Chương 6 phương trình vi phân

Toán cao cấp a1: Phương trình vi phân

Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti Chƣơng I 2009 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Dạng tổng quát: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 𝑛 =0 Với x biến số, 𝑦 = 𝑦(𝑥) hàm số phải tìm, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛 ) đạo hàm cấp 𝑦 = 𝑦(𝑥) Nghiệm phương trình vi phân hàm số thỏa mãn phương trình Ví dụ : 𝑦 ′′ + 𝑦 = Là phương trình vi phân cấp có nghiệm 𝑦 = sin⁡ 𝑦 = 𝐶 sin⁡ (𝑥) (𝑥) Phương trình vi phân tuyến tính cấp n: 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 = 𝑏(𝑥) Trong 𝑎1 𝑥 , 𝑎2 𝑥 , … , 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑏(𝑥) hàm cho trước II Phƣơng trình vi phân cấp 1 Khái niệm a Dạng: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ = (1) 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 (2) Nếu từ (1) ta tìm hàm số 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) với 𝐶 số tùy ý 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶) gọi nghiệm tổng quát (1) Đơi ta khơng tìm nghiệm tổng qt (1) mà tìm hệ thức dạng: Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶 = xác định nghiệm tổng quát dạng ẩn hệ thức gọi tích phân tổng quát (1) Nếu cho 𝐶 nghiệm tổng quát (1) giá trị xác định 𝐶0 ta nghiệm riêng (1), tức 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶0 ) nghiệm riêng (1) Tương tự cho 𝐶 tích phân tổng quát (1) giá trị xác định 𝐶0 ta tích phân riêng (1), tức Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶0 = tích phân riêng (1) Nếu giải (1) có nghiệm khơng nằm họ nghiệm tổng quát giọ nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai) Ví dụ : Xét phương trình 𝑦 ′ − 𝑦𝑥 = ⟺ 𝑦 ′ = 𝑦𝑥 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑥2 2009 𝑥2 Ta thấy 𝑦 = 𝐶𝑒 nghiệm tổng quát phương trình, 𝑦 = −𝑒 nghiệm riêng 𝑥2 Nếu ta biểu diễn nghiệm tổng quát dạng hệ thức 𝑦 − 𝐶𝑒 = ta 𝑥2 tích phân tổng qt, cho 𝐶 = −1 ta có 𝑦 + 𝑒 = tích phân riêng b Bài tốn Cauchy Tìm nghiệm 𝑦 = 𝑦(𝑥) phương trình 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) thỏa mãn điều kiện ban đầu: 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 với 𝑥0 , 𝑦0 cho trước ( 𝑦 𝑥=𝑥 = 𝑦0 ) Định lý 1.1 Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục lân cận điển (𝑥0 , 𝑦0 ) tốn Cauchy ln có nghiệm Hơn 𝑓 ′ 𝑦 (𝑥, 𝑦) liên tục lân cận điển (𝑥0 , 𝑦0 ) tốn Cauchy tồn nghiệm Phƣơng trình vi phân cấp biến số phân ly Là phương trình tách rời biến vế a Dạng 1: 𝑦′ = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 (2.1) Phƣơng pháp giải Nếu 𝑔 𝑦 ≠ ta có 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑔(𝑦) Suy tích phân tổng quát : 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑦) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 Nếu 𝑔 𝑦 = có nghiệm 𝑦 = 𝑏 𝑦 = 𝑏 nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình 𝑦 ′ = 𝑥(1 + 𝑦 ) Giải: Chia vế cho + 𝑦 ta có Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦2 Suy tích phân tổng quát 𝑑𝑦 = + 𝑦2 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥2 ⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑦 = + 𝐶 b Dạng : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = (2.2) Phƣơng pháp giải Ta có tích phân tổng qt : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 Ví dụ : Giải phương trình cos 𝑦 𝑦 ′ = 𝑥 Giải cos 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 Ta có tích phân tổng quát : cos 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥2 + 𝐶 c Dạng : 𝑓1 𝑥 𝑔1 (𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓2 𝑥 𝑔2 (𝑦)𝑑𝑦 = (2.3) Phƣơng