PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ TRONG KHÍ HẬU ( Phan Văn Tân - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Chương 1 ppsx

CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ ÚNG DỤNG TRONG KHÍ TƯỢNG KHÍ HẬU 1.1 SỰ KIỆN, KHÔNG GIAN SỰ KIỆN VÀ TẦN SUẤT SỰ KIỆN 1.1.1 Phép thử kiện Các khái niệm lý thuyết xác suất “phép thử” “sự kiện” “Phép thử” hiểu việc thực điều kiện xác định nghiên cứu tượng “Phép thử” hiểu “thí nghiệm” ”quan sát” hay “quan trắc”, “trắc lượng”, xuất tượng Kế “phép thử” kết cục Một phép thử có nhiều kết cục Các kết cục gọi “sự kiện” Quan trắc khí tượng kiểu mơ “phép thử” Trong trường hợp đơn giản phân biệt rõ ràng kiện sở kiện phức hợp, chẳng hạn kiện xúc xắc nhận mặt ta gieo Nhưng khí tượng khí hậu, việc phân chia kiện sở kiện phức hợp nhiều cần phải vào cách nhìn nhận vấn đề Chẳng hạn, quan tâm đến việc có giáng thuỷ hay khơng kiện “ngày mai có giáng thuỷ” “ngày mai khơng có giáng thuỷ” xem kiện sở Song, xét thêm giáng thuỷ dạng - “lỏng” hay “rắn”, kiện “ngày mai có giáng thuỷ” kiện phức hợp, chia thành kiện sở: “ngày mai có giáng thuỷ lỏng” - mưa, “ngày mai có giáng thuỷ rắn” tuyết rơi chẳng hạn “ngày mai có giáng thuỷ hỗn hợp lỏng rắn” - mưa tuyết rơi Nếu cịn xét đến lượng giáng thuỷ kiện trở thành kiện phức hợp, ta chia chúng thành kiện nhỏ hơn, chẳng hạn giáng thuỷ 10mm 10mm, v.v 16 1.1.2 Không gian kiện Không gian kiện, hay thường gọi không gian mẫu, tập hợp tất kiện sở có Như không gian mẫu biểu diễn kết cục hay kiện có Nó tương đương với kiện phức hợp lớn Mối quan hệ kiện mơ tả hình học Thông thường người ta biểu diễn không gian mẫu hình chữ nhật mà bên hình trịn biểu thị kiện Ví dụ hình 1.1a, khơng gian mẫu hình chữ nhật S biểu thị kết cục giáng thuỷ ngày mai Bốn kiện sở mô tả phần bên ba hình trịn (dược đánh số 1, 2, 3, 4) Hình trịn đứng độc lập tương ứng với kiện “khơng có giáng thuỷ” Phần giao hai hình trịn cịn lại biểu thị có giáng thuỷ hỗn hợp hai dạng (lỏng rắn), cịn phần hình chữ nhật nằm ngồi hình trịn tương ứng với kiện trống rỗng, khơng thể xuất S S 2 a) b) Hình 1.1 Sơ đồ biểu diễn khơng gian mẫu 1) Khơng có giáng thuỷ; 2) Giáng thuỷ lỏng; 3) Giáng thuỷ rắn; 4) Giáng thuỷ hồn hợp Tuy nhiên không thiết phải biểu diễn mối quan hệ kiện theo sơ đồ Thông thường người ta xem không gian kiện lấp đầy tồn hình chữ nhật S mà kiện sở phủ vừa kín (hình 1.1b) Với cách biểu diễn hình chhữ nhật S xem kiện phức hợp lớn nhất, chia thành miền không giao biểu thị kiện xung khắc với Chẳng hạn hình 1.1b, bốn miền không giao tương ứng với bốn kiện nói Trong trường hợp này, thiết bốn kiện phải xảy Mặt khác cần lưu ý 17 kiện sở biểu thị có giáng thuỷ ta thêm vào đường phân chia để biểu diễn kiện nhỏ hơn, chẳng hạn lượng giáng thuỷ 10mm 10mm 1.1.3 Tần suất kiện Khi tiến hành phép thử, tượng xuất khơng xt Để đo độ chắn