250 PHẦN PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1. Ma trận Ma trận A cấp (hay bậc m×n, ký hiệu là A(m×n) là một bảng hình chữ nhật gồm các số hay các phần tử a ik được sắp xếp thành m hàng và n cột: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa A Đôi khi để cho gọn ta thường viét A = (a ik ), hoặc đơn giản hơn: (a ik ). Trong phạm vi tài liệu này ta sẽ luôn giả thiết rằng các phần tử a ik là những số thực. Khi m = 1, ma trận A chỉ gồm một phần tử a 11 , và nó được đồng nhất với một số. Khi m = n, ma trận A được gọi là ma trận vuông. - Ma trận A’(n ×m) tạo thành từ ma trận A(m×n) bằng cách đổi chỗ vị trí hàng thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A: ki ' ik aa = - Ma trận A'(n xm) tạo thành từ ma trận A(mxn) bằng cách đổi chỗ vị trí hàng thành cột được gọi là ma trận chuyển vị của A: kiik aa = ′ với k=1 m, i=1 n. - Tổng của hai ma trận cùng cấp A và B là một ma trận cùng cấp C mà các phần tử của nó bằng tổng các phần tử tương ứng của các ma trận A và B: c ik = a ik + b ik - Tích của hai ma trận A(m xn) và B(nxp) sẽ là một ma trận C cấp (mxp), trong đó các phần tử c ik được xác định bởi: 251 c ik = ∑ = n 1j jkij ba Cần lưu ý rằng tích hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số hàng của ma trận thứ hai. Hơn nữa phép nhân ma trận không có tính giao hoán, tức là nói chung AB ≠BA trong trường hợp phép nhân thực hiện được. - Nếu A là một ma trận vuông thì các phần tử a ii (chỉ số hàng bằng chỉ số cột) lập nên đường chéo chính của A và các phần tử đó được gọi là các phần tử đường chéo. Nếu A có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính thì A được gọi là ma trận đối xứng. − Ma trận đối xứng A có các phần tử bằng 0 trừ đường chéo chính được gọi là ma trận đường chéo. Ma trận đường chéo mà các phần tử đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị. − Ma trận chỉ gồm một hàng hoặc một cột được gọi là vectơ hàng hoặc vectơ cột. 2. Định thức Mỗi một ma trận vuông A(nxn) tương ứng với một số D nào đó được gọi là định thức của A. Số D được ký hiệu bằng: D = A = ik a = mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa và được xác định bởi tổng: D = ± ∑ aa a rr nr n 12 12 trong đó các chỉ số r 1 , r 2 , , r n chạy qua tất cả n! hoán vị có thể có của các số 1,2, ,n, còn dấu của mỗi số hạng là (+) hay ( −) tuỳ theo hoán vị tương ứng là chẵn hay lẻ. Số n được gọi là cấp của định thức. 252 − Định thức của ma trận vuông A và chuyển vị A' của nó bằng nhau. − Nếu đổi chỗ hai hàng hay hai cột của ma trận cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó nếu ma trận có hai hàng hoặc hai cột giống nhau thì định thức của nó bằng không. − Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của chúng. − Nếu A là một ma trận bất kỳ thì ma trận A 1 nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi một số hàng và một số cột được gọi là ma trận con của A. Nếu A là ma trận vuông thì ma trận con vuông của A có các phần tử đường chéo chính là những phần tử đường chéo chính của A. − Định thức của một ma trận con vuông của ma trận A được gọi là một tử thức của A. Ta gọi phần phụ đại số A ik của phần tử a ik của ma trận vuông A là tích của tử thức nhận được bằng cách bỏ đi hàng thứ i cột thứ k, nhân với ( −1) i+k . − Ta có một số đồng nhất thức