L2 3n]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỊ CHÍ MINH
Trần Đức Thuận
KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH
TRONG DẠY - HỌC TOÁN
Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỊ CHÍ MINH
Trần Đức Thuận
KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH
TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn Mã sơ: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU
Trang 3Một trong những món quà tuyệt vời mà cuộc sống dành tặng cho mỗi chúng ta là khó khăn, thử thách, là cơ hội để vươn lên, trưởng thành hơn Tôi đã trải qua một giai đoạn khó khăn, rất khó khăn Didactic Toán là một ngành học khó, địi hỏi rat cao
ở người học, người nghiên cứu Chập chững bước đầu đến với didactic, có lẽ tôi chưa đưa ra được những kết quả thật xuất sắc, ấn tượng, nhưng tôi đã học hỏi được nhiều kiến thức quý giá và cần thiết
Tôi muốn dành lời cảm ơn đầu tiên đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu Dẫu bộn bề công việc, Cô vẫn dành nhiều thời gian để hướng dẫn, góp ý cho các học viên về
mặt khoa học
Tôi muốn cảm ơn PGSTS.Lê Văn Tiến TS.Đoản Hữu Hải, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung về sự nhiệt tình chỉ bảo,
động viên, chia sẻ
Tôi muốn cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot,
TS Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý về luận văn và giải đáp thắc mắc của lớp chúng toi vé didactic toan
Tôi muốn cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Huyên đã dành thời gian dịch tài liệu, luận văn cho chúng tôi
Tôi muốn cảm ơn những người bạn cùng lớp cao học về sự hợp tác, động viên, giúp đỡ trong tồn khóa học
Tôi muốn cảm ơn những người bạn, những đồng nghiệp đã nhiệt tình giới thiệu,
giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi triển khai thực nghiệm
Sau cùng, tôi muốn đặc biệt cảm ơn các thành viên trong gia đình, Trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Nhờ có sự chia sẻ của Ban Giám hiệu Trường,
Phòng Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Khoa Giáo dục Tiểu học, tơi đã có những điều kiện thuận lợi trong việc học, hoàn thành luận văn
Trang 4Mục lục
057007077 1 Chương 1 DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐÉN DIDACTIC 4 1 Một điều tra khoa học luận về khái niệm diện tích 2 -+- 5
1.1 Những bài tốn gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong
0:80 — - 5 1.2 Khái niệm diện tích: -.- - << + +8 +21 # #2 €2EE€zeEezeeeeeeerseeezse 8
2 Từ khoa học luận đến didactic 225cc+ctEEEkrrirrrtiirrrriie 10
2.1 Một sự chuyên đôi didactic khái niệm “diện tích” . -+ 10
2.2 Các quan niệm về khái niệm diện tích -.2 2 5¿+szse+cs2 10 2.3 Bốn tơ chức tốn học liên quan đến điện tích -.: -+-2-c52 11
2.4 Vai trò của các cơng thức tính diện tích - -s- «+ ++s£+sx+se+xxsxss 13
Chương 2 NGHIÊN CỨU MOI QUAN HE THE CHE VOI DOI TUQNG i00: 15
1 Diện tích trong chương trình tốn bậc phổ thơng . - 15
1.2 Diện tích trong chương trình tiểu học ¿- 2+ s2 sz+s+cse+cs2 16 1.2 Diện tích trong chương trình trung học CƠ SỞ - «5+ s+s++ 16 1.3 Diện tích trong chương trình trung học phổ thơng - - 18 2 Diện tích trong các sách giáo khoa toán tiểu học -+ s¿ s2 =s+¿ 18
2.1 Về biểu tượng và tính chất của diện tích . -¿- 2+zxzez+ 18
2.2 Về đơn vị đo diện tích -:cccvvccrrrrrtrkrtrrrrrrrtrtrirrrrrrrrrrrrrrre 19
2.3 Về các cơng thức tính diện tích . -2- ¿+ x++zx+x++zxzzxerxeerxe 19 3 Diện tích trong sách giáo khoa Toán 6 - + xxx sseeerrekree 21
3.1 Về định nghĩa, tính chất của diện tích . 2-2 s2 s++sz+xezs 21
3.2 Về các cơng thức tính điện tích - + ++2+++c+++zzxr+txrrzrveee 23
3.3 Về các tổ chức toán học -. -22++eeetttttrkkkerrrrrrrtiirrrrrrrriie 25
Trang 5
1 Thực nghiệm đối với giáo viên . 2 ++©++2+++tx+etrxrerxrerrrrrrrree 34 1.1 Giới thiệu bộ câu hỏi . 2-++©++2E++eE+xrtrxrerrrrrrxrerrrrrrrrerxee 35
1.2 Phân tích a-DOSẨCTIOTI - 6 1+1 1E v19 9v ng nh ngưng 39
1.3 Kt Wate a4d4đdgŒ,H H 40
2 Thực nghiệm đối với học sinh 2-22 ©+£++£+xt++++Exevrxezrxerxerrxee 41 2.1 Thue nghiém thir nhat c.ccccccccsessessesssecssessesssessesssecssessecssecssessessseesseese 4I
2.2 Thực nghiệm thứ hai - +11 9E E9 vEkvkrkkrkerkerkrrre 45
3 Kết luận phần thực nghiệm re 51
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO - «<< 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 6Ly do chọn đề tài Câu hỏi ban đầu
Khung lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu
VY
VY
VY
1 LÝ DO CHỌN ĐÈ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU
Tính diện tích, so sánh diện tích là những vấn đề thường gặp trong cuộc sống
hàng ngày và trong nhiều ngành khoa học như toán học, vật lý, địa lý
Ở Việt Nam, diện tích được đưa vào giảng dạy khá sớm, ngay từ bậc tiểu học, và xuyên suốt trong chương trình tốn phổ thơng Việc dạy học diện tích được chia
thành nhiều giai đoạn Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2006, những kiến thức về “diện tích” đưa vào bậc tiểu học là những “yếu (ố, kiến thức chuẩn bi” [1, tr 8] Chỉ từ lớp 8, học sinh mới được nghiên cứu đối tượng “diện tích” Vì thế, chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu việc dạy - học
khái niệm diện tích ở trung học cơ sở tại Việt Nam Điều này không có nghĩa chúng tơi sẽ hồn tồn khơng quan tâm đến việc đưa vào diện tích ở bậc tiểu học
Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là: — Khai niệm diện tích được hình thành như thế nào?
— Khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?
— Có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?
— Sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào (theo quan điểm nào)?
— Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học sinh?
2 KHUNG LÝ THUYET THAM CHIẾU
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học
Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hé thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”
Trang 7thể chế dạy - học toán ở Việt Nam, chúng tơi có thé trả lời được các câu hỏi: “khái
niệm diện tích được hình thành như thế nào?”, “khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?”, “có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?”, “sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào?”
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác với O ra sao Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mỗi quan hệ R(X,O) và bị ảnh hưởng, chỉ phối bởi quan hệ thể chế Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “diện tích” cho phép chúng tơi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm diện tích sau khi học, đọc
sách giáo khoa Từ đó, chúng tơi có thể tìm được câu trả lời cho câu hỏi “cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học
sinh?”
Mối quan hệ thé chế R(1,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua
nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie Praxéologie là một khái niệm do
Yves Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối
quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, r, 0, ©], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, r là kỹ
thuật cho phép giải quyết T, 9 là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật t, © là lý thuyết giải thích cho công nghệ 0
3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong khn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tơi trình
bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng
chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
Qi Khái niệm diện tích có những đặc trưng khoa học luận nào? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm diện tích xuất hiện và tác động? Những đối tượng, khái niệm toán học nào có liên quan, góp phần làm nảy sinh và tiến triển khái niệm này?
