Công thức lượng giác

Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ðỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính hàm số lượng giác của cung a sau. a) sina = 5 3 với 0 < a < 2 π b) tga = - 2 với 2 π < a < π c) cosa = 5 1 với - 2 π < a < 0 d) sina = 3 1 v ớ i a ∈ ( 2 π , π ) e) tga = 2 v ớ i a ∈ ( π , 2 3 π ) 2. Chứng minh các ñẳng thức sau: a) sin 2 x + tg 2 x = x cos 1 2 - cos 2 x b) tg 2 x - sin 2 x = tg 2 xsin 2 x c) xtgxgcot xsinxcos 22 22 − − = sin 2 xcos 2 x d) xtg1 )1 xcos 1 )(xgcot1( 2 2 2 + −+ = 1 e) cosx + cos( 3 2 π - x) + cos( 3 2 π + x) = 0 f ) sin(a + b)sin(a - b) = sin 2 a -sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a g) batgtg1 btgatg 22 22 − − = tg(a +b)tg(a - b) h) cos 3 xsinx - sin 3 xcosx = 4 1 sin4x i) x sin x cos xsinxcos + − = x 2 cos 1 - tg2x k) x sin 2 x 2 sin xsin2x2sin + − = -tg 2 2 x m ) sin3xcos 3 x + sin 3 xcos3x = 4 3 sin4x n) sinx - sin2x +sin3x = 4cos 2 x3 cosxsin 2 x p) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos 2 x q) 4 4 2 sin cos cos 2(1 cos ) x x x x − + − = cos 2 2 x r) xtg31 xtg3 tgx x3tg 2 2 − − = 3. Biểu diễn các biểu thức sau theo sinx và cosx. a) sin(x + 2 5 π ) - 3cos(x - 2 7 π ) + 2sin(x + π ) b) sin(x - π /2) + cos(x - π ) - 5sin( 2 11 π + x) c) cos( π /2 + a) + cos(2 π - a) + sin( π - a) + cos( π + a) d) 2cosa - 3cos( π + a) - 5sin( π /2 - a) + cotg( 2 3 π - a) Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 2 e) cos( π - a) - 2sin(3 π /2 + a) + tg( 2 3 π - a ) + cotg(2 π - a) 4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a. a) A = cos 4 a + cos 2 asin 2 a +sin 2 a b ) B = cos 4 a - sin 4 a + 2sin 2 a c ) C = 2(sin 6 a + cos 6 a) - 3(sin 4 a + cos 4 a) d) D = ga ga cot1 cot1 − + - 1tga 2 − e) E = aa 24 cos4sin + + asin4acos 24 + f) F = cos 2 a - sin(30 0 + a)sin(30 0 - a) g) G = sin 6 a + cos 6 a + 3sin 2 acos 2 a h) H = 1 a cos a sin 1acosasin 66 44 − + −+ i) m là số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b) Trong ñó a - b ≠ kπ và m ≠ ± 1 thì biểu thức: A = a 2 sin m 1 1 − + b 2 sin m 1 1 − (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ). 5. Tính các biểu thức ñại số. a) Tính sin 3 a -cos 3 a biết sina -cosa = m b) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A = 2 a tg 2 a gcot a2cos1 − + c) Biết )bacos( )bacos( − + = q p . Tính tga.tgb d) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠ k2 π tính tg 2 a .tg 2 b e) Tính sin2x nếu: 5tg 2 x - 12tgx - 5 = 0 ( 4 π < x < 2 π ) 6. Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng. a) A = cos20 0 cos40 0 cos60 0 cos80 0 b) B = cos 7 π .cos 7 4 π .cos 7 5 π c) C = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 d) A = sin37 0 .cos53 0 + sin127 0 .cos397 0 e) Tính: E = sin5 0 .sin15 0 sin25 0 .sin35 0 . sin85 0 f) A = tg110 0 + cotg20 0 g) Tính: F = sin 18 π .sin 18 3 π .sin 18 5 π .sin 18 7 π . sin 18 9 π h) Tính sin15 0 và cos15 0 i) Tính tgx.tgy biết : )yxcos( )yxcos( − + = 2 1 k) Với a ≠ k π chứng minh rằng: cosa.cos2a.cos4a. cos2na = a sin 2 a2sin 1n 1n + + , từ ñó tính : D = cos 65 π . cos 65 2 π . cos 65 32 π Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 3 7. Chứng minh các công thức sau: a) 4sinx.sin( 3 π - x)sin( 3 π + x) = sin3x b) 4cosx.cos( 3 π - x)cos( 3 π + x) = cos3x c) tgx.tg( 3 π - x)tg( 3 π + x) = tg3x d) cosa.cos2a.cos4a cos2na = a sin 2 a.2sin 1n 1n + + e) ñể tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1) n . cos(a +nx). thì nhân 2 vế với 2cos 2 x nếu cos 2 x ≠ 0. 8. Các bài tập khác: 1. Chứng minh rằng : a) oo oo 15 sin 15 cos 15sin15cos − + = 3 b) oo oo 75 sin 75 cos 75cos75sin + − = 3 1 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x b) B = x sin xcos1 + [1 + x sin )xcos1( 2 2 − ] c) C = cos3x.cos 3 x - sin3x.sin 3 x 3. Không dùng bảng số hãy tính: a) A = tg20 o .tg40 o .tg60 o .tg80 o b) B = o 10 sin 2 1 - 2sin70 o c) C = sin 4 16 π + sin 4 16 3 π + sin 4 16 5 π + sin 4 16 7 π d) D = tg 2 12 π + tg 2 12 3 π + tg 2 12 5 π e) E = tg9 o - tg27 o - tg63 o + tg81 o . f) F = cos 6 16 π + cos 6 16 3 π + cos 6 16 5 π + cos 6 16 7 π g) G 1 = sin18 o .cos18 o ; G 2 = sin36 o .cos36 o h) H = cos 7 2 π + cos 7 4 π + cos 7 6 π i) I = cos 5 π + cos 5 2 π + cos 5 3 π + cos 5 4 π k) K = cos 5 π - cos 5 2 π f 4. Với a ≠ k π (k ∈ Z) chứng minh: a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = a sin . 32 a32sin b) cosa.cos2a.cos4a cos2 n a = a sin 2 a2sin 1n 1n + + 5. Tính: A = cos20 o .cos40 o .cos60 o . 6. Tính: A = sin6 o .sin42 o .sin66 o .sin78 o . 7. Tính: A = cos 7 π . cos 7 4 π . cos 7 5 π . 8. Tính: cos 65 π . cos 65 2 π . cos 65 4 π . cos 65 8 π . cos 65 16 π . cos 65 32 π . 9.Tính: sin 18 π . sin 18 3 π . sin 18 5 π . sin 18 7 π . sin 18 9 π . 10. Tính: cos 15 π . cos 15 2 π . cos 15 3 π . cos 15 4 π cos 15 7 π . Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 4 11. Tính: sin5 o . sin15 o .sin25 o sin85 o . 12. Tính: 96 3 .sin 48 π .cos 48 π . cos 24 π . cos 12 π . cos 6 π . 13. Tính: 16.sin10 o .sin30 o .sin50 o .sin70 o . 14. Tính: sin10 o .sin20 o .sin30 o sin80 o . 15. Tính: cos9 o . cos27 o . cos45 o . cos63 o . cos81 o . cos99 o . cos117 o . cos135 o . cos153 o . cos171 o . 16. Tính: A = cos 5 π + cos 5 2 π B = cos 5 π + cos 5 3 π 17. Chứng minh rằng : a) 4.cosx.cos( 3 π - x).cos( 3 π + x) = cos3x. b) 4.sinx.sin( 3 π - x).sin( 3 π + x) = sin3x. c) tgx.tg( 3 π - x).tg( 3 π + x) = tg3x. Áp dụng tính: A = sin20 o .sin40 o .sin80 o . B = cos10 o .cos20 o .cos30 o cos80 o . C = tg20 o .tg40 o .tg60 o .tg80 o . 18. Chứng minh rằng : a) sin 6 x + cos 6 x = 8 5 + 8 3 cos4x b) tgx = x 2 sin x2cos1 − Áp dụng tính: A = sin 6 ( 24 π ) + cos 6 ( 24 π ) B = tg 2 ( 12 π ) + tg 2 (3. 12 π ) + tg 2 (5. 12 π ) 19. Chứng minh rằng: a) sin 4 x = x4cos 8 1 x2cos 2 1 8 3 +− b) sin 8 x + cos 8 x = 35 7 1 cos4x cos8x 64 16 16 + + Áp dụng tính: A = sin 8 ( 24 π ) + cos 8 ( 24 π ) B = sin 4 ( 16 π ) + sin 4 (3. 16 π ) + sin 4 (5. 16 π ) + sin 4 (7. 