quan trọng: aA D khi i k khi i k ij kj j n = ∑ = = ≠ ⎧ ⎨ ⎩ 1 0 yxinm ikik k m ==−+ +− = ∑ ω 1 1 12 1,( , , ) PHỤ LỤC 2. MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 1. Hàm Gamma Hàm Gamma Γ(p) được xác định bởi hệ thức sau với mọi số thực p>0: Γ(p) = xedx px−− +∞ ∫ 1 0 Nếu p dần tới 0 hay tới + ∞ thì Γ(p) dần tới +∞. Hàm Γ(p) có cực tiểu duy nhất tại p o ∈ (0; +∞) và người ta đã xác định được giá trị gần đúng của p o là p o =1.4616. Giá trị hàm Γ(p) tại điểm cực tiểu bằng Γ(p o ) = 0.8856. 253 Một số tính chất của hàm Γ(p): 1) Với mọi p>0 ta có Γ(p+1) = pΓ(p) 2) Nếu p là số nguyên dương n thì Γ(1) = 1 và Γ(n+1) = n! 3) Với mọi α>0, λ>0 ta có: xedx xλα λ λ α −− +∞ ∫ = 1 0 Γ() 4) Γ 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =π , Γ 2 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =π 2. Hàm Bêta Hàm Bêta B(p,q) được xác định bởi hệ thức sau với mọi p>0 và q>0: B(p,q) = xxdx pq−− − ∫ 11 0 1 1() Giữa hàm Γ(p) và hàm B(p,q) liên hệ với nhau bởi hệ thức: B(p,q) = Γ Γ Γ () () () pq pq + PHỤ LỤC 3. MỘT SỐ BẢNG TÍNH SẴN 1. Bảng giá trị hàm Laplas Φ(x) = 1 2 1 2 0 2 π edt t x − ∫ x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.10 0.0398 0.60 0.2257 1.10 0.3643 1.60 0.4452 0.15 0.0596 0.65 0.2422 1.15 0.3749 1.65 0.4505 0.20 0.0793 0.70 0.2580 1.20 0.3849 1.70 0.4554 0.25 0.0987 0.75 0.2734 1.25 0.3944 1.75 0.4599 0.30 0.1179 0.80 0.2881 1.30 0.4032 1.80 0.4641 0.35 0.1368 0.85 0.3023 1.35 0.4115 1.85 0.4678 0.40 0.1554 0.90 0.3159 1.40 0.4192 1.90 0.4713 0.45 0.1736 0.95 0.3289 1.45 0.4265 1.95 0.4744 0.50 0.1915 1.00 0.3413 1.50 0.4332 2.00 0.4772 0.55 0.2088 1.05 0.3531 1.55 0.4394 2.05 0.4798 254 x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 2.10 0.4821 2.60 0.4953 3.10 0.4990 3.60 0.4998 2.15 0.4842 2.65 0.4960 3.15 0.4992 3.65 0.4999 2.20 0.4861 2.70 0.4965 3.20 0.4993 3.70 0.4999 2.25 0.4878 2.75 0.4970 3.25 0.4994 3.75 0.4999 2.30 0.4893 2.80 0.4974 3.30 0.4995 3.80 0.4999 2.35 0.4906 2.85 0.4978 3.35 0.4996 3.85 0.4999 2.40 0.4918 2.90 0.4981 3.40 0.4997 3.90 0.5000 2.45 0.4929 2.95 0.4984 3.45 0.4997 3.95 0.5000 2.50 0.4938 3.00 0.4987 3.50 0.4998 4.00 0.5000 2.55 0.4946 3.05 0.4989 3.55 0.4998 4.05 0.5000 2. Phân bố χ 2 Bảng tính giá trị χ 2 p ứng với xác suất p=P(χ 2 >χ 2 p )= fxndx p (,) χ 2 ∞ ∫ , trong đó f(x,n) là hàm mật độ xác suất χ 2 với n bậc tự do. p n 0.99 0.98 0.95 0.90 0.80 0.70 0.50 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001 1 0.000 0.001 0.004 0.016 0.064 0.148 0.455 1.074 1.642 2.706 3.841 5.412 6.635 10.827 2 0.020 0.040 0.103 0.211 0.446 0.713 1.386 2.408 3.219 4.605 5.991 7.824 9.210 13.815 3 0.115 0.185 0.352 0.584 1.005 1.424 2.366 3.665 4.642 6.251 7.815 9.837 11.345 16.266 4 0.297 0.429 0.711 1.064 1.649 2.195 3.357 4.878 5.989 7.779 9.488 11.668 13.277 18.466 5 0.554 0.752 1.145 1.610 2.343 3.000 4.351 6.064 7.289 9.236 11.070 13.388 15.086 20.515 6 0.872 1.134 1.635 2.204 3.070 3.828 5.348 7.231 8.558 10.645 12.592 15.033 16.812 22.457 7 1.239 1.564 2.167 2.833 3.822 4.671 6.346 8.383 9.803 12.017 14.067 16.622 18.475 24.321 8 1.647 2.032 2.733 3.490 4.594 5.527 7.344 9.524 11.030 13.362 15.507 18.168 20.090 26.124 9 2.088 2.532 3.325 4.168 5.380 6.393 8.343 10.656 12.242 14.684 16.919 19.679 21.666 27.877 10 2.558 3.059 