pháp giải Nếu 𝑓2 𝑥 𝑔1 𝑦 ≠ chia vế cho 𝑓2 𝑥 𝑔1 𝑦 ≠ ta có : 𝑓1 𝑥 𝑔2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓2 𝑥 𝑔1 (𝑦) Suy tích phân tổng quát : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓2 𝑥 2009 𝑔2 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑔1 (𝑦) Nếu từ 𝑔1 𝑦 = ta có nghiệm 𝑦 = 𝑏 nghiệm riêng phương trình Nếu từ 𝑓2 𝑥 = ta có nghiệm 𝑥 = 𝑎 nghiệm riêng phương trình Ví dụ : Giải phương trình vi phân 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = Giái Chia vế cho + 𝑦 (1 + 𝑥 ) phương trình cho tương đương với : 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 1+ 𝑥 + 𝑦2 Tích phân tổng quát : 𝑥 𝑑𝑥 + + 𝑥2 ⇔ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 + 𝑦2 1 𝑙𝑛 + 𝑥 + 𝑙𝑛 + 𝑦 = 𝐶 2 d Dạng : 𝑦 ′ = 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 (2.4) Phƣơng pháp giải Nếu 𝑏 = 𝑎 = ta có dạng (2.1) Nếu 𝑎𝑏 ≠ 0, đặt 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ta có : 𝑧 ′ = 𝑏𝑓 𝑧 + 𝑎 Đây dạng (2.1) Ví dụ : Giải phương trình 𝑦 ′ = 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 − Giải Phương trình cho viết lại thành 𝑦 ′ = (𝑥 + 𝑦)2 − Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ⇒ 𝑧 ′ = + 𝑦 ′ = + 𝑧 − Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 ⇔ 𝑧′ = 𝑧2 Nếu 𝑧 ≠ chia vế cho 𝑧 ta có : 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 𝑧2 ⇔ = −𝑥 + 𝐶 𝑧 ⇔ 𝑧= 𝐶− 𝑥 Nghiệm tổng quát 𝑦= − 𝑥 𝐶− 𝑥 Nếu 𝑧 = ⇔ 𝑦 = −𝑥, nghiệm kỳ di phương trình Phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp Dạng : 𝑦 𝑥 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜑 (3.1) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑢 = 𝑦 𝑥 suy 𝑦 = 𝑢𝑥 nên 𝑦 ′ = 𝑢 + 𝑢′𝑥, thay vao ta có: 𝑢′ 𝑥 = 𝜑 𝑢 − 𝑢 Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 ≠ 0, ta có : 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝜑 𝑢 − 𝑢 𝑥 Suy tích phân tổng quát : 𝑑𝑢 = 𝜑 𝑢 − 𝑢 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑥 Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 = có nghiệm 𝑢 = 𝑎 𝑦 = 𝑎𝑥 nghiệm Nếu Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 ≡ phương trình trở thành 𝑦′ = 𝑦 𝑥 Có nghiệm 𝑦 = 𝐶𝑥 Chú ý 1: Muốn kiểm tra phương trình 𝑦 ′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 có phải đẳng cấp cấp khơng Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti ta kiểm tra 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , ∀𝑡 cho 𝑡 = 𝑓 1, 𝑦 𝑥 𝑥 2009 ta có 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑦 = 𝜑( 𝑥 ) Ví dụ : Giải phương trình 𝑦′ = 𝑦 𝑦 + 𝑒𝑥 𝑥 Giải Đặt 𝑢 = 𝑦 𝑥 ta có 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑦 ′ = 𝑢′ 𝑥 + 𝑢 = 𝑢 + 𝑒 𝑢 Suy : 𝑢′ 𝑥 = 𝑒 𝑢 hay 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 Tích phân vế ta có : 𝐶 − 𝑒 −𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑦 ⇔ 𝐶 = 𝑒 − 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 Chú ý 2: Phương trình 𝑦 ′ = 𝑓( 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 ) 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 Có thê đưa dạng biến số phân ly Trường hợp :Nếu 𝑎1 𝑎2 𝑏1 ≠ đặt 𝑏2 𝑥= 𝑡+ 𝛼 𝑦= 𝑧+ 𝛽 Với 𝛼, 𝛽 nghiệm hệ 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = , : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 Thay vào ta có : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑧 ′ = 𝑓( 2009 𝑎1 𝑡 + 𝑏1 𝑧 ) 𝑎12 𝑡 + 𝑏2 𝑧 Đây phương trình đẳng cấp cấp Trường hợp :Nếu 𝑎1 𝑎2 𝑏1 = 𝑏2 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 = 𝑘 ta đặt : 𝑧 = 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 Ta có : 𝑧 ′ = 𝑎2 + 𝑏2 𝑓( 𝑘𝑧 + 𝑐1 ) 𝑧 + 𝑐2 Đây phương trình biến số phân ly Ví dụ : Giải phương trình vi phân 𝑥 + 𝑦 − 𝑑𝑥 − 𝑥 − 𝑦 + 𝑑𝑦 = Giải Nếu 𝑥 − 𝑦 + ≠ phương trình cho tương đương với : 𝑦′ = Do 𝐷 = 𝑥+ 𝑦−2 𝑥− 𝑦+4 1 = −2 ≠ nên giải hệ : −1 𝑥+ 𝑦−2=0 𝛼 = −1 ⇒ 𝛽=3 𝑥− 𝑦+4=0 Đặt: 𝑡+ 𝑧 𝑥 = 𝑡−1 ⇒ 𝑧′ = 𝑦 = 𝑧+3 𝑡− 𝑧 𝑧 Đặt 𝑢 = 𝑡 ta có 𝑧 = 𝑢𝑡 𝑧 ′ = 𝑢′ 𝑡 + 𝑢 = ⇔ 𝑢′ 𝑡 = ⇔ 1+ 𝑢 1− 𝑢 𝑢2 + 1− 𝑢 1− 𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑢 = + 𝑢2 𝑡 Lấy tích phân vế Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 1− 𝑢 𝑑𝑢 = + 𝑢2 2009 𝑑𝑡 + 𝑙𝑛𝐶 𝑡 ⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 − 𝑙𝑛 + 𝑢2 = 𝑙𝑛(𝐶𝑡) ⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 = 𝑙𝑛(𝐶𝑡 + 𝑢2 ) ⇔ 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 = 𝐶𝑡 + 𝑢2 𝑧 Thay 𝑢 = 𝑡 ta có 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑧 𝑡 𝑧2 + 𝑡2 = 𝐶 Thay 𝑧 = 𝑦 − 𝑡 = 𝑥 + ta tích phân tổng quát 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 −3 𝑥+1 = 𝐶 (𝑦 − 3)2 + (𝑥 + 1)2 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp a Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp Dạng : 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = (4.1) Với 𝑝(𝑥) hàm cho trước Phƣơng pháp giải Có nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝐶𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 b Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp khơng Dạng : 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 4.2 Với p x , q(x) hàm cho trước Phƣơng pháp giải Có nghiệm tổng quát y = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 (𝐶 + 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥) Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Chú ý : Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng viết y = 𝐶𝑒 − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑦1 + 𝑦2 Với 𝑦1 nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp tương ứng 𝑦2 nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng tìm phương pháp biến thiên số đối vơi 𝑦1 Ví dụ :Giải phương trình 𝑦 = 𝑥2 𝑥 𝑦′ − Giải y= 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 (𝐶 + y= 𝑥 𝐶+ 𝑒− 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥) 𝑥 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥(𝐶 + ) Phƣơng trình Becnuly Dạng 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑦 𝛼 5.1 Phƣơng pháp giải Nếu 𝛼 = 𝛼 = phương trình tuyến tính Nếu 𝛼 ≠ 𝛼 ≠ cách chia vế cho 𝑦 𝛼 đặt 𝑧 = 𝑦1−𝛼 ta có : 𝑧 ′ + − 𝛼 𝑝 𝑥 𝑧 = − 𝛼 𝑞(𝑥) Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp Ví dụ : Giải phương trình vi phân 𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 𝑦4 𝑥 Giải Chia vế cho 𝑦 ta có 𝑦 −4 𝑦 ′ + −3 𝑦 = 𝑥2 𝑥 Đặt 𝑧 = 𝑦 −3 ta có 𝑧 ′ = −3𝑦 −4 𝑦′, thay vào phương trình ta có : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑧′ − 2009 𝑧 = −3𝑥 𝑥 Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp theo 𝑧 nên có nghiệm tổng quát : 𝑧= 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 (𝐶 𝑒− −3 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥) ⇔ 𝑧 = 𝐶𝑥 − 3𝑥 𝑙𝑛𝑥 ⇔ = 𝐶𝑥 − 3𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑦 Phƣơng trình vi phân tồn phần Dạng : 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = (6.1) Với 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦) hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục miền D thỏa mãn điều kiện : 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 (6.2) Phƣơng pháp giải Khi tích phân tổng qt có dạng : 𝑦 𝑥 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥0 𝑄 𝑥0 , 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑦0 Hoặc 𝑦 𝑥 𝑃 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑥0 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑦0 Với (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷 Ví dụ: Giải phương trình: 4𝑥𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = Giải 𝑃 = 4𝑥𝑦 + 𝑦, 𝑄 = 4𝑥 𝑦 + 𝑥 Do 10 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti Đặt 𝑡 = 𝑦 ′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2009 ta có 𝑥 = 𝜑(𝑡) nên 𝑑𝑥 = 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 Suy 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 Nên 𝑦 = 𝑡𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 Vậy nghiệm tổng quát tìm dạng tham số 𝑥= 𝜑 𝑡 𝑡𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑦= Ví dụ: Giải phương trình: 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦 ′ + 𝑐𝑜𝑠𝑦′ Giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 nên 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡, suy 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑦= 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑦 = 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶 Vậy nghiệm tổng quát 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶 b Dạng 𝑦 = 𝜑 𝑦 ′ (9.2) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝜑(𝑡) nên 𝑑𝑦 = 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 Mặt khác 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑡 𝑥= 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑡 Suy Vậy nghiêm tổng quát tìm dạng tham số 𝜑 ′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑥= + 𝐶 𝑡 𝑦 = 𝜑(𝑡) 15 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Ví dụ: Giải phương trình: (𝑦 ′ )2 𝑦 = 𝑦′ 𝑒 Giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = Nên 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑡 𝑡2 𝑒𝑡 suy 𝑑𝑦 = 2𝑡𝑒 −𝑡 − 𝑡 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑡 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 Suy 𝑥= − 𝑡 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑡 − 𝑒 −𝑡 + 𝐶 Vậy nghiệm tổng quát 𝑥 = 𝑡 − 𝑒 −𝑡 + 𝐶 𝑡2 𝑦= 𝑡 𝑒 III Phƣơng trình vi phân cấp Khái niệm Dạng: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′ = (3) 𝑦′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦′ (4) Nếu từ (3) ta tìm hàm số 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) với 𝐶1 , 𝐶2 số tùy ý 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) gọi nghiệm tổng qt (3) Đơi ta khơng tìm nghiệm tổng quát (3) mà tìm hệ thức dạng: Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶1 , 𝐶2 = xác định nghiệm tổng quát dạng ẩn hệ thức gọi tích phân tổng quát (3) Nếu cho 𝐶1 , 𝐶2 nghiệm tổng quát (3) giá trị xác định 𝑎, 𝑏 ta nghiệm riêng (3), tức 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑎, 𝑏) nghiệm riêng (3) Tương tự cho 𝐶1 , 𝐶2 tích phân tổng quát (3) giá trị xác định 𝑎, 𝑏 ta tích phân riêng (3), tức Φ 𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏 = tích phân riêng (3) Nếu giải (3) có nghiệm khơng nằm họ nghiệm tổng quát giọ nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai) Các phƣơng trình vi phân cấp giải đƣợc phƣơng pháp hạ cấp a Dạng: 𝑦 ′′ = 𝑓 𝑥 (2.1) 16 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Phƣơng pháp giải Lấy tích phân lần liên tiếp ta có nghiệm tổng quát 𝑦= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝐶 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ = 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + Giải (𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 1)𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦= 𝑦= 𝑥4 𝑥2 + + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 12 b Dạng 𝑦 ′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 ′ (2.2) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑧 = 𝑦′, phương trình cho đưa dạng: 𝑧 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑧) Đây phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình ta tìm 𝑧 từ tìm 𝑦 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ = 𝑥 − 𝑦′ 𝑥 𝑧′ = 𝑥 − 𝑧 𝑥 Giải Đặt 𝑧 = 𝑦′ ta có: ⇔ 𝑧′ + 𝑧 = 𝑥 𝑥 Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp nên có nghiệm tổng quát : 𝑧 = 𝑒− 𝑑𝑥 𝑥 𝐶1 + 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 𝐶1 + 𝑥 17 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Do : 𝑥2 𝐶1 𝑦 = + 𝑥 ′ Nên : 𝑦= ( 𝑥2 𝐶1 𝑥3 + )𝑑𝑥 + 𝐶2 = + 𝐶1 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶2 𝑥 c Dạng 𝑦 ′′ = 𝑓 𝑦, 𝑦 ′ (2.3) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑦 ′ = 𝑡, coi 𝑦 biến hàm 𝑡, tức 𝑡 = 𝑡(𝑦), ta có : 𝑑𝑦 ′ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑦 = = = = 𝑡 ′ 𝑡 = 𝑓(𝑦, 𝑡) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ′′ Suy : 𝑡′ = 𝑓 𝑦, 𝑡 𝑡 Đây phương trình vi phân cấp 1, giải đươc 𝑡 từ tìm 𝑦 Ví dụ : Giải phương trình : 𝑦𝑦 ′′ − 𝑦′2 = Giải Đặt 𝑦 ′ = 𝑡 suy ra𝑦 ′′ = 𝑡 ′ 𝑡, thay vào ta có: 𝑦𝑡′𝑡 − 𝑡 = ⇔ 𝑦𝑡 ′ 𝑡 = 𝑡 Nếu 𝑡 = ⇒ 𝑦 = 𝐶1 Nếu 𝑡 ≠ 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑡 𝑦 Lấy tích phân vế ta có: 18 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑑𝑡 = 𝑡 2009 𝑑𝑦 𝑦 𝑡 = 𝐶1 𝑦 Ta có 𝑦 ′ = 𝐶1 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶1 𝑑𝑥 𝑦 Lấy tích phân ta có: 𝑑𝑦 = 𝐶1 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2 𝑦 = 𝐶2 𝑒 𝐶1 𝑥 d Phƣơng trình vi phân cấp đẳng cấp hàm phải tìm đạo hàm Dạng : 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ = (2.4) Trong 𝐹 hàm đẳng cấp cấp m 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , tức 𝐹 𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑦 ′ , 𝑡𝑦 ′′ = 𝑡 𝑚 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑦 ′ = 𝑦𝑧 với 𝑧 hàm 𝑥, ta có : 𝑦 ′′ = 𝑦 ′ 𝑧 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦(𝑧 + 𝑧 ′ ) Thay vào ta có : 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦𝑧, 𝑦 𝑧 + 𝑧 ′ ) ⇔ 𝑦 𝑚 𝐹 𝑥, 1, 𝑧, 𝑧 + 𝑧 ′ = ⇔ 𝐹 𝑥, 1, 𝑧, 𝑧 + 𝑧 ′ = Đây phương trình vi phân cấp Ví dụ : Giải phương trình 3𝑦′2 = 4𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 Giải 19 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Đặt 𝑦 ′ = 𝑦𝑧 với 𝑧 hàm 𝑥, ta có : 𝑦 ′′ = 𝑦 ′ 𝑧 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 ′ = 𝑦(𝑧 + 𝑧 ′ ) Thay vào ta có : 3𝑦 𝑧 = 4𝑦 (𝑧 + 𝑧 ′ + 1) Nếu 𝑦 ≠ ta có : 𝑧′ = − ⇔ 𝑧2 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =− 𝑧2 + Lấy tích phân vế ta có : 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 = −𝑥 + 𝐶1 ⇒ 𝑧 = 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥) ⇔ ⇔ 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑦′ = 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥) 𝑦 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2 ⇔ 𝑙𝑛𝑦 = 4𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠 𝐶1 − 𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2 𝑦 = 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝐶1 − 𝑥 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp a Định nghĩa Dạng : 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (5) Trong 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥), 𝑓(𝑥)là hàm liên tục Nếu 𝑓(𝑥) ≡ phương trình 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = (6) Là phương trình vi phân cấp nhất, ngược lại gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng Nếu 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥) số gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số 20 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 