Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN docx

Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân phương trình chứa biến số độc lập, hàm phải tìm ( tức ẩn) đạo hàm Nếu phương trình vi phân (ptvp) có hàm biến phương trình gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm phải tìm hàm nhiều biến số ptvp gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Ví dụ 6.1 Các phương trình ysinx + y cosx − = y − 2y = y − 4y = ex − x phương trình vi phân thường Các phương trình ∂ 2z ∂ 2z + =0 ∂x2 ∂y ∂ 2u ∂ 2u − a2 = ∂x2 ∂y phương trình vi phân đạo hàm riêng Chú ý: - Ta xét phương trình vi phân thường - Ta gọi cấp cao đạo hàm có mặt phương trình vi phân cấp cao phương trình vi phân 6.1 6.1.1 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa khái niệm a) Định nghĩa Định nghĩa 6.1 Phương trình vi phân cấp pt có dạng: F (x, y, y ) = (6.1) Trong F hàm biến độc lập; x: biến độc lập ; y = y(x): hàm phải tìm; y đạo hàm y Ngồi người ta cịn viết phương trình vi phân cấp có dạng: y = f (x, y) f (x; y) với f (x; y) hàm biến độc lập dy = dx 63 http://maths3.wordpress.com b Nghiệm phương trình vi phân Là hàm y = y(x) ϕ(x; y) = xác định khoảng (a; b) nghiệm phương trình (6.1) Nếu thay vào phương trình vi phân (6.1) ta có đồng thức Khi đồ thị y = y(x) gọi đường cong tích phân phương trình vi phân Ví dụ 6.2 Phương trình y = 2x ptvp cấp 1, có nghiệm y = x2 Ngoài ra: y = x2 + C, C =Const nghiệm phương trình vi phân c Nghiệm tổng quát ptvp Là hàm số có dạng y = ϕ(x; C) ϕ(x; y; C) = (C- số) thoả mãn điều kiện: i) Nó thoả mãn phương trình giá trị C ii) Tại điểm (xo ; yo ) ta tìm giá trị C0 cho hàm số y = ϕ(x; C0 ) thoả mãn điều kiện y|x=x0 = y0 d Nghiệm riêng ptvp Hàm số y = ϕ(x; C0 ) ứng với giá trị C0 điểm (x0 ; y0 ) gọi nghiệm riêng phương trình Nó biểu diễn đường cong qua điểm (x0 ; y0 ) Ví dụ 6.3 Phương trình y = y có nghiệm tổng qt ln y = x + C với y = nghiệm riêng (1;1) ln y = x − nghiệm kì dị y = e Bài tốn Cauchy Bài tốn tìm nghiệm phương trình (6.1) thoả mãn điều kiện y(x0 ) = y0 (tức nghiệm riêng) phương trình gọi tốn Cauchy Điều kiện y(x0 ) = y0 viết dạng y|x=x0 = y0 gọi điều kiện ban đầu Ví dụ 6.4 Giải ptvp y = cos x thỏa mãn điều kiện y|x=0 = Lời giải R y = cos xdx + C hay y = sin x + C (C = const), y(0) = ⇒ = sin + C ⇒ C = 1, nghiệm riêng muốn tìm y = sin x + f Định lí tồn nghiệm Định lý 6.1 Cho phương trình vi phân cấp 1: y = f (x; y) Nếu hàm f (x; y) liên tục miền D ⊂ R2 chứa điểm (x0 , y0 ) tồn nghiệm y = y(x) phương trình thỏa mãn điều ∂f kiện ban đầu y = y|x=x0 = y0 Ngoài