Q; Mối quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích? Khái niệm diện tích (một
hình phẳng) được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 8 hién hành? Nó
mang những đặc trưng nào? Đặc trưng nào chiếm ưu thế? Các kiểu nhiệm vụ nào được
Trang 8nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh? 4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù
hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q¡, Q;, Q¿
Để trả lời câu hỏi Q¡, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về khái niệm diện tích Tuy nhiên, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu gốc mà chỉ tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm diện tích trong luận án tiến sĩ của Baltar (1996) Để rõ hơn về cách ứiép cận hình học, chúng tơi có tham khảo tác phẩm “Cơ bản”(Euelide), “Cơ sở hình học” (Hilbert) Chúng tôi điểm lại một số kiểu bài tốn, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường mỉnh hay ngầm ân, những đối tượng, khái niệm khác có mối liên hệ với khái niệm này, những chướng ngại có thể gặp khi tiếp cận khái niệm Kết quả thu
được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q¿ và được trình bày trong
Chương 1: “Diện tích: Từ khoa học luận đến didactic”
Để trả lời câu hỏi Q;, Q;, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối
tượng diện tích Thơng qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, và
đặc biệt là sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật, công nghệ gắn với đối tượng diện tích, trả lời được câu hỏi Q; Chúng tôi so sánh với tổ chức toán học tham chiếu để đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng trong sách giáo khoa Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cũng cho phép chúng tôi trả lời câu
hỏi Q¿, đưa ra các giả thuyết nghiên cứu Kết quả này sẽ được trình bày trong
Chương 2: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích”
Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng Dé làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với giáo viên qua các phiếu
Trang 9Những bài toán gắn với diện tích trong lịch sử Khái niệm diện tích
Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích
Các quan niệm về khái niệm diện tích
Những tơ chức tốn học tham chiếu
VVVVV
Vv
Vai trò của cơng thức tính
Để trả lời cho câu hỏi Q¡, chúng tơi cần phải tìm hiểu trước hết những đặc trưng
khoa học luận của khái niệm diện tích Thiếu sự am hiểu các đặc trưng của tri thức,
người ta khó có thể đặt ra những câu hỏi thỏa đáng liên quan đến việc dạy học tri thức
đó
Do điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể tiến hành một nghiên cứu gốc trên phương diện khoa học luận của khái niệm điện ích - đối tượng tri thức
được lựa chọn để nghiên cứu trong luận văn này May thay, chúng tơi đã tìm thấy
những kiến thức cơ sở về khái niệm đó trong các cơng trình của một số nha didactic
toán Đặc biệt, ba tác giá sau đã có những nghiên cứu khá hệ thống về khái niệm này: — Perrin (1992) nghiên cứu về “vấn đê chuyển đổi didactic của khải niệm diện tích trong mặt phẳng”;
— Baltar (1996), trong luận án mang tên “Dạy và học khái niệm điện tích trong mặt phẳng: một nghiên cứu về sự lĩnh hội mối quan hệ giữa độ dài và điện tích ở trường phổ thông”, đã làm rõ tiến triển của khái niệm diện tích trong lịch sử, các đặc trưng, các tình huống nảy sinh khái niệm diện tích Chính trên cơ sở nghiên cứu này
mà tác giả đã thiết kế một đồ án dạy học với sự hỗ trợ của Cabri;
— Valentina (2005) nghiên cứu vai trò của “các cơng thức tính điện tích hình phẳng: câu nối giữa hình học và đại số”
Tham khảo những cơng trình trên, cùng với việc nghiên cứu bộ “Cø bản” của Euclide, “Cơ sở hình học” của D Hilbert, chúng tơi đã tìm được câu trả lời cho câu
hoi Qy
Chính trên cơ sở hiểu rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích,
Trang 10chương sau
Hon thé, ba tài liệu tham khảo trên còn mang lại cho chúng tôi một tiếp cận ban
đầu về khái niệm diện tích với tư cách là đối tượng dạy - học Cụ thể, đó là sự chuyển đổi diđactic khái niệm diện tích, những quan điểm có thể gắn với nó và vai trị của các
cơng thức tính Sự tiếp cận từ góc độ didactic ấy cũng sẽ là cơ sở cho nghiên cứu được
thực hiện tiếp theo trong khuôn khổ của luận văn
1 MOT DIEU TRA KHOA HQC LUAN VE KHAI NIEM DIEN TiCH
1.1 Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử
Những gì được trình bày ở đây chủ yếu được rút ra từ nghiên cứu của Baltar (1996)
Diện tích xuất hiện từ rất lâu, nhưng chỉ được định nghĩa một cách chính xác từ
thé ky XIX
1.1.1 Bài toán đo đạc, so sánh, cầu phương ở thời cỗ đại
Khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích (đo đạc ruộng đất),
so sánh diện tích và cầu phương một hình
~— Bài tốn tính diện tích được hình thành từ nhu cầu đo đạc ruộng đất đề tính thuế sau mỗi vụ mùa
Các nền văn minh Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cơ đại đều tìm được những
công thức riêng dé tinh chính xác hoặc xấp xỉ điện tích của một số hình thường gặp: tam giác, các loại tứ giác, hình trịn Những cơng thức này giúp họ giải quyết được bài toán đo đạc diện tích, nghĩa là tìm được số đo tương ứng với hình Phân tích thành tựu toán học thời kỳ này, Baltar khẳng định: “ở 4i Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có
một bước chuyền từ hình sang số đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr 16)
Cần phải lưu ý rằng diện tích cịn được người xưa sử dụng như một công cụ để giải nhiều phương trình bậc hai Trong xu hướng sử dụng này, một số dương được gắn với một độ dài, một bình phương được gắn với một diện tích Nói cách khác, ở đây, diện tích cũng được xem xét theo quan điểm số
~ Bài toán so sánh điện tích cũng đã xuất hiện từ thời cỗ đại Đặc biệt, như
Baltar đã chỉ ra, trong toán học của người Hy Lạp, “bài fốn diện tích được đặt trong phạm vi hình và khơng có bước chuyển sang số”, hay nói cách khác là họ đã có một
cách “tiếp cận hình học đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr 16)
Để làm rõ thêm điều này, chúng tôi đã nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide và
tìm thấy trong quyền I những tiên đề, mệnh đề được ông đưa ra làm cơ sở cho việc so
Trang 11e _ Tiên đề 2: Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những
cái bằng nhau
e Tiên đề 3: Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau
e _ Tiên đề 4: Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau e _ Tiên đề 5 Toàn thể lớn hơn một phần
e _ Các mệnh đề từ 34 đến 41 trong tập I nói về các trường hợp đẳng diện của hình
bình hành và hình tam giác (hai hình khơng bằng nhau nhưng có cùng diện tích)
Chang han: “hai tam giác có đáy bằng nhau và có các đỉnh thuộc cùng cặp đường thẳng song song thì có cùng diện tích” (mệnh đề 38)
— Bài toán thứ ba là bài tốn cầu phương (dựng hình vng có cùng diện tích
với một hình cho trước) Với hệ thống các mệnh đề trình bày theo trình tự phù hợp,
Euclide đã chỉ ra cách dựng một hình vng đẳng diện (có cùng diện tích) với một đa
giác bất kỳ cho trước (mệnh đề 14, tập II) Như vậy, Euclide đã giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương một đa giác cho trước với thước thắng và com-pa Bài toán cầu
phương một hình bất kỳ, đặc biệt là hình trịn, với cơng cụ là com-pa, chưa được giải
quyết triệt để
Lưu ý rằng cho đến tận thế kỷ thứ II trước công nguyên, khái niệm “4iện tich” vẫn chưa được định nghĩa dù ba bài toán trên đã xuất hiện từ thuở sơ khai của loài người, và du tác phâm “Cơ bản” của Euclide được viết với ý đồ xây dựng hình học
thành một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề Điều cần nói ở
đây là Euclide đã đưa ra một số tiên đề cho phép giải quyết nhiều bài toán về điện tích
theo quan điểm hình học và “điện tích chưa được biểu thị bằng con số” [14, tr 6] Tuy
nhiên, như một số nhà toán học của giai đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặc
biệt là diện tích và các tính chất của diện tích, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi số học và đại số đưới dang hình học (các hằng đẳng thức đại số, các tỷ lệ thức )
1.1.2 Bài toán cầu phương ở thế kỷ XVII
Cho đến tận thế kỷ XVI, khái niệm diện tích vẫn chưa được định nghĩa
Thời kỳ này, với sự phát triển của cơ học, thiên văn học, người ta đặc biệt quan tâm đến diện tích của các parabol, elip Nỗi bật trong giai đoạn này là việc Cavalieri
đưa ra phương pháp 7/zđivisible (không thể phân chia) để giải quyết bài tốn so sánh hay tìm tỉ số điện tích, thể tích hai hình Bang cách tìm tỉ số diện tích của hình với một
hình đã biết diện tích, phương pháp 7ndivisibie cho phép tính diện tích hình Cavalieri
xem một hình phẳng được tạo thanh ti nhiéu doan thang (cac indivisible) va tỉ số điện
Trang 12và gây ra nhiều cuộc tranh luận Thời kỳ này đặt nền tảng cho sự ra đời và phát triển
của phép tính vi - tích phân
1.1.3 Bài toán xác định hàm độ đo từ cuỗi thé ky XIX
Cuối thế kỷ XIX, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn Phép tính tích
phân trở thành một công cụ hữu hiệu để giải bài tốn tính diện tích Cũng trong thời kỳ
này, bài toán cầu phương hình trịn, bài tốn khó có từ thời Hy Lạp cỗ đại, được giải
quyết Năm 1882, Lindemann chứng minh được z là số siêu việt, nghĩa là không thể
cầu phương hình trịn bằng thước và com-pa
Một sự kiện lớn xảy ra trong thời kỳ này là một định nghĩa toán học cho khái
niệm diện tích đã được xây dựng Hilbert quan tâm đến việc tiên đề hóa hình học, xây
dựng nó thành một khoa học mà trong đó mọi khái niệm, khơng loại trừ điện fích, đều
được định nghĩa từ một số khái niệm ban đầu (gọi là khái niệm cơ bản) và những khái
niệm đã được định nghĩa ở trước Nhiều nhà toán học khác, trong đó có Lesbegue, lại
quan tâm đến bài toán “xác định một hàm độ do hở từ tập hợp các hình phẳng vào IR" (có thể bổ sung giá trị vô hạn œ tùy theo các hình có bị giới hạn bởi các biên hay không), thỏa mãn tính chất cộng tính và bắt biến qua phép doi hinh” (Perrin, tr 19) Diện tích sẽ được định nghĩa sau khi giải quyết được bài toán trên, hay cụ thể hơn là
bài toán xác định một hàm độ đo i thỏa các tính chất:
© Nếu 6 và Š; rời nhau, thì u(S,US,) = u(S,)+ u(S,) 5
e u(S)20 véi moi S ;
¢ V6i moi phép dang cy g, và với mọi mặt ®, ta có: (g())= u(S)
Tóm lại, nghiên cứu về lịch sử cho thấy khái niệm diện tích đã trải qua nhiều thế kỷ tiến triển và gắn liền với các bài toán: tinh điện tích, so sánh diện tích, cầu phương một hình Việc giải quyết bài toán cầu phương ở thời cỗ đại được thực hiện
bằng công cụ hình học Trong khi đó, đối với các bài toán tính diện tích, so sánh diện tích, người ta lại thường chuyển sang phạm vi số Thế nhưng, thực ra thì ngay cả đối
với nhiều bài toán thuộc dạng so sánh, fìm tỉ số diện tích, nhiều khi khơng nhất thiết
phải chuyên sang phạm vi số, nghĩa là vẫn có thể giải quyết chúng trong phạm vi hình
học Những tiên đề, mệnh đề tìm thấy trong bộ Cơ bản của Euclide cho phép thực hiện điều này Ở những tiên đề đó diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học
Trang 13lan at quan điểm hình trong việc giải các bài toán về diện tích
1.2 Khái niệm diện tích
Trong phần này, trước hết chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa diện tích của một
mặt đo được tùy ý, sau đó nêu những cách xây dựng khái niệm diện tích hình đa giác, loại hình đặc biệt mà ở chương sau sẽ được xem xét với tư cách là đối tượng dạy học
Các định nghĩa dưới đây được chúng tơi trích từ cơng trình của Perrin (1992) và Baltar (1996)
1.2.1 Định nghĩa diện tích một mặt đo được Š tùy ý
Để xây dựng khái niệm diện tích theo lý thuyết độ đo, người ta cần phải xác định sự tồn tại của hàm độ đo thỏa các tính chất nêu ở trên, nói cách khác là cần chỉ ra
cách tìm giá trị số tương ứng với mỗi mặt S Cách tiếp cận giải tích dưới đây cho phép
định nghĩa diện tích của một hình phẳng bắt kỳ, nhưng đòi hỏi phải sử dụng đến giới
hạn
e _ Chọn một hình vuông don vi C (u(C) =1)
e Chia nhỏ lưới các ô vuông C bằng những đường thắng song song với các cạnh,
chẳng hạn, chia mỗi cạnh hình vng C theo lũy thừa của 10: gọi C¡ là hình vng
thu được khi chia mỗi cạnh hình vng C thành 10’ phan bang nhau
e - Gọi ø; là số hình vng C; nằm hoàn toàn trong S, Ä; là số hình vng C; có ít nhất
một điểm chung với S
N.-n,
e Ching minh được 0? khi ¡ — œ
e_ Giới hạn chung của —”— và Ti gọi là diện tích của S
100' 100
Người ta cũng đã chứng minh được: nếu thay hình vng C bởi C’ có cạnh gấp
& lần cạnh của C thì diện tích tính theo C” bằng diện tích tính theo C chia cho #2; nếu
thực hiện một phép vị tự tỉ số & cho mặt thì diện tích của mặt qua phép vị tự gấp #2 lần
diện tích mặt ban đầu
1.2.2 Định nghĩa diện tích đa giác
Đối với trường hợp đa giác, việc định nghĩa diện tích không cần thiết phải sử
dụng giới hạn
> Định nghĩa của Lebesgue
Theo Lebesgue, diện tích của đa giác 4⁄4; 4a là giá trị
Trang 14giác nằm cùng nửa nằm mặt bờ là đường thẳng 44;.¡ và mang dấu — trong trường hợp
ngược lại
A 2 [4,4,.d(O, 4,A,) + A,A,.d(O, 4,4.) As +A,A,.d(O, A,A,) + A,A;.d(O, A,A;)
A A, —4;A,.d(O, 4;A,)]
Điểm mẫu chốt ở đây là chứng minh giá trị trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O Diện tích định nghĩa trong hợp này thỏa mãn các tính chất của hàm độ đo Tính bất biến của diện tích qua phép dời hình được suy ra từ tính bất biến của độ dai đoạn thắng qua phép đời hình
> Định nghĩa của Hadamard
Trong “Les legons de géométrie”, Hadamard (1902) có cách xây dựng tương tự trên, nhưng xuất phát từ trường hợp tam giác: diện tích tam giác 48C không phụ thuộc vào cách chọn cạnh đáy và cũng không phụ thuộc vào việc chọn điểm O, nd bang:
+ diện tich ABO + diện tích 4CO + diện tích #CO (mang dấu + nếu Ø nằm cùng phía
với tam giác so với cạnh đáy được xét và dâu — trong trường hợp ngược lại) Từ trường
hợp tam giác, Hadamard mở rộng cho trường hợp đa giác
> Định nghĩa của Hilbert
Lý thuyết về diện tích của Hilbert “cho phép xây dựng khái niệm diện tích cho các đa giác đơn giản, không cần chuyển qua số” (Baltar, tr 29)
Trước hết, Hilbert đưa ra định nghĩa về hai đa giác đẳng hợp, đẳng diện
© Hai đa giác được gọi là đẳng hợp nếu chúng có thể phân hoạch thành hữu hạn các tam giác bằng nhau từng đơi
¢ Hai da giác được gọi là đẳng điện nếu có thể thêm vào các đa giác khác đẳng hợp sao cho hai đa giác thu được là đẳng hợp
Sau đó, ơng chứng mỉnh các mệnh đề về sự đẳng hợp, đẳng diện của các hình bình hành, tam giác Đây là những mệnh đề làm cơ sở cho việc so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học
Sử dụng những kết quả quan trọng thu được trước đây, Hilbert dinh nghĩa:
“Một nửa tích của đáy nhân với chiều cao của tam giác A la độ ẩo diện tích của tam
giác A, ký hiệu bởi F(A)”
Độ đo diện tích F(P) của một đa giác được định nghĩa bằng tông các độ đo diện
Trang 15Lưu ý là trước đấy Hilbert đã xây dựng đại số các đoạn thắng, cho phép xác
định đoạn thắng bằng tích của hai đoạn thắng khác Như vậy, với cách xây dựng của Hilbert, diện tích một đa giác có thê hiểu như một bát biến hình học đặc trưng cho đa
giác Ấy
2 TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐÉN DIDACTIC
2.1 Một sự chuyển đối didactic khái niệm “diện tích”
Trong các cơng trình của Perrin (1992), Baltar (1996), chúng tơi tìm thấy cách tiếp cận khái niệm diện tích theo lớp tương đương và diện tích mang nghĩa đại lượng, đặc trưng cho một lớp các hình và không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo diện tích
“Nếu chọn một mặt đơn vị 4 và xác định được ánh xạ /¿ tương ứng, ta có thể xây
dựng một quan hệ tương đương zx như sau:
Sr48’ néu ta(S) = Hu(S”)
Các lớp tương đương này không phụ thuộc vào việc chọn 4 Chúng ta gọi diện tích œ của 4 là lớp tương đương của 44 theo quan hệ tương đương zx và định nghĩa độ đo của diện tích œ là độ đo của các mặt của œ Khi đó, chúng ta có biểu đồ giao hốn:
S—#“~>y]R'
AN am với mọi B thuộc S thì: X() = 8, m„(B)= n„(B)”
Cách tiếp cận theo lớp tương đương vừa nêu có nhiều khả năng xuất hiện trong dạy - học khái niệm diện tích, đặc biệt là khi thiết lập mối quan hệ giữa hình và số
Mối quan hệ hình - số này có thể được thiết lập trực tiếp hoặc qua một hình trung gian có cùng diện tích
2.2 Các quan niệm về khái niệm diện tích
Theo Baltar, trong biểu đồ giao hoán của Perrin (đề cập ở mục 2.1), cần phân biệt diện tích ở 3 cực sau đây:
— Cực hình học với các mặt; — Cực “đại lượng”;
— Cực số với các độ đo
Tuy nhiên, khi “chọn một đơn vị và đồng nhất diện tích với độ đo”, chúng ta sẽ
cịn hai cực: “hình học và số” Dựa theo hai cực hình - số này, chúng ta có các quan niệm về diện tích như sau:
— Quan niệm hình học: quan niệm này gắn diện tích với kích cỡ của mặt, tiếp
cận theo nghĩa “phan mặt chiếm đóng” hoặc dựa vào tri giác
— Quan niệm số (của Douady và Perrin-Glorian): diện tích là SỐ, phương diện
Trang 162.3 Bồn tổ chức toán học liên quan đến điện tích
Điều tra khoa học luận đã chỉ ra cho chúng tôi thấy có ba kiểu bài toán gắn liền với lịch sử tiến triển của khái niệm diện tích: tính diện tích, so sánh diện tích và cầu
phương một hình Nếu như kiểu bài toán thứ ba được người xưa giải quyết trong phạm vi hình học thì với bài tốn thứ hai, người ta lại có thể tiếp cận từ một trong hai quan
điểm hình hay số, hoặc kết hợp cả hai quan điểm đó Ở đây thuật ngữ quan điểm số được hiểu theo nghĩa nó đặt tương ứng diện tích với một số, cịn quan điểm hình thì dựa trên những khái niệm như đẳng hợp, đẳng diện để xem xét diện diện tích một hình
Những bài tốn này chắc chắn sẽ là một phần không thê thiếu trong dạy - học
“diện tích” Việc xác định tơ chức tốn học tham chiếu gắn với những bài toán trên sẽ cho chúng tôi một cơ sở để phân tích, đối chiếu, đánh giá các tổ chức toán học cần xây
dựng khi phân tích chương trình, sách giáo khoa
Trong nhiều bài toán so sớnh điện tích người ta có đề cập đến vấn đề rừn rỉ số điện tích của hai hình Nếu để trả lời câu hỏi so sdnh ta chi can cho biết diện tích hình
này lớn hơn hay bé hơn diện tích hình kia, thì bài tốn /ừn fỉ số diện tích đòi hỏi phải
cho một kết quả cụ thể hơn Cũng vì thế mà kỹ thuật tìm câu trả lời cho bài toán thứ
hai này sẽ mang những đặc trưng khác so với lời giải bài tốn so sánh
Vì lẽ đó, chúng tơi sẽ tách riêng bài toán fờm £ỉ số điện tích ra khỏi bài toán so sánh Như vậy, chúng tơi sẽ nói đến bốn bài tốn: fính, so sánh, tìm tỉ số diện tích và
câu phương một hình Trong cách tiếp cận của lý thuyết nhân chủng học, chúng tơi gọi
đó là bốn kiểu nhiệm vụ Từ việc nghiên cứu lịch sử, ta có thể chỉ ra những tô chức toan hoc (OM) lién quan đến bốn kiểu nhiệm vụ này
> Tổ chức toán học OM; gắn với kiểu nhiệm vụ tính diện tích một hình (Tuạp) Kỹ thuật giải có thể là:
— Sử dụng công thức đại số (xps) Kỹ thuật này áp dụng hiệu quả trong trường hợp có thể phân tích hình thành các hình có cơng thức tính diện tích như đa giác, hình trịn, hình vành khăn Ngày nay, cơng cụ tích phân cho phép chứng minh các cơng