b Các định lý cấu trúc nghiệm Định lý : Nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) nghiệm (6) 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 nghiệm (6), 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) độc lập tuyến tính (𝑦1 𝑥 /𝑦2 (𝑥) ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 nghiệm tổng quát (6) Định lý : Nếu biêt nghiêm riêng 𝑦1 (𝑥) ≢ (6) nghiệm riêng 𝑦2 (𝑥) khác (6) tìm cách đặt 𝑦2 𝑥 = 𝑦1 𝑥 𝑢(𝑥) Chú ý : Sử dung cơng thức Liouville ta có : 𝑦2 𝑥 = 𝑦1 (𝑥) 𝑒− 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 𝑦1 𝑑𝑥 Định lý Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng (5) nghiệm tổng quát phương trình (6) cộng với nghiệm riêng (5) Định lý (nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu 𝑦𝑖 nghiệm riêng phương trình 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓𝑖 𝑥 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦 𝑚 nghiệm riêng phương trình : 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑚 𝑥 Định lý (Phƣơng pháp biến thiên hàng số Lagrange) Nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) nghiệm độc lập tuyến tính (6) phương trình (4) nghiệm riêng dạng 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 (𝑥), 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 (𝑥) hàm thỏa mãn : 𝐶 ′ 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝐶 ′ 𝑥 𝑦2 𝑥 = 𝐶 ′ 𝑥 𝑦′1 𝑥 + 𝐶 ′ 𝑥 𝑦′2 𝑥 = 𝑓(𝑥) Ví dụ : Tìm nghiệm tổng qt phương trình 𝑥 + 𝑦 ′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = Biết nghiệm riêng 𝑦1 = 𝑥 Giải Theo cơng thức Liouville, ta tìm nghiệm riêng 𝑦2 độc lập tuyến tính với 𝑦1 cách đặt 21 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑦2 𝑥 = 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 +1 𝑒 𝑥2 2009 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 − = 𝑥2 − 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho 𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (𝑥 − 1) Ví dụ : Giải phương trình : 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = Biết có nghiệm riêng dạng 𝑦1 = 𝑥 𝛼 Giải Để tìm 𝛼 ta tính 𝑦′1 = 𝛼𝑥 𝛼 −1 , 𝑦′′1 = 𝛼(𝛼 − 1)𝑥 𝛼 −2 , thay vào phương trình cho ta có : 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝛼(𝛼 − 1)𝑥 𝛼 −2 − 𝑥𝛼𝑥 𝛼 −1 + 𝑥 𝛼 = 𝑥 𝛼 𝛼 𝛼 − 𝑙𝑛𝑥 + − 𝛼 = 0, ∀𝑥 𝛼 𝛼−1 = ⇒ 𝛼=1 − 𝛼2 = Vậy nghiệm riêng phương trình cho 𝑦1 = 𝑥 Theo cơng thức Liouville ta có nghiệm riêng thứ : 𝑦2 = 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 −1 𝑥2 𝑦2 = −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 − + 𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑑( ) 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛𝑥 𝑥2 Vậy nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝐶1 𝑥 − 𝐶2 𝑙𝑛𝑥 Ví dụ : Giải phương trình : 𝑦 ′′ − 𝑦′ = 𝑥 𝑥 Giải Xét phương trình tương ứng : 𝑦 ′′ − 𝑦′ =0 𝑥 22 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Ta thấy 𝑦1 = 1à nghiệm riêng, theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng thứ : 𝑦2 = 𝑒 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 Vậy phương trình có nghiệm tổng quát : 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 Bây ta tìm nghiệm riêng 𝑦 phương trình 𝑦 ′′ − 𝑦′ = 𝑥 𝑥 Bằng cách đặt 𝑦 = 𝐶1 (𝑥) + 𝐶2 (𝑥)𝑥 Trong 𝐶1 , 𝐶2 thỏa mãn hệ : 𝐶′ 𝑥 + 𝐶′ 𝑥 𝑥2 = ⇒ 𝐶 ′ 𝑥 2𝑥 = 𝑥 1 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝐶′ 𝑥 = − 𝐶′ 𝑥 𝑥 = 𝑥 𝐶1 𝑥 = − 𝐶2 Nên 𝑦 = − 𝑥 + 𝑥𝑥 = 𝑥 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho tổng nghiệm tổng quát phương trình tương ứng cộng với nghiệm riêng nó: 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝑥 c Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Dạng