Góc cung và công thức lượng giác

http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 1 I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho ( , )   OA OM . Giả sử ( ; ) M x y .   cos sin sin tan cos 2 cos cot sin                               x OH y OK AT k BS k Nhận xét:  , 1 cos 1; 1 sin 1            tan xác định khi , 2       k k Z  cot xác định khi ,     k k Z  sin( 2 ) sin      k  tan( ) tan      k cos( 2 ) cos      k cot( ) cot      k 2. Dấu của các giá trị lượng giác 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 6  4  3  2  2 3  3 4   3 2  2  0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2  2 2  –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3  –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3  –1 0 CHƯƠNG VI: GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG TH ỨC L Ư ỢNG GIÁC Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – cosin O cotang sin tang H A M K B S   T http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 2 4. Hệ thức cơ bản: 2 2 sin cos 1     ; tan .cot 1    ; 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin         5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt “Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém  tan, cot” II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi sin 2 2sin .cos     2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin            2 2 2 tan cot 1 tan 2 ; cot 2 1 tan 2cot           sin( ) sin .cos sin .cos    a b a b b a sin( ) sin .cos sin .cos    a b a b b a cos( ) cos .cos sin .sin    a b a b a b cos( ) cos .cos sin .sin    a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan     a b a b a b tan tan tan( ) 1 tan .tan     a b a b a b Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan                             Góc hơn kém  Góc hơn kém 2  sin( ) sin       sin cos 2            cos( ) cos       cos sin 2             tan( ) tan      tan cot 2             cot( ) cot      cot tan 2             Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos     sin( ) sin      sin cos 2            sin( ) sin      cos( ) cos       cos sin 2            tan( ) tan      tan( ) tan       tan cot 2            cot( ) cot      cot( ) cot       cot tan 2            http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 3 3. Công thức biến đổi tổng thành tích 4. Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos 2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos 2 tan 1 cos2               3 3 3 2 sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan 3 1 3tan                  cos cos 2cos .cos 2 2     a b a b a b cos cos 2sin .sin 2 2      a b a b a b sin sin 2sin .cos 2 2     a b a b a b sin sin 2cos .sin 2 2     a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos    a b a b a b sin( ) tan tan cos .cos    a b a b a b sin( ) cot cot sin .sin    a b a b a b sin( ) cot cot sin .sin    b a a b a b sin cos 2.sin 2.cos 4 4                        sin cos 2 sin 2 cos 4 4                         1 cos .cos [cos( ) cos( )] 2     a b a b a b 1 sin .sin [cos( ) cos( )] 2     a b a b a b 1 sin .cos [sin( ) sin( )] 2     a b a b a b http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 4 I/. GOÙC - CUNG LÖÔÏNG GIAÙC Bài 1: Đổi ra đơn vị radian các góc (cung) có số đo: a/ 15 o b/ 12 o 30’ c/ -200 o Bài 2: Đổi ra đơn vị độ ( phút, giây) các góc (cung) có số đo: 5 3 / / / 6 7 5    a b c Bài 3: Tìm điểm ngọn của các cung sau:    2 / / . / 3 2 3 3            k a AM k b AN k c AP II/. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC Bài 1: Cho sin 0,8 < < . ính cos ,tan ,cot . 2               T Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0   180 < < 270 o o a .Tính sina , tana, cota. Bài 3: Cho o tan15 2 3. ính sin15 ,cos15 ,cot15 .   o o o T Bài 4: Tính tan cot tan cot    x x A x x biết 1 sinx = . 