ra, liên tục nghiệm nói ∂y 6.1.2 Các phương trình vi phân cấp Phương trình với biến số phân ly a Định nghĩa Định nghĩa 6.2 Là phương trình có dạng: f1 (x)dx + f2 (y)dy = (6.2) f1 (x) + f2 (y).y = b Cách giải Lấy tích phân hai vế phương trình (6.2) ta có: c Ví dụ R R f1 (x)dx + f2 (y)dy = C 64 http://maths3.wordpress.com x3 y + =C Ví dụ 6.6 y = (1 + y ).ex ⇔ y = tan(ex + C) Ví dụ 6.5 x2 dx + ydy = ⇔ Chú ý: Phương trình vi phân có dạng: f1 (x)g1 (y)dx + f2 (x)g2 (y)dy = phân ly biến (6.2 ) gọi phương trình Nếu f2 (x).g1 (y) = 0, chia hai vế (6.2 ) cho f2 (x).g1 (y) ta có: f1 (x) g2 (y) dx + dy = f2 (x) g1 (y) phương trình biến số phân ly Nếu g1 (y) = y = b nghiệm kỳ dị Nếu f2 (x) = x = a nghiệm kỳ dị Ví dụ 6.7 Giải phương trình vi phân: (y − 1)dx − y(x2 + 1)dy = Phương trình có: + Nghiệm tổng qt là: arctgx = ln |y − 1| + C + Nghiệm kỳ dị y = ±1 Phương trình a Định nghĩa Định nghĩa 6.3 Hàm f (x, y) gọi cấp n ∀x, y ∀t > ta có: M (tx; ty) = tn M (x; y) Nếu hàm số M (x, y) N (x, y) cấp n phương trình vi phân: M (x; y)dx + N (x; y)dy = (6.3) gọi phương trình b Cách giải  ‹ y dy =f Dạng dx x (6.3 ) với f hàm biến Đặt y = xu ⇒ y = u x + u Thay vào phương trình (6.3 ) ta được: u x + u = f (u) ⇔ dx x du = f (u) − u (∗) ( phương trình với biến số phân ly) Khi giải pt (∗) ta nhận nghiệm tổng quát f (u) − u = Nếu f (u) − u = Tại u = a ta có thêm nghiệm kì dị y = ax x−y Ví dụ 6.8 Giải phương trình y = x+y Ví dụ 6.9 Giải phương trình dy Dạng =f dx ‚ dy x2 + y = , dx −2xy Œ y(1) = a1 x + b y + c (6.3 ) a2 x + ă2 y + c2 b ă a1 x + b y + c = X = x − x1 + Nếu hệ phương trình có nghiệm (x1 ; y1 ) đặt a2 x + b y + c = Y = y − y1   dY Y Khi phương trình (6.3) a v dng (6.3) =F dX X ă a1 x + b y + c = + Nếu hệ phương trình: vơ nghiệm đặt u = a1 x + b1 y Khi phương a2 x + b y + c = trình cho trở thành phương trình tách biến 65 http://maths3.wordpress.com dy xy+1 = dx x+y3 ă ă xy+1=0 x1 = Hệ phương trình có nghiệm x+y−3=0 y1 = ă X Y dY X =x1 = t Ta có Y =y−2 dX X +Y Y du 1−u (1 + u)du dX đặt = u ta có u + X = ⇒ = X dX 1+u − 2u − u X 1 ⇒ − ln − 2u − u2 = ln |X| − ln |C| 2 2 ⇒ (1 − 2u − u )X = C ⇒ (X − 2XY − Y ) = C Ví dụ 6.10 Giải phương trình ⇒ x2 − 2xy − y + 2x + 6y = C1 với C1 = C + Phương trình vi phân tồn phần a Định nghĩa : Định nghĩa 6.4 Là ptvp có dạng P (x; y)dx + Q(x; y)dy = (6.4) Trong vế trái vi phân toàn phần hàm số U (x, y) Nghĩa dU (x; y) = P (x; y)dx + Q(x; y)dy (6.4 ) b Cách giải : Từ (6.4) (6.4 ) ⇒ U (x; y) = C nghiệm phương trình Định lý 6.2 Điều kiện cần đủ để (6.4) ptvp tồn phần Khi hàm U (x; y) = x R M (x, y)dx + x0 Hoặc U (x; y) = x R x0 M (x, y0 )dx + y R y0 y R ∂Q ∂P = miền D ∂y ∂x N (x0 , y)dy N (x, y)dy y0 Ở x0 , y0 điểm thuộc miền D mà M, N khơng đồng thời triệt tiêu c.Ví dụ Ví dụ 6.11 Giải phương trình (x2 + y )dx + (2xy + cos y)dy = ∂P ∂Q Ta có = 2y = ∂y ∂x Vậy phương trình phương trình vi phân tồn phần Chọn (x0 ; y0 ) = (0; 0) y x R R x3 2 Ta có U (x; y) = (x + y )dx + cosydy = + y x + sin y + C 0 x3 Do nghiệm phương trình + y x + sin y + C y2 2y )dx + dy = x x y2 2y −2y Hàm số P (x, y) = − , Q(x, y) = liên tục R\(0, y) có Py = Qx = x x x Ví dụ 6.12 Giải phương trình (4 − 66 http://maths3.wordpress.com x R Vậy, phương trình phương trình vi phân tồn phần Lấy (1, 0) , ta có: u (x, y) = y R 2y y2 dx = 4x − + 4dx + x x Vậy, nghiệm tổng quát phương trình cho 4x2 + y − 4x = Cx * Chú ý: Trường hợp (6.4) không ptvp tồn phần Khi đó, tồn α (x, y) cho pt: ∂ (αQ) ∂ (αP ) = ) hàm α (x, y) α (x, y) [P (x, y) dx + Q (x, y) dy] = ptvp toàn phần ( tức ∂y ∂x gọi thừa số tích phân Ta xét α có dạng đặc biệt ∂α + α = α (y) Khi đó, = Điều kiện (∗) trở thành : α P + αPy = αQx , ∂x ∂P ∂Q − ∂y ∂x Tức tìm α = α (y) không phụ thuộc x P ∂α +α = α (x) Khi đó, = điều kiện (∗) trở thành α Q + αQx = αPy ∂y ∂P ∂Q − ∂y ∂x Tức tìm α = α (x) khơng phụ thuộc vào y Q Ví dụ 6.13 GPT (2xy − 3y ) dx + (7 − 3xy ) dy = Giải Ta tìm thừa số tích phân dạng α(y) Từ (∗) ta có pt: α P + αPy = αQx hay αy (2xy − 3y ) + α (4xy − 9y ) = α (−3y ) ⇒ y (2x − 3y) α + 2y (2x − 3y) α = ⇒ yα + 2α = (y = 0, 2x = 3y) α dα 2dy C ⇒ =− ⇒ ln = ln ⇒ α = α y C y y 1 Chọn C = ta α = đó, ta có phương trình [ (2xy − 3y ) dx + (7 − 3xy ) dy] = y Œ y ‚ hay (2x − 3y) dx + − 3x dy = (∗∗) y2 ta có Py = −3 = Qx (∗∗) ptvp toàn phần Chọn x0 , y0 = (0, 1), ∀y = 0, 2x = 3y u (x, y) = x2 − 3xy − = C y = nghiệm kỳ dị y Ví dụ 6.14 gpt (x + y ) dx − 2xydy = Tìm thừa số tích phân dạng α = α (x) = y2 Khi đó, nghiệm ln |x| − = ln |C| y2 x Phương trình vi phân tuyến tính a Định nghĩa Định nghĩa 6.5 : PTVP tuyến tính cấp PT có dạng y + p (x) y = f (x) đó, p (x) , f (x) hai hàm liên tục (a, b) Nếu f (x) = PT dạng y + p (x) y = (6.5 ) PT tuyến tính b Cách giải Giải phương pháp biến thiên số + Giải pt (6.5 ) (6.5) 67 http://maths3.wordpress.com PT (6.5’) có nghiệm y = Với y = PT (6.5 ) tương đương dy dy = −p (x) dx ⇔ = −p (x) dx y y R R ⇔ ln |y| = − p (x) dx + ln |C| ⇔ y = Ce− p(x)dx (C = 0) R + Giải (6.5): sau tìm nghiệm (6.5 ) dạng y = Ce− p(x)dx , ta có C = (x) hàm số R ẩn x, y = C (x) e− p(x)dx (6.5 ) Lấy đạo hàm theo x sau thay vào PT (6.5) để tìm C(x) , thay