3.940 4.865 6.179 7.267 9.342 11.781 13.442 15.987 18.307 21.161 23.209 29.588 11 3.053 3.609 4.575 5.578 6.989 8.148 10.341 12.899 14.631 17.275 19.675 22.618 24.725 31.264 12 3.571 4.178 5.226 6.304 7.807 9.034 11.340 14.011 15.812 18.549 21.026 24.054 26.217 32.909 13 4.107 4.765 5.892 7.041 8.634 9.926 12.340 15.119 16.985 19.812 22.362 25.471 27.688 34.527 14 4.660 5.368 6.571 7.790 9.467 10.821 13.339 16.222 18.151 21.064 23.685 26.873 29.141 36.124 15 5.229 5.985 7.261 8.547 10.307 11.721 14.339 17.322 19.311 22.307 24.996 28.259 30.578 37.698 16 5.812 6.614 7.962 9.312 11.152 12.624 15.338 18.418 20.465 23.542 26.296 29.633 32.000 39.252 255 17 6.408 7.255 8.672 10.085 12.002 13.531 16.338 19.511 21.615 24.769 27.587 30.995 33.409 40.791 18 7.015 7.906 9.390 10.865 12.857 14.440 17.338 20.601 22.760 25.989 28.869 32.346 34.805 42.312 19 7.633 8.567 10.117 11.651 13.716 15.352 18.338 21.689 23.900 27.204 30.144 33.687 36.191 43.819 20 8.260 9.237 10.851 12.443 14.578 16.266 19.337 22.775 25.038 28.412 31.410 35.020 37.566 45.314 21 8.897 9.915 11.591 13.240 15.445 17.182 20.337 23.858 26.171 29.615 32.671 36.343 38.932 46.796 22 9.542 10.600 12.338 14.041 16.314 18.101 21.337 24.939 27.301 30.813 33.924 37.659 40.289 48.268 23 10.196 11.293 13.091 14.848 17.187 19.021 22.337 26.018 28.429 32.007 35.172 38.968 41.638 49.728 24 10.856 11.992 13.848 15.659 18.062 19.943 23.337 27.096 29.553 33.196 36.415 40.270 42.980 51.179 25 11.524 12.697 14.611 16.473 18.940 20.867 24.337 28.172 30.675 34.382 37.652 41.566 44.314 52.619 26 12.198 13.409 15.379 17.292 19.820 21.792 25.336 29.246 31.795 35.563 38.885 42.856 45.642 54.051 27 12.878 14.125 16.151 18.114 20.703 22.719 26.336 30.319 32.912 36.741 40.113 44.140 46.963 55.475 28 13.565 14.847 16.928 18.939 21.588 23.647 27.336 31.391 34.027 37.916 41.337 45.419 48.278 56.892 29 14.256 15.574 17.708 19.768 22.475 24.577 28.336 32.461 35.139 39.087 42.557 46.693 49.588 58.301 30 14.953 16.306 18.493 20.599 23.364 25.508 29.336 33.530 36.250 40.256 43.773 47.962 50.892 59.702 3. Phân bố Student (t) Bảng tính giá trị t p ứng với xác suất p=P () tt fxndx p t p >= ∞ ∫ 2(,) , trong đó f(x,n) là hàm mật độ phân bố t với n bậc tự do. p n 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.050 0.010 0.001 1 0.158 0.325 0.510 0.727 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 63.656 636.58 2 0.142 0.289 0.445 0.617 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 9.925 31.600 3 0.137 0.277 0.424 0.584 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 5.841 12.924 4 0.134 0.271 0.414 0.569 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 4.604 8.610 5 0.132 0.267 0.408 0.559 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 4.032 6.869 6 0.131 0.265 0.404 0.553 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.707 5.959 7 0.130 0.263 0.402 0.549 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 3.499 5.408 8 0.130 0.262 0.399 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 3.355 5.041 9 0.129 0.261 0.398 0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 3.250 4.781 10 0.129 0.260 0.397 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 3.169 4.587 11 0.129 0.260 0.396 0.540 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 