16 π ) 20. Chứng minh rằng: tg 2 x + tg 2 ( x 3 − π ) + tg 2 ( x 3 + π ) = 9tg còn thiếu 21. Tính: cos( 7 2 π ) + cos( 7 4 π ) + cos( 7 6 π ) 22. Tính cos( 5 π ) + cos( 5 2 π ) + cos( 5 3 π ) + cos( 5 4 π ) 23. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tga.tgb. 24. Chứng minh rằng: 00 00 75 cos 75 sin 75cos75sin + − = 3 1 Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức - LT Tel: 016.55.25.25.99 Số 8/462 đờng Bởi, Ba Đình, HN ĐT:04.62.92.0398 5 DNG 2. CC BI TON TRONG TAM GIC. I. CC KIN THC C BN. + A + B + C = + ba < c < a + b + a 2 = b 2 + c 2 - 2a.b.cosC + R2 C sin c B sin b A sin a === + S = .r)ap(pr R 4 abc Csin.ab 2 1 h.a 2 1 aa ==== )cp)(bp)(ap(p Trong ủú: p = 2 cba + + r: bỏn kớnh ủng trũn ni tip r a : bỏn kớnh ủng trũn ngoi tip gúc A. + nh lý hm tang: ( ) 2 2 A B tg a b A B a b tg = + + . ( ) 2 ( ) 2 B C tg b c B C b c tg = + + ( ) 2 ( ) 2 A C tg a c A C a c tg = + + + Cỏc cụng thc tớnh bỏn kớnh: R = C sin 2 c B sin 2 b A sin 2 a == r = (p - a)tg 2 A = (p - b)tg 2 B = (p - c)tg 2 C = A 2 C 2 B 2 cos sin.sina = B 2 C 2 A 2 cos sin.sinb = C 2 A 2 B 2 cos sin.sinc r a = p.tg 2 A = p.tg 2 B = p.tg 2 C . Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 6 = A B C a 2 2 cos 2 cos.cos = B 2 C 2 A 2 cos cos.cosb = C 2 A 2 B 2 cos cos.cosc + ðường trung tuyến : m a 2 = 4 a 2 cb 222 − + m b 2 = 4 b 2 ca 222 − + m c 2 = 4 c 2 ab 222 − + + ðường phân giác: l a = c b 2 A cos.bc2 + l b = c a 2 B cos.ac2 + l a = b a 2 C cos.ab2 + + Mở rộng ñịnh lí hàm sin và cosin: CotgA = s 4 acb 222 −+ CotgB = s 4 bca 222 −+ CotgC = s 4 cba 222 −+ II. CÁC ðẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC. 1. sinA + sinB + sinC = 4cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC. 3. sin3A + sin3B + sin3C = -4cos 2 A3 . cos 2 B3 . cos 2 C3 . 4. sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C. 5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin 2 A .sin 2 B .sin 2 C . 6. cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC. Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dỡng kiến thức - LT Tel: 016.55.25.25.99 Số 8/462 đờng Bởi, Ba Đình, HN ĐT:04.62.92.0398 7 7. cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin 2 A3 . sin 2 B3 . sin 2 C3 . 8. cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C. 9. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC. 10. tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C. 11. cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 12. tg 2 A . tg 2 B + tg 2 B . tg 2 C + tg 2 C . tg 2 A = 1 13. cotg 2 A + cotg 2 B + cotg 2 C = cotg 2 A .cotg 2 B . cotg 2 C . 14. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC. 15. cos 2 2A + cos 2 2B + cos 2 2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16. 2 a m + 2 b m + 2 c m = 4 3 (a 2 + b 2 + c 2 ). 17. la = c b 2 A cos.bc2 + = bc 2 )ap.(p.c.b . 18. r = 2 A cos 2 C sin 2 B sina . 19. p = r A B C 4.tg .tg .tg 2 2 2 . 20. r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . 21. sin 2 A = ( )( ) p b p c bc 22. cos 2 A = c.b )ap.(p . 23. tg 2 A = )ap(p )cp)(bp( . 