• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.. • Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕx thỏa mãn phương trình.. 2.Nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát của phương trình
Trang 1CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y(n) )= 0 trong đó
x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm của y
• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm
• Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình
4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 :
4.1.1 Khái niệm:
1 Phương trình vi phân cấp 1 :
Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0
Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y)
2.Nghiệm tổng quát:
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa phương trình
3 Nghiệm riêng:
Nghiệm y = ϕ(x,C0) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với
một giá trị cụ thể C = Co gọi là nghiệm riêng
4.Tích phân tổng quát : Trong một số trường hợp , ta không tìm được
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ(x,C) mà tìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ(x,y,C) = 0 Ta gọi đó là tích phân tồng quát của phương trình vi phân
* Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ (x,C) của phương trình vi phân gọi là
đường cong tích phân của phương trình nầy
* Nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) tương ứng với 1 họ đường cong tích phân phụ thuộc tham số C
* Nghiệm kỳ dị:
Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị
4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly :
Trang 21 Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có
dạng:
f(x)dx = g(y)dy (1)
2 Cách giải:
Lấy tích phân 2 vế của (1)
∫ f(x)dx=∫g(y)dy
F(x) = G(y) + C
Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0
Ví Dụ 2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy
4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp :
1 Định nghĩa :
Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình
có dạng : y’ = f (
x
y
)
2 Cách giải :
Đặt u =
x
y
<=> y = ux => y’ = u’x + u
Suy ra : f(u) = u + x
dx
du
<=> x
dx
du
= f (u) - u
Nếu f (u) - u ≠ 0 ta có :
x
dx
=
u u f
du
− ) ( Đây là phương trình biến số phân ly
Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y’ = 2 2
y x
xy
−
Ví Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ =
x
y
+ sin
x y
với điều kiện ban đầu y (1) =
2 π
4.1 4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 :
Trang 31 Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có
dạng y’ + p(x).y = q(x) (1)
trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục
2 Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1)
Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y’ + p(x)y = 0 (2)
Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát
của phương trình (2)
Bước 2 : Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe-x2 (1)
ĐS : y = 2 2
2
x e K
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
Ví Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x2+1)y’+xy = 1 thỏa điều kiện ban đầu y (0) = 2
ĐS :y =
2
2
1
2 ) x 1 (x
ln
x
+
+ + +
4.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li)
1 Định Nghĩa : Phương trình có dạng : y’ + p(x)y = q(x).yα
trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục, α ∈R
2 Cách giải : • Nếu α = 0 hoặc α =1, phương trình trở thành phương trình
tuyến tính
• Giả sử α ≠ 0 và α ≠1 Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y∝
y-∝ y’ + p(x).y1-∝= q(x) Đặt u = y1- α suy ra u ’= (1- α ) y -α.y’ Phương trình trên trở thành :
u’+ (1-α ) p(x) u = (1- α )q(x)
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u
Ví Dụ : Giải phương trình vi phân : y’ + x2y4
ĐS : y =
3 3 ln
1
x K x
Trang 44.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 :
4.2.1- Khái niệm :
Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’)
Nghiệm tổng quát : y =ϕ (x,C1,C2)
Nghiệm riêng :y = ϕ (x, 0
2
0
1,C
2
0
1,C
C là các giá trị xác định của C1, C2 Tích phân tổng quát : φ(x,y,C2,C2) = 0
4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số)
Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = 0 (2)
Giải phương trình đặc trưng :
k 2 + pk + q = 0 (3)
Ta có 3 trường hợp xảy ra :
* ∆= p 2 -4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực khác nhau k1 và k2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :
* ∆ = p 2 -4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k
Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :
y = e kx(C 1 +C 2 x)
* ∆ = p 2 -4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp :
k1 = α + β i và k2 = α- β i Nghiệm tổng quát của pt (2) là :
Ví Dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện
ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1
Ví Dụ 2 : Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0
y = C1e 1x +C2e 1x
y =eαx(C1cos βx + C2 sinβ x)
Trang 5Bước 2: Phương trình vi phân không thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
Phương pháp giải :
* Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :
y’’+py’ +qy = 0 (2)
* Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1)
* Nghiệm tổng quát của pt (1) = nghiệm tổng quát của pt (2) + nghiệm riêng của
Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt :
1) f(x) =eαxP n (x)
a)Nếu α không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y = eαxQ n (x)
b)Nếu α trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =xeαxQ n (x)
c)Nếu α trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x 2eαxQ n (x)
Ví Dụ 1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x
ĐS : y = C 1 e x + C 2 e -4x -
4
1
x -
16 3
Ví Dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
y’’ –y’ = e x (x+1)
ĐS : y =(C 1 + C 2 )e 3x + x3 e3x
6
2) f(x) = P m (x) cos β x + P n (x) sin β x :
Nghiệm riêng của phương trình có dạng :
• y = Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x nếu ± i β không trùng với nghiệm của pt
đặc trưng
• y = x [ Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x ] nếu ± i β trùng với nghiệm của pt đặc
trưng ( l = max (m,n) )
Ví Dụ : Giải phương trình :
a)y’’ + y’ = sin 2x
Trang 6b)y’’+ y = xsinx