C(x) vào (6.5 ) ta có nghiệm PTVP cho Ví dụ 6.15 gpt (x2 + 1) y + xy = thỏa mãn điều kiện y|x=0 = Giải Xét pt tương ứng: (x2 + 1) y + xy = dy x C Với y = 0, ta có =− dx ⇒ ln |y| = ln √ + ln |C| ⇒ y = √ (∗) y x +1 x +1 x +1 √ x C (x) x2 + − √ C (x) C (x) x +1 , Coi C = C(x) thay vào (∗), ta y = √ ⇒y = x2 + x +1 √ thay vào pt ban đầu ta C (x) x2 + = ⇒ C (x) = √ ⇒ C (x) = x +1 √ ln x + x2 + + C1 √ ln x + x2 + + C1 √ Vậy ta có nghiệm tổng quát pt: y = x2 + Mặt khác, y(0) = nên C1 = √ ln x + x2 + + √ Do vây, nghiệm riêng pt thỏa mãn đk: y(0) = y = x2 + Ví dụ 6.16 gpt y − ycotgx = 2x sin x Giải Xét pt tuyến tính nhất: R y − ycotgx = ⇒ y = C (x) e cot gxdx ⇒ y = C (x) sin x C (x) sin x + C (x) cos x − C (x) cos x = 2x sin x Thế vào pt ban đầu ta được: ⇒ C (x) = 2x ⇒ C (x) = x2 + C1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình y = x2 sin x + C1 sin x 3y Ví dụ 6.17 gpt xy − 3y = x2 ⇒ y − =x x Nghiệm tổng quát pt nhất:  = Ce3 ln x = Cx3 y  Nghiệm tổng quát pt cho: y = − + C1 x3 = −x2 + C1 x3 x Phương trình Bernoulli a Định nghĩa Định nghĩa 6.6 : PT có dạng: y + p (x) y = f (x) y α p (x) , f (x) hàm liên tục +) α = (6.6) PT tuyến tính +) α = (6.6) PT với biến số phân li (α = 1, α = 0) (6.6) 68 http://maths3.wordpress.com b Cách giải Nếu y = 0, chia hai vế (6.6) cho y α ta được: y −α y + p (x) y 1−α = f (x) z + p (x) z = f (x) Đặt z = y 1−α ta z = (1 − α) y −α y thay vào PT (6.6) ta có: 1−α Đây PT tuyến tính z, hay: z + (1 − α) p (x) z = (1 − α) f (x) Giải PT này, ta nghiệm z = z (x) trả biến ta tim nghiệm tổng quát PT cho c Ví dụ √ Ví dụ 6.18 gpt y − y = x y x 1 − √ Giải Đây PT Bernoulli với α = , chia vế cho y ta y y − y = x x 1 y √ Đặt z = y ⇒ z = √ ⇒ y = 2z y, thay vào PT ta 2z − z = x ⇒ z − z = x y x x (phương trình tuyến tính) + Nghiệm tổng qt PT tuyến tính tương ứng là: z = Cx2   + Nghiệm tổng quát PT tuyến tính là: z = ln |x| + C1 x2 Từ suy nghiệm tổng   √ ln |x| + C1 x2 quát PT cho là: y = Ví dụ 6.19 gpt xy + y = y ln x 1 Vì x = ⇒ y + y = y ln x x x 1 ln x Đặt z = ta PT: z − y = − y x x nghiệm PT là: z = + Cx + ln x ⇒ y = 1 + Cx + ln C Phương trình Lagrange a Định nghĩa Định nghĩa 6.7 Là PT dạng: y = xf (p) + g (p) (6.7) f (p) , g (p) hàm biến p = y b Cách giải p = y hay dy = pdx Lấy vi phân hai vế 7.7 theo x ta pdx = f (p) dx + [f (p) x + g (p)] dp (6.7 ) dx Nếu p = f (p) (6.7 ) PTVP tuyến tính theo x : (f (p) − p) + g (p) x + f (p) = 0, giải dp ta nghiệm: x = Cϕ (p) + ψ (p) Kết hợp với (6.7) ta nghiệm tổng quát (6.7) có dạng: ¨ x = Cϕ (p) + ψ (p) y = [Cϕ (p) + ψ (p)] f (p) + g (p) Đây PT tham số đường cong tích phân c.Ví dụ Ví dụ 6.20 gpt y = xy + y Giải Đặt y = t PT cho trở thành y = xt2 + t ⇒ dy = t2 dx + 2xtdt + dt Mặt khác, y = t nên ta có dy = tdx Do đó, tdx = t2 dx + 2xtdt + dt ⇒ (t2 − t) x + 2tx + = (tuyến tính x(t).) 