Đại số 10. Góc lượng giác và công thức lượng giác Bài giảng này trình bày đầy đủ phần: A. Lí thuyết cần nhớ B. Phương pháp giải các dạng toán tự luận C. Các dạng câu hỏi trắc nghiệm. Bạn đọc quan tâm có thể mua thêm phần: D. Đáp số Hướng dẫn Lời giải Các ví dụ Câu hỏi trắc nghiệm E. Luyện tập thêm Liên hệ tới Thầy Hoàng Hà của Nhóm HỒNG ĐỨC
Trang 1CHƯƠNG V GÓC LƯỢNG GIÁC
VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ớ
I ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG TRÒN, ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN
Chúng ta đã biết tới đơn vị độ để đo góc, cụ thể với đường tròn bán kính R, ta có:
Độ dài (chu vi) đường tròn bằng 2R
Số đo góc bằng 3600
Như vậy, nếu chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài:
2 R
360
= R
180
tương ứng với 10
Từ đó, ta có kết quả:
"Cung tròn bán kính R có số đo góc a0 (0 a 3600) có độ dài aR
180
"
Định nghĩa: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là
cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi
tắt là góc 1 rađian
Như vậy, với đường tròn bán kính R, ta có:
Toàn bộ đường tròn có số đo rađian bằng 2 R
R
= 2
Cung có độ dài bằng l thì có số đo rađian bằng l
R
Từ đó, ta có các kết quả:
1 Cung tròn bán kính R có số đo rađian thì có độ dài R
2 Với cung tròn có độ dài l Gọi là số đo rađian và a là số đo độ của cung đó thì ta thiết lập được mối quan hệ giữa số đo rađian và số đo độ là a
180
Từ kết quả trên ta có bảng ghi nhớ chuyển đổi số đo độ và số đo rađian của một cung tròn:
Độ 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 270 0 360 0
Rađian 0
6
4
3
2
3
4
6
2
II GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
1. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ SỐ ĐO CỦA CHÚNG
Định nghĩa: Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều
âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói "Tia Om quét một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov" Khi quay như thế, tia Om có thể gặp tia Ov nhiều lần, mõi lần ta được một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov
Trang 2Do đó, với hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) tia đầu Ou, tia cuối Ov Mỗi góc lượng giác như thế đều được kí hiệu là (Ou, Ov) Như vậy:
1 Một góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo độ (hay
số đo rađian) của nó
2 Nếu một góc lượng giác có số đo a0 (hay rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng a0 + k3600 (hay + 2k), k là một số nguyên, mỗi góc
ứng với một giá trị của k
Chú ý: Không được viết a0 + 2k hay + k3600 vì không cùng đơn vị đo
2. KHÁI NIỆM CUNG LƯỢNG GIÁC VÀ SỐ ĐO CỦA CHÚNG
Từ khái niệm góc lượng giác chúng ta thực hiện:
Vẽ đường tròn tâm O bán kính R và cắt tia Om tại điểm M Khi đó việc cho tia Om quay quanh O tương ứng với việc cho điểm M chạy trên đường tròn Và đường tròn
