Khi giá trị tan 

tan

a b a

 là:

A. B.

3 C. D.

Câu 13: Giả sử sin6 x cos6 x a bcos 4x

   với

,

a b   Khi tổng a b bằng: A.

8 B.

5

8 C. D.

3

Câu 14: Nếu tan tan nghiệm phương

trình x2 px q 0

   cot cot nghiệm

của phương trình

0

x  rx s  r s bằng:

A. pq B.

pq C.

p

q D.

q p Câu 15: Cho ABC Tìm GTLN biểu thức:

cos cos cos

A A B C

A. B.

2 C. D.

3

Câu 17: Cho ABC có

2

tan sin

B B

C  C Khi xác

định dạng ABC Chọn câu trả lời

A. ABC vuông B. ABC cân

C. ABC D. A B

Câu 18: Cho ABC có

cos cos sin

b c a

B C  C Khi

ABC

 là:

A. tam giác vuông B. tam giác cân

C. tam giác nhọn D. tam giác tù

Câu 19: Cho ABC có:

 

sin sin

tan tan

cos cos

A B



 



Khi ABC là:

A. tam giác vuông B. tam giác cân

C. tam giác nhọn D. tam giác tù

Câu 20: Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Asinx a, b Khi tích a.b là:

A. 24 B. 24 C. D. 25

Câu 21: Giá trị nhỏ biểu thức

tan cot

A x x là:

A. B. C. D.

Câu 22: Biểu thức y3sinx4 cosx đạt giá trị nhỏ

nhất sinx a ,cosx b Khi a, b nghiệm của phương trình:

A. 12 0

5 25

t

t    B. 12 0

5 25

t

t   

C.

0

(34)

Câu 23: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Acos 2x sin 2x1 Khi giá trị

M m là:

A. B. C. D.

Câu 24: Giá trị nhỏ biểu thức:

2

sin sin

A x x là:

A. 11

4 B. C. D.

2

cos 4cos

A x x là:

A. 1 B. C. D.

Câu 26: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất biểu thức Asin2 x 3sinx Khi tổng

M m là:

A. B. C. D.

Câu 27: Cho x, y hai số thực thỏa mãn

2

1

9

x y

 

Khi minP x 2y1 bằng:

A. 1 B.1 C. 4 D. 3 Câu 28: Nếu tan tan hai nghiệm

phương trình x2 px q 0

   (q 1) tan

A.

1

p

q  B.

p q



 C.

2

p q

 D.

2

p q

 

Câu 29: Giá trị nhỏ hàm số sin sin

y x

x

 

gần với giá trị sau đây?

A. B. C. D.

Câu 30: Tập giá trị hàm số cos 2cos

y x

x

  là:

A. 0;1

 

 

  B. 0;

C. 1;

 

 

  D. 0;

  

 

Câu 31: Có giá trị m để biểu thức

  sin2 sin

f x  x m x m có giá trị nhỏ 5?

A. B. C. D. Vô số

Câu 32: Biểu thức sin3 10

A  bằng:

A. cos4



B. cos 

C. cos

5 

 D. cos

5  

Câu 33: Biểu thức A cos15 bằng:

A.

4 

B.

4 

C.

2

 D.

2 

Câu 34: Cho cos15 t Khi biểu thức

5

sin sin

12 12

 

là:

A. t 1 t2

 B. t2

C. t 4 1 D. t 1 t2

 

Câu 35: Biểu thức Asin 5   a bằng:

A. sin a B. cos a

(35)

Câu 36: Cho tan 3

2 

 

  Khi ta có:

A. cos 10 10

 

B. cos 10

10

 

C. sin 10 10

 

D. Khơng xác định góc 

Câu 37: Cho cotx 2 Khi giá trị biểu thức:

4

sin cos

x x

A

x x

 

 là:

A. 11

5

 B.

5

 C. 17

15

 D.

7 

Câu 38: Rút gọn biểu thức:

 

cos 3sin cos sin

2

A   x    x   x x

   

ta kết là:

A. 5cos x B. 3sin x

C. 2cos x D. 2sinx 4cosx

Câu 39: Rút gọn biểu thức:

2

6

2

3cos

sin cos

cot

x

A x x

x

  

 ta kết là:

A. B. C. 1 D. cos x

Câu 40: Nếu sin

 

2 

 

  tan bằng:

A.

2

 B.

9 C.

2

 D.

4

Câu 41: Nếu sin

 

2  

  cos bằng:

A.

2 B.

8

9 C.

2

3 D.

1

Câu 42: Giá trị biểu thức cot tan

2cot tan

G  

 

 



2 cos

3

  là:

A.

3 B.

4

 C. 19

13 D.

19 13 

Câu 43: Giá trị biểu thức

3

8cos 2sin cos

2cos sin

a a a

A

a a

 



 tana 2 là:

A.

2

 B.

2 C.

3

 D.

2

Câu 44: Có giá trị m để:

sin6 cos6  sin4 cos4 12sin2 cos2

P m       

không phụ thuộc vào  ?

A. B. C. D.

Câu 45: Cho 2 2

16 16

33

sin xcos xtan xcot x  (

0

2

x 

  ) Khi giá trị tan

4

x 

 



 

  là:

A. 79

3

 B. 79

3 C. 13 D. 13

Câu 46: Biểu thức

 

4

2

sin cos cos

2 cos

x x x

A

x

 





rút gọn thành A cos2



 Khi góc  bằng:

A. 2 B.

3 

C.

4 

D.

(36)

Câu 47: Cho sin cos

a a với

2 a



  Giá trị

của tan 2a là:

A.

4

 B.

7 C.

3

 D.

4

Câu 48: Tính giá trị biểu thức P sin4a cos4a

  biết

2 sin

3

a  A.

3 B. C.

9

7 D.

7

Câu 49: Giá trị biểu thức cos15 cos 45 cos 75  

là:

A.

10 B.

2

4 C.

2

2 D.

2

Câu 50: Giá trị A cot 30 cot 40 cot 50 cot 60

là:

A. 4sin10

3 

B. 8cos 20

3 

C.

3 D.

Câu 51: cos10 nghiệm phương trình sau đây?

A. x3 3x2 2 0

   B. x3 x1 0 C.

4x  3x 0 D.8x3 6x 0 Câu 52: Thu gọn biểu thức sin sin sin

cos cos3 cos5

a a a

A

a a a

 



 

ta được:

A. sin 3a B. cos3a

C. tan 3a D.1 tan 3a

Câu 53: Giá trị biểu thức:

2 2

cos 10 cos 20 cos 30 cos 180

A          là:

A. B. C. D.

cos 20 cos 40 cos160 cos180

A          là:

A. B. 1 C. D.

A cos cos cos

2 2

n A

n n n

  



   với n 2018

là:

A.

4036 B. 2018

1

2 C.

1

2 D.

1 2018

Câu 56: ABC có

3

B C  

1

sin cos

4

B C   Khi giá trị B C là:

A.

6 

B.

3 

C.

3 

 D.

6  

Câu 57: ABC có sin 2cos cos

sin 2cos cos

B A C

C B C

 

 Khi

ABC

 tam giác sau đây?

A. tam giác cân B. tam giác vuông

(37)

BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III

Xem đáp án chi tiết trang 274

Câu 1: Trên đường trịn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:

(I) 

(II) 15 

(III) 27

7  

(IV) 20

7   Các cung có điểm cuối trùng nhau?

A. Chỉ I, II B. Chỉ I, II, III

C. Chỉ I, II, IV D. Cả I, II, III, IV

Câu 2: Một đường trịn có bán kính 20cm Độ dài cung trịn có góc tâm 150° là:

A. 25

3 

B. 50

3 

C. 70

3 

D. Đáp án khác

Câu 3: Một cung thuộc đường trịn, cung có số đo

7 

dài 3 Khi đường kính đường trịn là:

A. B. 14 C. 7 D.14

Câu 4: Một người xe đạp có đường kính bánh xe 20cm Biết vận tốc xe đạp suốt quãng đường không đổi 18km/h Trong thời gian lâu bánh xe quay hết vòng? Chọn kết gần

A. 0,01 (s) B. 0,02 (s) C. 0,1 (s) D. 0,2 (s)

Câu 5: Cho đường trịn đường kính 5cm Khi số đo cung có độ dài chu vi tam giác nội tiếp đường trịn là:

A. 2π B. 3 C.

2 D.

3 

Câu 6: Đổi số đo



sang đo độ ta được:

A. 300° B. 600° C. 150° D. 120°

Câu 7: Số đo radian góc 15° là:

A.

6 

B.

12 

C.

15 

D.

18 

Câu 8: Nếu góc lượng giác có số đo Ox Oz;  25 thì hai tia Ox Oz:

A. vng góc với B. trùng

C. đối D. tạo với góc

4 

Câu 9: Trên đường tròn định hướng gốc A cố định có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ 

6

AM  k ?

A. 10 B. 12 C. D.

Câu 10: Trong khoảng thời gian kim giây đồng hồ quay góc có số đo là:

A. 6480000° B. 3240000°

C. 108000° B. 54000°

Câu 11: Trên đường tròn lượng giác (gốc A) cho tam

giác vuông ABC (vuông A) Cho sđ 

6

AM  k  (k  ) Khi số đo cung AC nhận giá trị nào?

A.

6 

B.

6 

 C.

6 

 D. 11

6  

Câu 12: Trên đường trịn lượng giác (gốc A) có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ 

4

k

AM   (k  )?

(38)

Câu 13: Góc lượng giác Ou Ov;  có số đo góc 25

7 

số đo góc hình học uOv là:

A. 11

7 

B.

7 

C.

7 

 D.

7 

Câu 14: Góc lượng giác Ou Ov;  có số đo góc 3230° số đo góc hình học uOv là:

A. 10° B. 170° C. 190° D. 120°

Câu 15: Xét góc lượng giác OA OM;   đó

;

M Ox Oy Khi M thuộc góc phần tư để

tan ,cot  dấu?

A. I III B. I IV

C. II IV D. Cả I, II, III IV

Câu 16: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. Với tia Ou, Ov, Ow ta có sđ Ou Ov;  + sđ

Ov Ow;  = sđ Ou Ow; k2 (k  )

B. Với tia Ou, Ov, Ox ta có: sđ Ou Ov;  = sđ

Ox Ov;  - sđ Ox Ou,  k2k 

C. Với M điểm đường tròn lượng giác

M Ox Oy ,  với AM  ta có sin ,cos 

dấu  M thuộc góc phần tư thứ I III

D. Với góc α làm cho tan xác định

làm cho cot xác định

Câu 17: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác với

AM  Khi có điểm N với AN 

thỏa mãn cos cos (N không trùng với M)

A. B.

C. D. Chưa đủ kiện

Câu 18: Chọn câu trả lời đúng: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho sđ AM   k2 ; k  Xác định vị

trí M biết sin 1 cos2

   

2

cos  sin 

A. M thuộc góc phần tư thứ I

B. M thuộc góc phần tư thứ II

C. M thuộc góc phần tư thứ I II

D. M thuộc góc phần tư thứ III

Câu 19: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho điểm

M cho  ;

2

AM   k  k Z    

Ð

Xét mệnh đề sau:

I cos

2  

 

 

 

  II sin

 

 

 

 

 

III cot

2  

 

 

 

 

A. B. C. D.

Câu 20: Cho điểm M thuộc đường tròn lượng giác gốc

A với hệ trục tọa độ Oxy Nếu sđ

3

AM  k

Ð

hồnh độ điểm M là:

A.