3.106 4.437 12 0.128 0.259 0.395 0.539 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 3.055 4.318 13 0.128 0.259 0.394 0.538 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 3.012 4.221 14 0.128 0.258 0.393 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.977 4.140 15 0.128 0.258 0.393 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.947 4.073 256 16 0.128 0.258 0.392 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.921 4.015 17 0.128 0.257 0.392 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.898 3.965 18 0.127 0.257 0.392 0.534 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.878 3.922 19 0.127 0.257 0.391 0.533 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.861 3.883 20 0.127 0.257 0.391 0.533 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.845 3.850 21 0.127 0.257 0.391 0.532 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.831 3.819 22 0.127 0.256 0.390 0.532 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.819 3.792 23 0.127 0.256 0.390 0.532 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.807 3.768 24 0.127 0.256 0.390 0.531 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.797 3.745 25 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.787 3.725 26 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.779 3.707 27 0.127 0.256 0.389 0.531 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.771 3.689 28 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.763 3.674 29 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.756 3.660 30 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.750 3.646 40 0.126 0.255 0.388 0.529 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.704 3.551 60 0.126 0.254 0.387 0.527 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.660 3.460 120 0.126 0.254 0.386 0.526 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.617 3.373 ∞ 0.126 0.253 0.385 0.524 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.576 3.290 257 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như: Thống kê toán học. NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1984, 505 tr. 2. Ngô Như Hoà: Thống kê trong nghiên cứu y học (Tập II). NXB Y học, 1982, 416 tr. 3. Doerffel: Thống kê trong hoá học phân tích (Trần Bính và Nguyễn Văn Ngạc dịch). NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1983, 272 tr. 4. Harald Cramér: Phương pháp toán học trong thống kê (Tập I) (Nguyễn Khắc Phúc, Nguyễn Duy Tiến, Đào Hữu Hồ dịch). NXB Khoa học, Hà Nội, 1969, 474 tr. 5. Harald Cramér: Phương pháp toán học trong thống kê (Tập II) (Nguyễn Khắc Phúc, Nguyễn Duy Tiến, Đào Hữu Hồ dịch). NXB Khoa học, Hà Nội, 1969, 326 tr. 6. Khac Kevit A. A.: Phổ và phân tích phổ (Nguyễn Văn Ngọ và Phương Xuân Nhàn dịch). NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1977, 260 tr. 7. Pugatrep V.S.: Lý thuyến hàm ngẫu nhiên và ứng dụng vào các vấn đề điều khiển tự động (Tập I) (Huỳnh Sum và Nguyễn Văn Hữu dịch). NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978, 558 tr. 8. Pugatrep V.S.: Lý thuyến hàm ngẫu nhiên và ứng dụng vào các vấn đề điều khiển tự động (Tập II) (Huỳnh Sum và Nguyễn Văn Hữu dịch). NXB 258 Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978, 380 tr. 9. Rumsixki L. Z.: Phương pháp toán học xử lý các kết quả thực nghiệm. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1972, 283 tr. 10. Ventxel A.D.: Giáo trình lý thuyết quá trình ngẫu nhiên (Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến dịch). NXB "MIR" Maxcơva, 1975; NXB Đại học và THCN, Hà Nội, 1987, 461 tr. 11. Anderson T. W.: An introduction to multivariate statistical analysis. Copyright (C) 1958 by John Wiley & Sons, Inc. Canada, 353 p. 12. Chang C.P., Kirshnamurti T.N.: Mosoon mteorology. Oxford University Press. New York, Clarendon Press. Oxford, 1987, 544 p. 13. Daniel S. Wilks: Statistical methods in the Atmospheric Sciences - An Introduction. Academic Press, 1995, 465 p. 14. Hans A. Panofsky, Glenn W. Brier: Some applications of statistics to meteorology . University Park, Pennsylvania, 1965, 223 p. 15. Palul G. Hoel: Introduction Mathematical Statistics. New York John Wiley & Sons, Inc. London, 1961, 331 p. 16. Thiébaux H.J., Pedder M.A.: Spatial objective analysis: with applications in atmospheric science . Academic Press, 1987, 297 p. 17. William H. Press, Brian P. Flannerg, Saul A. Teukolsky, William T. Verrerling: Numerical recipes. Cambridge University Press Inc., 1990, 681 p. 18. Benđat Đj., Pircon A.: Idmerenie i analid xluqa`nưh procexxov. Idđatel]xtvo MIR, Moxkva, 1974, 464 x. 19. German Đj. R, Golđberg R.A.: Xolnce, pogođa i klimat. Leningrađ giđrometeoidđat, 1981, 318 x. 20. Gruda G.V., Ran]kova D.Ă.: Veroătnoxtnưe meteorologiqexkie prognodư. Giđrometeoidđat Leningrađ, 1983, 271 x. 259 21. Gumbel] |.: Xtatixtika \kxtremal]nưh dnaqeni`. Idđatel]xtvo MIR, Moxkva, 1965, 452 x. 22. Ivahnenko A.G., Lapa V.G.: Pređxkadanie xluqa`nưh procexxov. Idđatel]xtvo Naukova, Kiev, 1971,446 x. 23. Ixaev A.A.: Xtatixtika v meteorologii i klimatologii. Idđatel]xtvo Moxkovxkogo Univerxiteta, 1988, 244 c. 24. Kadakeviq Đ.I.: Oxnovư teorii xluqa`nưh funkci` i eê primenenie v giđrometeorologii. Giđrometeorologiqexkoe idđatel]xtvo, Leningrađ, 1971, 267 x. 25. Kovưseva N.V., Gol]berg M.A.: Metođiqexkie ukadaniă po xtatixtiqexko` obrabotke meteorologiqexkih răđov. Leningrađ, giđrometeoidđat, 1990, 85 x. 26. L]vovxki` E.N.: Xtatixtiqexkie metođư poxtroeniă \mpiriqexkih formul. Moxkva, Vưxsaă skola, 1982,224 x. 27. Otnex R., |nokxon L.: Priklađno` analid vremennưh răđov - Oxnovnưe metođư. Idđatel]xtvo MIR, Moxkva, 1982, 428 x. 28. Pugaqev V.X.: Teoriă veroătnoxte` i matematiqexkaă xtatixtika. Moxkva Nauka glavnaă ređakciă fidiko-matematiqexko` literaturư, 1979, 495 x. 29. Rojđextvenxki` A.V., Qebotaerev A.I.: Xtatixtiqexkie metođư v giđrologii. Giđrometeoidđat, Leningrađ, 1974, 424 x. . Thống kê trong hoá học phân tích (Trần Bính và Nguyễn Văn Ngạc dịch). NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1983, 272 tr. 4. Harald Cramér: Phương pháp toán học trong thống kê (Tập. thức: B(p,q) = Γ Γ Γ () () () pq pq + PHỤ LỤC 3. MỘT SỐ BẢNG TÍNH SẴN 1. Bảng giá trị hàm Laplas Φ(x) = 1 2 1 2 0 2 π edt t x − ∫ x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) x Φ(x) 0.10 0.0398 0.60 0.2257. Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như: Thống kê toán học. NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1984, 505 tr. 2. Ngô Như Hoà: Thống kê trong nghiên cứu y học (Tập II). NXB Y học, 1982,