3 Bài 5: Tính 2sin 3cos 3sin 2cos    x x B x x biết tanx = -2 Bài 6: Tính 2 2 2 sin 3sin cos 2cos 1 4sin     x x x x C x biết cotx = -3 Bài 7: Đơn giản biểu thức:     2 2 2 2 2cos 1 ; sin 1 cot cos 1 tan sin cos sin tan cos .tan sin .cot ; cot .cos tan sin             x A C x x x x x x x x x x B x x D x x x x Bài 8: Chứng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2 a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1- 3sin xcos x 2 2 2 2 2 2 c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 9: Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = sin x.cos x 1-sin x 1+sinx cosx sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sin x 1+cosx g/     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:                 6 6 4 4 4 2 4 2 2 4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4 6 6 4 2 4 2 4 4 A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3 C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 si n x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x+ cos x+4sin x; F= ; sin x+cos x-1 4 4 6 6 4 sin x+3cos x-1 G= sin x+cos x+3cos x-1 http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 5 2 2 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sin x 1-cos x ;( 0; ) 2         x III/. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CAÙC CUNG ÑAËC BIEÄT Loại 1: Tính Giá trị lượng giác của 1 cung(góc) *Biết số đo của cung(góc): Bài 1: Tính GTLG của các cung(góc): 150 o , 240 o ,315 o ,3180 o , -300 o , -1380 o Bài 2: Tính GTLG của các cung (góc): 29 16 1988 115 159 11 , , , , , 6 3 3 6 4          * Biết 1 HSLG khác: Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với 3 2 2           x a/ Tính cosx ; b/ Tính     sin ,cos , tan ,cot 3 2 2                     x x x x Bài 2: Cho   3 tan 1 2, < < 2 2             x x a/ Tính tanx , cotx , sinx , cosx. b/ Tính   5 7 cot ,tan ,sin 3 ,cos 2 2 2                           x x x x Loại 2: Tính Giá trị biểu thức lượng giác Bài 1: Tính cos0 cos 20 cos40 cos160 cos180 cos105 .cos75 sin105 .sin 75 tan10 .tan 20 .tan30 tan 70 .tan80          o o o o o o o o o o o o o o A B C Bài 2: Tính:         sin825 .cos 15 cos75 .sin 195 tan155 .tan 245 sin190 4sin 530 cos 280 tan170 .cos 10 cot585 2cos1440 2sin1125               o o o o o o o o o o o o o o A B C Bài 3: Tính:     sin 234 cos216 cot 44 tan 226 cos 406 .tan 36 tan18 .tan 72 sin144 cos126 cos316        o o o o o o o o o o o A B Bài 4: Tính:             2cos sin tan 2 2 2cos cot sin 2 3 3 sin tan sin 2 2 2 2 cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2                                                                                                  A cot B Loại 3 : Đơn giản biểu thức lượng giác Bài 1: Đơn giản biểu thức: http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 6           9 5 sin 13 cos cot 12 tan 2 2 7 3 3 cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7 sin 7 cos cot 3 tan 2 tan 2 2 2                                                                                                    A B C Bài 2: Đơn giản biểu thức:                   sin sin 2 sin 3 sin 100 cos 1710 2sin 2250 cos 900 2sin 720 cos 540                        o o o o o A a a a a B x x x x x Bài 3: Đơn giản biểu thức:         19 tan .cos 36 .sin 5 2sin 2550 cos 188 1 2 9 tan368 2cos638 cos98 sin .cos 99 2                            o o o o o x x x A B x x Loại 4 : Chứng minh đẳng thức lượng giác Đẳng thức lượng giác trong tam giác. Bài 1: Chứng minh:             2 2 / sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0 85 3 /sin cos 207 sin 33 sin 1 2 2                              o o o o o o a b x x x x Bài 2: Cho tam giác ABC.Chứng minh: / sin( ) sin ; / cos cos( ) 0; / sin cos ; 2 2 3 / cos cos( 2 ) 0; /sin cos 0 2                A B C a A B A b A B C c A B C d C A B C e A IV/. COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC A .Công thức cộng: Loại 1: Tính Giá trị lượng giác của 1 cung( góc) Bài 1: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 o o o o o Bài 2: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299 , , , , 12 12 12 12 12      Bài 3: Tính cos 3         x biết 12 3 sin , ( < < 2 ) 13 2    x x Bài 4: Cho 2 góc nhọn ,   có 1 1 tan ,tan 2 3     . a/ Tính   tan    b/ Tính    Bài 5: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : 4 tan .tan 3 2 2           x y x y a/ Tính   tan ;tan tan   x y x y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. Bài 6: Tính tan 4         x biết 40 sin 41  x và 3 < < 2   x http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 7 Bài 7: Tính tan 4          theo tan  . Áp dụng: Tính tg15 o Loại 2 : Tính Giá trị biểu thức lượng giác Bài 1: Tính: tan 25 tan 20 1 tan15 sin 20 cos10 sin10 cos20 1 tan 25 .tan 20 1 tan15 3 tan 225 cot81 .cot 69 sin15 3 cos15 sin15 cos15 3 cot 261 tan 201                o o o o o o o o o o o o o o o o o o o A B C D E F Bài 2: Tính: 3 / cos cos cos cos 3 4 6 4 2 2 / tan .tan tan tan tan tan 3 3 3 3                                                                      a A x x x x b B x x x x x x Bài 3: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos sin sin sin 3 3 3 3                                       A x x x B x x x Loại 3: Rút gọn biểu thức Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:                               2 cos sin .sin sin sin sin 2cos sin ; ; cos sin .sin sin sin 2cos cos cos sin 45 cos 45 2sin ; ; cos( )cos( ) sin cos cos sin 45 cos 45                                   o o o o a b a b a b a b a b a b A B C a b a b a b a b a b a b x x a b D E tgb F x y x y x a b a b x x Loại 4 : Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh:                                               a/sinx + cosx = 2sin x + = 2cos x - 4 4 b/sinx - cosx = 2sin x - = - 2cos x + 4 4 1+ tanx 1 - tanx c/ = tan + x ; d/ = tan - x ; 1 - tanx 4 1+ tanx 4 cota.cotb - 1 cota.cotb+ 1 e/cot a + b = f/cot a - b = cotb+ cota cotb -co ta Bài 2: Chứng minh:             2 2 2 2 2 2 2 2 / cos .cos cos sin cos sin /sin .sin sin sin cos cos / sin .cos sin cos sin cos /sin sin 2 sin 4 4                                   a a b a b a b b a b a b a b a b b a c a b a b a a b b d a a a Bài 3: Chứng minh: http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 8                       2 2 2 / cos .sin cos .sin cos .sin 0 /sin sin 2sin sin cos sin / tan tan tan tan .tan .tan / tan 2 .tan 30 tan 2 .tan 60 tan 60 .tan 30 1                        o o o o a a b c b c a c a b b a b b a b b a a c a b a b a b a b d a a a a a a Bài 4: Chứng minh:               tan tan tan tan / 2tan .tan tan tan tan tan cos 1 tan .tan / tan tan cos 1 tan .tan tan tan tan tan .tan .tan / tan 1 tan .tan tan .tan tan .tan                           a b a b a a b a b a b a b b a b a b b a b b a b a b a b c a b c c a b c a b b c c a Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A 3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A 4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 6/ tan tan tan tan 2 2 2              B C B C B C B C A B B tan tan 1 2 2 2 A B C A B C 7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1      C C A B .Công thức nhân đôi: Loại 1: Tính giá trị lượng giác của 1 cung (góc) Bài 1: Cho 3 sin 5  x với < < 2   x .Tính sin2x, cos2x. Bài 2: Cho 6 2 cos 4  x và 0 < < 2  x .Tính cos2x rồi suy ra x Bài 3: Cho tan 2 3  x và 0 < < 2  x .Tính sin2x, cos2x, tan2x rồi suy ra x. Bài 4: Cho sin cos 2  x x .Tính sin2x, cos2x. Bài 5: Tính GTLG của cung 8  , 12  , 5  . Bài 6: Cho 4 sin 5   x và 3 < < 2 2   x .Tính sin ,cos 2 2 x x Bài 7: Cho 1 sin cos 5   x x . Tính tan 2 x Bài 8: Cho cosx = 0,8 với 0 < < 2  x . Tính tan 2 x http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 9 Bài 9: Cho 24 7 tgx với 3 < < 2   x .Tính tan 2 x Loại 2: Tính giá trị của biểu thức lượng giác Bài 1: Tính cos36 .cos72 ; cos 20 .cos 40 .cos60 .cos80 4 5 sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78 ; cos .cos .cos . 