69 http://maths3.wordpress.com Ví dụ 6.21 gpt y = xy + y Giải Đặt y = t PT cho trở thành y = xt + t2 (∗) ⇒ dy = tdx + (x + 2t) dt Ta có (x + 2t) dt = 0, dy = tdx Nếu dt = ⇒ t = C ⇒ y = C ⇒ y = Cx + C1 l nghim tng quỏt Nu ă + 2t = ⇒ x = −2t vào (∗) ta có: y = −2t.t + t2 = −t2 x x = −2t Vậy nghiệm kì dị y = −t2 d Chú ý Khi f (p) = p ta có PT y = xp + g (p) (6.8) gọi PT Clairaut Cách giải: lấy vi phân (6.8) ta được: dy = pdx = pdx + (x + g (p)) dp ⇒ (x + g (p)) dp = Nếu dp = ⇒ p = C ⇒nghiệm tổng quát (6.8) y = xC + g (C) Nếu x + g (p) = ⇒ x = −g (p) Kết hợp với (6.8)ta nghiệm kì dị dng tham s: ă x = g (p) y = xp + g (p) 6.2 6.2.1 Phương trình vi phân cấp cao Khái niệm chung a Định nghĩa Định nghĩa 6.8 PT vi phân cấp PT có dạng: € Š F x, y, y , , y (n) = (6.9) đó: x biến độc lập, y = y (x) hàm cần tìm, y , , y (n) đạo hàm cấp 1, , n + Cấp cao đạo hàm y(x) gọi cấp PT + Nghiệm (6.9) làŠ hàm y = y (x) xác định khả vi n lần (a, b) cho: € F x, y (x) , y (x) , , y (n) (x) = (a, b) Đường cong y = y(x), với x ∈ (a, b) gọi đường cong tích phân phương trình (6.9) Nếu giải y (n) phương trình vi phân cấp n có dạng: y (n) = f (x, y, y , y , , y (n−1) ) (6.10) b Định lí tồn nghiệm Định lý 6.3 Nếu vế phải (6.10) hàm liên tục n + biến miền (n−1) Rn+1 chứa điểm (x0 , y0 , y0 , y0 , , y0 ) đạo hàm riêng ∂f ∂f ∂f , , , (n) ∂y ∂y ∂y liên tục tồn khoảng (a, b) chứa điểm x0 để khoảng tồn hàm y = y(x) thỏa mãn điều kiện n−1 y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , , y n−1 (x0 ) = y0 (6.11) Điều kiện (6.11) gọi điều kiện ban đầu Hàm y = y(x) nói gọi nghiệm phương trình (6.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu (611) 70 http://maths3.wordpress.com 6.2.2 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa 6.9 Là PT có dạng: y = f (x) R (6.12) R y = ( f (x) dx) dx + C1 x + C2 Ví dụ 6.22 y = sin xcosx + ex Giải PT có nghiệm tổng quát y = x sin 2x − + e x + C1 x + C2 Phương trình khuyết y a Định nghĩa Định nghĩa 6.10 PT dạng F (x, y , y ) = R (6.13) b Cách giải Đặt p = y ta có PT vi phân cấp F (x, p, p ) = Giải ta tìm được: p = ϕ (x, C1 ) ⇒ y = R pdx = ϕ (x, C1 ) dx c Ví dụ Ví dụ 6.23 gpt xy + y = x2 Giải Đặt p = y → p + p = x (PT tuyến tính) x x2 C x2 C x3 Nghiệm tổng quát p = + ⇒y = + ⇒y= + C1 ln |x| + C2 x x Phương trình khuyết x a Định nghĩa Định