2 B.

3

2 C.

1

 D.

Câu 21: Giá trị nhỏ biểu thức tanx5cotx

là:

(39)

Câu 22: Nếu tan tan hai nghiệm phương trình x2 px q 0q0 giá trị

       

2

cos sin cos sin

P   p    q 

bằng:

A. p B. q C. D. p

q

Câu 23: Giá trị biểu thức  

tan

f x

x

 là:

A.  B. \ 0 

C. 0; D.  ;0

Câu 24: Có cặp giá trị sin ,cosx x thỏa mãn sin2018x cos2017x 1

 

A. B. C. D.

Câu 25: Giá trị biểu thức sin cos

sin cos

x x

A

x x

 



 

là a b;  Khi tổng a b là:

A. 5 B. 5 C. 2 D. Câu 26: Có đẳng thức cho đồng thức?

1 cos sin sin

4

x x x 

 

2 cos sin cos

4

x x x 

 

3 cos sin sin

4

x x x  

 

4 cos sin sin

4

x x    x

 

A. B. C. D.4

4

sin 2sin

A x x là:

A. B. C. D.

Câu 28: Tính

   

cos cos 120 cos 120

M          

A. B. 2 C. D.

Câu 29: Đơn giản sinx y cosycosx y siny ta được:

A. cos x B. sin x

C. sin cos 2x y D. cos cos 2x y

Câu 30: Cho cos18 cos 78 cos Giá trị dương

nhỏ  là:

A. 62 B. 28 C. 32 D. 42

Câu 31: ABC có cos 4;cos

5 13

A B Khi

cos C bằng:

A. 16

65 

B. 56

65 C.

16

65 D.

36 65

Câu 32: Có cặp giá trị tan ;cotx x thỏa mãn tanxcotx10

A. B. C. D.

Câu 33: Cho sin cos

x x Khi sin cosx x có

giá trị là:

A. B.

32 C.

3

16 D.

(40)

Câu 34: cos sin

x x 0 x 

tan

3

p q

x  với cặp số nguyên p q là:

A. 4;7 B. 4;7 C. 8;14 D. 8;7

Câu 35: Cho tan cot m Khi giá trị

3

cot tan  là:

A.

3

m  m B. m3 3m

C. 3m3 m

 D. 3m3 m

Câu 36: Kết rút gọn  

 

2

sin tan

1

cot

A  

 

 

 là:

A. B.1 tan 

C. 12

cos  D.

1 sin 

Câu 37: Cho cot 3 Khi

3

3sin 2cos

12sin 4cos

A  

 

 

 bằng:

A.

4

 B.

4

 C.

4 D.

1

Câu 38: Cho tancot m với m 2 Khi

tan cot bằng:

A. m 2 4 B.

4

m 

C.

4

m

  D.  m2

Câu 39: Nếu tan 22rs2

r s

 

 với  góc nhọn

0

r s  cos bằng: A. r

s B.

2

r s r



C. 2rs 2

r s D.

2

r s r s

 

Câu 46: Giá trị tanxcotx bằng:

A.

sin 2x B.

1

sin 2x C.

1

cos 2x D.

2 cos 2x

Câu 47: Rút gọn:

1 1 1

cos

2 2 2 2

A    x  x

 

ta được:

A. cos 16

x

B. cos

x

C. cos

x

D. cos

x

Câu 48: Trong hình quạt diện tích S, hình có chu vi nhỏ là:

A.

2

S B.

S C. 4 S D.

8

S

Câu 50: Một dây cuaroa nối bánh xe tâm I J (như hình vẽ), bán kính R1 R2 Biết

     

8 ; ;

IJ  cm R  cm R  cm Khi chiều dài

dây là: (làm tròn đến chữ số thập phân)

(41)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 6

I Cung góc lượng giác Câu 1: Đáp án A

2

AOM

S R



 



  (đvdt)

Câu 2: Đáp án D

Gọi AM   k2   

Ð

Khi cos ;

2

x  

1 sin

y  

M

 thuộc góc phần tư thứ IV

0

 

   

2

6 AM k

 

  

    

Ð

Cách khác: Bấm máy tính thử

từng trường hợp với sin, cos góc

Câu 3: Đáp án C

Vì M' đối xứng với M qua Ox

nên

3

' 2

5

AM  AM k    k 

Ð Ð

, hay

3

' 2

5

AM    k    k 

Ð

7

 

 

''

M đối xứng với M qua Oy nên

3

'' 2

5

2

5

AM BM k    k 

 

  

    

    

Ð Ð

Câu

4: Đáp

án D

Ta đưa góc thỏa mãn điều kiện cơng thức tính nhanh

Theo cơng thức, ta có:  AON'

(NN' đường kính đường tròn)

13

15

12 12

 



    

 2 108

5

AOM  

       

Khi AMÐ ' 2    k360

30 108 k360 138 k360

         

 ;  2 1

M x y  x y 

Thử trường hợp ta thấy D không thỏa mãn

Câu 6: Đáp án A

Ta có:

 