kiện “hiện tượng xuất hiện” hay “hiện tượng không xuất hiện” lần thử người ta sử dụng khái niệm “xác suất kiện” Xác suất kiện A nằm khoảng từ đến 1: ≤P(A)≤1 (1.1.1) Sự kiện có xác suất xuất ứng với kiện bất khả V cịn kiện có xác suất xuất ứng với kiện chắn U, tức P(V)=0, P(U)=1 Theo định nghĩa cổ điển, xác suất kiện A tỷ số số kết cục thuận lợi cho A so với tổng số kết cục đồng khả Tuy nhiên, định nghĩa áp dụng số kết cục đồng khả hữu hạn Để tính xác suất kiện cho phép thử rộng lớn, người ta đưa đưa vào định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Khái niệm đưa tới định nghĩa khái niệm tần suất Giả sử tiến hành (trên thực tế) n phép thử loại nghiên cứu tượng Gọi A kiện “hiện tượng xuất hiện” gọi m số m gọi tần suất xuất kiện n A loạt phép thử tiến hành: phép thử quan sát thấy A Khi tỷ số p= m n (1.1.2) Trị số tần suất nói chung phụ thuộc vào số lượng phép thử tiến hành n Khi n bé, tần suất thay đổi rõ rệt ta chuyển từ loạt n phép thử sang loạt n phép thử khác Tuy nhiên thực nghiệm chứng tỏ phạm vi rộng, tần suất có tính ổn định, nghĩa số phép thử n lớn trị số 18 tần suất biến thiên xung quanh số xác định Ký hiệu xác suất kiện A P(A), theo định luật số lớn ta có: ⎛m ⎞ P⎜ − P ( A ) ≤ ε⎟ → ⎝ n ⎠ n → ∞ (1.1.3) ε số dương bé tuỳ ý Khái niệm tần suất khái niệm mang tính trực giác, kinh nghiệm có sở lý thuyết vững Nó ứng dụng có hiệu để ước lượng xác suất khí hậu Nếu gọi A kiện tượng khí hậu xuất hiện, n số lần quan sát tượng, m số lần xuất hiện tượng n lần quan sát p tần suất xuất hiện tượng Đại lượng p dùng để ước lượng giá trị xác suất xuất hiện tượng Ví dụ, từ số liệu mưa ngày lịch sử 50 năm tháng trạm người ta quan sát thấy có có 487 ngày có mưa Vậy xác suất xuất mưa ngày tháng trạm xác định trị số tần suất 487/(31 x 50) = 487/1550 = 0.314 1.2 MỘT SỐ PHÉP TÍNH VÀ QUAN HỆ VỀ SỰ KIỆN VÀ XÁC SUẤT SỰ KIỆN 1) Hai kiện A B gọi xung khắc với A xuất B khơng xuất ngược lại Các kiện A1, A2, , An gọi lập thành nhóm đầy đủ kiện chúng xung khắc với đôi thiết chúng phải xuất 2) Sự kiện B gọi kiện đối lập với kiện A chúng không đồng thời xuất chúng lập thành nhóm đầy đủ kiện Ví dụ, kiện “có giáng thuỷ” “khơng có giáng thuỷ” hai kiện đối lập Trong trường hợp ta có hệ thức: P(B) = 1-P(A) (1.2.1) 3) Sự kiện B gọi tổng hai kiện A1 A2 B xuất kéo theo A1 A2 đồng thời A1 A2 xuất Xác suất kiện B 19 trường hợp xác suất tổng kiện A1 A2: P(B) = P(A1+A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1.A2) (1.2.2) Công thức gọi qui tắc cộng xác suất Trong công thức (1.2.2) kiện (A1.A2) gọi tích kiện A1 A2, xuất đồng thời A1 A2 xuất P(A1.A2) = Xác suất để A1 A2 đồng thời xuất (1.2.3) Nếu A1 A2 xung khắc với P(A1.A2) = Qui tắc cộng xác suất mở rộng cho trường hợp nhiều kiện: P(A1+A2+A3) = P(A1)+P(A2)+P(A3) - P(A1.A2)-P(A2.A3)-P(A3.A1)-P(A1.A2.A3) (1.2.4) 4) Xác suất có điều kiện Trong