nghĩa 6.11 Là PT có dạng F (y, y , y ) = (6.14) b Cách giải Đặt p = y , coi p hàm số biến y , ta có: y = p ‚ dy Khi đó, ta có PT vi phân cấp 1: F y, p, p dp c Ví dụ Œ dp dp (vìyx = px = py yx mà p = yx py = ) dy dy =0 Ví dụ 6.24 gpt 2yy = + y Giải p = y → y = p dp dy thay vào dp = + p2 ⇒ ln (1 + p2 ) = ln |y| − ln |C1 | dy ⇒ y = C1 (1 + p2 ) ⇒ dy = 2C1 pdp Mà p = y ⇒ dy = pdx nên ta có pdx = 2C1 pdp (∗) Nếu p = ⇒ y = ⇒ y = C không nghiệm PT (loại) x Nếu p = PT (∗) trở thành: dx = 2C1 dp ⇒ p = + C2 2C1 ‚ PT ban 2yp  Vậy nghiệm tổng quát PT là: y = C1 (1 + p ) = C1 x 1+ + C2 2C1 2 Œ đầu ta được: 71 http://maths3.wordpress.com 6.2.3 Phương trình tuyến tính với hệ số số Định nghĩa Định nghĩa 6.12 : PT có dạng y + py + qy = f (x) (6.15) với p, q , số Cách giải a Giải phương trình nhất: y + py + qy = (6.15 ) Chú ý Nếu y1 (x), y2 (x) hai nghiệm PT (6.15 ) y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) nghiệm PT (6.15 ) (C1 , C2 số) y2 (x) = số đoạn + Hai hàm số y1 (x), y2 (x) gọi độc lập tuyến tính y1 (x) Trường hợp ngược lại gọi phụ thuộc tuyến tính y2 y1 gọi định thức Wronsky y1 , y2 Nếu y1 , y2 phụ thuộc tuyến + Định thức W = y y2 tính [a, b] W = +) Nếu y1 (x), y2 (x) nghiệm riêng độc lập tuyến tính pt (6.15 ) nghiệm tổng quát (6.15 ) y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) (C1 , C2 số) - Để giải pt (6.15 ) (tức tìm nghiệm tổng quát) ta tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính, ta tìm nghiệm riêng (6.15 ) dạng y = ekx k số Ta xét pt đặc trưng: k + pk + q = (∗) - Nếu (∗) có nghiệm thực phân biệt k1 = k2 nghiệm tổng quát pt (6.15 ) y = C1 ek1 x + C2 ek2 x (C1 , C2 số) Ví dụ 6.25 gpt y − 3y − = nghiệm tổng quát y = C1 e−x + C2 e4x - Nếu (∗) có nghiệm kép k1 = k2 = k nghiệm tổng quát (6.15 ) là: y = C1 ekx + C2 xekx Ví dụ 6.26 y − 2y + y = nghiệm tổng quát y = C1 ex + C2 xex +)Nếu (∗)có nghiệm phức liên hợp k1 = α + iβ k2 = α − iβ hì nghiệm tổng quát (6.15 ) là: y = eαx (C1 cosβx+C2 sin βx) Ví dụ 6.27 y + y = nghiệm tổng quát y = C1 cosx + C2 sinx b Sau tìm nghiệm pt (6.15 ) ta tìm nghiệm (6.15) phương pháp biến thiên số Giả sử y1 (x), y2 (x) nghiệm riêng pt (6.15 ) nghiệm tổng quát (6.15 ) có dạng C1 = C1 (x) y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) Coi ta tìm nghiệm tổng quát (6.15) dạng: C2 = C2 (x) y = C1 (x)y1 (x) + C2 (x) Ta tỡm C1 (x), C2 (x) ă C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) = từ hệ pt C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) = f (x) 72 http://maths3.wordpress.com sinx nghiệm tổng quát pt đặc trưng