tổng quát: 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑓 𝑥 (3.1) Với 𝑎1 , 𝑎0 số Phƣơng pháp giải Bƣớc 1: ta tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = (3.2) Bƣớc 2: ta tìm nghiệm riêng phương trình (3.1) cho Bƣớc 3: nghiệm tổng quát phương trình cho tổng nghiệm tổng qt phương trình (3.2) với nghiệm riêng 23 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Giải phƣơng trình tuyến tính (3.2) Xét phƣơng trình đặc trƣng: 𝑘 + 𝑎1 𝑘 + 𝑎0 = (3.3) Nếu phƣơng trình có:  Hai nghiệm phân biệt 𝑘1 ≠ 𝑘2 nghiệm tổng quát (3.2) là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑘 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘 𝑥  Có nghiệm kép 𝑘0 nghiệm tổng quát (3.2) là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑘 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑘 𝑥  Có nghiệm phức: 𝛼 ± 𝑖𝛽 nghiệm tổng quát (3.2) là: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑥 ) Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = Giải Phương trình cho phương trình tuyến tính cấp với hệ số nên có phương trình đặc trưng: 𝑘 − 3𝑘 + = ⇒ 𝑘=1 𝑘=2 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = Giải Phương trình cho phương trình tuyến tính cấp với hệ số nên có phương trình đặc trưng: 𝑘 − 2𝑘 + = ⇒ 𝑘 = Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: 24 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = Giải Phương trình cho phương trình tuyến tính cấp với hệ số nên có phương trình đặc trưng: 𝑘 + 2𝑘 + = ⇒ 𝑘 = −1 − 2𝑖 𝑘 = −1 + 2𝑖 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 ) Tìm nghiệm riêng phƣơng trình tuyến tính khơng (3.1) - Phương pháp chung dựa vào nghiệm tổng quát phương trình tương ứng sử dung phương pháp biến thiên số Lagrange để tìm nghiệm riêng, nhiên vài trường hợp đặc biệt hàm 𝑓(𝑥) (ở vế phải) ta tìm nghiệm riêng cách đơn giản Trƣờng hợp 𝒇 𝒙 = 𝒆 𝜶𝒙 𝑷(𝒙), với 𝑷(𝒙) đa thức bậc n  Nếu 𝛼 khơng nghiệm đa thức đặc trưng (3.3) ta tìm nghiệm riêng (3.1) dạng: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑄(𝑥) Với 𝑄(𝑥) đa thức bậc n chưa biết, để tìm 𝑄(𝑥) ta thay 𝑦 vào phương trình (3.1) đồng hệ số tìm hệ số 𝑄(𝑥)  Nếu 𝛼 nghiệm đơn đa thức đặc trưng (3.3) ta tìm nghiệm riêng (3.1) dạng: 𝑦 = 𝑥𝑒 𝛼𝑥 𝑄(𝑥)  Nếu 𝛼 nghiệm kép đa thức đặc trưng (3.3) ta tìm nghiệm riêng (3.1) dạng: 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝑄(𝑥) Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = + 𝑥 Giải Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình trình Xét phương trình đặc trưng: 25 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 𝑘 − 2𝑘 + = Có nghiệm kép 𝑘 = nên nghiệm tổng quát phương trình nhất: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình khơng cho Do 𝑓 𝑥 = 𝑒 0𝑥 (1 + 𝑥) nên 𝛼 = khơng nghiệm phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng dạng: 𝑦 = 𝑒 0𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑦 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑏, 𝑦 ′′ = Thay vào phương trình ta có: − 2𝑏 + 𝑎 + 𝑏𝑥 = + 𝑥 Đồng hệ số ta có: 𝑎=3 𝑏=1 Suy nghiệm riêng phương trình cho là: 𝑦 =3+ 𝑥 Bước 3: Nghiệm tổng quát phương trình khơng cho là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 + + 𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 2𝑥 + + Giải Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình trình Xét phương trình đặc trưng: 𝑘 − 3𝑘 + = Có nghiệm 𝑘1 = 1, 𝑘2 = nên nghiệm tổng quát phương trình nhất: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình khơng cho 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 2𝑥 + + 26 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 Do 