1945 145 360

      

Vì số đo hình học uOv dương 0uOv 180 nên

 145

uOv   (giá trị âm hay dương

của góc lượng giá cho ta biết

chiều quay từ Ou đến Ov;

về độ lớn hình học  (với 180 uO 180  là

độ lớn góc nhỏ quay từ Ou đến Ov,  0 độ

lớn  )

(42)



2550 360 30    uOv30

Có thể dùng máy tính để tìm góc cần tìm Ví dụ trên, ta nhập vào hình biểu thức

2550R360, ấn phím " " ta

được kết 7, R 30, nghĩa

là số dư chia 2550 cho 360 30, chịn đáp án A Nếu góc cho âm lấy số đối góc làm bình thường

Trường hợp số dư R 180 ta

lấy 360 R kết góc

cần tìm

Câu 8: Đáp án C Câu 9: Đáp án A

Chu vi đường tròn là:

  2R4 m

 Độ dài cung

 

30

260

l   m

sin tan cos AM AM AM  Ð Ð

Ð không xác

định

cosAM

 

Ð

hay hình chiếu của M Ox O Vậy hình và hình có tan AMÐ khơng xác định

120

180rad rad

 

    .

68 68

.180 2448

5 rad



   

II Giá trị lượng giác một cung Công thức lượng giác

2

5

cos 4cos

3

cos 4cos

3 2cos 4cos x x x x x x                                                         

Đặt cos

6

t   x

  phương

trình trở thành:

2

2 4

2

t  t   t  t 

Vì cos 0 nên chia tử

mẫu cho cos2

 ta được:

2

3 tan

3

2 3 2

2

3 A           

Cách làm chung: Nhân chia

cả tử mẫu với giá trị phù hợp để xuất tan ,sin , 

cos ,cot  Thay số tính

Câu 3: Đáp án B

2 3 3 3 3

sin cos cos

cos sin

sin cos cos

cos

cos sin

cos

tan

1 tan 3

A   

                      

    2 2 cot tan cot tan

cot tan sin cos

cos sin

2cos

sin cos

4

2 1

4

A  

                              

   

2

5sin 12 cos 13

sin cos

5sin 13 12cos

5sin 5cos 25

                        

 2

5sin 13 12cos

13 12sin 25cos 25

(43)

5sin 13 12cos 12 cos 13             sin 13 tan 12 12 cos 13               

Cách làm chung: Cho sin ,cosa a

thỏa mãn đẳng thức định, ta kết hợp với

2

sin acos a1 ta hệ

phương trình ẩn sin ,cosa a Từ tính sin ,cosa a

        2 2

cos cos sin

sin cos

1

3

A x A x a x

a x x A A

a A A

A A a

   

    

    

   

Để giá trị lớn A thì (1) có nghiệm

2

3 a a

      thay

vào  1 ta được: 3A2 2A 1 0

  

1

3 A



   (thỏa mãn)

Vậy a 1

 

2 cos cos sin sin

sin cos sin cos

P    

            2cos 2sin          2cos

6 2 3

2 2sin P       

3

1

4sin cos cos

2

2sin cos sin

3sin 4sin sin

A x x

x x x

             

Ta có: 2 2 2 2 2 2 2

2 2

1

cot tan

cos sin

tan cot

1 cos sin 2 sin cos sin cos sin cos

sin 4sin cos

9 + x x x x x x x x x x x x x x

x x x

                   

Sử dụng công thức:

2

1

cot cot

sin

1 tan 1 tan

2

2 tan tan tan

2 2

x

x x

x x x

 

 

  

(công thức tính theo tan x ) Khi đó: 2018 2017 2018 2018

1 1

sin sin sin

1

sin

cot cot cot cot

2

cot cot

2

S

a a a

a a

a a a

a a a a              

 

   

2 sin 2sin cos 2sin cos3

2sin cos

sin sin sin

sin sin

sin 2 sin

sin sin 2sin + + S n n n n n S                                   

Ta có:

   

 

tan cos

tan cos sin

a b ain a b a

a a b a

         

sin sin

2

sin sin

2

a b b

               

.6sin 3 2 tan

2 3

1.4sin tan

2

b a b

a b



   

(44)

 

6

3

2

2 2

sin cos

3sin cos sin cos

3

1 3sin cos sin

4

3 cos

1 cos x

4 8

5

;

8

x x

x x x x

x x x

x a b                      

Theo hệ thức Vi – et ta có:

 

 2

tan tan ; tan tan ;

cot cot ;cot cot

cot cot cot cot

1 1

tan tan tan tan

1 tan tan

tan tan tan tan

tan tan tan tan p q r s r s p q                                                

Ta có:         sin sin 1 cos cos 2

1 1

cos

2

1 cos

2

B C

B C B C

B C B C            

Mà 0 B C  

2

3

B C

A B C

              

 

cos cos cos

cos cos

cos cos sin sin

A B C

A B

A B A B

            2 2

cos cos sin sin

cos cos

2

sin sin cos cos

2

A B A B

A B

A B A B

             

(bất đẳng thức AM GM )

2  Dấu " " xảy

cos cos

sin sin A B A B         / 

A B  t m

  

Chú ý: Thông thường biểu thức

trong tam giác đạt giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) với góc A,

B, C có vai trị góc

đo Ví dụ:

sin sin sin max 3

2

A B C 

ABC

 

tanAtanBtanCmin 3

ABC

 

 max

1 cos cos cos

8

A B C 

ABC

 