thức tính đại số ấy
— Sử dụng công cụ tích phân (tụ) để tính diện tích của các hình khả tích
Kỹ thuật Yêu tô công nghệ Yêu tô lý thuyết
tps Các công thức đại sô Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật, các
cơng thức, tính chất của tích phân,
Tp Cac cơng thức tích phân | Giới hạn, định nghĩa và tính chât tích phân,
Trang 17> Tổ chức toán học OM; gắn với kiều nhiệm vụ so sánh điện tích (T,,) Kỹ thuật
giải có thể là:
— Kỹ thuật đại số rps: tính diện tích mỗi hình, đưa về so sánh số hoặc biểu thức kết quả Để tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích
phân
~— Kỹ thuật hình học tyy: tach - ghép, chồng hình dé so sánh trong phạm vi hình học Các mệnh đề như “Các hình chơng khít lên nhau thì bằng nhau”, “Tồn thể lớn
hơn một phân”, được sử đụng trong quá trình giải tốn
Kỹ thuật Yêu tô công nghệ Yêu tô lý thuyết
Ts Các công thức đại sô Định nghĩa, tính chât, cơng thức tính
Các cơng thức tích phân tích phân
THH Các tiên đề, mệnh dé vê diện tích | Các tiên đề, mệnh đề vê diện tích
của Euclide, Hilbert của Euclide, Hilbert
Bảng 1.2 Tổ chức toán học OM; gắn với kiểu nhiệm vụ Ts
> Tổ chức toán học OM; gắn với kiều nhiệm vụ tìm tỉ số diện tích (T„) Kỹ thuật giải có thể là:
— Kỹ thuật đại số tps: tinh dién tích mỗi hình và lập tỉ số hai số đo diện tích Để
tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích phân
— Kỹ thuật hình học tuụ: chia mỗi hình thành những phần bằng nhau và tìm được tỉ số diện tích thơng qua tỉ số các phần tương ứng
Kỹ thuật Yêu tô công nghệ Yếu tô lý thuyết
Ths Các công thức đại sô Định nghĩa, tính chât, cơng thức tính Các cơng thức tích phân tích phân
THH Các mệnh đê về sự dang diện Các mệnh đê về diện tích (hình) Các cơng thức tính diện tích (số)
Bảng 1.3 Tổ chức toán học OM; gắn với kiểu nhiệm vụ Tụ
> Tổ chức toán học OM, gắn với kiểu nhiệm vụ cầu phương đa giác (T,„) Kỹ thuật giải có thể là:
— xps: tính diện tích hình, từ đó tim các độ dài cần thiết để dựng hình
— Tun: dựng hình theo các mệnh đề của Euclide
Kỹ thuật Yêu tô công nghệ Yêu tô lý thuyết
Tos Các công thức đại sơ Tính chât diện tích, cơng thức tính
diện tích hình chữ nhật HH Mệnh đê 14, tập II, bộ Cơ bản Các mệnh đê của Euclide
Bảng 1.4 Tơ chức tốn học OM¿ găn với kiêu nhiệm vụ Tp
Trang 18
2.4 Vai trị của các cơng thức tính diện tích
Các cơng thức tính được xem như phương tiện cho phép chuyên từ phạm vi
hình học sang phạm vi số Nhờ chúng, người ta tính ra số đo diện tích và cũng thể hiện
mối quan hệ hàm số giữa các yếu tố của hình (như cạnh, góc) với điện tích của nó Về vấn đề này, Valentina (2005) đã đặc biệt quan tâm đến ba kiểu nhiệm vụ sau
khi nghiên cứu các sách giáo khoa của Pháp va Y
e Kiéu nhiém vu T,,: Tính diện tích một hình đa giác
e© Kiểu nhiệm vụ Tzy, So sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ
phận của nó
e - Kiếu nhiệm vụ Tạ„: Chứng minh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ
phận của nó bằng một số cho trước
Đây là các kiểu nhiệm vụ Tụm, Tss, T, với hình được xét là đa giác Valentina
chỉ rõ các yếu tố cịn lại (r¡, 0;, ©;) của những tổ chức toán học lién quan dén Ty, Try,
Tay được đưa vào như thế nào trong sách giáo khoa toán ở Pháp và Ý, theo nhiều chương trình khác nhau, áp dụng từ đầu thế kỷ XX đến đầu thế kỷ XXI Điểm chung
của các chương trình, sách giáo khoa là:
e Kỹ thuật giải tị cho kiểu nhiệm vụ T¡, là sử dụng cơng thức tính diện tích đa giác (phạm vi số);
e Kỹ thuật giải tạ cho kiểu nhiệm vụ Tạ, là sử đựng công thức tính diện tích đa giác (phạm vi số)
e Kỹ thuật giải t; cho kiểu nhiệm vụ Tay 1a chia da giác thành các tam giác có cùng diện tích (và/hoặc bằng nhan) (phạm vi hình học)
Cả hai kỹ thuật giải tị, tạ ở trên đều phải dựa vào các công thức tính diện tích,
hay nói cách khác, chúng có chung yếu tố công nghệ 9 là các công thức tính diện tích Trên cơ sở đó, Valentina xác định một tổ chức toán học địa phương (gồm hai tổ chức toán học bộ phận [T›„, tị, Ơ, ©], [T›y, ra, 8, O]) gắn liền với các cơng thức tính diện tích đa giác Ở đây, các cơng thức tính diện tích giúp thực hiện bước chuyền từ hình
sang số
Khi nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa Việt Nam, với việc sử dụng các tổ chức toán học tham chiếu theo cách phân chia của Valentina, chúng tơi sẽ có thê:
~— Tìm thấy những yếu tố công nghệ cho phép chuyền đổi phạm vi;
~— Đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng là đầy đủ hay không day du;
~— Đối chiếu, so sánh với các tổ chức toán học được xây dựng ở Pháp, Ý đề làm
rõ những đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi nghiên cứu (dạy-học toán ở
Trang 19Chúng tôi đã trình bày các cách tiếp cận khái niệm diện tích mà chúng tôi tổng hợp được từ các tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Việt Nam chọn cách tiếp cận nào?
Sự lựa chọn của sách giáo khoa dẫn đến hệ quả gì? Chúng tơi nỗ lực tìm câu trả lời và
Trang 20>_ Diện tích trong chương trình tốn phổ thơng >_ Diện tích trong các sách giáo khoa tiêu học > Diện tích trong sách giáo khoa lớp 8
Nghiên cứu ở chương 1 đã chỉ ra rằng vấn đề gắn liền với việc định nghĩa diện
tích trong lý thuyết độ đo là xác định một ánh xạ từ tập hình vào tập số Chúng ta cũng đã chỉ ra bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích các hình phẳng
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng
diện tích Thể chế mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là việc dạy học toán ở lớp 8 theo
chương trình và sách giáo khoa hiện hành Chúng tơi sẽ phân tích chương trình, sách
giáo viên, sách bài tập và đặc biệt là sách giáo khoa để tìm câu trả lời cho các câu hỏi
Qs, Q::
e Khai niém dién tich cac da gidc duoc trinh bày như thế nào trong sách
giáo khoa lớp 8 hiện hành?
e Những tổ chức toán học nào liên quan đến diện tích được đưa vào sách
giáo khoa?
e _ Có những quy tắc nào của hợp đồng đidactique?
1 DIỆN TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN BẬC PHỎ THƠNG
Diện tích được đưa vào giảng dạy ở các lớp 3, 4, 5 như những kiến thức chuẩn bị cho việc học chính thức từ lớp 8 Khái niệm giới hạn, tích phân được giảng dạy ở
bậc trung học phổ thông tạo điều kiện thuận lợi để học sinh bổ sung kiến thức về diện
tích Luận văn đặt trọng tâm nghiên cứu về dạy học diện tích ở bậc trung học cơ sở,
đặc biệt là lớp § Tuy nhiên, theo quan điểm sinh thái, cần thiết phải xem xét chương
trình trước và sau bậc học mà chúng tôi quan tâm
Dé thuận tiện, chúng tôi sẽ đùng ký hiệu sau đây:
—CT dé chỉ Chương trình giáo dục phố thơng mơn Tốn năm 2006;
Trang 21— Ms; dé chi sach giáo khoa toán 3, Mụ để chỉ sách giáo khoa toán 4, Mẹ để chỉ
sách giáo khoa toán 8 - tập một;
— để chỉ sách bài tập toán 8 - tập một
1.2 Diện tích trong chương trình tiểu học
Mục tiêu của bải đầu tiên, “Diện tích của một hình” là giúp học sinh:
“— Làm quen với khải niệm diện tích Có biểu tượng về khái niệm diện tích qua hoạt
động so sánh điện tích các hình
— Biết được: Hình này nằm trọn trong hình kia thì điện tích hình này bé hơn diện tích
hình kia Hình P được tách thành hai hình M và N thì diện tích hình P bằng tổng diện
tích hai hình M và N.” (Gạ, tr 234)
Nói cách khác, học sinh biết “so sánh điện tích hai hình trong một số trường
hợp đơn giản (bằng cách đếm số ô vuông trong mỗi hình rồi so sánh các số ơ vng
đó hoặc bằng cách chồng hình lên nhau)” (CT, tr 51) Học sinh có thé giải quyết bài
tốn so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học mà khơng cần sử dụng công
thức để chuyên sang phạm vi số Những trích dẫn trên cho thấy khái niệm diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học
Sau đấy, chương trình lớp 3 đưa vào các đơn vị đo diện tích, các quy tắc tính diện tích của hình chữ nhật, hình vng Lưu ý rằng, ở lớp 3, học sinh chưa được học
về biểu thức chứa chữ nên thay vì “cơng thức tính”, người ta nói đến “quy tắc tinh”
Để tính diện tích, học sinh áp dụng các gwy fắc (phát biểu ở dạng lời) Tên gọi công
thức chỉ xuất hiện sau khi học sinh học về biểu thức chứa chữ ở lớp 4, và quy tắc tính
diện tích hình chữ nhật được trình bày lại dưới dạng một công (hức ở trang 74, Mạ
Lớp 4 đưa vào cơng thức tính diện tích hình bình hành, hình thoi Lớp 5 trình bày thêm
cơng thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình trịn
Chương trình tiểu học yêu cầu học sinh biết các đơn vị đo diện tích, biết tính
diện tích theo quy tắc (công thức) Nói cách khác, đã có bước chuyển từ phạm vi hình sang phạm vi số đối với diện tích
Chúng tơi cịn thấy ở chương trình tiểu học của Việt Nam có mối tương quan
ràng buộc giữa tập só, hình, đơn vị đo, cơng thức tính Quy tắc, cơng thức tính diện
tích hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số tự nhiên được hợp thức bởi phép toán trên tập số tự nhiên Ngược lại, khi mở rộng tập hợp số, bài tốn tính diện tích một hình
(với việc chuyên đổi đơn vị đo) được sử dụng dé xây dựng phép tính trên tập số mới
1.2 Diện tích trong chương trình trung học cơ sở
Nếu ở bậc tiêu học, diện tích chỉ giữ vai trò kiến thức chuẩn bị, nằm rải rác, đan
xen trong các lớp 3, 4, 5 thì ở bậc trung học cơ sở, diện tích đa giác là một chương
Trang 22tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn mà khơng đưa vào định nghĩa, tính chất diện
tích trong phần lý thuyết Do đó, chúng tơi tập trung nghiên cứu về diện tích đa giác ở
lớp 8
Đối với diện tích, chương trình toán trung học cơ sở đặt ra các mục tiêu
* Về kiến thức:
“Hiểu cách xây dựng cơng thức tính diện tích của hình tam giác, hình thang, các hình tứ giác đặc biệt khi thừa nhận (không chứng minh) cơng thức tính điện tích hình chữ
nhật”
* Về kỹ năng:
— Vận dụng ẩược công thức tính diện tích các hình đã học
— Biết cách tinh diện tích của các hình da giác lơi bằng cách phân chia đa giác đó
thành các tam giác (CT, 118)
G, cé dé cập đến việc vận dụng các tính chất của diện tích, phân chia một hình
thành các đa giác đơn giản thay vì chỉ chia thành các tam giác Theo mục tiêu trên, việc thiết lập các công thức, sử dụng công thức là trọng tâm của chương trình
Nghiên cứu Gạ, chúng tôi tim thấy đoạn tài liệu tham khảo sau 6 trang 167:
Diện tích đa giác
Trong tốn học, người ta đã chứng minh được mệnh đề: Mỗi đa giác P bao giờ cũng
tương ứng một và chỉ một số thực dương Sp thỏa mãn các tính chất sau: 1 Hai đa giác bằng nhau thì hai số tương ứng bằng nhau, nghĩa là:
Nếu P = Q thì Sp = So
2 Nếu có một đa giác được chia thành những đa giác khơng có điểm trong chung thi
số tương ứng với đa giác bằng tổng các số tương ứng với các đa giác thành phần, có nghĩa là:
Nếu P= hUOBU (OP, và các P (= ln) khơng có điểm trong chung thi Sp =Sp +Sp, + +Sp
3 Hình vng có cạnh bằng một đơn vị dài thì tương ứng với số 1
Số dương duy nhất thỏa mãn cả ba tính chất trên được gọi là điện tích của đa giác P Nói cách khác, ta có ánh xạ S từ tập hợp 4 các đa giác P vào tập hợp IR” các số thực dương:
S:M>R* PS,
thỏa mãn hai điều kiện 2) và 3) nêu trên
Nhờ ánh xạ trên, ta có thể đặt tương ứng mỗi đa giác P với một số dương duy nhất Sp mà ta gọi là diện tích của đa giác P
Trang 23Đưa ra mệnh đề trên, Việt Nam đã lựa chọn xây dựng khái niệm diện tích thơng
qua giải quyết bài toán trong lý thuyết độ đo Sự tồn tại và duy nhất của hàm độ đo
được thừa nhận Vấn đề còn lại là xác định quy tắc tìm ảnh của hàm độ đo ấy, hay nói cách khác là cách xác định số thực dương SŠ; gắn với đa giác P Chính vì thế mà các
công thức tính diện tích được quan tâm xây dựng Chúng ta sẽ làm rõ hơn về việc hình thành các cơng thức tính diện tích trong phần phân tích sách giáo khoa
Cũng cần lưu ý rằng, ở Việt Nam, học sinh bậc trung học cơ sở được học hình học một cách hệ thống với các định nghĩa, định lý, lập luận chặt chẽ Những tri thức
hình học cần thiết cho day học diện tích đa giác ở lớp 8 cũng được đưa vào trước đấy, chang han: hai tam giác bằng nhau, các trường hợp bằng nhau của tam giác được đưa
vào giảng dạy từ lớp 7
1.3 Diện tích trong chương trình trung học phố thông
2 1
Ở lớp 10, ngồi cơng thức Š = 21h, „ học sinh được học thêm một sô cơng thức tính diện tích tam giác trong chương hệ thức lượng trong tam giác như: S=4jp(p-a)(p-b)(p-c), S =2bsinC, S =e, $= pr Đến lớp 12, học sinh
làm quen với khái niệm diện tích hình thang cong Tích phân được sử dụng như một
công cụ hữu hiệu để hợp thức các cơng thức tính diện tích, thể tích đã học và đề tính diện tích một số hình phẳng
Như vậy, bậc Trung học phố thông (lớp 10, lớp 12) cung cấp thêm các công cụ
để tính diện tích một hình, mà trong đó tích phân là một công cụ khá mạnh Chúng ta cũng cần lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông, chương trình khơng đưa vào các tính chất của diện tích cho trường hợp hình phẳng tổng quát Các tính chất của diện tích được ngầm thừa nhận, mở rộng cho trường hợp hình khơng là đa giác
2 DIỆN TÍCH TRONG CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TIỂU HỌC
Do sự kế thừa của chương trình tiểu học, nhiều cơng thức và tính chất liên quan đến diện tích nghiên cứu ở lớp 8 được mở rộng hoặc thậm chí giữ nguyên những gì đã
dạy ở đưới Vì thế, cần thiết phải nhìn lại sơ bộ các sách giáo khoa tiểu học
2.1 Về biếu tượng và tính chất của diện tích
Trong bài “Diện tích của một hình”, Mạ, trang 150 có đoạn:
1) e Hình chữ nhật nằm hồn tồn trong hình
trịn Ta nói : Diện tích hình chũ nhật bé hơn
Trang 24e Hình ¿* gồm 5 ô vuông như nhau Hình đÕ cũng gồm 5 ô vuông như thế
Ta nói : Diện tích hình ‹/% bằng diện tích
hình e8
e Hình £” gồm 10 ô vuông như nhau được tách thành hình Ì( gồm 6 ơ vng và hình
olÍ” gồm 4 ơ vng
Ta nói : Diện tích hình # bằng tổng diện
tích hình ÍL và hình Í” -
Qua hoạt động (1), học sinh được làm quen với khái niệm diện tích, có biểu
tượng về khái niệm diện tích Hoạt động được thực hiện trong phạm vi hình học, chưa
có bước chuyển sang phạm vi số Diện tích của hình (khơng nhất thiết phải là đa giác) có thể được hiểu như phần mặt phẳng hình chiếm đóng, đặc trưng hình học của các
miễn trong mặt phẳng
Một kiểu nhiệm vụ đã được đưa vào: so sánh diện tích hai hình (T;,) Kỹ thuật
giải là chồng hình lên nhau Yếu tố cơng nghệ là tính chất “hình nằm hồn tồn bên
trong có điện tích bé hơn” Đây là một tính chất quan trọng, được mặc nhiên thừa nhận, cho phép so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học và được sử dụng khi
xây dựng khái niệm tích phân ở lớp 12
Kỹ thuật chồng hình tỏ ra kém hiệu quá trong hoạt động (2) Bắt đầu có bước
chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ so
sánh, học sinh “có ý niệm “đo” diện tích qua các ơ vng đơn vị” (Ga, tr 235) Diện tích mang nghĩa số các ơ vng đơn vị (hình vng mà cạnh có độ dài bằng đơn vị) không có điểm trong chung, lap đây miền đó
Hoạt động (3) đề cập đến tính chất cộng tính của diện tích Đây là một trong
những tính chất rất quan trọng của diện tích
2.2 Về đơn vị đo diện tích
Đơn vị đo diện tích đầu tiên được đưa vào là cm’, “diện tích của hình vng có canh dai 1cm” (Mg, tr 151) Với việc chọn trước một đơn vị đo, diện tích của một hình có thể được quy ra các số đo và diện tích có bước chuyền từ phạm vi hình học sang phạm vi SỐ Ngoài đơn vị đo cmỶ, học sinh còn học về các đơn vị đo diện tích
khác: dm’, m”, km” (lớp 4), dam”, hm”, mm”, ha (lớp 5)
2.3 Về các cơng thức tính diện tích
Sau khi đưa vào cmỶ là diện tích hình vng đơn vị, M; đưa vào quy tắc tìm
Trang 25chữ nhật được quy về số ô vuông đơn vị can phi: kin hình chữ nhật ây Diện tích được tính bởi một con số đi kèm với đơn vị đo Giá trị số được tìm nhanh nhờ thực hiện phép nhân thay vì phép đếm Các quy tắc tinh phat biéu bằng câu văn được trình bày
lại dưới dạng công thức ở trang 74, Mạ Các công thức cho phép thực hiện bước
chuyển từ phạm vi hình học sang số, bài toán so sánh diện tích hai hình đưa về bài
tốn so sánh hai số, thậm chí khơng cần đến hình vẽ mà chỉ cần kích thước các cạnh
cần thiết
Ở bậc tiểu học, cơng thức tính diện tích đa giác được đưa vào theo trình tự:
1 Diện tích hình vng đơn vị (lớp 3);
Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật;
Quy tắc tính diện tích hình vng (lớp 3);
Cơng thức tính diện tích hình bình hành; Cơng thức tính diện tích hình thoi (lớp 4);
Cơng thức tính diện tích hình tam giác;
7 Cơng thức tính diện tích hình thang (lớp 5)
Điểm chung khi thiết lập các công thức mới ở bậc tiéu hoc 1a cat - ghép hình để
đưa về hình chữ nhật có cùng diện tích (phạm vi hình học), hay nói cách khác là phải giải quyết một phần kiểu nhiệm vụ cầu phương Tcp Ví dụ: M¿ đưa vào công thức tính diện tích hình bình hành ở trang 103 như sau:
e Cắt phần hình tam giác ADH rồi ghép như hình vẽ để được hình chữ nhật ABIH
Aw PYWN A B A B h Dé H re H: C iT a a
Diện tích hình bình hành ABCD bằng diện tích hình chữ nhật ABIH
Diện tích hình chữ nhật ABIH là a x h
Vậy diện tích hình bình hành ABCD là a x h
Diện tích hình bình hành bằng độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng một
đơn vị đo) Sách
(S là diện tích, a là độ dài đáy, h là chiều cao của hình bình hành)
Riêng đối với hình thang thì người ta cắt - ghép thành hình tam giác Kỹ thuật cắt - ghép mảnh bìa được sử dụng vì ở tiểu học, học sinh chưa học về các hình (tam giác) bằng nhau, và do đó chưa thể sử dụng lập luận toán học về sự bằng nhau của hai
hình Với cách thiết lập này, công thức không chỉ là công cụ, phương tiện cho phép
Trang 26khác: tìm được một hình chữ nhật (có chiều dài, chiều rộng là a, ø) có cùng diện tích với hình đã cho
Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật được hợp thức trong trường hợp các cạnh là số tự nhiên và được ngầm mở rộng, thừa nhận cho trường hợp phân số, số thập phân chang han như trong bài phép nhân phân số:
3 4 :
“Tính diện tích hình chữ nhật có chiêu dài 5 m va chiéu réng 3 m
Để tính diện tích của hình chữ nhật trên ta phải thực hiện phép nhân:
4 2
=x-.” s3 (M, „ tr 132 )
3 DIỆN TÍCH TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 8
Chương “Đa giác Diện tích ấa giác” trong Mạ gồm có sáu bài:
©_ Đa giác Đa giác đều
e _ Diện tích hình chữ nhật
e Diện tích tam giác e Diện tích hình thang
e_ Diện tích hình thoi
e Diện tích đa giác
Trong đó, bài đầu tiên giới thiệu về khái niệm đa giác, đa giác đều Diện tích đa
giác được trình bày ở các bài sau đó Tuy nhiên, khái niệm diện tích đa giác chỉ được
giới thiệu ở bài “Diện tích hình chữ nhật”, những bài sau đấy chủ yếu xây dựng công
thức và thực hành tính tốn
3.1 Về định nghĩa, tính chất của diện tích
Ms xem diện tích là một khái niệm quen thuộc đối với học sinh và hướng học
sinh hiểu “điện tích cũng là một số đo” (tr 116):
Trang 27“Xét các hình ứ, 2, %2 Ở, Ê vẽ trên lưới kẻ ô vuông, mỗi ô vuông là một đơn vị diện
tích
a) Kiểm tra xem có phải diện tích hình ý là diện tích 9 ơ vng, diện tích hình 28 cũng là diện tích 9 ơ vng hay khơng?
Ta nói: diện tích hình Z bằng diện tích hình Z
b) Vì sao ta nói: diện tích hình Ø gấp 4 lẫn diện tích hình €?