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 2𝑥 + + 𝑒 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 (𝑥) nên nghiệm riêng 𝑦 phương trình cho tổng 𝑦1 , 𝑦2 với𝑦1 nghiệm riêng phương trình 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 2𝑥 + 𝑦2 nghiệm riêng phương trình 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = Do 𝑓1 𝑥 = 𝑒 𝑥 (2𝑥 + 3) nên 𝛼1 = nghiệm đơn phương trình đặc trưng, ta tìm 𝑦1 dạng: 𝑦1 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 ⇒ 𝑦′1 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑥𝑒 𝑥 ⇒ 𝑦′′1 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 + 2𝑒 𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 + 2𝑏𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑏𝑒 𝑥 = 2𝑦 ′ − 𝑦1 Thay vào phương trình ta có: 2𝑦 ′ − 𝑦1 − 3𝑦′1 + 2𝑦1 = 𝑒 𝑥 2𝑥 + ⇔ 𝑒 𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑥𝑒 𝑥 = −𝑒 𝑥 2𝑥 + ⇔ 2𝑏𝑥 + 𝑎 = −2𝑥 − ⇒ 𝑎 = −3 𝑏 = −1 Vậy ta có: 𝑦1 = 𝑥𝑒 𝑥 (−3 − 𝑥) Do 𝑓2 𝑥 = 𝑒 0𝑥 nên 𝛼2 = khơng nghiệm phương trình đặc trưng, ta tìm 𝑦1 dạng: 𝑦2 = 𝑒 0𝑥 𝑐 = 𝑐 ⇒ 𝑦′2 = 0, 𝑦′′2 = Thay vào phương trình ta có: − 3.0 + 2𝑐 = ⇒ 𝑐= Vậy ta có: 𝑦2 = Vậy nghiệm riêng phương trình đãcho 27 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑥 −3 − 𝑥 + 2009 Bước 3: Nghiệm tổng quát phương trình khơng cho là: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 −3 − 𝑥 + Trƣờng hợp 𝒇 𝒙 = 𝒆 𝜶𝒙 (𝑷 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑸 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝜷𝒙 ), với 𝑷 𝒙 , 𝑸(𝒙) đa thức bậc n, m  Nếu 𝛼 ± 𝑖𝛽 không nghiệm đa thức đặc trưng (3.3) ta tìm nghiệm riêng (3.1) dạng: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐻 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝐿 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑥 ) Với 𝐻 𝑥 , 𝐿(𝑥) đa thức có 𝑚𝑎𝑥(𝑛; 𝑚) chưa biết, để tìm 𝐻 𝑥 , 𝐿(𝑥) ta thay 𝑦 vào phương trình (3.1) đồng hệ số tìm hệ số 𝐻 𝑥 , 𝐿(𝑥)  Nếu 𝛼 ± 𝑖𝛽 nghiệm đa thức đặc trưng (3.3) ta tìm nghiệm riêng (3.1) dạng: 𝑦 = 𝑥𝑒 𝛼𝑥 (𝐻 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝐿 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑥 ) Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′′ + 𝑦 = 4𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 Giải Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình 𝑦 ′′ + 𝑦 = Có phương trình đặc trưng 𝑘2 + = Có nghiệm phức 𝑘 = ±𝑖 nên nghiệm tổng quát có dạng: 𝑦 = 𝑒 0𝑥 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình khơng Do 𝑓 𝑥 = 4𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑒 0𝑥 (0 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 ) nên 𝛼 ± 𝛽 = ± 𝑖 = ±𝑖 nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng: 𝑦 = 𝑥𝑒 0𝑥 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑦 ′ = 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐 + 2𝑑 − 𝑎 𝑥 − 𝑏𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 28 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 𝑦 ′′ = 2𝑏 + 2𝑐 + 4𝑑 − 𝑎 𝑥 − 𝑏𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑑 − 2𝑎 − 4𝑏 + 𝑐 𝑥 − 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥) Thay vào phương trình ta có: 2𝑏 + 2𝑐 + 4𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2𝑑 − 2𝑎 − 4𝑏𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 4𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥) Đồng hệ số ta có: 2𝑏 + 2𝑐 = 2𝑏 + 2𝑐 + 4𝑑𝑥 = 4𝑑 = ⇒ ⇒ 2𝑑 − 2𝑎 − 4𝑏𝑥 = 4𝑥 2𝑑 − 2𝑎 = −4𝑏 = 𝑎=0 𝑏 = −1 𝑐=1 𝑑=0 Suy nghiệm riêng 𝑦 = 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) Bước 3: Nghiệm tổng quát phương trình cho là: 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 29 ...