y = C1 cosx + C2 sinx(∗) Khi (∗) nghiệm tổng quát pt cho C1 = C1 (x), C2 = C2 (x) Ví dụ 6.28 gpt y + y = ă ă < C = 1 C1 y1 + C2 y2 = cosx ⇔ C1 = −x + A1 ⇔: C2 = C1 y1 + C2 y2 = C2 = ln |sinx| + A2 sinx Vậy nghiệm tổng quát pt cho là: y = (−x + A1 )cosx + ( ln |sinx| + A2 )sinx BÀI TẬP CHƯƠNG 6.1 Giải phương trình có biến số phân ly sau: a) xyy = − x2 ; b) y y = − 2x; c) y + y tgx = 1;√ √ d) − y dx + − x2 dy = 0; 6.2 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân sau: a) y (1 + x2 ) = + y thỏa mãn y|x=0 = 1; π b) sin x cos ydx = cos x sin xdy thỏa mãn y|x=0 = ; 6.3 Giải phương trình vi phân sau: a) y = 2x − y + 1; √ x+y−1 b) + x + y = ; y c) y = sin(x − y); d) y = cos(x − y); 6.4 Tích phân phương trình sau: dy y − 2x a) = ; dx 2y − x 2(x − 2y + 1) dy =− ; b) dx 5x − y − c) (x − 2y + 9)dx − (3x − 6y + 19)dy = 6.5 Giải phương trình vi phân sau: a) y x2 = y + 1; x−y b) y = ; x+y xy ; − y2 y d) xy = y ln ; x c) y = x2 6.6 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính nhất: a) (y − 3x2 )dy + 2xydx = 0, y|x=0 = 1; y − 2xy − x2 b) y = , y|x=1 = 1; y + 2xy − x2 6.7 Tìm nghiệm tổng quát phương trình sau: 73 http://maths3.wordpress.com a) y + 3x = 6x; b) y + y = sin x; c) y + y = ex ; y d) y = y − x + 2y ln x 6.8 Giải toán Cauchy a) xy + y = ex , y|x=1 = 1; y b) y − = 1, y|x=1 = 0; x(x + 1) y = + x, y|x=0 = 1; d) (1 + ex )yy = − x2 ex , y|x=0 = 0; c) y − 6.9 Giải phương trình Bernoulli: a) y + xy = y ln x; b) y − ytgx + y cos x; c) y + y + y = y+1 6.10 Giải phương trình vi phân tồn phần sau: xdy y =( − 1)dx; +y x + y2 b) e dx + (xey − 2y)dy = 0; a) x2 y c) yxy−1 dx + xy ln ydy = 6.11 Tìm nghiệm tổng quát phương trình: a) y − 10y = 0; b) y = 16y; c) 2y − 6y = 5y; d) y − 3y + 5y = 0; e) 4y − 20y + 25 = 0; f) y + y = x + 2; g) y − 6y + 9y = 2x3 − x + 3; h) y − y + y = x; i) y − y = ex ; k) y + 2y + y = cos x; l) 2y + 5y = cos x; m) y − 4y = ex − e−2x ; x n) y + y − y = ex cos x ; ex p) y − y = + ex ... y(x) gọi đường cong tích phân phương trình vi phân Ví dụ 6.2 Phương trình y = 2x ptvp cấp 1, có nghiệm y = x2 Ngoài ra: y = x2 + C, C =Const nghiệm phương trình vi phân c Nghiệm tổng quát ptvp... http://maths3.wordpress.com b Nghiệm phương trình vi phân Là hàm y = y(x) ϕ(x; y) = xác định khoảng (a; b) nghiệm phương trình (6.1) Nếu thay vào phương trình vi phân (6.1) ta có đồng thức Khi đồ... 6.1.2 Các phương trình vi phân cấp Phương trình với biến số phân ly a Định nghĩa Định nghĩa 6.2 Là phương trình có dạng: f1 (x)dx + f2 (y)dy = (6.2) f1 (x) + f2 (y).y = b Cách giải Lấy tích phân hai