©) So sánh diện tích hình € với diện tích hinh €.” (Mg, tr 116)
“Diện tích hình ý là diện tích 9 ô vuông” Như vậy, diện tích của một hình
mang nghĩa số ô vuông đơn vị cần phủ kín hình ấy
Sau hoạt động vừa nêu, Mẹ đưa ra nhận xét (tr 117):
e _ Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là điện tích đa giác đó
e _ Mỗi đa giác có một diện tích xác định Diện tích đa giác là một số dương
Chúng tôi nhận thấy, sách giáo khoa đã xây dựng khái niệm diện tích theo tỉnh
thần của lý thuyết độ đo Hai nhận xét ở trên thừa nhận sự tồn tại của một ánh xạ /¿ đi từ tập hợp các đa giác vào tập hợp các số thực dương R”, và số đo (P) được gọi là diện tích của đa giác P Vấn đề là ánh xạ ấy có những tính chất gì, và tìm số đo
u(P) của đa giác P ra sao?
Các tính chất đặc trưng của diện tích đa giác được thừa nhận ở trang 117:
1 Haitam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
2 Nếu một đa giác được chia thành những đa giác khơng có điểm trong chung thi
diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó
3 Nếu chọn hình vng có cạnh bằng lcm, 1 dm, 1 m, lam don vi do dién tich thi don vi dién tich tuong tmg 1a 1 cm’, 1 dm’, 1 m’,
Tinh chất (2) là tính chất cộng tính Tính chất (1) là tính bất biến qua phép đẳng
cự (dời hình) Tính chất này được đề cập trong toán học với trường hợp “đa giác”, còn trong sách giáo khoa được trình bày với trường hợp “tam giác” Tam giác là một trường hợp đặc biệt của đa giác Hơn nữa, mọi đa giác đều có thể phân hoạch thành các tam giác và nhờ tính cộng tính, tính chất (1) trong sách giáo khoa mở rộng đến trường hợp đa giác
Như vậy, ánh xạ diện tích được ngầm nhắc đến thỏa các tính chất của hàm
độ đo Theo cách tiếp cận này, phải chăng sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi hơn
Trang 28Sự tồn tại và thỏa các tính chất cần thiết của ánh xạ diện tích ¿ đã được thừa nhận Hình vng đơn vị C được chọn làm đơn vị đo điện tích ( u(C) =1) Vấn đề tìm
số đo Š„ =u(P) tương ứng với mỗi đa giác P được giải quyết bằng cách đưa vào các công thức tính diện tích
3.2 Về các cơng thức tính diện tích
— Hình đầu tiên được đưa vào công thức tính diện tích ở bậc trung học cơ sở
cũng là hình chữ nhật Cơng thức được thừa nhận, không chứng minh:
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S=ab
(Mg, tr 117) we
Ching tdi nhac lai rang, trong tinh hudng thiét lap quy tac tinh dién tich hinh chữ nhật ở tiểu học, số đo các cạnh là số tự nhiên Sau đó, ngầm mở rộng cho trường
-*
hợp số đo các cạnh là phân số, số thập phân Vì jý đo sư phạm và chứng mỉnh chặt chẽ đòi hỏi các kiến thức về giới hạn, sách giáo khoa lớp 8 thừa nhận, không chứng minh định lý về cơng thức tính diện tích hình chữ nhật Ở thời điểm đưa vào cơng thức, học sinh đã hồn thiện tập hợp số hữu tỷ và cũng đã học những số vô tỷ Như thế, chúng ta
có thể xem công thức được thừa nhận cho trường hợp số đo cạnh là số thực dương — Với quan điểm “hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật, tam giác vuông là nửa hình chữ nhật (tr 117), Mẹ; đưa vào:
e_ Công thức tính diện tích hình vuông: S$ =a’
e Công thức tính diện tích hình tam giác vuông: S = ; ab
— Cong thire tinh dién tich tam giac S =sah được chứng mỉnh bằng cách xét các trường hợp tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác tù Tuy có sự chia hình, làm xuất hiện các tam giác vuông, nhưng cơng thức tính diện tích tam giác được ưu tiên chứng minh dựa trên các tính tốn đại số thay vì đưa về hình chữ nhật tương đương Ví dụ về trường hợp tam giác nhọn được trình bày ở trang 121:
“Tam giác ABC được chia thành hai tam giác vuông BHA và CHA, mà:
1
S BHA — 2PH.AH, So CHA = 2 HCAH
Vậy Sine = ; (BH + HC).AH = 5 BCAH >
— Với các tứ giác đơn giản khác (hình thang, hình bình hành, hình có hai đường
Trang 29cách chia đa giác thành các tam giác và dựa vào tính chất cộng tính để thực hiện tính
tốn đại số Để nhìn rõ sự tiến triển của chương trình, nét đặc trưng của các sách giáo khoa tiêu học và lớp 8 về diện tích đa giác phẳng, chúng tôi lập bảng so sánh sau:
Tiểu học Trung học cơ sở
Trình tự đưa vào công thức
1 Diện tích của hình chữ nhật 1 Diện tích hình chữ nhật
2 Diện tích hình vng 2 Diện tích hình vng/tam giác vng
3 Diện tích hình bình hành 3 Diện tích hình tam giác
4 Diện tích hình thoi 4 Diện tích hình thang/hình bình hành
5 Diện tích hình tam giác 5 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc/hình thoi
6 Diện tích hình thang 6 Diện tích đa giác bất kỳ
Kỹ thuật chủ yếu được dùng khi đưa vào công thức mới
Cắt - ghép hình để có hình chữ nhật | Phân chia hình thành các tam giác và
tương đương - cùng diện tích (phạm vi | thực hiện tính tốn đại số trên các cơng
hình học) thức (phạm vi đại số)
Bảng 2.1 Công thức tính diện tích trong chương trình tiểu học, trung học cơ sở
Giống như bậc tiểu học, ở lớp 8, việc xây dựng các công thức tính diện tích đa giác cũng bắt đầu từ định nghĩa diện tích hình vuông đơn vị, tiếp theo, sách giáo khoa đưa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật Sau đấy thì có khác biệt Chẳng hạn,
cơng thức tính diện tích tam giác được đưa vào sau hình bình hành ở bậc tiểu học,
nhưng ở bậc trung học cơ sở, trình tự có đảo ngược
Theo chúng tôi, kỹ thuật được sử dụng thiết lập công thức tính cũng là một trong những yếu tố tác động đến trình tự đưa vào các công thức Bậc tiêu học sử dụng phương pháp cắt - ghép, tạo hình chữ nhật cùng diện tích Bậc trung học cơ sở sử dụng kỹ thuật “phân chia đa giác đó thành các tam giác” và tính tốn trong phạm vi đại số để thiết lập công thức, tìm ra số đo tương ứng với đa giác đó Đưa vào các cơng thức tính diện tích các tứ giác đơn giản, dường như sách giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi hơn cho việc tính tốn, chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số Ngoài ra, phần lý
thuyết chỉ c6 tinh chat “hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích”, thiêu vắng các
Trang 303.3 Về các tố chức toán học
Trong phần này, chúng tơi phân tích những ví dụ, bài tập được đưa vào Ms và
E¿ Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra các tổ chức toán học hiện diện trong sách giáo khoa
3.3.1 Tổ chức toán học gắn với kiếu nhiệm vụ T; (tính diện tích của một đa giác)
T¡ Tính diện tích của một đa giác
Đây chính là kiểu nhiệm vụ đầu tiên, T,,, ma Valentina da đề cập đến khi phân tích các sách giáo khoa của Ý và Pháp Nếu cần phân biệt một cách rạch ròi kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này, chúng ta có thể dựa vào đặc trưng của đa giác cần tính
diện tích
* Đa giác đã có cơng thức tính diện tích (đa giác đơn giản):
Vi du: Bai tap 14 (Mg, tr 119)
“Một đám đất hình chữ nhật dài 700m, rộng 400m Hãy tính diện tích đám đất đó
Giải:
Diện tích: Š = 700x400 = 280000 (m?)”