2

tan sin cos

sin sco sin

sin cos sin

B B C

C C B

B C B

C B C

   cos sin cos sin C B B C  

(vì sin ,sinB C 0)

cos sin cos sin

sin sin

2

C C B B

B C

B C

B C

B C B C

B C A                             

Suy ra, ABC cân A hoặc ABC

 vuông A

Hệ thức lượng tam giác vuông:

 

2

sin sin sin

2 sin sin ;

2 sin ; sin

a b c

R

A B C

a R A R B C

b R B c R C

  

   

 

(45)

 

   

2 sin

2 sin sin

cos cos sin sin

sin

sin sin

cos cos sin sin

sin cos sin cos

cos cos sin

sin sin

cos cos sin sin

cos

R B C

R B R C

B C B C

B C

B C

B C B C

B C C B

B C

B C

B C

B C B C

B C B C

                   

  

2

B C

B C  A 

 

    

ABC

  vuông A.

tan tan

sin cos sin cos

cos cos

sin sin

cos cos

=2

A B

A B B A

A B A B A B     

Giả thiết sin  2cot

cos cos

A B C

A B



 

2sin cos 2cos

2 2

cos cos sin

2

C C C

C

A B

 

2

sin cos cos

2

1 cos cos cos

C

A B

C A B

 

  

 

1 cos A B 2cos cosA B

   

 

1 cos cos sin sin

cos cos

cos cos sin sin

cos

=2

A B A B

A B

A B A B

A B A B

  

  

   

ABC

  cân C

Chú ý: Một số hệ thức tam

giác cân:

 

2

tan tan tan

2

2 tan tan tan tan

2sin sin cot sin sin 2cos sin A B

a A b B a b

B C B C

C A B

C B A C        

Ta có:

1 sin sin

4 sin

4; 24

x x

x

a b ab

       

   

    

Ta có:

tanxcotx tanx  cotx

(vì tan ,cotx x dấu)

2 tan cotx x

 

(Bđt AM-GM) Dấu " " xảy

tan cot

x x x x x x          

Khi tan cot

tan cot

x x x x       

tan cot

tan cot 1

x x x x x x              

Dấu " " xảy tanx cotx

  

Gọi góc  thỏa mãn

3

cos ;sin

5     Khi             2 2

5 sin cos cos sin

5

3sin 4cos

sin cos

5 4cos

sin

3

sin cos

=5sin

f x x x

x y x x f x x x x x x x                             

Thế (1) vào (2), giải hệ ta có nghiệm: sin ;cos 5 12 ; 25 x x

a b ab

 

 

   

 a, b nghiệm phương

trình 12

5 25

t

t   

Cách khác: Áp dụng bđt

(46)

 

   

2

2 2

3sin 4cos

3 sin cos 25

5 3sin 4cos

x x x x x x          

Dấu " " xảy

2

sin cos

3

sin cos

x x x x              sin max cos sin min cos x f x x x f x x                               ; 5 a b   

Tổng quát: Hàm số

 

sin cos ,

y a x b x a b 

ln có y2 a2 b2

 

Dấu " " xảy sinx cosx

a b

 

Ta có:

 2

2

cos 2x sin 2x   2

Dấu " " xảy

sin cos x x   

2 cos sin 2

3 cos sin 1

0 cos sin

3;

x x

M m M n

    

    

     

Nhận xét: Với biểu thức dấu

giá trị tuyệt đối A, cho a, b là hai số thực khác nhau:

- Nếu a A b ab  ; 0

0 A a a  b

b  A a a  b

- Nếu a A b ab  ; 0thì

a  b 0 A b

a  b

- Nếu số 0, giả sử

0,

a  0 A b

Ta có:

2

sin sin

1 11 11

sin

2 4

1 sin

x x x x               

Dấu " " xảy

 

1

sin /

2

x t m

 

Cách làm sai:

 

2

cos 4cos

cos 1

x x

x

 

   

Dấu " " xảy  cosx2

(sai) Cách giải: Đặt cos x t .

Khi A t2 4t 3

  

(với   1 t 1)

Ta có A t 221 mặt khác, t

   nên t  221

Do A 0

Vậy Amin 0

* Cách tính giá trị max,

các hàm số bậc ẩn sin x (hoặc

cos x) dạng

at bt c

(a0;tsinx hoặc

cos 1) :

t  x t 

- Nếu 1

2

b a



   :

+ a  0 hàm số đạt

b t

a

 , max hàm số đạt

1 đầu mút, đầu mút gần với

2

b a

 hàm số đạt

max

+ a  0 max hàm số đạt

b t

a

 , hàm số đạt

(47)

với

b a

 hàm số đạt

tại

-Nếu

2

b a



  giá trị lớn

và nhỏ nằm đầu mút, đầu mứt làm cho hàm số lớn đạt max, cịn lại Ví dụ câu 15, hàm số đạt

1 sin

2

x  , 1 cách giá trị

1

2 xa  max hàm số đạt

tại 1, maxA 5 Còn

câu 16

2   , max, min A đạt khi

min

cosx1;A  0 cosx1 Câu 26: Đáp án D

Xét hàm số y sin2 x 3sinx 2

  

có 1,5

2

b a

  

Khi hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sinx1;sinx1

Với sinx 1 y4

Với sinx 1 y2

4 y y

      

4;

M m M m

     

Ta có:

2 x y          

    nên tồn

tại a cho: sin

x a  và

cos

y a 

Khi P3sina4 cosa1

5 P P

         

Vậy minP 4

Dấu " " xảy

 

sin cos

3

3sin 4cos

3

sin ;cos /

5

a a

a a t m

           