với chiều di động đã được chọn gọi là đường tròn định hướng
Khi tia Om quét góc lượng giác (Ou, Ov) và giả sử đường tròn định hướng cắt Ou,
Ov theo thứ tự tại U và V thì điểm M chạy trên đường tròn luôn theo một chiều từ
điểm U đến điểm V Ta nói điểm M vạch nên một cung lượng giác điểm đầu U, điểm
cuối V, tương ứng với góc lượng giác (Ou, Ov)
Như vậy, nếu coi số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) là số đo của cung uv tương ứng thì
ta có kết quả:
1 Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác được xác định bởi điểm đầu, điểm cuối và số đo của nó
2 Nếu một cung lượng giác uv có số đo thì mọi cung lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng + 2k, k là một số nguyên, mỗi cung ứng với một giá trị của k
3. HỆ THỨC SA LƠ
Với ba tia Ou, Ov, Ow, ta có:
sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + 2k, k
III ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Định nghĩa: Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có bán kính bằng 1, trên đó
có điểm A gọi là điểm gốc
Trong đó:
Trục hoành tương ứng với trục giá trị của cosin
Trục tung tương ứng với trục giá trị của sin
Đường thẳng đi qua điểm A(1, 0) và vuông góc với trục cos tương ứng với trục giá trị của tang
Đường thẳng đi qua điểm B(0, 1) và vuông góc với trục sin tương ứng với trục giá trị của cotang
Trang 3Để biểu diễn giá trị các hàm số lượng giác của góc trên đường tròn lượng giác ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xuất phát từ điểm đầu A(1, 0) ta xác định vị
trí của điểm M trên đường tròn lượng giác sao
cho AM =
Bước 2: Xác định:
Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên
trục cos, ta được OM1 = cos
Gọi M2 là hình chiếu vuông góc của M lên
trục sin, ta được OM2 = sin
Gọi M3 là giao điểm của tia OM với trục tan, ta được AM3 = tan
Gọi M4 là giao điểm của tia OM với trục cot, ta được BM4 = cot
Chú ý: Từ cách biểu diễn như vậy chúng ta nhận thấy:
1 Các góc lượng giác + 2k, kZ cùng xác định một điểm M trên đường tròn lượng giác, do đó:
a cos = cos( + 2k) b sin = sin( + 2k)
c tan = tan( + 2k) d cot = cot( + 2k)
2 Nếu gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O, ta thấy ngay tia OM cắt các trục tan và cot vẫn tại M3 và M4, do đó các công thức (iii) và (iv) được mở rộng hơn thành:
a tan = tan( + k) b cot = cot( + k)
Câu 1 Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo mà uOv là góc nhọn thì:
A 0
2
2
Câu 2 Góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo mà uOv là góc tù thì:
A
2
B
2
Câu 3 Góc lượng giác (OA, OM) có số đo , xét góc lượng giác (OA, ON) có số đo
2
(M
và N cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A) Khi đó, với mọi sao cho M nằm trong góc phần tư III của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên các trục tọa độ) thì điểm N luôn:
tan
cot
cos
sin
A
B
180 0
1
1
1
1
M
M 4
M 1
M 2
M 3
+M’