+ Kỹ thuật giải tị:
— Xác định các độ dài cần thiết
— Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có
+ Yếu tố công nghệ 0;: các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn
giản
Đối với dạng này, các hình vẽ ít có ý nghĩa, thậm chí khơng cần đến sự xuất
hiện của hình vẽ
* Đa giác chưa có cơng thức tính diện tích:
Vi du: Bai tap 37 (Mg, tr 130)
“Thực hiện các phép đo cân thiết (chính xác đến mm) để tính diện tích hình ABCDE
ace
E
Hướng dẫn giải:
Trang 31Cân đo các doan thang (mm): BG, AC, AH, HK, KC, EH, KD
Tinh riéng Sazc, Saue, Soxc, Suxoe roi lay tong bon diện tích trên.” (Gạ, tr 179)
+ Kỹ thuật giải tịp;:
— Phan chia đa giác cần tính diện tích về các đa giác đơn giản
— Xác định các độ dài cần thiết
— Thay độ dài vào công thức tính diện tích đã có
Đoạn “cé thé chia da giác thành các tam giác hoặc tạo ra một tam giác nào đó có chứa đa giác”, “trong một số trường hợp J ] ta có thể chia đa giác thành nhiều tam giác vuông và hình thang vng” (Mạ, tr 129) có thể xem như lời hướng dẫn, giải thích cho học sinh cách phân chia
+ Yếu tố công nghệ 0;,: các định lý về cơng thức tính diện tích của đa giác đơn giản, các tính chất của diện tích
+ Yếu tố lý thuyết ©;: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của
hai tam giác, định lý về công thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không
chứng minh)
Trong toàn bộ hệ thống bài tập, chỉ có duy nhất mot cau 6 bai 41b (Mg, tr 132),
hình cần tính diện tích là một hình thang - có sẵn cơng thức tính - nhưng kỹ thuật giải
lại dựa vào việc đưa về tính điện tích hai tam giác rồi sử dụng tính chất diện tích, thực hiện phép trừ để tìm diện tích hình thang ấy Tuy nhiên, chúng ta cần chú ý rằng, trong
trường hợp này, sách giáo khoa đã “quên” đi hình đấy là hình thang mà chỉ sử dụng
câu lệnh “tính diện tích / giác EHIK”
Ở đây, chúng tôi tìm thấy vết của tơ chức toán học OM; được xây dựng từ kiểu nhiệm vụ Tạ Như bảng 1.1 đã chỉ ra, có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ
này Hiển nhiên, kỹ thuật dùng tích phân phải chờ đến lớp 12 mới xuất hiện
3.3.2 Tổ chức toán học gắn với kiễu nhiệm vụ T› (so sánh diện tích các đa giác)
Trong Mạ, chúng tôi cũng tìm thấy những nhiệm vụ thuộc kiểu Tạy mà Valentina đã chỉ ra khi nghiên cứu sách giáo khoa Ý và Pháp Đó là “so sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ phận của nó” Kỹ thuật giải là sử dụng công thức tính, chuyển sang so sánh trong phạm vi số Ngồi ra, phân tích hệ thống bài tập,
chúng tôi nhận thấy có những bài về so sánh diện tích hai đa giác thuộc kiểu nhiệm vụ
Ts;, chang han:
“Vé hinh chit nhét ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm [ ] So sanh dién tich hinh chit
nhật với hình vng có cùng chu vi ” , (Mg, tr 119, bai tap 15)
Lời giải được đưa ra trong Gs la:
2
Trang 324 (cm) Cạnh hình vng có chu ví bằng chu vi hình chữ nhật là x =
Diện tích hình vuông này là 4.4 = 16 (cm’)
VẬY Shinh chữ nhật Š Shìm vng ` (G, tr 166)
+ Kỹ thuật giải t;:
— Sử dụng công thức để tính diện tích mỗi hình; — So sánh các kết quả thu được và kết luận
+ Yếu tố công nghệ 6; là các định lý về công thức tính diện tích của đa giác đơn giản đã được trình bày ở phần lý thuyết
+ Yếu tố lý thuyết ©;: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của
hai tam giác, định lý về cơng thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không
chứng minh)
Từ Tạ, sách giáo khoa đã xây dựng một tổ chức toán học với các yếu tố công
nghệ, lý thuyết mà chúng tôi nêu trên Đó chính là vết của OM¿ Đối chiếu với
bang 1.2, ta thấy sách giáo khoa cũng chỉ sử dụng kỹ thuật tps, kỹ thuật ru không được khai thác
3.3.3 TỔ chức toán học gắn với kiếu nhiệm vụ T; (Chứng mình tỉ số diện tích của
hai da giác bằng một số cho trước)
Từ T;, Mạ đã xây dựng một tổ chức toán học là vết của OM: Liên quan đến T3, khi phân tích các sách giáo khoa Ý, Pháp, Valentina đưa ra kiểu nhiệm vụ T›y, “chứng
minh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ phận của nó bằng một số cho trước” Những bài tập như thế cũng có trong sách giáo khoa Việt Nam Tuy nhiên, ở đây chúng tơi cịn tìm thấy những bài tập dạng chứng minh hai đa giác có cùng diện tích, nghĩa là tỉ số diện tích giữa hai đa giác bằng 1 mà kỹ thuật giải có khác, nhưng vẫn nằm trong phạm vi hình học
* Kiểu nhiệm vụ con T„: chứng minh hai đa giác có cùng diện tích
Ví du: Bai tap 13 (Mg, tr 119)
“ABCD la hinh chit nhat, E la m6ét điểm bắt ki nằm trên đường chéo AC, FG //AD và
HK //AB Chứng mình rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích
Trang 33
S4BC = SADC Sare = Sane
Sexc = Szec
Suy ra: Sagc — Sare — Sexc = Sanc — Sang — ŠEGC
hay Srrex = Secor’ (Gg, tr 165)
Kỹ thuật giải t›„: chia mỗi đa giác ban dau sao cho có các cặp đa giác, tam giác bằng nhau; hoặc thêm/bớt các đa giác có cùng diện tích
* Kiểu nhiệm vụ con Tạ; (ti số khác 1) Vi du: Bai tap 34
“Cho một hình chữ nhật Vẽ tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật Ƒ ] So sánh diện tích hình thoi và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra cách tính
điện tích hình thoi” (Mụ, tr 128) A N B
“Dễ dàng thấy rằng
1 1 1
Swwro = 5 Sanco = 5 4B-BC = MP.NO” I p
(Gs, tr 177)
Gy xem ti sé gitta dién tich hinh thoi và
TẤT xa Tà 3# nhật bằng | 1à <JÃ Jazø>
diện tích hình chữ nhat bang 2 la “dé dang’ D Q C
đối với học sinh Học sinh có thể nhận thấy:
e _ Hình thoi MNPQ được chia thành 4 tam giác: MNI, NIP, PIQ, QIM
e Hình chữ nhật ABCD được chia thành 8 tam giác: MNI, NIP, PIQ, QIM,
AMN, NBP, PCQ, MDQ
©_ Các tam giác trên bằng nhau Do đó, S, ‘MNPO = 3s BCD *
Trong trường hợp này, sự bằng nhau về diện tích của hai tam giác bằng nhau
được thừa nhận ở tính chất đầu tiên của diện tích
Kỹ thuật giải tạ, (phạm vi hình học): chia mỗi đa giác ban đầu thành các tam giác có cùng diện tích
Hai kiểu nhiệm vụ T›„, T›, có cùng yếu tố cơng nghệ 0a, đó là các mệnh đề về
sự bằng nhau của diện tích hai tam giác
Phần lý thuyết chỉ đưa vào tính chất hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích, thiếu đi trường hợp hai tam giác không bằng nhau nhưng vẫn cùng diện tích Hệ
quả là các công thức sẽ được sử dụng để giải thích cho sự đẳng diện của hai tam giác
Yếu tố lý thuyết ©;: định lý về cơng thức tính diện tích tam giác (phạm vi số),
Trang 34Bên cạnh ba tổ chức toán học tương ứng với các tổ chức toán học Tịy, Tạy, Tạy mà Valentina xác định trong các sách giáo khoa Ý, Pháp, chúng tơi cịn tìm thấy ở
sách giáo khoa Việt Nam những tổ chức toán học gắn với các kiêu nhiệm vụ khác 3.3.4 TỔ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ Tạ (tìm độ dài thỏa mãn một điều kiện về diện tích)
Kiểu nhiệm vụ Tạ được chúng tôi đặt tên là “/ờn độ dai thỏa điều kiện diện tích”
Vi du: Bai tap 32 (Es, tr 130-141)
“Tim x biết đa giác có diện tích là 3375m” Giải:
Đa giác đã cho gồm một hình thang và một tam giác Shrink thang = 30 79 30 =1800 (m’) Stam giác = 3375 — 1800 = 1575 (m”) n= 2157 _ 45 (m), x = 45 + 30 = 75 (m)” 70 + Kỹ thuật giải tụ: — Xác định diện tích của một hình
~ Thay số vào cơng thức, giải phương trình (nếu cần) để tìm độ đài + Yếu tố công nghệ tối tiểu 0¿: định lý về cơng thức tính diện tích
+ Yếu tố lý thuyết ©¿: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của
hai tam giác, định lý về cơng thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không chứng minh)
3.3.5 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T; (Vẽ các đối tượng hình học thỏa
mãn một điều kiện về diện tích)
Vi du 6 trang 124, Mg, là một nhiệm vụ thuộc kiểu T; - vẽ các đối tượng hình học (điểm, hình) thỏa điều kiện diện tích
“Cho hình chữ nhật với hai kích thước a, b Hãy vẽ một tam giác có một cạnh bằng cạnh của hình chữ nhật và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật đó
Giải:
Tam giác có cạnh bằng a muốn có diện tích bằng a.b thì chiều cao ứng với cạnh a phải bằng 2b Một trong những tam giác như thế
Trang 35
+ Kỹ thuật giải tụ:
— Từ điều kiện đã cho và cơng thức tính diện tích, tìm mối quan hệ giữa các
độ dài;
— Vẽ hình từ mối quan hệ giữa các độ dài tìm được + Yếu tố công nghệ 0: cơng thức tính diện tích
+ Yếu tố lý thuyết ©„: các tính chất của diện tích, định lý về sự bằng nhau của
hai tam giác, định lý về cơng thức tính diện tích hình chữ nhật (thừa nhận, không
chứng minh)
Về bản chất, tổ chức toán học mà MẸ đã xây dựng từ T; chính là vết của OM¿ Lời giải trên cho thấy công thức cũng giữ một vai trò trung gian nối khớp giữa hai
phạm vi hình và số
3.3.6 Tổ chức toán học gắn với kiếu nhiệm vụ T, (Chứng mình tỉ số độ dài nhờ
diện tích)
Vi du: Bai tap 51 (Es, tr 132-146)
“Cho tam giac ABC voi ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H là trực tâm của tam giác do
Ching minh rang: HA’ + FB" + HC =1
AA' BB' CC'
Giải:
Ta 06: Sige + Snac + Sian = Sazc
S, S
S HBC 4 HAC 4 HAB — |
S ABC S ABC S ABC
„„ HA.BC_ HB'LAC HC'AB
tức là: + + =
AA'.BC_ BB'.AC CC'.AB HA' HB' HC! + + =
AA' BB' CC'
+ Kỹ thuật giải ts
— Sử dụng cơng thức, tính diện tích một hình bằng nhiều cách khác nhau,
thông qua các cặp cạnh khác nhau; Suy ra:
»
hay:
— Sử dụng tính duy nhất của diện tích một hình để suy ra đẳng thức cần
chứng minh