7 7 7        o o o o o o o o o o A B C D 2 2 2 2 2 tan15 1 3 sin .cos .cos ; ; 8 8 4 1 tan 15 sin10 cos10 1 cos36 sin18 ; 4sin 70 sin10 5 tan tan ; tan 36 .tan 72 12 12                  o o o o o o o o o o E F G H I J K Bài 2: Tính theo cos2x các biểu thức: 2 2 2 2 4 4 2 2 1 sin 1 tan sin .cos ; sin cos ; ; cos 1 tan         x x A x x B x x C D x x Bài 3: Tính theo tan 2  x t các biểu thức: sin 1 tan tan sin ; ; tan cot ; 3 2cos 1 tan sin           x x x x A B C x x D x cotx x x Loại 3: Đơn giản biểu thức lượng giác Bài 1: Đơn giản biểu thức: 4 4 sin 2 cos 2 cot tan sin .cos .cos 2 ; sin cos ; ; sin cos cos2        x x x x A x x x B x x C D x x x Bài 2: Rút gọn 2 4 2 2 4 3 3 sin 6 2 3 cos 3 3; 5sin 2 4sin 2 .cos 2 cos 2 3cos 4 sin .cos3 cos .sin 3          A x x B x x x x x C a a a a Bài 3: Rút gọn: 2 2 2 2 sin 4 cos 2 sin 2 4sin . 1 cos 4 1 cos 2 sin 2 4sin 4        x x x x A B x x x x Loại 4: Chứng minh đẳng thức lượng giác Bài 1: Chứng minh:   3 3 3 3 4 2 1 a/ cos x.sinx - sin x.cosx = sin4x; b/ tan2x - tanx cos2x = tanx ; c/ cotx - 2cot 2x = tanx 4 3 d/ sin3a.cos a + sin a.cos3a = sin4a; e/ cos4x = 8cos 8cos 1 4  x x Bài 2: Chứng minh:     o o o o o o 2 2 2 3 4 1 a/ 8cos10 .cos20 .cos40 = cotg10 ; b/ cos . cos . cos . cos 9 9 9 9 16 c/ cos3x = 4cosx.cos 60 .cos 60 ; / cos 2 sin cos .cos3 / tan tan 2tan 2 ; / cot tan 2tan 2 4 ta 4 4                               x x d x x x x e x x x f x x x n 4 8cot8  x x Bài 3: Chứng minh:    sin2x.cosx x 1 a/ = tan ; b/ cot 2 cot 1+cos2x 1+cosx 2 sin2x   x x http://tranduythai.violet.vn  Biên soạn: Trần Duy Thái 10 2 1 1 2sin 1 cos 2 / tan 2 ; / tan cos2 1 sin 2 sin 2       x x c x d x x x x Bài 4: Chứng minh 2 2 2 2 cos sin 2 2sin / cot ; / tan 1 sin 4 2 sin 2 2sin 2 6 2cos 4 4 / tan cot ; / cot tan 1 cos4 2 2 1 2 tan .cot 2                            x x x x x a b x x x x x x c x x d x x x C .Công thức biến đổi: Loại 1: | BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG Bài 1:     2 / sin .sin / cos5 .cos3 / sin 30 cos 30 5 5     o o a b x x c x x Bài 2:       / 2sin .sin 2 .sin 3 ; /8cos .sin 2 .sin3 / sin .sin .cos 2 ; / 4cos .cos .cos 6 6                    a x x x b x x x c x x x d a b b c c a Loại 2: | BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Bài 1:       / cos 4 cos3 ; / cos3 cos6 ; / sin 5 sin / sin sin ; / tan tan ; / tan 2 tan          a x x b x x c x x d a b a b e a b a f a a Bài 2: 2 2 2 2 2 2 / sin cos ; / sin 2 cos ; / sin sin ; / cos cos ; / t an tan      a a b b x x c x y d x y e x y Bài 3: 2 2 2 / 3 4cos / 1 4sin / 3 4sin    a x b x c x Bài 4: / 1 sin ; / 1 cos ; / 1 2cos ; / 2 2cos ; / 2 sin 1; / 3 2sin 2       a x b x c x d x e x f x Bài 5: / 1 cos sin ; / 1 cos sin ; / sin sin 2 sin3 sin 4 / cos cos2 cos3 cos 4 ; / 1 sin cos ; / sin sin3 si n5 sin 7                a x x b x x c x x x x d x x x x e x x f a a a a Bài 6:       sin a + b a/ sin a + b + c - sina - sinb - sinc; b/ cos a + b + c + cosa + cosb + cosc; c/ sina + sinb sina - sinb sina + sin3a + sin5a sina + sin4a + sin7a d/ ; e/ ; f/ tana - tanb cosa + cos3a + cos5a cosa + cos4a + cos7a Bài 7: 2 2 2 cos cos cos 2cos .cos .cos 1      A a b c a b c Loại 3: | TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: 5 11 5 cos75 cos15 ; sin sin ; sin cos ; tan 9 tan 27 tan 63 tan81 12 12 12 12            o o o o o o A B C D Bài 2: 2 4 6 2 3 2 A cos cos cos B cos cos cos C cos cos 7 7 7 7 7 7 5 5 p p p p p p p p         Bài 3: cos10 .cos30 .cos50 .cos70 .  o o o o C Loại 4: |ĐƠN GIẢN MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: 4sin .sin .sin ; 4cos .cos .cos 3 3 3 3 3 3                                   x x x x x x A B 2 4 6 8 cos cos cos cos cos 5 5 5 5                                      C x x x x x [...]... 3 x  AD :Tính A= sin20o sin 40o sin 80o  3  3      d / tan x.tan   x  tan   x   tan 3 x  AD :Tính A= tan20o tan 40o tan 80o  3  3  Loại 6: |HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài 1: Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2 2 2 A B C 10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC... sin 4 x  4sin 3 x  6sin 2 x  4sin x 1 3  cos x  sin x cos 2 a  cos 2 b sin 2 x  2 sin x Bài 3: A  2 B 2 C D 1 sin( a  b) 3 sin 2 x  2 sin x  cos x  sin x 2 2 Loại 5: |CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: Chứng minh 1 3 3 a / sin10o.sin 50o.sin 70o  b / cos10 o.cos 50o.cos 70o  c / tan10o.tan 50o.tan 70 o  8 8 3 3 1 d / sin 20 o.sin 40o.sin 80o  e / cos 20o.cos 40o.cos 80o  f / tan