Vì tan , tan  hai nghiệm

phương trình x2 px q 0

   nên

theo định lí Viet, ta có

tan tan tan tan p q          

  tan tan

tan

1 tan tan

p q             

ĐKXĐ: sinx 0

 

2

5 sin

sin

sin sin

x

f x x

x x



  

 

2

sin

2 sin

sin b®t AM-GM x x x x      sin = x

  (vì 0 sin x1)

Dấu '' '' xảy

 

sinx /t m

 

Tổng quát:   sin

sin

a

f x x

x

 

đạt GTNN:

+ a 1 a 1

 min sin

f x  x 

+ 0a1

 

min sin

f x  a  x a

+  1 a0

 

min sin

f x   xa

Ta có y 0

 

2

cos /

2

x t m

 

cos

2cos x

  

Hoặc

2cos x     cos 2cos x x    

(48)

+) Áp dụng câu 25, ta có:

   

2 2

min

2

1 2

2

4

5

4

4 20

m

m m m

f x m m

m

f x m

m m                     

4 20

m m

    (vô nghiệm)

+)  min

2

m

f x

 

sinx

  sinx 1

-Với sinx 1 f x  2m1.

Cho 2m  1 m2 (không

t/m)

- sinx 1 f x   1 (không t/m)

Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

3

sin cos

10 10

    

   

 

cos15 cos 45 2cos30 cos15

2

cos15 cos15

2

cos15

4

2

     

    



   



Ấn máy tính ta có kết tương tự

2

5

cos15 cos sin sin

12 12 12

5 sin sin 12 12 t t           

Hoặc ta bấm máy tính bằng cách tính giá trị t gán vào biến A máy, sau đó tính biểu thức cần tính đề thử đáp án, đáp án có kết trùng với biểu thức cần tính chọn

Ví dụ trên, nhập Rồi ấn

Khi gán cos15 A(để chế

độ tính độ), nhập vào hình:

2

5

sin sin

12 12 A A

 

 

2

5

sin sin

12 12 A

 

 …

Khi ta kết đáp án cần tìm

   

 

sin sin 2.2

sin sin = a a a a          

Với tan

2 

  

   

Vậy khơng xác định góc  thỏa mãn u cầu toán

Chia tử mẫu cho sin x4 ta

được:

4

1 cot 17 17

1 cot 15 15

x A x      

Có thể bấm máy tính tìm góc

 cách bấm:

Ta góc  , gán

vào giá trị A rồi nhập biểu

thức 4 4 sin cos sin cos A A A A  

được kết cần tìm

Chú ý: sin A4 viết máy tính

là sin A 4, tương tự với

4

cos A, tan A

 

   

3

cos 3sin

2

sin

cos 3cos sin sin

cos 3cos 2sin

2sin 4cos

cos

A x x

x x

x x x x

x x x

x x                                  

(49)

2 6 2 2

2 2

3cos

sin cos

cot

3cos

1 3sin cos

1 sin

1 3sin cos 3sin cos

x

A x x

x x

x

x x x x

  



  

   

Ấn máy tính: Nhập kiến thức vào máy với x góc bất kì, nhiều gốc kết kết cần tìm

Đối chiếu với 

 

 

sin 0

 có góc  thỏa mãn

2

1

1 cot

sin

cot cot 2



 

  

   

mà cot

2 

  

   

cot 2

 

1

tan

cot 2



   

2

cos sin

9

0 cos

2

8 2

cos                  

Nhân tử mẫu G với

sin cos  ta có:

  2 2 2 cos 3sin

2 cos sin

4 15

3 cos 19

9 9

8 1 cos 13

9 9

=

G  

              

Ta có tana 2 cosa0

Chia tử mẫu cho

cos a ta có: 3 2 tan

cos

tan cos

8 tan tan

2 tan tan

8 16

2 8

= = a a A a a a a a a               

 

6

4 2

2

2 2

2

sin cos sin

cos 12sin cos

1 3sin cos

2sin cos 12sin cos

1 sin cos 10

P m m m m                            

Để P khơng phụ thuộc vào  thì 10

3 10

3

m   m

Vậy có giá trị m để

P số  Câu 45: Đáp án A

2 2

2 2 2 2 2 2

16 16

33

sin cos tan cot

16 16cot sin cos tan 33 16 16cot sin cos

16 tan 50

32 50 sin cos 16 25 sin cos +

x x x x

x x x x x x x x x x x x                     

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

 

2

2 2

16

sin cos

4 25

16 25

sin cos sin cos

25

x x

x x x x

                     Dấu " " xảy

2

4

sin 4cos

sin x cos x x x

   

Mà

2 2

sin xcos x 1 5cos x1

5 cos

5

x

  (vì

2 x    ) sin

x  (vì

2

x 

  )

Dùng máy tính ta tìm góc x.