+ Yếu tố công nghệ 04: công thức tính diện tích, tính chất của diện tích (sự tồn tại duy nhất của số đo diện tích một hình)
Trang 36Nói chung, các cơng thức có thể giữ vai trị yếu tố cơng nghệ (để đễ theo dõi,
chúng tôi sẽ dùng chung ký hiệu Ôcr) như trong các tổ chức toán học gắn với các kiểu
nhiệm vụ Tị, T›, Ta, Ts, T, hoặc vai trò yếu tố lý thuyết như ở tổ chức toán học gắn với
T; Các cơng thức tính diện tích (ngoại trừ trường hợp hình chữ nhật được thừa nhận)
đều được hợp thức bởi các tính chất của diện tích, các định lý về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác Các tính chất, định lý giải thích cho cr thuộc vào các yếu tố lý thuyết cr
Các tổ chức toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ T¡, Tạ, Tạ, Ts, Tạ có chung yếu
tố cơng nghệ Øcr Chúng tôi tán thành với Valentina là năm kiểu nhiệm vụ trên lập
thành một tổ chức toán học Chúng tơi gọi đó là OMc+ Trong OMe+, đặc trưng số nổi
trội so với đặc trưng hình, các kỹ thuật đều sinh ra từ Đcr là các công thức tính diện tích Những cơng thức cần sử dụng để tích điện tích đa giác đều đã được đưa vào trong
Ms Về cơ bản, các công thức đều được Mẹ chứng minh, giải thích Do đó, chúng ta có thé xem tơ chức tốn học OM.r về cơ bản là đầy đủ
Tổ chức toán học [Tạ¿, Ti, 93, O3] voi i= a hoadc ¡ = b, ký hiệu là OMj, có kỹ thuật giải tạ; mang đặc trưng hình học, dựa vào các mệnh đề về sự đẳng diện của hai đa
giác để giải toán Nghiên cứu các tác phẩm Cơ bản (Euclide), Cơ sở hình
học (Hilbert), chúng ta thấy các mệnh đề ấy có thể chứng minh trong phạm vi hình
học, khơng cần sử dụng công thức Tuy nhiên, phần lý thuyết của Ms chưa nêu đủ các
yếu tố công nghệ cần thiết đề giải thích cho kỹ thuật trong phạm vi hình học, nói cách khác, tơ chức toán học OM chưa đầy đủ Cụ thể, Mẹ giới thiệu tính chất đẳng diện của hai tam giác đồng nhất, không đề cập đến những trường hợp khác Để giải thích
những mệnh đề ấy dưới dạng giải bài tập, học sinh cần sử dụng đến công thức
Chúng tôi thống kê số lượng các nhiệm vụ theo mỗi kiểu nhiệm vụ trong
bảng 2.2
Dựa vào bảng 2.2, chúng ta có thê nhận thấy hầu hết các bài tập là vận dụng các
công thức tính Hơn nữa, trong số 17 nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T: thì có 7 nhiệm
vụ có dùng đến hai tam giác cùng diện tích nhưng khơng đồng nhất, nói cách khác là cơng thức ngầm xuất hiện ở vai trị yếu tơ lý thuyết Như vậy, chỉ có 10/136 nhiệm vụ được giải bằng các tính chất, khơng cần dùng đến công thức và 126/136 nhiệm vụ cần
đến công thức
Trong số 126 nhiệm vụ cần đến công thức, chúng tơi nhận thấy có:
e 24 nhiệm vụ (5 bài tập) sử dụng công thức để thiết lập mối quan hệ hàm số giữa độ dài và diện tích;
Trang 37e_ 55 nhiệm vụ sử dụng công thức trong phạm vi đại sỐ, dùng chữ thay số để tính toán, so sánh
Kiểu nhiệm vụ Kỹ Công y Số lượng
thuật| nghệ | thuyết | Vị dụ | SGK | SBT | Ting
T¡ Tính diện tích T1 ct ©cr 3 19 | 31 | 53
Tu Ocr @cr 1 13 23 37
Tibs Øcr+TC Ocr 2 6 8 16
Ta So sánh diện tích 1a Ocr cr 18 | 10 | 28
Ta, Chứng minh tỉ số diện tích 9 § 17
Ta (ti s6 bang 1) Ta T/chất | CT+TC 6 5 11
Tay (vết của Ta,) Tp T/chất | CT+TC 3 3 6
Ta Tìm độ dai tạ @cr ©cr 3 | 16 | 19
Ts Vé hinh Ts Ocr cr 2 9 4 15
Tạ Chứng minh tỉ số độ dài 16 Ocr @ct 1 3 4
nho dién tich
Tổng 5 59 | 72 | 136
Bang 2.2 Bang thong ké theo kiéu nhiém vu
Tổ chức tốn học Ví dụ SGK SBT Tổng
OMcr 5 50 64 119
OM 9 8 17
Tổng 5 59 72 136
Bảng 2.3 Bảng thống kê theo tổ chức toán học
4 KÉT LUẬN
Nghiên cứu về chương trình, sách giáo khoa ở Việt Nam cho thấy có bước
chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số đối với khái niệm diện tích Diện tích
được hình thành với biểu tượng ban đầu là bề mặt các hình và chuyên dần sang phạm
Trang 38Các cơng thức đóng vai trị phương tiện cho phép chuyên đổi từ phạm vi hình
sang phạm vi số Nói cách khác là “ổn tai mdi liên hệ giữa phạm vì hình và phạm vi
số” Trình tự đưa vào các cơng thức có thay đổi ở hai bậc học Tuy nhiên, có sự thay
déi trong cach lý giải cho các công thức giữa hai bậc Bậc tiểu học thực hiện cắt - ghép
các hình để đưa về một hình (chữ nhật) đã có cơng thức tính diện tích, sau đó mới đưa vào cơng thức mới từ cơng thức tính diện tích của hình đã biết Quy trình này thiên về
phạm vi hình học Bậc trung học cơ sở tuy đã có các định lý để chứng minh sự bằng
nhau của hai hình tam giác thay vì cắt - ghép nhưng quy trình lại thiên về phạm vi đại
SỐ Mẹ không xác định một hình chữ nhật có cùng diện tích (phạm vi hình học) như ở bậc tiểu học, mà áp dụng công thức tính diện tích tam giác và thực hiện tính tốn, rút
gọn cơng thức trong phạm vi đại số Nhiều cơng thức tính diện tích được thiết lập, các
bài tập tính diện tích một hình chủ yếu là vận dụng ngay công thức khi có đủ các độ
dai cần thiết Với sự thay đổi như thế, và sự chưa đầy đủ của tổ chức toán học OMuu
mang đặc trưng hình, dường như “sách giáo khoa bậc trung học cơ sở tao điễu kiện thuận lợi hơn cho quan niệm đại số về diện tích”
Phân tích trên dẫn chúng tôi đến với hai giả thuyết liên quan đến thực tế dạy học chương “điện tích ấa giác” ở lớp 8 Hai giả thuyết này liên quan đến hai chủ thé
chính của q trình dạy - học
Về phía giáo viên, giả thuyết chúng tôi đưa ra là:
Hị “Trong hoạt động giảng dạy, giáo viên ưu tiên cho cách tiếp cận diện tích từ quan điểm số”
Đối với học sinh, chúng tôi phát biểu giả thuyết sau:
Hạ “Các chiến lược mang bản chất hình học không thực sự sẵn có ở học sinh trung học cơ sở nói chung, lóp 8 nói riêng Ở họ, quan niệm gắn diện tích của một hình với số chiếm ưu thế so với quan niệm xem diện tích là phần mặt phẳng được giới
hạn bởi hình đó”
Trang 39Chương 3
> Thực nghiệm đối với giáo viên
> Thực nghiệm đối với học sinh
Nghiên cứu mối quan hệ thể chế dạy học toán bậc trung học cơ sở ở Việt Nam
với đối tượng diện tích đã dẫn chúng tôi đến với hai giả thuyết:
Hị “Trong hoạt động giảng dạy, giáo viên ưu tiên cho cách tiếp cận diện tích từ quan điểm số”
Hạ “Các chiến lược mang bản chất hình học khơng thực sự sẵn có ở học sinh trung học cơ sở nói chung, lớp 8 nói riêng Ở họ, quan niệm gắn diện tích của một hình với số chiếm ưu thế so với quan niệm xem diện tích là phần mặt phẳng được giới
hạn bởi hình đó”
Để có thể kiểm nghiệm tính thỏa đáng của hai giả thuyết trên, chúng tôi tiến hành thực nghiệm với cả hai đối tượng: giáo viên và học sinh
1 THỰC NGHIỆM ĐÓI VỚI GIÁO VIÊN
Nghiên cứu sách giáo viên, chúng tôi nhận thấy có những bài tốn được gợi ý là
nên dùng để ứừm hiểu cách chứng minh khác về định lý, cơng thức tính điện tích (Ga, tr 169-174), nghĩa là cần giải quyết những bài toán ấy trong phạm vi hình học, từ đó
đưa vào cơng thức tính diện tích của hình Tuy nhiên, hướng dẫn giải sau đấy lại thiên
về cách áp dụng công thức Cũng như thé, trong hệ thống bài tập, đối với những bài có
thể giải trong phạm vi hình học hoặc thực hiện bước chuyên sang phạm vi đại số thì sách giáo khoa lại ưu tiên cho kỹ thuật đại số (dùng công thức)
Thực nghiệm này được xây dựng đề tìm hiểu quan niệm về diện tích được ưu tiên day trong thực tế, và những kỹ thuật giải toán được giáo viên mong đợi ở học sinh
Đối tượng thực nghiệm là những giáo viên đang giảng dạy toán ở một số trường
trung học cơ sở trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh
Hình thức thực nghiệm: chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với giáo viên
thông qua các “phiếu tham khảo ý kiến của giáo viên” Giáo viên nhận phiếu, trả lời 5
Trang 40Số phiếu phát ra tương đối nhiều, nhưng trong khả năng cho phép, chúng tôi chỉ
thu về được 22 phiếu của giáo viên các trường THCS Thăng Long (Quận 3), THCS Khánh Hội A (Quận 4), THCS Lam Sơn, THCS Nguyễn Văn Luông (Quận 6), THCS Bình Trị Đơng (Bình Tân)
1.1 Giới thiệu bộ câu hỏi
1.1.1 Câu 1
“Theo ÿ kiến của Thây Cô, nên giải thích cho học sinh hiểu thế nào về diện tích một hình phẳng?”
Câu hỏi 1 được đưa ra nhằm tìm hiểu quan điểm của giáo viên trong việc dạy
khái niệm diện tích cho học sinh
Sách giáo khoa không đưa ra một định nghĩa tường minh nào cho khái niệm
diện tích Các tính chất được thừa nhận và nội dung chủ yếu là xây dựng các cơng thức
tính
Những câu trả lời có thể: những câu trả lời thu được có thể xếp vào hai nhóm
chính, tương ứng với hai quan niệm về diện tích như sau:
~— Quan niệm hình học: điện tích là bề mặt hình, phần mặt phẳng bị chiếm đóng — Quan niệm số: diện tích là số đo (tính được bằng cách dùng công thức) 1.1.2 Câu 2
Liên quan đến việc dạy học “điện tích” ở bậc trung học cơ sở, theo ý kiến của Thây Cơ:
Khơng Ít quan | Quan | Rất quan
quan trọng trọng trọng trọng
2a Cung câp cho HS định nghĩa vệ diện tích
2b Chứng minh các công thức tính diện tích
2c Cho HS làm nhiêu bài tập vỆ diện tích với
cách giải không cần dùng đến công thức
2d Yêu câu HS thuộc công thức và ưu tiên dùng
cơng thức để giải tốn về diện tích
Dựa vào câu trả lời được giáo viên lựa chọn, chúng tơi có thể hiểu được thêm quan điểm của họ về mục đích của dạy học “diện tích” ở bậc trung học cơ sở
1.1.3 Câu 3
“Có ý kiến cho rằng “có thể đưa ra một cách chứng mình khác về diện tích hình bình
hành” thơng qua việc trả lời câu hỏi ở bài tập 27 (SGK 8, tr 125): “ƒì sao hình chữ nhật ABCD và hình bình hành ABEF lại có cùng diện tích?”
D C F E