CHỦ ĐỀ GÓC, CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (Có đáp án)

CHỦ ĐỀ GÓC, CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I.. Giá trị lượng giác của góc cung lượng giác 1.. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cung góc liên quan 1.. Xét dấu của c

I CHỦ ĐỀ GÓC, CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

Cho (OA OM, )  Giả sử M x y( ; )

x OH

y OK

cos sin

sin tan

cos cot

sin











 

 

Nhận xét:

  , 1 cos �  � 1; 1 sin  �  � 1

 tan xác định khi k k Z,

2



 �   �  cot xác định khi  �k k Z, �

 sin(k2 ) sin    tan( k) tan  

cos( k2 ) cos   cot( k) cot  

2 Dấu của các giá trị lượng giác

Phần tư

Giá trị lượng giác cung góc liên quan

1 Hai cung đối nhau:

cos(-a) = cosa

sin(-a) = -sina

tan(-a) = -tana

cot(-a) = -cota

2 Hai cung bù nhau

sin(-a) = sina

cos(-a) = -cosa

tan(-a) = -tana

cot(-a) = -cota

3 Hai cung phụ nhau cos(

2



-a) = sina sin(

2



-a) = cosa tan(

2



-a) = cota cot(

2



-a) = tana

4 Cung hơn hoặc kém 

tan(a+) = tana

cot(a+) = cota

cos(a+) =- cosa

sin(a+) = -sina

Phương trình có một công thức nghiệm

sina= 0  a =k , k Z

sina= 1  a= 2

2 k , k Z sina= -1  a =  2

2 k

 , k Z

cosa= 0  a=  k

2 , k Z cosa= 1  a= k2 , k Z cosa=-1  a= k2 , k Z

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG

1 Công thức cơ bản 2 Công thức nhân đôi 3 Công thức thành tích

cosin O

cotang

M K



T

sin2a + cos2a = 1

a

a

a

cos

sin

a

a a

sin

cos cot 

a

2

2 1 tan

cos

1





a

2

2 1 cot

sin

1





sin2a = 2 sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2 cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a suy ra cos2a = 1 os2

2



sin2a =1 os2

2



cosa + cosb = 2 cos

2

b

a 

cos

2

b

a 

cosa - cosb = - 2 sin

2

b

a 

sin

2

b

a 

sina + sinb = 2 sin

2

b

a 

cos

2

b

a 

sina - sinb = 2 cos

2

b

a 

sin

2

b

a 

sina.cosb �cosa.sinb = sin(a�b)

cosa.cosb �cosa.cosb = cos(amb)

suy ra sina�cosa = 2sin(a�

4



) cosa�sina = 2cos(am

4



)

cosa.cosb = 1

2[cos(a-b)+cos(a+b)] sina.sinb = 1

2[cos(a-b)-cos(a+b)] sina.cosb =1

2[sin(a-b)+sin(a+b)]

sin3a = 3 sina – 4 sin3a

cos3a = 4 cos3a - 3 cosa 1

sin2x = (sinx cosx)2 cos2x = (cosx+sinx) (cosx-sinx)

DẠNG 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.

Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin50 cos( 300 )0  0 b) B = sin215 tan0 21

7



c) C = cot3 .sin 2

 ��  ��

Bài 2 Cho 0 0   90 0 Xét dấu của các biểu thức sau:

Bài 3 Cho 0

2





  Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(  ) b) B = tan(  )

sin

5





3 cos

8





Bài 4 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinAsinBsinC b) B = sin sin sinA B C

cos cos cos

DẠNG 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.

I Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại

1 Cho biết sin, tính cos, tan, cot

 Từ sin 2 cos 2  1 cos  � 1 sin  2 .

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos  1 sin  2 .

– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos    1 sin 2 .

 Tính sin

tan

cos







cot

tan





2 Cho biết cos, tính sin, tan, cot

 Từ sin 2 cos 2  1 sin  � 1 cos  2 .

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin  1 cos  2 .

– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin    1 cos 2 .

 Tính sin

tan

cos







cot

tan





3 Cho biết tan, tính sin, cos, cot

 Tính 1

cot

tan





2

1 cos

1 tan





 �

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì

2

1 cos

1 tan







– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì

2

1 cos

1 tan





 

 Tính sin tan cos  .

4 Cho biết cot, tính sin, cos, tan

 Tính 1

tan

cot





2

1 sin

1 cot





 �

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì

2

1 sin

1 cot







– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì

2

1 sin

1 cot





 

II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

 Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.

 Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết

III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2B2(A B )22AB

A4B4(A2B2 2) 2A B2 2

A3B3(A B A )( 2AB B 2) A3B3(A B A )( 2AB B 2)

IV Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

 Đặt tsin , 02x � �t 1 cos 2x t Thế vào giả thiết, tìm được t

Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.

 Thiết lập phương trình bậc hai: t2  St P 0 với S x y P xy  ;  Từ đó tìm x, y.

Bài 1 Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

2 5



c) sina 5, a

13 2

3

e) tana 3, a 3

2





2



2



    

DẠNG 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết

Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).

Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)

2

b) B 2cosx 3cos( x) 5sin 7 x cot 3 x

d) D cos(5 x) sin 3 x tan 3 x cot(3 x)

DẠNG 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C   và A B C



  

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4xcos4x 1 2cos2x

b) sin4xcos4x 1 2cos sin2x 2x

c) sin6xcos6x 1 3sin cos2x 2x

d) sin8xcos8x 1 4sin cos2x 2x2sin cos4x 4x

e) cot2xcos2x cos cot2x 2x

f) tan2xsin2xtan sin2x 2x

g) 1 sin  x cosx tanx  (1 cos )(1 tan )x  x

Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:

tan tan





2 2



2

2



Bài 3.Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

38 25 3 11



(5 12 3) 26

 Bai 4.Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin cos4 4x 3 1cos4x

4 4

8 8

Bai 5.Rút gọn các biểu thức sau:

A



B





D



Bai 6.Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinA sinB sinC 4cos cos cosA B C

c) sin2A sin2B sin2C  4sin sin sinA B C

Bai 7.Tìm các góc của tam giác ABC, biết:

a) B C va� Bsin sinC 1



b) B C 2 va� Bsin cosC 1 3

Đáp án bài tập

Dạng 1:

Bài 1 a)

b)

c)

Bài 2 a)

b)

c)

d)

Bài 3 a)

b)

c)

d)

Bài 4

Do đó:

Mặt khác: ⇒

Do đó:

Dạng 2.

Bài 1 a)

Vì α thuộc góc phần tư IV nên:

⇒

b)

Vì α thuộc góc phần tư IV nên:

⇒

c)

Vì α thuộc góc phần tư II nên:

⇒

d)

Vì α thuộc góc phần tư III nên:

⇒

e)

Vì α thuộc góc phần tư III nên:

⇒

f)

⇒

Vì α thuộc góc phần tư II nên:

⇒

h)

Vì α thuộc góc phần tư III nên:

⇒

Dạng 3

Bài 1.

a)

b)

c)

d)

Dạng 4.

Bài 1 a)

b)

(luôn đúng) c)

d)

e)

f)

g)

Bài 2.

a)

b) Xét

c)

d)

Bài 3 a)

Vì thuộc góc phần tư II nên

⇒ (đáp s trong đ b sai)ố ề ị b)

Vì thuộc góc phần tư IV nên

⇒

Bài 4

a) Đặt

b)

Bài 5.

a)

b)

c)

d)

Bài 6 a)

b)

c)

Bài 7

a) Ta có:

⇒

b) Ta có:

⇒

Mặt khác có (2)

Từ (1) và (2) suy ra