Khi ta có: tan 79

4 x         

(50)

 

2 2

2

sin cos cos

2 cos

1

cos cos

2

x x x

A x           

Thử đáp án có đáp án C thỏa mãn

2 2 2 2 sin cos

sin cos

1

sin cos

2

sin cos

1

cos cos

2

3

2cos cos

4 a a a a a a a a a a a a                                  Vì a    

Nên  1 cosx 0 sinx1

Ta có:                   2

2cos cos

4 cos cos

1 7

sin tan

4

2 tan tan

1 tan

2

8

1

8

2

4

1

2 7 12 3

4 7

kh«ng t/m t/m a a a a a a a a a                                               

4

2

P sin cos

sin cos 2 9 =1-2sin =1 a a a a a      

 

cos15 cos 45 cos 75

.cos15 cos 75

2 2

cos 60 cos90

4

  

  

     

   

cot 30 cot 40 cot 50 cot 60

cot 30 cot 60 cot 40 cot 50

sin 90 sin 90

sin 30 sin 60 sin 40 sin 50

A        

       

 

 

   

1

cos30 cos90 cos10 cos90

2

cos30 cos10

2cos10 cos 20

2 cos 20

cos30 cos10

                  

Ta có:

 

3

cos30 cos 3.10

4cos 10 3cos10

3

4cos 10 3cos10

2

  

   

    

cos10

  11 nghiệm

phương trình 8x3 6x 3 0

  

 

sin sin sin

cos cos5 cos3

2sin cos sin

2cos3 cos cos3

sin 2cos

tan

cos3 2cos

= =

a a a

A

a a a

a a a a a          

(51)

 

2 2

2 2 2 2 2 2

cos 10 cos 20 cos 30

cos 180

cos 10 cos 100

cos 20 cos 110

cos 90 cos 180

sin 100 cos 100

sin 110 cos 110

sin 180

+ +                           

   cos 1802 

1

9 sè h¹ng

 

       

Cách bấm máy: Nhập vào màn

hình biểu thức:  

18 cos 10 x X  

Câu 54: Đáp án B cos 20 cos 40 cos160 cos180

A     

   

 

cos 20 cos160

cos 40 cos140

cos80 cos160 cos180

cos180

   

   

      

  

Ta sử dụng cách thử máy tính Thơng thường biểu thức thường có cơng thức tổng qt Khi cơng thức

n

 Vì thử với 1;2;3;4 n  1 ; 2 1 ; 1 ; 1 16 n A n A n A n A                

 CTTQ là:

2n

A 

Vậy với n 2018 20181

2

A 

        sin sin sin sin sin 2 sin B C

B C B C

B C

B C B C 

                      

(loại TH

6

B C  

B C B C   mà C 0 nên

không thỏa mãn)

Dễ thấy A B C    60 thì

đẳng thức cho  loại B

và D

Xét ABC cân:

+ Tại A B C

  

sin 2cos cos

1

sin 2cos cos

cos cos

B A C

C B C

A B A B C



   



    

ABC

 

+ Tại B A C

sin 3cos

1

sin 2cos cos

B C

C B C

  

 Giả sử A C 50  B80 

Thử máy tính thấy không thỏa mãn

Nếu A B C   60 thỏa

mãn

ABC

 

+ Tại C A B  VP1

  sin sin B B C C

     ABC

đều

Vậy ABCđều

III Đề kiểm tra chủ đề 7

Câu 1: Đáp án

15 27

2 ; 2.2 ;

7 7

20 7                 

(vì 3 khơng có dạng

 

2

k  k  nên không thỏa mãn)

150 50

2.20

360

l     

(52)

3

2

3

7 14

3

l R R

R R



 

  

  

    

18km h/ 5 /m s500cm s/ .

Chu vi bánh xe 20 cm , suy

thời gian quay hết vong bánh xe là:

 

20

0,12569

500 s

 

Gọi AH đường cao  AH đi

qua O

 O có:

 



120 60

s®

BOC BAC BC

BOH

 

  

 

    

Ð



2 .sin

3

2 3

2

BC BH BO BOH

BO BO R

 

  

3.3 3

l R R

    số đo

cung 3rad

5

.180 300

3



   

15

180 12

 

  

 

25 2.12  s® Ox Oz; 

 tia đối

Số điểm M thỏa mãn là:

2 : 10

5 

  (điểm)

Cứ kim giây quay 60 vòng, quay

60.5 300 vòng Sau kim

giây quay góc:

360 300 108000   Câu 11: Đáp án C

Vì ABC vng A

 90

BAC

  

 BC đường kính  O

 

2

7 =

AC k

k k



 

   

  

Ð

Với

6

k   AC 

Ð

Có

8



  nên xác định

điểm M cách trên.

Nhận xét: Số k tăng lên (hoặc

giảm đi) đơn vị điểm M trùng với A (bắt đầu từ k 0, sau đến k 8;k 16; ;

 

8

k  i i  ) Vậy sau số k đó,

M lại bắt đầu chu kì mới

(53)

Câu 13: Đáp án B.



25 3

4

7 uOv

  



   



3230 350 8.360

360 350 10

uOv

     

     

tan cot    1 tan , cot  dấu khoảng xác định

Giả sử với   0 sin 0;

cos 1 tan  0 cot không xác định

+ Nếu M không trùng với A A'

 có điểm N thỏa mãn yêu cầu tốn (hình vẽ) +

Nếu M  A M A' khơng

có điểm thỏa mãn yêu cầu

Theo đề sin 0;cos 0  M thuộc góc phần tư thứ II. Câu 19: Đáp án C

3

2 2

         cos         

  I

3 2          sin         

  II

cos cot

2                    

 III sai

cos cos cos

víi k chẵn với k lẻ

x k n n                                    

tan 5cot tan 5cot

2 tan 5cot

x x x x

x x

  

 

(bất đẳng thức AM-GM)

Vì tan , tan  hai nghiệm

phương trình

0

x  px q  nên

theo định lí Viet, ta có

tan tan tan tan p q          

  tan tan

tan

1 tan tan

p q                          2 2 2 cos

1 tan tan

1 tan

1

1 1 P p q p q p p p q q q p q                                                     

2 2 2

2

1

q p q q p

q p

  

 

 

  cot

tan

2

f x x

x

x x k

 

 

  

 

 

Với  

2

k

x  k Z cotx 0

Mà tập giá trị cot x 

(với cosx 0)