24. ( a 1 + b 1 )l c + ( a 1 + c 1 )l b + ( c 1 + b 1 )l a = 2(cos 2 A + cos 2 B + +cos 2 C ). III. CC BI TON V NG THC TRONG TAM GIC. 1. Ch ng minh r ng di n tớch tam giỏc cú th tớnh theo cỏc cụng th c sau: S = )BAsin(.2 Bsin.Asin).ba( 22 = 4 1 (a 2 sin2B + b 2 sin2A) = = p 2 .tg 2 A . tg 2 B .tg 2 C = 2R 2 .sinA.sinB.sinC. Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 8 2. Ch ứ ng minh các ñẳ ng th ứ c sau: a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cotg 2 A +(c - a)cotg 2 B + (a - b)cotg 2 C = 0. c) (b 2 - c 2 )cotgA + (c 2 - a 2 )cotgB + (a 2 - b 2 )cotgC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (c + b)cosA. e) sin 2 CB − = a cb − cos 2 A . f) cos 2 CB − = a cb + sin 2 A . g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C). h) cosA + cosB = 2 c ba + sin 2 2 C . i) r 1 = a h 1 + b h 1 + c h 1 . 3. Tam giác ABC có 2a = b + c ch ứ ng minh r ằ ng: a) 2sinA = sinB + sinC. b) tg 2 B . tg 2 C = 3 1 . 4. G ọ i I là tâm ñườ ng tròn n ộ i ti ế p tam giác ABC. R, r là bán kính ñườ ng tròn ngo ạ i ti ế p, n ộ i ti ế p c ủ a tam giác. Ch ứ ng minh r ằ ng: a) r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . b) IA.IB.IC = 4Rr 2 . c) cosA + cosB + cosC = 1 + R r 5. Các c ạ nh a, b, c theo th ứ t ự l ậ p thành c ấ p s ố c ộ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng công sai c ủ a c ấ p s ố c ộ ng ñ ó ñượ c xác ñị nh theo công th ứ c sau: d = 2 3 r(tg 2 C - tg 2 A ) 6 . Tam giác ABC có hai ñườ ng trung tuy ế n BM và CN vuông góc. Ch ứ ng minh r ằ ng: b 2 + c 2 = 5a 2 . 7. Ch ứ ng minh r ằ ng: a l 2 A cos + b l 2 B cos c l 2 C cos = a 1 + b 1 + c 1 . 8. Ch ứ ng minh r ằ ng các trung tuy ế n AA' và BB' vuông góc v ớ i nhau khi: cotgC = 2(cotgA + cotgB). 9 . Cho b c = c b m m ≠ 1 ch ứ ng minh r ằ ng : 2cotgA = cotgB + cotgC. 10 . Cho tam giác ABC và AM là trung tuy ế n. g ọ i α = AMB . Ch ứ ng minh r ằ ng: a) cotgα = s 4 cb 22 − . b) 2cotgα = cotgC - cotgB. Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 9 c) 2cotg α = C B CB sin sin )sin( − 11. Ch ứ ng minh r ằ ng b c là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: (1 + x 2 -2xcosA)(b 2 - bc) = a 2 (1 - x). 12. Tam giác có 3 c ạ nh l ầ n l ượ t là: (x 2 +2); (x 2 - 2x +2); (x 2 + 2x + 2). V ớ i giá tr ị nào c ủ a x(d ươ ng) thì tam giác ñ ó t ồ n t ạ i. 13 . Cho m a = c. Ch ứ ng minh r ằ ng: a) bcosC = 3cosB. b) tgB = 3tgC. c) sinA = 2sin(B - C). 14. G ọ i H là tr ự c tâm tam giác ABC. H chia ñườ ng cao xu ấ t ph ấ t t ừ A theo t ỉ s ố k cho tr ướ c. Ch ứ ng minh r ằ ng : a) tgB.tgC = 1 + k. b) tgB + tgC = ktgA c) cos(B - C) = ( 1 + k 2 )cosA. 15. Cho tam giác ABC có các c ạ nh a, b, c theo th ứ t ự l ậ p thành c ấ p s ố c ộ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng : cotg 2 A cotg 2 C = 3. 16. Tam giác ABC th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n: tgA.tgB = 6; tgC tgA =3. Ch ứ ng t ỏ r ằ ng: tgA, tgB, tgC theo th ứ t ự ñ ó l ậ p 1 c ấ p s ố c ộ ng. 17. Tam giác ABC có cotg 2 A , cotg 2 B , cotg 2 C theo th ứ t ự l ậ p m ộ t c ấ p s ố c ộ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng : a, b, c theo th ứ t ự c ũ ng l ậ p m ộ t c ấ p s ố c ộ ng. 18 . Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo th ứ t ự l ậ p m ộ t c ấ p s ố c ộ ng. Ch ứ ng minh r ằ ng a 2 , b 2 , c 2 theo th ứ t ự ñ ó c ũ ng l ậ p m ộ t c ấ p s ố c ộ ng. 19. Cho tam giác ABC th ỏ a mãn: 2tgA = tgB + tgC. Ch ứ ng minh r ằ ng : a) tgB.tgC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA. 20. ð H M Ỏ - 01 Ch ứ ng minh r ằ ng không t ồ n t ạ i tam giác mà c ả 3 góc trong c ủ a nó ñề u là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: 0)6x2sin 2 1 xsin7)(1xcos4( 2 =−−− 21 . Ch ứ ng minh n ế u trong tam giác ABC có: sin 2 A = sin 2 B .sin 2 C thì tg 2 B . tg 2 C = 2 1 và ng ượ c l ạ i. 22. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u a + b = 2c thì a 2 = bc + c 2 Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 10 23 Trong tam giác ABC có ñườ ng cao CE c ắ t ñườ ng cao AD t ạ i trung ñ i ể m H c ủ a AD. Ch ứ ng minh r ằ ng tgB.tgC = 2. 24 . Cho tam giác ABC vuông t ạ i A c ạ nh huy ề n có ñộ dài b ằ ng a. Ch ứ ng minh r ằ ng: sin 2 B .sin 2 C = l b . 2 c a 4 l 25. Cho tam giác vuông ABC t ạ i A. G ọ i I là góc gi ữ a ñườ ng cao và ñườ ng trung tuy ế n ứ ng v ớ i c ạ nh huy ề n. Ch ứ ng minh r ằ ng: tg 2 I = tg 2 CB − 26. Cho tam giác ABC có trung tuy ế n AM = BA ch ứ ng minh r ằ ng: tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C) IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN. A. Chứng minh rằng tam giác cân khi: 1. atgA + btgB = (a+b)tg 2 BA + 2. 2tgB + tgc = tg 2 B.tgC. 3. )tgBtgA( 2 1 B cos A cos BsinAsin += + + 4. )BgcotAg(cot 2 1 B sin A sin BcosAcos 22 22 22 += + + 5. C sin Bsin.Asin2 2 C gcot = 6. sin 2 A cos. 2 B sin 2 B cos. 2 A 33 = 7. (p - b)cotg 2 B tg.p 2 C = 8. 22 ca4 ca2 Bsin Bcos1 − + = + 9 . a 2 sin2B +b 2 sin2A=c 2 cotg 2 C 10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0 11 . sin 2 A cos. 2 B sin 2 B cos. 2 A 33 = 12. ð HSP B Ắ C NINH -B -99 a = 2b.cosC. Ch ứ ng minh ∆ ABC cân t ạ i A. B.Tam giác ABC có ñặc ñiểm gì nếu : [...]... minh tam giác ABC là tam giác ñ u 26 (CðSP B c Ninh - 99) Ch ng minh n u tam giác ABC th a mãn ñi u ki n: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC ñ u 27 ðHSPHN - A - 01 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C th a mãn: 1 sin 2 2A + 1 sin 2 2B + 1 sin 2 2C = 1 2 cos A cos B cos C Ch ng minh r ng tam giác ABC là tam giác ñ u 28 ðHSPHN - B - 01 Tính các góc c a tam giác ABC n u các góc A, B, C c a tam giác ñó... 99) Ch ng minh ñ tam giác ñ u, ñi u ki n c n và ñ là: p + R = (2 + 3 3 ).r 21 (ðH Th y L i - 99) Cho tam giác ABC th a mãn: 2cosA.sinB.sinC + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17 4 H i tam giác ABC là tam giác gì? Ch ng minh 22 (ðHNT - 99) Các góc c a tam giác ABC th a mãn: cotgA + cotgB + cotgC = tg A B C + tg + tg 2 2 2 Ch ng minh tam giác ABC ñ u 23 (HVKKTMM - 99) Ch ng minh r ng n u tam giác ABC có 3 góc