thực tế người ta thường quan tâm đến xác suất kiện cho trước vài kiện khác xảy Chẳng hạn, tính xác suất kiện xuất mưa đá biết có giáng thuỷ xảy ra; tính xác suất cấp tốc độ gió số vị trí ven bờ biển biết bão đến gần đổ vào đất liền Ở kiện quan tâm “mưa đá” “tốc độ gió”, cịn kiện cho trước “có giáng thuỷ” “bão đổ vào đất liền” Người ta gọi kiện cho trước điều kiện hay kiện điều kiện, xác suất kiện quan tâm cho trước điều kiện gọi xác suất có điều kiện Nếu A kiện xét, B điều kiện cho trước xác suất có điều kiện A xác suất kiện A cho trước điều kiện B xuất Ký hiệu xác suất P(A/B) Nếu kiện B xuất xuất xác suất kiện A xác suất có điều kiện P(A/B) Nếu B khơng xuất tự khơng cho thơng tin xác suất kiện A Xác suất có điều kiện P(A/B) xác định bởi: P(A / B) = P(A B) P( B) 20 (1.2.5) Có thể minh hoạ cách tính xác suất hình 1.2 S S’ = B A A.B B A/B Hình 1.2 Minh hoạ cách tính xác suất có điều kiện Xác suất (khơng điều kiện) A tỷ số diện tích miền A S (hình bên trái) Xác suất có điều kiện A với điều kiện B xác định xét miền B khơng gian mẫu kiện A biểu diễn miền giao A.B (hình bên trái) 5) Các kiện độc lập Có thể viết lại công thức (1.2.5) dạng qui tắc nhân xác suất: P(A.B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) (1.2.6) Từ đó, hai kiện gọi độc lập với xuất không xuất kiện không làm ảnh hưởng đến xác suất xuất kiện ngược lại Chẳng hạn, kết cục việc gieo đồng thời hai xúc xắc độc lập Sự độc lập kiện A B có nghĩa là: P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) Từ tính chất độc lập kiện A B suy ra: P(A.B) = P(A).P(B) (1.2.7) Ví dụ 1.2.1 Xét ước lượng xác suất khí hậu (tần suất) từ tập số liệu cho bảng 1.1 Giả sử ta quan tâm đến việc ước lượng xác suất để lượng mưa điểm A vào tháng không 0.3mm điều kiện nhiệt độ tối thấp không 0oC Về mặt vật lý nhận thấy rằng, nhiệt độ thường hạ xuống thấp vào đêm trời quang, để xuất mưa bầu trời phải có mây Điều gợi cho ta ý tưởng hai kiện lượng mưa không 0.3mm nhiệt độ tối thấp khơng 0oC có liên hệ thống kê với (tức chúng khơng độc lập) xác suất có điều kiện mưa cho điều kiện nhiệt độ khác khác khác với xác suất không điều kiện Từ kiến 21 thức chất vật lý q trình, suy xác suất có điều kiện mưa với điều kiện nhiệt độ tối thấp ≥0oC lớn xác suất có điều kiện trường hợp ngược lại (nhiệt độ tối thấp nhỏ 0oC) Để tính tần suất có điều kiện ta cần xem xét đến trường hợp số liệu có nhiệt độ tối thấp Tm ≥ 0oC Từ bảng 1.1 ta thấy có tất 24 ngày vậy, có 14 ngày mưa với lượng mưa đo R≥0.3mm Do ta có ước lượng: P(R≥0.3/ Tm≥0) = 14/24 = 0.58 Trong số ngày cịn lại có nhiệt độ tối thấp 0oC có ngày có lượng mưa đo R≥0.3mm Do xác suất mưa trường hợp ngược lại (nhiệt độ tối thấp nhỏ 0oC) là: P(R≥0.3/ Tmmax{xt, t=1 n} Khơng tính tổng qt ta giả thiết nhóm có cự ly Δx=bj−aj Ta gọi tần số nhóm thứ j số thành phần chuỗi thoả mãn điều kiện aj≤xt