Vậy tập giá trị  

tan

f x

x

 \ 0 

(54)

2 2016

2018

2015

2 2017

2018 2017 2

0 sin sin

1 cos

cos cos cos

sin cos sin cos

x x

x

x x x

x x x x

    

  

  

   

    

Dấu " " xảy

2 2017 2018

sin sin

cos cos

sin cos cos sin x x x x x x x x                                 

Vậy có cặp sin ,cosx x thỏa mãn

Điều kiện xác định: D 

(Vì sinx cosx

2

1 2

      ) Ta có:               2 2 2

sin cos sin cos

1 sin cos 2

2

4

2 3

2 10

0

A x A x A x x

A x A x A

A A A A

A A

A A y A

A A A A A                                      

Vậy a b  5 Câu 26: Đáp án B

2 sin sin cos ;

4

2 cos cos sin

4

2 sin sin cos ;

4

2 sin cos sin

4

x x x

                                       

4

sin ;sin

sin 2sin 3

x x x x

A x x x

   

     

Dấu " " xảy

 

4

sin

sin t/m

x x x          

 

cos cos 120

cos 120

M a a

a

   

  

1

cos cos sin sin120

2

cos sin sin120

2

a a a

a a

   

   

   

 

sin cos cos sin

sin sin

x y y x y y

x y y x

  

   

 

cos cos18 cos 78

2sin 30 sin 48

sin 48 cos 42

42 360

a

a k k

                           

Vậy giá trị dương nhỏ  là42

 

2

cos cos

cos cos sin sin

20

1

65 13

20 12 20 36 16

65 13 65 65

C A B

A B A B

                        

tan cot 10

tan ,cot

tan cot

x x x x x x       

là nghiệm phương trình:

2

10

5

t t t t           

Vậy có cặp giá trị thỏa mãn

5 6;5 6  

5 6;5 6  

 2 2

sin cos

sin cos sin cos

2

1 25

1

2 16 32

x x

x x x x

               

(55)

 2 2 cos sin

cos sin cos sin

2 cos sin cos sin cos sin x x

x x x x

x x x x x x                             

 cos ,sinx x là nghiệm của

phương trình:

2 0

2

t

t     t 

Mà sinx 0

1 7

sin ;cos

4

1

tan

6

1

4 7

3 4; x x x p q                    

    3 3 cot tan cot tan

3tan cot tan cot

3 m m               

    2 2 sin sin cos 1 cos

sin cos

1

cos cos

1 tan cos A                                   

Chia tử mẫu cho sin3

 có:

    2 2 3 cot sin sin 12 4cot

3 cot cot cot

12 cot

30 60

12 4.27

A                     

    2 2 tan cot

tan cot tan cot

4

tan cot

m m                  

 

2 2

2

4 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

1 tan

cos

2

cos cos

r s r s h

r s r s r s r s

r s r s r s r s r s r s                                   

(vì cos 0  nhọn

0

r s  )

4 2 2 2 4 3sin cos

cos sin

3

2sin sin

2

cos sin

1 sin

2 sin 3cos 1

1 cos x x x x x x x x x x x x                                 

 

3

2

sin cos cos sin

1

sin cos sin

2

Q x x x x

x x x x

x x x

 

 

Với a b , áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

    4 2 sin cos

sin cos

(56)

4

sin x cos x

a b a b

  

 Dấu " " xảy

2 2

sin x cos x sin x cos x

a a a b

     Khi đó:         8 3 2

4

4 4 2 sin cos

sin sin cos cos

1 sin cos

1 1

x x

a b

x x x x

a a b b

x x a b a b x x a b a b a b

a b a b

                                     

Thử với sin

2

n   

3 sin sin

3

2

4 sin sin sin

4 4

1 n n               

Thử giá trị n vào đáp án, ta có đáp án A thỏa mãn

sin sin 2sin cos

2sin cos 2sin cos

sin sin sin sin

sin sin sin

sin sin sin x

A x x x x

x x x x

x x x

x x A              

Xét biểu thức:

        2 2

tan tan tan 1 tan

tan tan tan

2 tan

tan tan

1 tan

tan 2 tan

x x x x

x x x

x x x x x x                

Áp dụng  1 ta có:

2

1

tan tan tan tan

2 2

tan tan

2

tan tan

2 n n n n n n n

a a a

S a a a a a           

2

sin cos

tan cot

sin cos

2

2sin cos sin

x x

x x x



 

 

2

2cos

1 1 cos 2

cos

2 2

cos x x x x     

1 1 cos 2 2 1

cos cos

2

A x x x       

Ta có: 2

2

R R  p



 

2

2R R p p 2R 

    

(bđt AM – GM)

2 16 p R    2

2 16

quat

R p

S  R  



  

Dấu " " xảy 2R R 

   

2 2 2

2 2 4

quat

R

S R

C R R

R S S

            

(57)

Gọi tiếp tuyến chung hai đường tròn AB, A B' '

   

A A, ' I R; ; ',B B J R; 

Từ I kẻ IH BJ  BH R1 1

2

JH BJ BH R R

     

Có cos

8

JH BIJ

IJ

  

 60  ' 2 120

BJI BJB BJI

      

Dễ thấy AIA'BIB ' 120 



' sin

8

AB AB IH IJ BJH

 

Chiều dài dây là:

 

 

' '

120 240

8 10

360 360

22

8 36,89

3

ANA BMB

AB A B l l

cm

 



  

 

  

 

  

(58)

Định dạng
Số trang	59
Dung lượng	5,06 MB