th... minh r ng n u tam giác ABC có 3 góc th a mãn ñi u ki n: sinA + sinB + sinC =sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC là tam giác ñ u 24 (S Quan - 99) Ch ng minh r ng n u tam giác ABC th a mãn ñi u ki n: 1 a 3 − b3 − c3 = a 3 và cosB.cosC = thì tam giác ñó là tam giác ñ u 4 a−b−c 25 (ðHAN - 99) Tam giác nh n ABC có các góc th a mãn: Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN 17 §T:04.62.92.0398 Gi¸o dôc TrÇn §¹i... giác ABC có các góc th a mãn: cotg A B C + cotg cotg = 9 2 2 2 Ch ng minh tam gi c ABC là tam giác ñ u Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN 16 §T:04.62.92.0398 Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 19 (ðH Dư c - 99) Cho tam giác ABC th a mãn: a cos A + b cos B + c cos C 1 = a+b+c 2 (A, B, C là các góc c a tam giác a = BC, b = CA, c = AB) Ch ng minh tam giác ABC là tam giác. .. (cos2B + cos2C) + = 0 2 29 ðHSP VINH - D - 01 Cho tam giác ABC th a mãn: sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB Ch ng minh r ng tam giác ABC vuông 30 ðHBK - A - 01 Cho tam giác ABC n i ti p trong ñư ng tròn bán kính b ng 1 G i ma, mb, mc l n lư t là ñ dài các ñư ng trung tuy n k t các ñ nh A, B, C c a tam giác ABC Ch ng minh r ng tam giác ABC là tam giác ñ u khi và ch khi: sin A sin B sin C + + = 3 ma mb... = (C2 - B2)sin(B - C) ( b − c) 2 1 − cos(B − C) 3 = 2 2 1 − cos 2B b 4 sin(B - C)= b2 − c2 a2 V NH N D NG TAM GIÁC VUÔNG A Ch ng minh ñi u ki n c n và ñ ñ tam giác vuông là: 1 cos2a + cos2B + cos2C = -1 2 tg2A + tg2B + tg2C = 0 3 sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC B Ch ng minh tam giác vuông khi: 1 b c a + = cos B cos C sin B.sin C 2 cotg B a+c = 2 b 3 1 a + cot gA = (c ≠ b ) sin A c−b 4 1... ñ nh A, B, C c a tam giác ABC Ch ng minh r ng tam giác ABC là tam giác ñ u khi và ch khi: sin A sin B sin C + + = 3 ma mb mc 31 (ðHBK - 99) Cho A, B, C là 3 góc nh n c a m t tam giác Ch ng minh r ng ñi u ki n c n và ñ ñ tam giác ABC ñ u là có h th c 1 1 1 + + − (cot gA + cot gB + cot gC ) = 3 sin A sin B sin C 18 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN §T:04.62.92.0398 ... C 1 1 + cos B cos C 14 1 + cotg(450 - B) = 2 1 − cot gA 15 sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B) 16 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17 (ðHCð - 99) cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 C Tam giác ABC có ñ c ñi m gì khi th a mãn các ñi u ki n sau 1 sin3A + sin3B + sin3C = 0 2 sin4A + sin4B + sin4C = 0 3 sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB 4 a3 = b3 + c3 5 c = ccos2B + bsin2B... sin2B + sin2C ≤ 2 Sè 8/462 ®−êng B−ëi, Ba §×nh, HN 12 §T:04.62.92.0398 Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99 10 cos A + cos B + cos C ≤ 1 2 2 2 VI B T ð NG TH C TRONG TAM GIÁC A CÁC KI N TH C CƠ B N a Hàm l i lõm + Tính ch t hàm l i: + tính ch t hàm lõm: f ( x1 ) + f ( x 2 ) x+y ≤ f( ) ∀x, y ∈ R 2 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) x+y ≥ f( ) 2 2 ng d ng 1: Xét hàm s y = sinx có y"