Trang 4Câu 4 Góc lượng giác (OA, OM) có số đo , xét góc lượng giác (OA, ON) có số đo 2 (M
và N cùng nằm trên đường tròn lượng giác gốc A) Khi đó, với mọi sao cho M nằm trong góc phần tư I của hệ tọa độ gắn với đường tròn đó (M không nằm trên các trục tọa độ) thì điểm N luôn:
IV CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Ta có:
sin2 + cos2 = 1 tan.cot = 1
tan = sin
cos
cos sin
2
1
sin = 1 + cot2
V GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC
Ta có bảng sau:
VI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1 HAI GÓC ĐỐI NHAU
a sin() = sin
b cos() = cos
c tan() = tan
d cot() = cot
2 HAI GÓC HƠN KÉM NHAU
a sin( + ) = sin
b cos( + ) = cos
c tan( + ) = tan
d cot( + ) = cot
3 HAI GÓC BÙ NHAU
a sin( ) = sin
b cos( ) = cos
c tan( ) = tan
d cot( ) = cot
Trang 54 HAI GÓC PHỤ NHAU
a sin
2
= cos
b cos
2
= sin
c tan
2
= cot
d cot
2
= tan
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 5 Giá trị của sin3
10
bằng:
A co s4
5
B co s
5
C 1 cos
5
5
Câu 6 Với mọi a thì sin 3 a
2
bằng:
Câu 7 Giá trị của biểu thức A = tan450.cos3900.cot( 1500) bằng:
A 1
Câu 8 Giá trị của biểu thức A = 3a.cos2 + b.sin 3
2
+ a.cos bằng:
A 2a + b B a + b C a b D a 2b
Câu 9 Giá trị của biểu thức P = sin4 cos4 2sin2 bằng:
Câu 10 Giá trị của biểu thức P = (tan + cot)2 (tan cot)2 bằng:
Câu 11 Biểu thức P = sin2.tan + cos2.cot + 2sin.cos được rút gọn thành:
A tan cot B cot tan C cos + sin D tan + cot Câu 12 Giá trị của biểu thức A =
2 2
2 2
cos sin sin sin
cot
2.cot2 bằng:
Câu 13 Bất phương trình sin2250.tan1300.cot( 1750).x ≥ 0 có nghiệm là:
A x ≥ 0 B x > 0 C x < 0 D x 0 Câu 14 Bất phương trình sin2
9
.cos 29
18
|x| > 0 tập có nghiệm là:
A T = B x > 0 C x < 0 D T = R\{0} Câu 15 Bất phương trình sin5
4
.tan39
18
.cot 35
36
2 1) > 0 có nghiệm là:
A B |x| > 1 C |x| < 1 D Mọi x ≠±1
Trang 6§2 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ớ
4. CÔNG THỨC CỘNG
a cos( + ) = cos.cos sin.sin
b cos( ) = cos.cos + sin.sin
c sin( + ) = sin.cos + cos.sin
d sin( ) = sin.cos cos.sin
e tan( + ) = tan tan
1 tan tan
f tan( ) = tan tan
1 tan tan
5. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
a sin2 = 2sin.cos
b cos2 = cos2 sin2 = 2cos2 1
= 1 2sin2
c tan2 = 2 tan2
1 tan
6. CÔNG THỨC NHÂN BA
a cos3 = 4cos3 3cos
b sin3 = 3sin 4sin3 c tan3 =
2 2
(3 tan ) tan
1 3tan
7. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
a cos.cos = 1
2[cos( + ) + cos( )]
b sin.sin = 1
2[cos( ) cos( + )]
c sin.cos = 1
2[sin( + ) + sin( )]
d cos.sin = 1
2[sin( + ) sin( )]
8. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
a cos + cos = 2cos
2
cos
2
b cos cos = 2sin
2
sin
2
c sin + sin = 2sin
2
cos
2
d sin sin = 2cos
2
sin
2
e tan + tan = sin( )
cos cos
f tan tan = sin( )
cos cos
g cot + cot = sin( )
sin sin
h cot cot = sin( )
cos cos
a sin2 = 1 cos 2
2
b cos2 = 1 cos 2
2
c sin3 = 3sin sin 3
4
d cos3 = 3cos cos3
4
Trang 77 CÔNG THỨC RÚT GỌN asinx + bcosx
a asinx + bcosx = 2 2
a b sin(x + ) với tan = b
a = a2b2cos(x ) với tan = a
b
b asinx bcosx = 2 2
a b sin(x ) với tan = b
a = 2 2
a b cos(x + ) với tan = a
b
Hệ quả:
a sinx + cosx = 2sin(x +
4
) = 2cos(x
4
)
b sinx cosx = 2sin(x
4
) = 2cos(x +
4
)
c Mở rộng
cotx + tanx = 2
sin 2x ; cotx tanx = 2cot2x
8 CÔNG THỨC TÍNH sin, cos, tan THEO tan
2
Nếu đặt t = tan
2
, ta được:
sin = 2t2
1 t , cos =
2 2
1 t
1 t
2t
1 t
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 16 Biểu thức A = cos10x + 2cos24x + 6cos3x.cosx 8cosx.cos33x được rút gọn thành:
Câu 17 Cho biểu thức:
A =
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác ta rút gọn được A thành:
A A = 1 1
2sin
2cos
24x
C A = 1
2 sin
2 cos
24x
Câu 18 Cho biểu thức:
A =
2
1 cos a
Sử dụng các phép biến đổi lượng giác ta rút gọn được A thành:
Trang 8Câu 19 Biểu thức B = cot a tan a
cot a tan a
được rút gọn thành:
A B 1
cos a
cos 2a
sin 2a
sin a
Câu 20 Biểu thức A = 1 sin 2x 1 sin 2x
< x < 0 được rút gọn thành:
Câu 21 Biểu thức A = 1
sin a + 1
sin 2a + + 1n
sin 2 a được rút gọn thành:
A A = sina
2 sin2
2 tan2
na
C A = cosa
2 cos2
2 cot2
na
Câu 22 Biểu thức A = 1
2
n dau can
2 2 22cos x , với 0 x được rút gọn thành:
A A = cos xn
2 B A = 1 cos xn
2 C A = 1 sin xn
2 D A = sin xn
2
Câu 23 Nếu 2(sina + cosa) = 1 thì sin2a bằng:
A. 3
4
3 4
Câu 24 Giá trị của cos cos7
bằng:
A. 3
3
1
4
Câu 25 Giá trị của
A. 1 1 2
1
1
Câu 26 Giá trị của
sin 40 cos10 sin10 cos 40
3 2
Câu 27 Giá trị của
2
Câu 28 Giá trị của biểu thức P = sin100.sin300.sin500.sin700.sin900 bằng:
Trang 9A P 1
32
8
4
Câu 29 Giá trị của biểu thức A = sin200.sin400.sin800 bằng:
A A = 3
4
4
8
Câu 30 Giá trị của biểu thức B = tan90 + tan150 tan270 tan630 + tan750 + tan810 bằng:
Câu 31 Giá trị của biểu thức C = cos2
7
+ cos4
7
+ cos6
7
bằng:
A C = 1 B C = 1
1
Câu 32 Giá trị của biểu thức A = tan1100.tan3400 + sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 bằng:
A A = 0 B A = 1
3 2
Câu 33 Giá trị của biểu thức A = sin6
48
+ cos6
48
bằng:
32
B 20 3 2 3 6
32
C 20 2 3 6
32
D 20 3 2
32
Câu 34 Giá trị của biểu thức A = sin2730 + sin2470 sin730.sin470 bằng:
A 1
1
3
Câu 35 Giá trị của biểu thức A = cos
65
.cos2
65
.cos4
65
.cos8
65
.cos16
65
.cos32
65
bằng:
A A = 1
64
Câu 36 Giá trị của biểu thức A = sin50.sin150.sin250 sin850 bằng:
A A = 92
2 A 2
2
2
Câu 37 Giá trị của biểu thức A = cos
19
+ cos3
19
+ cos5
19
+ + cos17
19
bằng:
A A = 1
1 4
Câu 38 Giá trị của biểu thức A = tan6
9
33tan4
9
+ 27tan2
9
3 bằng:
A A = 0 B A = 1
1 4
Câu 39 Giá trị của biểu thức A = 1
cos 5
cos 5
1 bằng:
2
Trang 10Câu 40 Giá trị của biểu thức A = tan2
18
+ tan25
18
+ tan27
18
bằng:
Câu 41 Giá trị của biểu thức B = tan4
18
+ tan45 18
+ tan47
18
bằng:
Đáp số trắc nghiệm B
Lựa chọn đáp án bằng việc sử dụng máy tính Bạn đọc tự thực hiện
Câu 42 Cho sina + cosa = 7
2 , khi đó giá trị của cos4a bằng:
A 1
8
Câu 43 Biết tanx = 1
2, giá trị của biểu thức A = tan 2x sin 2x
tan 2x sin 2x
A 1
8
Câu 44 Giá trị lớn nhất của biểu thức sin4a + cos4a bằng:
2
Câu 45 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sin4a + cos7a bằng:
2
Câu 46 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6
6
4 3tan a
Câu 47 Biểu thức A = cotx + tanx được rút gọn thành:
A 1
co s 2x
Câu 48 Biểu thức B = cotx cot2x được rút gọn thành:
A 1
co s 2x
Câu 49 Biểu thức A = sina.cosb.cosc + sinb.cosc.cosa + sinc.cosa.cosb sina.sinb.sinc
được rút gọn thành:
A sin(a b + c) B sin(a + b c) C sin(a b c) D sin(a + b + c) Câu 50 Biểu thức B =
2 2
2 2
1 tan 2a.tan a
được rút gọn thành:
A tan3a.tana B tan3a.tan2a C tan2a.tana D tan4a
Câu 51 Biểu thức B = cos a sin a
cos a sin a
+ tan2a được rút gọn thành:
A 1
sin 2a
Trang 11Câu 52 Biểu thức A = sin 5x
sin x 2(cos4x + cos2x) nhận giá trị:
Câu 53 Biểu thức A = sin2x + cos(x
3
).cos(x +
3
) nhận giá trị:
1 4
Câu 54 Biểu thức B = cos2(x
3
) + cos2x + cos2(x +
3
) nhận giá trị:
1 4
Câu 55 Biểu thức A = 8(sin6x.cos2x + cos6x.sin2x) + cos42x nhận giá trị:
Câu 56 Biểu thức A = sin4x + sin4(x +
4
) + sin4(x +
2
) + sin4(x + 3
4
) nhận giá trị:
1 4
Câu 57 Biểu thức A = tanx a
2
.tanx a
2
, biết cosx = cosa.cosb được rút gọn thành:
A A = tanb
2 B A = tan
2b
2 C A = tan
2 a
2 D A = tana
2
Câu 58 Biểu thức A = cos2x a.sin2x + 2cos2x không phụ thuộc x khi:
ÔN TẬP CHƯƠNG V
Bài 1 Giá trị của biểu thức 8 cos2
6
+ 2sin2
4
3tan3
3
bằng:
A 3
1
3
4
Bài 2 Giá trị của biểu thức (a2 + 1).sin0 + b.cos
2
+ c.cos bằng:
A (a2 + 1) B b C c D c
Bài 3 Giá trị của biểu thức 4cos43
4
8sin35
6
3(tan22
3
tan43
4
) bằng:
A 6 B 4 C 4 D 6
Bài 4 Giá trị của biểu thức 4sin43
4
+ 3cos35
6
3cot22
3
bằng:
A 9
8
Trang 12Bài 5 Giá trị của biểu thức
a sin b cos 0 2
A a + b B 2a + b C a 2b D a b
Bài 6 Biểu thức cos2 + cos2.cot2 được rút gọn thành:
A cot B tan C cot2 D tan2
Bài 7 Biểu thức sin2 + sin2.tan2 được rút gọn thành:
A cot B tan C cot2 D tan2
Bài 8 Biểu thức sin4 + cos4 được biến đổi thành:
A 1 sin2.cos2
B 1 2sin2.cos2
C 1 + sin2.cos2
D 1 + 2sin2.cos2
Bài 9 Biểu thức sin6 + cos6 được biến đổi thành:
A 1 sin2.cos2
B 1 2sin2.cos2
C 1 3sin2.cos2
D 1 4sin2.cos2
Bài 10 Biết sin = 2 1
2
với 0 < <
2
Giá trị của biểu thức C = cot + sin
1 cos
bằng:
A 2 + 1 B 2 1 C 2( 2 1) D 2( 2 + 1)
Bài 11 Lựa chọn đẳng thức đúng:
A sin2 + cos2( ) = 1
B sin2( ) + cos2( ) = 1
C sin2 + cos2( + ) = 1
D sin2( + ) + cos2( + ) = 1
Bài 12 Lựa chọn đẳng thức đúng:
A sin2 + cos2
2
= 1
B sin2 + cos2
2
= 1
C sin2
2
+ cos
2 = 1
D sin2
2
+ cos
2
2
= 1
Bài 13 Lựa chọn đẳng thức đúng:
A tan.cot
2
= 1
B tan.cot
2
= 1
C tan
2
= 1
D tan
2
= 1
Bài 14 Lựa chọn đẳng thức đúng:
C 12 1 co t2
D 12 1 co t2
Bài 15 Lựa chọn đẳng thức đúng:
A 12 1 tan2
B 12 1 tan2
C 12 1 co t2
D 12 1 co t2