BT he thuc luong giac

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 1 I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho OA OM(, ) α = . Giả sử Mxy(;) . ( ) x OH y OK AT k BS k cos sin sin tan cos 2 cos cot sin α α απ α απ α α α απ α = = = =  = = ≠+   = = ≠ Nhận xét , 1 cos 1; 1 sin 1 αα α ∀ −≤ ≤ −≤ ≤ : • • tanα xác định khi kkZ, 2 π απ ≠+ ∈ • cotα xác định khi kkZ, απ ≠∈ • ksin( 2 ) sin απ α += • ktan( ) tan απ α += kcos( 2 ) cos απ α += kcot( ) cot απ α += 2. Dấu của các giá trị lượng giác 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cos α + – – + sin α + + – – tanα + – + – cotα + – + – cosin O cotang sin tang H A M K B S α T Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 2 4. Hệ thức cơ bản: 22 sin cos 1 αα += ; tan .cot 1 αα = ; 22 22 11 1tan ;1cot cos sin αα αα += += 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng 2. Công thức nhân đôi sin2 2sin .cos α αα = 22 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin α αα α α = − = −=− 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan αα αα α α − = = − sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba+= + sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba−= − cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b+= − cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b−= + tan tan tan( ) 1 tan .tan ab ab ab + += − tan tan tan( ) 1 tan .tan ab ab ab − −= + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan π απ α αα αα   +− += −=   −+   Góc hơn kém π Góc hơn kém 2 π sin( ) sin πα α +=− sin cos 2 π αα  +=   cos( ) cos πα α +=− cos sin 2 π αα  +=−   tan( ) tan πα α += tan cot 2 π αα  +=−   cot( ) cot πα α += cot tan 2 π αα  +=−   Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos αα −= sin( ) sin πα α −= sin cos 2 π αα  −=   sin( ) sin αα −=− cos( ) cos πα α −=− cos sin 2 π αα  −=   tan( ) tan αα −=− tan( ) tan πα α −=− tan cot 2 π αα  −=   cot( ) cot αα −=− cot( ) cot πα α −=− cot tan 2 π αα  −=   Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 3 3. Công thức biến đổi tổng thành tích 4. Công thức biến đổi tích thành tổng VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 α α α α α α α − = + = − = + 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan αα α α αα αα α α = − = − − = − cos cos 2cos .cos 22 ab ab ab +− += cos cos 2sin .sin 22 ab ab ab +− −=− sin sin 2sin .cos 22 ab ab ab +− += sin sin 2cos .sin 22 ab ab ab +− −= sin( ) tan tan cos .cos ab ab ab + += sin( ) tan tan cos .cos ab ab ab − −= sin( ) cot cot sin .sin ab ab ab + += ba ab ab sin( ) cot cot sin .sin − −= sin cos 2.sin 2.cos 44 ππ αα α α   + = += −     sin cos 2 sin 2 cos 44 ππ αα α α   − = −=− +     1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b ab ab a b ab ab a b ab ab  = −+ +   = −− +   = −+ +  Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 4 cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = 00 sin50 .cos( 300 )− b) B = 0 21 sin215 .tan 7 π c) C = 32 cot .sin 53 ππ  −   d) D = c 4 49 os .sin .tan .cot 533 5 ππ π π Bài 2. Cho 00 0 90 α << . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 sin( 90 ) α + b) B = 0 cos( 45 ) α − c) C = 0 cos(270 ) α − d) D = 0 cos(2 90 ) α + Bài 3. Cho 0 2 π α << . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = cos( ) απ + b) B = tan( ) απ − c) C = 2 sin 5 π α  +   d) D = 3 cos 8 π α  −   Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = ABCsin sin sin++ b) B = ABCsin .sin .sin c) C = ABC cos .cos .cos 222 d) D = ABC tan tan tan 222 ++ Bài 5. a) VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin α , tính cos α , tan α , cot α • Từ 22 sin cos 1 αα += ⇒ 2 cos 1 sin αα =±− . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 cos 1 sin αα = − . – Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 cos 1 sin αα =−− . • Tính sin tan cos α α α = ; 1 cot tan α α = . 2. Cho biết cos α , tính sin α , tan α , cot α • Từ 22 sin cos 1 αα += ⇒ 2 sin 1 cos αα =±− . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 sin 1 cos αα = − . – Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 sin 1 cos αα =−− . • Tính sin tan cos α α α = ; 1 cot tan α α = . 3. Cho biết tan α , tính sin α , cos α , cot α • Tính 1 cot tan α α = . Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 5 • Từ 2 2 1 1 tan cos α α = + ⇒ 2 1 cos 1 tan α α = ± + . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 1 cos 1 tan α α = + . – Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 1 cos 1 tan α α = − + . • Tính sin tan .cos α αα = . 4. Cho biết cot α , tính sin α , cos α , tan α • Tính 1 tan cot α α = . • Từ 2 2 1 1 cot sin α α = + ⇒ 2 1 sin 1 cot α α = ± + . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 1 sin 1 cot α α = + . – Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 1 sin 1 cot α α = − + . II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức • Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. • Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A B A B AB 22 2 ( )2+=+ − A B A B AB 4 4 2 22 2 2 ( )2+= + − A B A B A AB B 33 2 2 ( )( )+=+ −+ A B A B A AB B 33 2 2 ( )( )−=− ++ IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình • Đặt t xt 2 sin , 0 1= ≤≤ ⇒ xt 2 cos = . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. • Thiết lập phương trình bậc hai: t St P 2 0−+= với S x y P xy;=+= . Từ đó tìm x, y. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: a) aa 00 4 cos , 270 360 5 = << b) 2 cos , 0 2 5 π αα = −<< c) aa 5 sin , 13 2 π π = << d) 00 1 sin , 180 270 3 αα =− << e) aa 3 tan 3, 2 π π = << f) tan 2, 2 π α απ =− << g) 0 cot15 2 3= + h) 3 cot 3, 2 π α πα = << Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: a) aa A khi a a aa cot tan 3 sin , 0 cot tan 5 2 π + = = << − ĐS: 25 7 Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 6 b) aa B khi a a aa 2 00 8tan 3cot 1 1 sin , 90 180 tan cot 3 +− = = << + ĐS: 8 3 c) a aa a C khi a a aa a 22 22 sin 2sin .cos 2cos cot 3 2sin 3sin .cos 4cos +− = = − −+ ĐS: 23 47 − d) aa D khi a aa 33 sin 5cos tan 2 sin 2cos + = = − ĐS: 55 6 e) a aa E khi a aa 33 3 8cos 2sin cos tan 2 2cos sin −+ = = − ĐS: 3 2 − g) aa G khi a aa cot 3tan 2 cos 2cot tan 3 + = = − + ĐS: 19 13 h) aa H khi a aa sin cos tan 5 cos sin + = = − ĐS: 3 2 − Bài 3. Cho aa 5 sin cos 4 += . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A aasin .cos= b) Baasin cos= − c) Caa 33 sin cos= − ĐS: a) 9 32 b) 7 4 ± c) 41 7 128 ± Bài 4. Cho aatan cot 3−= . Tính giá trị các biểu thức sau: a) Aaa 22 tan cot= + b) B aatan cot= + c) C aa 44 tan cot= − ĐS: a) 11 b) 13± c) 33 13± Bài 5. a) Cho xx 44 3 3sin cos 4 += . Tính Ax x 44 sin 3cos= + . ĐS: 7 A 4 = b) Cho xx 44 1 3sin cos 2 −= . Tính Bx x 44 sin 3cos= + . ĐS: B = 1 c) Cho xx 44 7 4sin 3cos 4 += . Tính Cxx 44 3sin 4cos= + . ĐS: CC 7 57 4 28 =∨= Bài 6. a) Cho xx 1 sin cos 5 += . Tính xxxxsin ,cos ,tan ,cot . b) Cho xxtan cot 4+= . Tính xxxxsin ,cos ,tan ,cot . ĐS: a) 4343 ;;; 5534 −−− b) 1 23 ; ;2 3;2 3 2 22 3 − +− − hoặc 23 1 2 3; 2 3; ; 2 22 3 − −+ − Bài 7. a) VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 7 Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 000000000000 0 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 9;11;;; ;; ;; ;;; 24 43 33 3 6 6 4 ππ ππ ππ πππ π ππ −−− − Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) Ax x xcos cos(2 ) cos(3 ) 2 π ππ  = + + −+ +   b) Bx x x x 73 2cos 3cos( ) 5sin cot 22 ππ π    = − −+ − + −       c) C xx xx 3 2sin sin(5 ) sin cos 2 22 π ππ π    = ++ −+ ++ +       d) Dx x x x 33 cos(5 ) sin tan cot(3 ) 22 ππ ππ    = −− + + −+ −       Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) A 00 0 0 00 sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 ) cot 572 tan( 212 ) − −− = − − ĐS: A = –1 b) B 00 0 00 sin( 234 ) cos216 .tan36 sin144 cos126 −− = − ĐS: B 1= − c) C 000 0 0 cos20 cos40 cos60 cos160 cos180= + + ++ + ĐS: C 1= − d) D 202020 20 cos 10 cos 20 cos 30 cos 180= + + ++ ĐS: D 9= e) E 000 0 0 sin20 sin40 sin60 sin340 sin360= + + ++ + ĐS: E 0= f) x x xx 0 0 00 2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )++ −+ + − ĐS: Fx1 cos= + Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 8 VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: ABC π ++= và ABC 2222 π ++= Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) xx x 44 2 sin cos 1 2cos−=− b) x x xx 4 4 22 sin cos 1 2cos .sin+=− c) x x xx 6 6 22 sin cos 1 3sin .cos+=− d) x x xx xx 8 8 22 44 sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+=− + e) x x xx 2 2 22 cot cos cos .cot−= f) x x xx 2 2 22 tan sin tan .sin−= g) xxx x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )++ + =+ + h) xx xx xx x x 22 sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot ++ =+ i) xx x x xx sin cos 1 2cos 1 cos sin cos 1 +− = − −+ k) x x x 2 2 2 1 sin 1 tan 1 sin + = + − Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) ab ab ab tan tan tan .tan cot cot + = + b) aa a a a aa a 2 2 sin cos 1 cot sin cos cos sin 1 cot + −= −− − c) aa aa aa 22 sin cos 1 sin .cos 1cot 1tan −−= ++ d) a aa aa aa a 2 2 sin sin cos sin cos sin cos tan 1 + −=+ − − e) aa a a a 2 2 1 cos (1 cos ) 1 2cot sin sin  +− −=   f) aa a a a aa 22 4 2 2 22 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot ++ = ++ g) aa a aa 2 2 1 sin 1 sin 4tan 1 sin 1 sin  +− −=  −+  h) ab ab a b ab 2 2 22 2 2 22 tan tan sin sin tan .tan sin .sin −− = i) aa a aa 22 6 22 sin tan tan cos cot − = − k) aa aa aa aa 33 33 22 tan 1 cot tan cot sin .cos sin cos − +=+ Bài 3. Cho xa vôùi a b a b ab 44 sin cos 1 , , 0.+= > + Chứng minh: xx a b ab 88 33 3 sin cos 1 () += + . Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) xx x 22 2 (1 sin )cot 1 cot− +− b) xx xx 22 (tan cot ) (tan cot )+ −− c) x xx x xx 2 22 2 22 cos cos .cot sin sin .tan + + d) x ay a x ay a 22 ( .sin .cos ) ( .cos .sin )− ++ Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 9 e) xx ax 22 22 sin tan cos cot − − f) xxx xxx 224 224 sin cos cos cos sin sin −+ −+ g) xx xx 22 sin (1 cot ) cos (1 tan )++ + h) xx x xx 1 cos 1 cos ; (0, ) 1 cos 1 cos π +− −∈ −+ i) xx x xx 1 sin 1 sin ;; 1 sin 1 sin 2 2 ππ  +− + ∈−  − +  k) x x xx 22 3 cos tan sin ; ; 22 ππ  −− ∈   Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a) xx xx 44 66 3(sin cos ) 2(sin cos )+− + ĐS: 1 b) xx x x x 88 6 6 4 3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin−+ − + ĐS: 1 c) xx xx 44 22 (sin cos 1)(tan cot 2)+− ++ ĐS: –2 d) xx x x x 22 2 2 2 cos .cot 3cos cot 2sin+ −+ ĐS: 2 e) xx xx x 44 66 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1 +− ++ − ĐS: 2 3 f) x x xx xx 2 2 22 22 tan cos cot sin sin cos −− + ĐS: 2 g) xx xx 66 44 sin cos 1 sin cos 1 +− +− ĐS: 3 2 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) B ACsin sin( )= + b) AB Ccos( ) cos+=− c) AB C sin cos 22 + = d) BC A Ccos( ) cos( 2 )−=− + e) ABC Ccos( ) cos2+− =− f) ABC A 3 cos sin2 2 − ++ = − g) AB C C 3 sin cos 2 ++ = h) AB C C 23 tan cot 22 +− = Bài 7. a) Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B Lượng giác Trang 10 VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba+= + sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba−= − cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b+= − cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b−= + tan tan tan( ) 1 tan .tan ab ab ab + += − tan tan tan( ) 1 tan .tan ab ab ab − −= + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan π απ α αα αα   +− += −=   −+   Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) 00 0 15 ; 75 ; 105 b) 57 ;; 12 12 12 πππ Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 3 tan sin , 3 52 ππ α α απ  + = <<   ĐS: 38 25 3 11 − b) khi 12 3 cos sin , 2 3 13 2 ππ α α απ  − =− <<   ĐS: (5 12 3) 26 − c) a b a b khi a b 11 cos( ).cos( ) cos , cos 34 +− == ĐS: 119 144 − d) ab ab absin( ), cos( ), tan( )−++ khi ab 85 sin , tan 17 12 = = và a, b là các góc nhọn. ĐS: 21 140 21 ;; . 221 221 220 e) a babtan tan , tan , tan+ khi ab a b0, , 24 ππ < < += và abtan .tan 3 2 2= − . Từ đó suy ra a, b . ĐS: 22 2− ; a b abtan tan 2 1, 8 π = =−== Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a) A = ooo22 2 sin 20 sin 100 sin 140 ++ ĐS: 3 2 b) B = oo o22 cos 10 cos110 cos 130++ ĐS: 3 2 c) C = oo o o oo tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20++ ĐS: –3 d) D = oo oo oo tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190++ ĐS: –3 e) E = o oo oo cot 225 cot79 .cot 71 cot 259 cot251 − + ĐS: 3 f) F = oo22 cos 75 sin 75− ĐS: 3 2 − g) G = o 0 1 tan15 1 tan15 − + ĐS: 3 3 h) H = 00 tan15 cot15 + ĐS: 4 HD: 000000 40 60 20 ; 80 60 20=−=+ ; 000000 50 60 10 ; 70 60 10=−=+ . 140 21 ;; . 221 221 220 e) a babtan tan , tan , tan+ khi ab a b0, , 24 ππ < < += và abtan .tan 3 2 2= − . Từ đó suy ra a, b . ĐS: 22 2− ; a b abtan tan 2 1, 8 π = =−== Bài 3 xt 2 sin , 0 1= ≤≤ ⇒ xt 2 cos = . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. • Thiết lập phương trình bậc hai: t St P 2 0−+= với. các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. • Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta