viết phương trình mặt phẳng

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x –3y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) r r r r uuu · (Q) qua A, B vng góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = é nP , AB ù = (0; -8; -12) ¹ ë û Þ (Q) : y + 3z - 11 = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + y + 3z + = ĐS: (Q) : x - y + z - = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm ì x = -1 + t ï A(2;1;3), B(1; -2;1) song song với đường thẳng d : í y = 2t ï z = -3 - 2t ỵ uur r · Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; -2) r uur ìn ^ BA r r uur r Gọi n VTPT (P) Þ í r r Þ chọn n = é BA, u ù = (-10; 4; -1) ỷ ợn ^ u ị Phng trỡnh ca (P): 10 x - y + z - 19 = Câu Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1 ) (d2 ) có phương trình: x -1 y +1 z - x - y -1 z - = = , (d2 ) : = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) (d2 ) (d1 ); · Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z - x + y - z - = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá r véc tơ v = (1;6;2) , vng góc với mặt phẳng (a ) : x + y + z - 11 = tiếp xúc với (S) r · (S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT (a ) n = (1; 4;1) r r r Þ VTPT (P) là: nP = [ n, v ] = (2; -1;2) Þ PT (P) có dạng: x - y + z + m = é m = -21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(P )) = Û ê ëm = Vậy: (P): x - y + z + = (P): x - y + z - 21 = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) hai đường thẳng x y +1 z x y -1 z - (d1 ) : = = (d2 ) : = = Chứng minh điểm M , d1, d2 -2 -3 nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng r r · d1 qua M1(0; -1;0) có u1 = (1; -2; -3) , d2 qua M2 (0;1; 4) có u2 = (1;2;5) r r r uuuuuu r r uuuuuu r r éu1; u2 ù = (-4; -8; 4) ¹ , M1M2 = (0;2; 4) Þ éu1; u2 ù M1M2 = Þ d1, d2 đồng phẳng ë û ë û r Gọi (P) mặt phẳng chứa d1, d2 Þ (P) có VTPT n = (1;2; -1) qua M1 nên có Câu phương trình x + y - z + = Kiểm tra thấy điểm M (1; –1;1) Ỵ (P ) Trang PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x -3 y -3 z = = mặt cầu 2 (S): x + y + z2 - x - y - z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) r · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP u = (2;2;1) r r r (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n = [ u , i ] = (0;1; -2) Þ PT (P) có dạng: y - z + D = (P) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,( P )) = R Û Þ (P): y - z + + = 1- + D 12 + 22 éD = + = Û D -3 = Û ê ëD = - (P): y - z + - = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x - y - = mặt phẳng (P): x + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; -1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) r · (S) có tâm I(–1; 2; 0) bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1; 0;1) Câu PT (Q) qua M có dạng: A( x - 3) + B( y - 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B + C ¹ (Q) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,(Q)) = R Û -4 A + B + C = A2 + B2 + C r r (Q) ^ ( P ) Û nQ nP = Û A + C = Û C = - A (**) (*) Từ (*), (**) Þ B - A = A2 + B Û 8B - A2 + 10 AB = Û A = B Ú A = -4 B · Với A = 2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): x + y - z - = · Với A = -4 B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): x - y - z - = Câu hỏi tương tự: a) Với (S ) : x + y + z2 - x + y - z + = , (P ) : x + y - z + = 0, M (1;1;2) ĐS: (Q) : x + y + z - = (Q) :11x - 10 y + 2z - = Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính r = · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = Mặt khác đường trịn thiết diện có bán kính (P) qua tâm I Suy ra: –2a – b = Û b = 2a (a 0) ị (P): y 2z = Câu Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x - y + z –1 = ìx - y - = đường thẳng d : í Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu ỵ2 x - z - = (S) theo đường trịn có bán kính r = · (S) có tâm I(-1;1; -1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) Chọn M (2;0; -2), N (3;1;0) Ỵ d Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ì M Ỵ (P) é a = b,2c = -(a + b), d = -3a - b (1) Ta có: ï N Ỵ (P ) Û ê í ë17a = -7b,2c = -(a + b), d = -3a - b (2) 2 ï ỵd ( I ,(P )) = R - r + Với (1) Þ (P): x + y - z - = + Với (2) Þ (P): x - 17y + 5z - = Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 : x y -1 z = = , -1 x -1 y z mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + z – = Viết phương trình = = -1 -1 tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng D1 D1 D2 : · (P): y + z + + = (P): y + z + - = Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z2 - x + y - z - 11 = mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi p = 6p · Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D ¹ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường trịn có chu vi 6p nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (b) h = Do 2.1 + 2(-2) - + D R - r = 52 - 32 = é D = -7 = Û -5 + D = 12 Û ê ë D = 17 (loại) 22 + 22 + (-1)2 Vậy (b) có phương trình x + y – z – = Câu hỏi tương tự: a) (S ) : x + y + z2 + x + y - z - 11 = , (a ) : x + y - 2z + 19 = , p = 8p ĐS: ( b ) : x + y - z + = Trang PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = (với A2 + B + C ¹ ) · Vì (P) ^ (Q) nên: A + 1.B + 1.C = Û C = - A - B (1) A + 2B - C · d ( M ,( P )) = Û = Û ( A + B - C )2 = 2( A2 + B + C ) A2 + B2 + C éB = (3) Từ (1) (2) ta được: AB + 5B = Û ê ë8 A + 5B = (4) · Từ (3): B = Þ C = –A Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = · Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 Þ C = Þ (P): 5x - 8y + 3z = (2) x -1 y - z = = 1 điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d đường thẳng D mặt phẳng (P) Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : · Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = ( a2 + b2 + c2 ¹ ) r D qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP u = (1;1;4) ì a + b + 4c = ï ìD P ( P ) ì a = 4c a + 5b Ta có: í Ûí = Û ía = -2c d ( A;( P )) = d ỵ î ï 2 î a +b +c · Với a = 4c Chọn a = 4, c = Þ b = -8 Þ Phương trình (P): x - 8y + z - 16 = · Với a = -2c Chọn a = 2, c = -1 Þ b = Þ Phương trình (P): x + y - z + = Câu hỏi tương tự: x y z -1 a) Với D : = = ; M (0;3; -2), d = 1 ĐS: ( P ) : x + y - z - = ( P ) : x - 8y + z + 26 = ìx = t ï Câu 14 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : í y = -1 + 2t điểm ïz = ỵ A(-1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) r r · (d) qua điểm M(0; -1;1) có VTCT u = (1;2;0) Gọi n = (a; b; c) với a2 + b2 + c2 ¹ VTPT (P) PT mặt phẳng (P): a( x - 0) + b( y + 1) + c( z - 1) = Û ax + by + cz + b - c = (1) rr Do (P) chứa (d) nên: u.n = Û a + 2b = Û a = -2b (2) - a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P ) ) = Û =3Û = Û 5b + 2c = 5b2 + c2 2 2 a +b +c 5b + c Û 4b2 - 4bc + c2 = Û ( 2b - c ) = Û c = 2b (3) Từ (2) (3), chọn b = -1 Þ a = 2, c = -2 Þ PT mặt phẳng (P): x - y - z + = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M (-1;1; 0), N (0; 0; -2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) ì M Î (P) é a = - b,2c = a - b, d = a - b (1) ï Ta có: í N Ỵ (P ) Û ê ë5a = 7b,2c = a - b, d = a - b (2) ïd ( I ,(P )) = ỵ + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x - y + z + = + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): x + 5y + z + = Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; -1;2) , B(1;3;0) , C(-3; 4;1) , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) ì A Ỵ (P) ìa - b + 2c + d = ï Ta có: í B Ỵ (P ) Û ïa + 3b + d = ï í -3a + 4b + c + d ïd (C ,(P )) = d ( D,(P )) a + 2b + c + d ỵ = ï ï a2 + b + c2 a2 + b2 + c2 ỵ é b = 2a, c = 4a, d = -7a Û ê ëc = 2a, b = a, d = -4a + Với b = 2a, c = 4a, d = -7a Þ (P): x + y + 4z - = + Với c = 2a, b = a, d = -4a Þ (P): x + y + 2z - = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B(-2;1;3), C (2; -1;1), D(0;3;1) ĐS: ( P ) : x + y + 7z - 15 = ( P ) : x + 3z - = Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) , B(0; -1;2) , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( P ) khoảng cách từ C đến ( P ) · Vì O Ỵ (P) nên ( P ) : ax + by + cz = , với a2 + b2 + c2 Do A ẻ (P) Þ a + 2b + 3c = (1) d ( B,( P )) = d (C ,( P )) Û - b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) (2) Þ b = c = · Với b = a = -3c Þ (P ) : 3x - z = · Với c = a = -2b Þ ( P ) : x - y = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2; 0), B(0;4;0), C (0;0;3) ĐS: -6 x + 3y + z = x - 3y + z = Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; -1) , B(1;1;2) , C(-1;2; -2) mặt phẳng (P): x - y + 2z + = Viết phương trình mặt phẳng (a ) qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = IC · PT (a ) có dạng: ax + by + cz + d = , với a2 + b2 + c2 ¹ Do A(1;1; -1) Î (a ) nên: a + b - c + d = (1); (a ) ^ ( P ) nên a - 2b + 2c = (2) IB = IC Þ d ( B,(a )) = 2d (C;(a )) Þ a + b + 2c + d a2 + b2 + c Trang =2 - a + b - 2c + d a2 + b2 + c PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng é3a - 3b + 6c - d = (3) Ûê ë - a + 5b - 2c + 3d = Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : ìa + b - c + d = -1 -3 ï TH1 : ía - 2b + 2c = Û b = a; c = - a; d = a 2 ï3a - 3b + 6c - d = ỵ Chọn a = Þ b = -1; c = -2; d = -3 Þ (a ) : x - y - z - = ìa + b - c + d = -3 ï TH2 : ía - 2b + 2c = Û b = a; c = a; d = a 2 ï-a + 5b - 2c + 3d = ợ Chn a = ị b = 3; c = 2; d = -3 Þ (a ) : x + 3y + 2z - = Vậy: (a ) : x - y - 2z - = (a ) : x + 3y + z - = Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương x -2 y -2 z-3 x -1 y - z -1 = = , d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng cách -1 hai đường thẳng d1, d2 r r · Ta có d1 qua A(2;2;3) , có ud1 = (2;1;3) , d2 qua B(1;2;1) có ud = (2; -1; 4) r r r Do (P) cách d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 Þ nP = éud1, ud ù = (7; -2; -4) ë û Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: x - y - 4z + d = trình d1 : Do (P) cách d1, d2 suy d ( A,( P )) = d (B,(P )) Û 7.2 - 2.2 - 4.3 + d = 7.1 - 2.2 - 4.1 + d Û d - = d -1 Û d = 69 69 Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14 x - y - 8z + = Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương ìx = + t x - y -1 z +1 ï trình d1 : í y = - t , d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song -2 ïz = ỵ với d1 d2 , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P) r · Ta có : d1 qua A(1;2;1) có VTCP u1 = (1; -1;0) r d2 qua B(2;1; -1) có VTCP u2 = (1; -2;2) r r r r Gọi n VTPT (P), (P) song song với d1 d2 nên n = éu1, u2 ù = (-2; -2; -1) ë û Þ Phương trìnht (P): x + y + z + m = 7+m 5+ m ; d (d2 ,( P )) = d (B,(P )) = 3 17 é + m = 2(5 + m) d (d1,(P )) = 2d (d2 ,( P )) Û + m = + m Û ê Û m = -3; m = ë + m = -2(5 + m) 17 17 + Với m = -3 Þ ( P ) : x + y + z – = + Với m = Þ (P) : x + y + z - = 3 d (d1,(P )) = d ( A;( P )) = Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; -1;2) , B(1; 0;3) tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z + 1)2 = · (S) có tâm I(1;2; -1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) ì A Î (P ) ï é a = - b, c = - a - b, d = 2a + 3b Ta có: í B Ỵ (P ) Û ê ë3a = -8b, c = -a - b, d = 2a + 3b ïd ( I ,(P )) = R ỵ + Với (1) Þ Phương trình (P): x - y - = + Với (2) Þ Phương trình (P): 8x - 3y - 5z + = (1) (2) Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A cách gốc tọa độ O khoảng lớn · Ta có d (O,( P )) £ OA Do d (O,( P ))max = OA xảy Û OA ^ ( P ) nên mặt phẳng (P) uuu r cần tìm mặt phẳng qua A vng góc với OA Ta có OA = (2; -1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): x - y + z - = Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có x -1 y z -1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn · Gọi H hình chiếu A d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH ³ HI Þ HI lớn A º I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A uuur nhận AH làm VTPT Þ (P): x + y - 5z - 77 = phương trình: Câu 24 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số { x = -2 + t; y = -2t; z = + 2t Gọi D đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa D có khoảng cách đến (d) lớn · Gọi (P) mặt phẳng chứa D, ( P ) P (d ) (P ) É (d ) Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH £ IA IH ^ AH ìd (d ,(P )) = d ( I ,(P )) = IH Mt khỏc ợH ẻ (P) Trong (P), IH £ IA ; maxIH r IA Û H º A Lúc (P) vị trí (P0) ^ IA A r uu= r Vectơ pháp tuyến (P0) n = IA = ( 6; 0; -3) , phương với v = ( 2;0; -1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2( x - 4) - 1.( z + 1) = x - z - = x -1 y z - = = điểm 2 A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) r r (P) có VTPT n = (a; b; c) , d qua điểm M(1; 0;2) có VTCP u = (2;1;2) Trang PP toạ độ khơng gian Trần Sĩ Tùng ì M Ỵ (P) ìa + 2c + d = ì2c = -(2a + b) Xét trường hợp: Vì (P) É d nờn r r ịớ ịớ ợd = a + b ỵn.u = ỵ2a + b + 2c = TH1: Nếu b = (P): x - z + = Khi đó: d ( A,( P )) = TH2: Nếu b ¹ Chọn b = ta (P): 2ax + y - (2a + 1)z + 2a + = 9 Khi đó: d ( A,( P )) = = £3 2 8a2 + 4a + ổ 1ử ỗ 2a + ÷ + è 2ø 1 Vậy max d ( A,( P )) = Û 2a + = Û a = - Khi đó: (P): x - y + z - = Câu hỏi tương tự: x -1 y +1 z - a) d : = = , A(5;1;6) ĐS: (P ) : x + y - z + = x -1 y + z b) d : = = , A(1; 4;2) ĐS: (P ) : x + 13y - z + 21 = -1 Câu 26 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; -1;2) N(-1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P) lớn · PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C ( z - 2) = Û Ax + By + Cz + B - 2C = ( A2 + B2 + C 0) N (-1;1;3) ẻ ( P ) - A + B + 3C + B - 2C = Û A = B + C Þ (P ) : (2 B + C ) x + By + Cz + B - 2C = ; d ( K , ( P )) = B 2 B + 2C + BC · Nếu B = d(K, (P)) = (loại) · Nếu B ¹ d ( K ,(P )) = B = £ 2 ỉC ỗ + 1ữ + ốB ứ Du = xảy B = –C Chọn C = Khi PT (P): x + y – z + = 4B + 2C + BC Trang Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 27 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): x -1 y z tạo với mặt phẳng (P) : x - y - z + = góc 600 Tìm tọa độ giao = = -1 -2 điểm M mặt phẳng (a) với trục Oz r r · () qua điểm A(1;0; 0) có VTCP u = (1; -1; -2) (P) có VTPT n¢ = (2; -2; -1) uuuu r uuur u r r Giao điểm M (0;0; m) cho AM = (-1; 0; m) (a) có VTPT n = é AM , u ù = (m; m - 2;1) ë û (a) (P): x - y - z + = tạo thành góc 60 nên : 1 r r cos ( n, n¢ ) = Û = Û 2m - 4m + = Û m = - hay m = + 2 2m2 - 4m + Kết luận : M(0; 0;2 - 2) hay M(0; 0;2 + 2) Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng (a ) : x – y –1 = , ( b ) : x – z = tạo với mặt phẳng 2 · Lấy A(0;1;0), B(1;3;2)Ỵ d (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = (P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = Þ A = -(2 B + 2C ) Þ ( P ) : -(2 B + 2C ) x + By + Cz – B = (Q) : x – y + 2z –1 = góc j mà cos j = cos j = -2 B - 2C - 2B + 2C (2 B + 2C )2 + B2 + C = 2 Û 13B + 8BC – 5C = 13 + Với B = C = Þ ( P ) : -4 x + y + z –1 = + Với B = , C = Þ ( P ) : -23x + 5y + 13z – = 13 Chọn C = Þ B = 1; B = Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2; -3), B(2; -1; -6) mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB tạo với mặt phẳng (P) góc a thoả mãn cos a = · PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) ỡ A ẻ (Q) ì- a + 2b - 3c + d = é a = -4b, c = -3b, d = -15b ï B Ỵ (Q) Ta có: ï Û ï2a - b - 6c + d = Û ê ï í ë a = -b, c = 0, d = - b í a + 2b + c ïcos a = ï = ï 6 ỵ ï a2 + b2 + c + + ợ ị Phng trỡnh mp(Q): x - y + 3z + 15 = (Q): x - y - = Câu hỏi tương tự: a) A(0;0;1), B(1;1; 0) , (P ) º (Oxy), cos a = ĐS: (Q): x - y + z - = (Q): x - y - z + = Trang PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng ìx + y + z - = Viết ỵ2 x + y + z - = phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng (Oxy) góc Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í a = 600 · ĐS: (P ) : x + y + z - - = (P ) : x - y - z - + = Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x - y + 5z - = (Q) : x - y - 8z + 12 = Lập phương trình mặt phẳng ( R) qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) góc a = 450 · Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) Ta có: ( R) ^ ( P ) Û 5a - 2b + 5c = (1); a - 4b - 8c · cos(( R),(Q)) = cos 450 Û = (2) a2 + b2 + c é a = -c Từ (1) (2) Þ 7a2 + 6ac - c2 = Û ê ëc = 7a · Với a = -c : chọn a = 1, b = 0, c = -1 Þ PT mặt phẳng ( R) : x - z = · Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20, c = Þ PT mặt phẳng ( R) : x + 20 y + 7z = Câu hỏi tương tự: a) Với ( P ) : x - y - z = 0,(Q) º (Oyz), M (2; -3;1),a = 450 ĐS: ( R) : x + y + = ( R) : x - 3y + z - 23 = Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: D1 : x -1 y +1 z -1 x y z = = D2 : = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 -1 -2 tạo với D2 góc a = 300 · Đáp số: (P): 5x + 11y + z + = (P): x - y - z - = Câu hỏi tương tự: x y-2 z x -2 y -3 z+5 a) Với D1 : = = , D2 : = = , a = 300 -1 -1 ĐS: (P): x - y - z + = (P): x + y + z - = x -1 y z + x y - z +1 b) D1 : = = , D2 : = = , a = 300 -2 1 -1 ĐS: (P): (18 + 114) x + 21y + (15 + 114)z - (3 - 114) = (P): (18 - 114) x + 21y + (15 - 114)z - (3 + 114) = Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) tạo với trục Ox, Oy góc tương ứng 450 , 30 r r r · Gọi n = (a; b; c) VTPT (P) Các VTCP trục Ox, Oy i = (1;0; 0), j = (0;1; 0) ì ïsin(Ox ,(P )) = ì ï Û ía = b Ta có: í ỵc = b ïsin(Oy,( P )) = ï ỵ Trang 10 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) đường thẳng d: x -1 y z - = = Tìm d hai điểm A, B cho tam giác ABM 1 · Gọi H hình chiếu M d Ta có: MH = d ( M , d ) = Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB = MH = ìx -2 y z-3 = = ï 1 Do đó, toạ độ A, B nghiệm hệ: í 2 ï( x - 2) + ( y - 1) + ( z - 2) = ỵ ỉ 2 2ư ỉ 2 2ử Gii h ny ta tỡm c: A ỗ + ; ;3 + ;;3 ữ, Bỗ2 ữ 3 ø è 3 ø è Câu hỏi tương tự: ìx = t ỉ + 76 10 + 76 ỉ - 76 - 76 ö ï a) Với M(1; 0; -1) , d : y = 2t S: A ỗ ; ;1ữ , B ỗ ; ;1ữ 15 15 ố 15 ø è 15 ø ïz = ỵ ỉ - 76 10 - 76 ỉ + 76 + 76 ; ;1÷ , B ỗ ; ;1ữ hoc A ỗ 15 15 ố 15 ø è 15 ø Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d: ìx = 1- t ï í y = + 2t Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC ïz = ỵ r · d có VTCP ud = (-1;2;0) Gọi H hình chiếu vng góc A d uuuu r Giả sử H (1 - t; + 2t;3) Þ AH = (1 - t;1 + 2t;0 ) uuur r ỉ6 Mà AH ^ d nên AH ^ ud Þ -1(1 - t ) + (1 + 2t ) = t = - ị H ỗ ; ;3 ữ è5 ø Þ AH = AH 15 Mà DABC nên BC = = hay BH = 5 15 ỉ ỉ2 15 Giả sử B(1 - s;2 + 2s;3) thỡ ỗ - - s ữ + ỗ + 2s ữ = 25 ố ø è5 ø -1 ± æ 6+ 8-2 ử ;3 ữ v C ỗ ; ;3 ÷ ø è ø ỉ 6- 8+2 ư ;3 ÷ C ç ; ;3 ÷ ø è ø Û 25s2 + 10s - = Û s = ổ 6- 8+ Vy: B ỗ ; ố ổ 6+ 8-2 hoc B ỗ ; è Câu 28 Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x -1 y z + = = mặt phẳng (P) : x – y – z = 2 Trang 53 PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng 2a à Gi A(a; 0; 0) ẻ Ox ị d ( A; (P )) = d(A; (P)) = d(A; d) Û 2a 22 + 12 + 22 = 8a2 - 24a + 36 2a ; d ( A; d ) = 3 8a2 - 24a + 36 Û 4a2 - 24a + 36 = = Û 4(a - 3) = Û a = Vậy có điểm A(3; 0; 0) Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y + z –1 = hai x +1 y z + x -1 y - z +1 = = ; D2 : = = Xác định tọa độ điểm M 1 -2 thuộc đường thẳng D1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) r · M (–1 + t; t; –9 + 6t) ỴD1; D2 qua A (1; 3; –1) có véctơ phương a = (2; 1; –2) uuur uuur r AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8) Þ é AM ; a ù = (14 – 8t; 14t – 20; – t) ë û đường thẳng D1 : 261t - 792t + 612 = 11t - 20 Ta có : d (M, D2) = d (M, (P)) Û 53 Vậy M (0; 1; –3) hay M 35 Û 35t2 – 88t + 53 = Û t = hay t = æ 18 53 ỗ ; ; ữ ố 35 35 35 ø Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x + y + z - = , D1 : x -3 y -5 z x -1 - y z - = = , D2 : = = 1 -1 1 ĐS: M(2;4;1) , M(-1;1;4) Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 : x -1 y z + = = -1 x +1 y -1 z - = = Đường vng góc chung D1 D2 cắt D1 A, cắt D2 B -1 Tình diện tích DOAB r r · D1 có VTCP u1 = (2; -1;1) , D2 có VTCP u2 = (1;7; -1) D2 : Giả sử A(1 + 2t1; -t1; -2 + t1 ) Ỵ D1 , B(-1 + t2 ;1 + 7t2 ;3 - t2 ) Ỵ D2 uuu r r r r ì AB.u = ìt = Þ A(1;0; -2) uuu uuu ï uuu Ta có: í r r Ûí1 Þ SOAB = éOA, OB ù = ë û 2 ợt2 = ị B(-1;1;3) ù AB.u2 = î Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = đường thẳng d1 : x -1 = y-3 -3 = z ; d2 : x-5 = y = z+5 -5 Tìm điểm M Ỵ d1 , N Ỵ d cho MN // (P) cách (P) khoảng ì x = + 2t ï · PTTS d1 là: í y = - 3t M Ỵ d1 nên tọa độ M (1 + 2t;3 - 3t;2t ) ï z = 2t ỵ + 2t - 2(3 - 3t ) + 4t - 12t - ét = Theo đề: d ( M ;( P )) = =2Û =2Ûê ët = 12 + (-2)2 + 22 + Với t = ta M1 ( 3;0;2 ) ; + Với t = ta M2 (1;3;0 ) Trang 54 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian · Ứng với M1, điểm N1 Ỵ d2 cần tìm phải giao d2 với mp qua M1 // (P), gọi mp (Q1) PT (Q1) là: ( x - 3) - y + 2( z - 2) = Û x - y + z - = (1) ì x = + 6t ï PTTS d2 là: í y = 4t (2) ï z = -5 - 5t ỵ Thay (2) vào (1), ta được: t = –1 Điểm N1 cần tìm N1(–1;–4;0) · Ứng với M2, tương tự tìm N2(5;0;–5) Câu 32 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + z - = đường thẳng d1 : x -1 = y -3 = z -2 , d2 : x-5 = y = z+5 Tìm điểm A Ỵ d1 , B Ỵ d cho AB // (P) AB cách (P) khoảng · Giả sử: A(2t1 + 1, t1 + 3, -2t1) Ỵ d1 , B(3t2 + 5,4t2 ,2t2 - 5) Ỵ d2 uuu r AB = (3t2 - 2t1 + 4,4t2 - t1 - 3,2t2 + 2t1 - 5) uuu r r AB.nP = Û 2(3t2 - 2t1 + 4) - 4t2 + t1 + + 2(2t2 + 2t1 - 5) = Û 6t2 + t1 + = AB P (P ) Þ d ( AB,( P )) = d ( A,( P )) = · Với t1 = -5 Þ t2 = · Với t1 = Þ t2 = 4t1 + - t1 - - 4t1 - = t1 + é t = -5 =1 Û ê ë t1 = ỉ -11 Þ A(-9; -2;10), B ỗ 7; ; ữ ố 3 ứ ỉ -4 -17 -1 Þ A(3; 4; -2), B ç 4; ; ÷ è 3 ø Câu 33 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ ìx = 1- t uuu r ï · Ta có AB = (-1; -4; -3) Phương trình đường thẳng AB: í y = - 4t ï z = - 3t ỵ uuur Gọi D(1 - a;5 - 4a; - 3a) ẻ AB ị DC = (a; 4a - 3;3a - 3) uuu uuur r Độ dài đoạn CD ngắn Û D hình chiếu vng góc C cạnh AB Û AB ^ DC ỉ 49 41 21 Û - a - 16a + 12 - 9a + = a = Vy: D ỗ ; ; ữ 26 è 26 26 26 ø Câu 34 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x +1 y z -1 = = -2 1 x y z = = Tìm điểm M thuộc d1 , N thuộc d2 cho đường thẳng MN song song 1 với mặt phẳng (P): x - y + z + 2012 = độ dài đoạn MN uuuu r r ì MN n = ì MN P ( P ) ỉ 5ư ï P · Lấy M Ỵ d1, N Ỵ d2 Ta có í Û M (0; 0;0), N ç - ; - ; ÷ Ûí è 7 7ø ỵ MN = ï MN = î Câu 35 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : Trang 55 x y + z -1 = = -1 PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng điểm A(1; 0;0), B(0;1;1), C (0;0;2) Tìm điểm M thuộc d cho góc hai mặt phẳng (MAB) (CAB) a = 300 · ĐS: M(0; -2;1) Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: ìx = + t x - y -1 z ï (D1) : í y = -1 - t (D2 ) : = = Xác định điểm A D1 điểm B D2 -1 ïz = ỵ cho đoạn AB có độ dài nhỏ uuu r · Giả sử A(t+1; –t 1; 2)ẻ D1, B( t'+3; 2t' +1; t')ẻ D2 ị AB = (-t '- t + 2;2t '+ t + 2; t '- 2) Vì đoạn AB có độ dài nhỏ Û AB đoạn vng góc chung (D1) (D2) uuu r r uuu r r ì AB ì AB ï uuu ^ u1 ï uuu u1 = ì2t + 3t ' = Þ í r r Ûí rr Ûí Û t = t ' = Þ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0) î3t + 6t ' = ï AB ^ u2 ï AB.u2 = ỵ ỵ Câu 37 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) đường ì x = + 4t ï thẳng d : í y = -6t Tìm điểm I đường thẳng d cho IA + IB đạt giá trị nhỏ ï z = -1 - 8t ỵ uuu r · AB = (2; -3; -4) Þ AB // d Gọi A1 điểm đối xứng A qua d Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B Do IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi A1, I, B thẳng hàng Þ I giao điểm A1B d Vì AB // d nên I trung điểm A1B ỉ 36 33 15 Gọi H hình chiu ca A lờn d Tỡm c H ỗ ; ; ÷ A’ đối xứng với A qua H nên è 29 29 29 ø æ 43 95 28 ổ 65 -21 -43 A ỗ ; ; - ÷ I trung điểm A’B suy I ỗ ; ; ữ ố 29 29 29 ø è 29 58 29 ø Câu hỏi tương tự: æ 64 45 ö x - y z +1 a) Với A(1; -1;2), B(3; -4; -2) , d : = = S: I ỗ ; - ; - ÷ -6 -8 è 29 29 29 ø x -2 y z-4 b) Với A(1;2; –1), B(7; –2;3) , d : = = ĐS: I (2;0; 4) -2 Câu 38 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) đường x +1 y -1 z = = Tìm toạ độ điểm M D cho DMAB có diện tích nhỏ -1 ì x = -1 + 2t ï · PTTS D: í y = - t Gọi M (-1 + 2t;1 - t;2t ) Ỵ D ï z = 2t ỵ r uuur uuu Diện tích DMAB S = é AM , AB ù = 18t - 36t + 216 = 18(t - 1)2 + 198 ≥ 198 ë û thẳng D: Vậy Min S = 198 t = hay M(1; 0; 2) Câu hỏi tương tự: x -1 y + z - a) Với A(0;1;0), B(2;2;2) , D : = = -1 Trang 56 ĐS: M(-3;0;1) , S = 2 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian x y - z +1 = = -1 x -1 y - z -1 c) Với A(0;1; -2), B(2; -1;1), D : = = -1 ìx + y - z -1 = d) Với A(2; -1;1), B(1; -1;0), D : í ỵ2 x - y - = b) Với A(2; -1;1), B(0;1; -2), D : e) Với A(1; 4;2), B(-1;2;4), D : x -1 y - z = = -1 ĐS: M (-5;8; -11),min S = 34 ĐS: M (-2;5; -5),min S = 22 æ1 3ử S: M ỗ ; - ; - ữ è6 2ø ỉ 12 38 ĐS: M ỗ - ; ; ữ ố 7 ø Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; -11) , B(3;5; -4) , C(2;1; -6) x -1 y - z -1 đường thẳng d : = = Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d 1 uuur uuur uuur cho MA - MB - MC đạt giá trị nhỏ uuur uuur uuur · Giả sử M (2t + 1;2t + 2; t + 1) ẻ d ị MA - MB - MC = (-2t - 1; -2t - 4; -t ) uuur uuur uuur MA - MB - MC = æ 10 ö 53 53 ³ (2t + 1) + (2t + 4) + t = ỗ t + ữ + 9ø è ỉ 11 10 Du "=" xy t = ị M ỗ - ;- ;- ÷ è 9 9ø 2 Câu 40 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( P ) : x + y - z + = điểm A( –2; 3; 4) x+3 = y + = z - Gọi D đường thẳng nằm (P) qua giao điểm (d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm D điểm M cho khoảng cách AM ngắn ì x = 2t - ï · PTTS d: í y = t - Gọi I giao điểm (d) (P) Þ I(-1;0;4) ïz = t + ỵ r r r r (d) có VTCP a = (2;1;1) , (P) có VTPT n = (1;2; -1) Þ [ a, n ] = (-3;3;3) đường thẳng (d ) : ìx = - u r r ï Gọi u vectơ phương D Þ u = (-1;1;1) Þ D : í y = u ïz = + u ợ uuur Vỡ M ẻ D ị M (-1 - u; u;4 + u) , Þ AM = (1 - u; u - 3; u) uuur r AM ngắn Û AM ^ D Û AM u = Û -1(1 - u) + 1(u - 3) + 1.u = Û u = æ -7 16 Vy M ỗ ; ; ữ ố 3 3ø Câu 41 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–1; –1; 2), B(–2; –2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y - z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi D giao tuyến (P) (Q) Tìm điểm M thuộc D cho độ dài đoạn thẳng OM nhỏ r ỉ -3 -3 uuu · Gi I l trung im ca AB ị I ỗ ; ; ÷ ; AB = (-1; -1; -1) è 2 2ø Trang 57 PP toạ độ không gian Þ PT (Q): x + y + z + Trần Sĩ Tùng =0 ì D giao tuyến (P) (Q) Þ PTTS D: í x = - + 2t; y = -t; z = - t 4 ỵ ỉ 15 25 Gi s M ỗ - + 2t; -t; - t ữ ẻ D; OM = 6t - t + è 4 ø ỉ 3ư OM nhỏ t = ị M ỗ - ; - ; - ÷ è 8ø Câu 42 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): x - y z +1 = = , (d2): 1 -2 x-2 y+2 z = = Một đường thẳng (D) qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng (d1) -1 điểm B cắt đường thẳng (d2) điểm C Chứng minh điểm B trung điểm đoạn thẳng AC uuu r uuu r · Lấy B Ỵ (d1), C Ỵ (d2) Từ : AB = k AC Þ k = Þ B trung điểm đoạn thẳng AC Ta tính B(2; –1; 1), C(3; –4; –1) Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E (2;1;5), F (4; 3; ) Gọi D giao tuyến hai mặt phẳng (P ): 2x + y - z + = (Q) : x - y + z - = Tìm điểm I thuộc D cho: IE - IF lớn ìx = + t ï · PTTS D: í y = -5t PTTS EF: ï z = - 3t ỵ ì x = + t¢ ï í y = + t¢ ù z = + t ợ ỡ1 + t = + t¢ ï ìt = Xột h: ớ-5t = + t ị EF ct D ti A(1;0;3) ợt = -1 ù3 - 3t = + 2t ợ Trong mp( D ,EF) mi điểm I Ỵ D ta có IE - IF £ EF (hiệu cạnh tam giác nhỏ cạnh thứ 3) Dấu "=" xảy Û I, E, F thẳng hàng, từ suy I trùng A Vậy điểm I(1;0;3) Câu 44 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : A(0; 0;3) , B(0;3;3) Tìm điểm M Ỵ d cho: b) MA2 + MB nhỏ a) MA + MB nhỏ ìx = t ï · a) PTTS d: í y = t Gọi M (t; t; t ) Ỵ d Ta có: P = ïz = t ỵ Xét hàm số f (t ) = (t - 1)2 + + (t - 2)2 + ị f Â(t ) = f ¢(t ) = Û t -1 (t - 1)2 + =- t-2 (t - 2)2 + Û t -1 (t - 1)2 + Trang 58 ( x y z = = hai điểm 1 uuur uuur c) MA - 3MB nhỏ (t - 1)2 + + (t - 2)2 + t -1 (t - 1)2 + = ) t-2 + (t - 2)2 + -(t - 2) [ -(t - 2)] (*) +2 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ỉ u ữ Ta cú gÂ(u) = ỗ u2 + - u = >0 ỗ ữ u2 + u2 + ø u + (u2 + 2)3 è nên hàm số g đồng biến ¡ Do từ (*), ta có g(t - 1) = g [ -(t - 2)] Û t - = -t + Û t = ỉ3ư Dựa vào BBT hàm số f ta suy f (t ) = f ỗ ữ = è2ø Xét hàm số g(u) = u Vậy min( MA + MB) = 3 đạt t = ổ3 3ử , tc l M ỗ ; ; ÷ è2 2ø b) Tương tự câu 1), ta tính Q = MA2 + MB = 9t - 30t + 45 = (3t - 5)2 + 20 ỉ5 5ư Þ Q = 20 t = , tức M ỗ ; ; ữ ố 2 øuuur uuur c) Theo câu 1) , ta có MA = (-t; -t;3 - t ) , MB = (-t;3 - t;3 - t ) uuur uuur uuur uuur Suy MA - MB = (t; t - 6; t - 3) Þ MA - MB = 3t - 18t + 45 = 3(t - 3)2 + 18 ³ uuur uuur Vậy MA - MB = t = , tức M(3;3;3) Trang 59 PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x – y + m = đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P): x – y – z + = , (Q): x + y – 2z – = Tìm m để (S) cắt (d) điểm M, N cho độ dài MN = · (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 - m = IM (m < 13) Gọi H trung điểm MN Þ MH= Þ IH = d(I; d) = -m - r uur r éu; AI ù ë û (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) Þ d(I; d) = = r u Vậy : -m - =3 Û m = –12 Câu 46 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z + = mặt cầu (S): x + y + z2 - x - 8y - z + 23 = Tìm (S) điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn Khi viết phương trình mặt cầu (T) có tâm M cắt (P) theo đường trịn có bán kính · Mặt cầu (S) có tâm I (3; 4;1) , bán kính R = ìx = + t ï Gọi d đường thẳng qua I vng góc với (P) Þ PTTS d: í y = + t ïz = - t ỵ Khi M giao điểm d với (S) Þ Tọa độ điểm M nghiệm hệ: ìx = + t ì t = ì t = -1 ïy = + t ïx = ïx = ï ï ï Ûí Èí Þ M1(4;5; 0), M2 (2;3;2) íz = - t y = ïy = ï ï 2 ïz = ïz = ï x + y + z - x - 8y - z + 23 = ỵ ỵ î Ta thấy d ( M1,( P )) = > d ( M2 ,(P )) = Vậy M(4;5;0) điểm cần tìm Mặt cầu (T) có R ' = MH + HE = (4 3)2 + 42 = Þ (T ) :( x - 4)2 + ( y - 5)2 + z2 = 64 Câu 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình (S ) : x + y + z2 - x + y - z + = 0, ( P ) : x + y - z + 16 = Điểm M di động (S) điểm N di động (P) Tính độ dài ngắn đoạn thẳng MN Xác định vị trí M, N tương ứng · Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) có bán kính R = 2.2 + 2.(-1) - + 16 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d = d I , ( P ) = = 5Þ d > R Do (P) (S) khơng có điểm chung Do vậy, MN = d –R = –3 = Trong trường hợp này, M vị trí M0 N vị trí N0 Dễ thấy N0 hình chiếu vng góc I mặt phẳng (P) M0 giao điểm đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) Gọi D đường thẳng qua I vuông góc với (P), N0 giao điểm D (P) ì x = + 2t r ï Đường thẳng D có VTCP n P = ( 2;2; -1) qua I nên có phương trình í y = -1 + 2t ïz = - t ỵ Tọa độ N0 ứng với t nghiệm phương trình: ( Trang 60 ) Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian 2(2 + 2t ) + 2(-1 + 2t ) - (3 - t ) + 16 = Û 9t + 15 = Û t = - uuuu uuur r æ 13 14 Suy N ỗ - ; - ; ÷ Ta có IM = IN Suy M0(0;–3;4) è 3 3ø Câu hỏi tương tự: 15 =9 a) (S ) : x + y + z2 - x - y + z = ; (P ) : x + y - z + = æ -2 -1 ; ; ÷ è 3 3ø ĐS: M(2 - 2;2 - 2; -1 + 2) , N ỗ Cõu 48 Trong khụng gian ta Oxyz , cho điểm A(0;1;1), B(1;0; -3), C (-1; -2; -3) mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z2 - x + 2z - = Tìm tọa độ điểm D mặt cầu (S) cho tứ diện ABCD tích lớn · (S) có tâm I(1; 0; –1), bán kính R = PT mp(ABC): x - y + z + = Ta có VABCD = d ( D;( ABC )).S ABC nên VABCD lớn Û d ( D;( ABC )) lớn Gọi D1D2 đường kính (S) vng góc với mp(ABC) Ta thấy với D điểm thuộc (S) d ( D;( ABC )) £ max {d ( D1;( ABC )); d (D2 ;( ABC ))} Dấu “=” xảy D trùng với D1 D2 r D1D2 qua I(1;0;–1), có VTCP nABC = (2; -2;1) Þ D1D2 : { x = + 2t; y = -2t; z = -1 + t ì x = + 2t é ï êt=3 y = -2t ï Tọa độ D1 D2 thỏa: í Þê ê t = -2 ï z = -1 + t ï( x - 1)2 + y + (z + 1)2 = ê ë ỵ ỉ -4 -1 ổ -1 -5 ị D1 ỗ ; ; ữ ; D2 ỗ ; ; ữ ố3 3 ø è 3 ø æ 1ö Ta thấy: d ( D1;( ABC )) > d ( D2 ;( ABC )) Vy im D ỗ ; - ; - ÷ điểm cần tìm è 3 3ø Trang 61 PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 4: Xác định điểm không gian Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a): x + y – z + = hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vng góc với mặt phẳng (a), đồng thời K cách gốc tọa độ O (a) x -2 y -2 z · I(2;2;0) PT đường thẳng KI: = = -1 Gọi H hình chiếu I (a): H(–1;0;1) Giả sử K(xo;yo;zo) ì x - y0 - z0 = = ï ỉ 1 3ư -1 Ta có: KH = KO ị Kỗ- ; ; ữ ố 4ø ï ( x + 1)2 + y + ( z - 1)2 = x + y + z 0 0 0 ỵ Câu 50 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC + MD đạt giá trị nhỏ æ 14 ö · Gọi G trọng tâm ABCD ta cú: G ỗ ; ; ữ è3 ø Ta có: MA2 + MB2 + MC + MD = MG + GA2 + GB + GC + GD æ 14 ö ³ GA2 + GB2 + GC + GD Dấu xảy M G ỗ ; ; ữ ố3 ø Câu 51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z + = điểm A(0; 1; 2) Tìm toạ độ điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) r · (P) có VTPT n = (1;1;1) Giả sử A¢(x; y; z) ỉ x y +1 z + ö ; Gọi I trung điểm ca AA ị I ỗ ; ữ ố2 2 ø ì x y -1 z - uuur ì x = -4 r ì AA¢ , n phương ï1 = = ï ï A¢ đối xứng với A qua (P) Û í Ûí Û í y = -3 ï I Ỵ (P) ï z = -2 î ï x + y +1 + z + + = ợ ợ2 2 Vy: AÂ(4; –3; –2) Câu 52 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0;0), B(0;1; 0), C (0;3;2) mặt phẳng (a ) : x + y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (a ) · Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) ì( x - 1)2 + y + z2 = x + ( y - 1)2 + z2 (1) ì MA = MB 0 0 ï 20 ï 2 2 Ta có: í MB = MC Û ï x0 + ( y0 - 1) + z0 = x0 + ( y0 - 3) + ( z0 - 2) (2) í ï MA = d ( M ,(a )) ỵ ( x + y0 + 2)2 ï 2 ( x0 - 1)2 + y0 + z0 = (3) ï ỵ é x0 = 1, y0 = 1, z0 = æ 23 23 14 Û ê 23 23 14 Þ M(1; 1; 2) hoc M ỗ ; ; - ữ ê x0 = , y = , z0 = 3ø è 3 3 ë Câu 53 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác S.ABC, biết Trang 62 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian A(3; 0;0), B(0;3;0), C (0;0;3) Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC 36 · Phương trình ( ABC ) : x + y + z - = Do hình chóp S.ABC nên đường thẳng SG qua G vng góc với (ABC) ìx = + t ï Phương trình SG : í y = + t Giả sử S(1 + t;1 + t;1 + t ) ïz = + t ỵ DABC có trọng tâm G(1;1;1) AB= BC= CA= Þ S ABC = Ta có : VS.ABC=36= SG SABC Û t = 8, t = -8 Vậy: S(9;9;9) S(-7; -7; -7) Dạng 5: Xác định điểm đa giác Câu 54 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC · Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A (P) ^ BC; (Q) qua B (Q) ^ AC æ 36 18 12 ö Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trờn ta c trc tõm H ỗ ; ; ữ è 49 49 49 ø Câu hỏi tương tự: a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) ĐS: Câu 55 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-1;3;5) , B(-4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC · Ta có: AB = BC = CA = Þ D ABC Do tâm I đường trịn ngoại tiếp ỉ 8ö D ABC trọng tâm nú Kt lun: I ỗ - ; ; ữ è 3 3ø Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC uuu r uuu r · Ta có: AB = (2; 2; -2), AC = (0; 2;2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x + y - z - = 0, y + z - = uuu uuu r r r VTPT mp(ABC) n = é AB, AC ù = (8; -4;4) Suy (ABC): x - y + z + = ë û ì x + y - z -1 = ìx = ï ï Giải hệ: í y + z - = Þ í y = Suy tâm đường tròn I(0; 2; 1) ï2 x - y + z + = ï z = ỵ ỵ Bán kính R = IA = (-1 - 0)2 + (0 - 2)2 + (1 - 1)2 = Câu 57 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B(-1;2; 0) ,C(1;1; -2) Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC · H ( x; y; z) trực tâm DABC Û BH ^ AC , CH ^ AB, H Ỵ ( ABC ) Trang 63 PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng uuur uuu r ì BH AC = r ï uuur uuu ì ỉ 29 29 Û íCHr AB r uuu= uuur Û íx = ; y = ; z = ị H ỗ ; ;- ữ uuu 15 15 è 15 15 ø ỵ ï é AB, AC ù AH = ë û ỵ I ( x; y; z) tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Û AI = BI = CI , I Î ( ABC ) ì AI = BI ï ì ỉ 14 61 14 61 Û íCI = BI 2uur Û íx = ; y = ; z = - ị I ỗ ; ; - ÷ uuu uuu r r 15 30 î è 15 30 ø ï é AB, AC ù AI = ë û ỵ Câu 58 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;0;1), B(1;2; - 1), C (-1;2;3) I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) · Phương trình ( ABC ) : x - y + z + = Gọi I ( x; y; z) IA = IB = IC Þ x + y - z - = 0, y + z - = (1) ; I ẻ ( ABC ) ị x - y + z + = (2) Từ (1) (2) Þ I (0; 2; 1) Bán kính mặt cầu R = d ( I ,(Oxz)) = Þ (S): x + ( y - 2)2 + ( z - 1)2 = Câu 59 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm mặt phẳng (Oxy) C nằm trục Oz Tìm toạ độ điểm B, C cho điểm H(2;1;1) trực tâm tam giác ABC · Giả sử B( x; y;0) Î (Oxy), C (0;0; z) Î Oz uuur uuu r uuur uuu r ì AH ^ BC ì AH BC = r r r ï uuu uuu ï uuur uuu H trực tâm DABC Û íCH uuuAB ^ r uuur Û íCHr AB = 0uuu uuur uuu r uuu r ï AB, AC , AH đồng phẳng ï é AB, AH ù AC = ë û ỵ ỵ é 17 + 177 + 177 -3 - 177 ìx + z = ;y = ;z = êx = ï 4 Û í2 x + y - = Û ê 17 - 177 - 177 -3 + 177 ê ï3 x - 3y + yz - z = ỵ ;y = ;z = êx = ë 4 ỉ -3 - 177 17 + 177 ổ + 177 ị Bỗ ; ;0 ữ , C ỗ 0;0; ữ ố ứ ố ứ 4 ỉ -3 + 177 17 - 177 ổ - 177 hoc B ỗ ; ;0 ữ , C ỗ 0;0; ữ ố ứ è ø Câu 60 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) hai đường thẳng có phương trình x -2 y -3 z-3 x -1 y - z - = = d2 : = = Chứng minh đường thẳng d1, d2 1 -2 -2 điểm A nằm mặt phẳng Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d1 chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC r r · d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP a = (1;1; -2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP b = (1; -2;1) urr r r r uuuuuu r Ta có é a,b ù ¹ , é a, b ù M1M2 = Þ d1, d2 cắt ë û ë û d1 : Phương trình mặt phẳng chứa d1, d2 : x + y + z – = A Ỵ mp(d1, d2 ) ỉt+5 t+5 Giả sử B(2 + t;3 + t;3 - 2t )ẻ d1 ị trung im ca AB l M ỗ ; ;3 - t ÷ è ø Trang 64 Trần Sĩ Tùng PP to khụng gian M ẻ d2 ị t = -1 Þ M (2;2;4) Þ B(1;2;5) uuu r r Giả sử C (1 + t; - 2t;3 + t ) Ỵ d2 AC ^ a Þ t = Þ C(1;4;2) Câu 61 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao CH, đường phân giác BM góc B có phương trình x -2 y -3 z-3 x -1 y - z - d1 : = = , d2 : = = Tính độ dài cạnh tam giác 1 -2 -2 tam giác ABC · Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d1 Þ (P): x + y – 2z + = B giao điểm d2 với (P) Þ B(1; 4;3) Gọi (Q) mặt phẳng qua A vng góc với d2 Þ (Q): x - y + z - = Gọi K giao điểm d2 với (Q) Þ K (2;2;4) Gọi E điểm đối xứng A qua K Þ E(1;2;5) ìx = ï Phương trình đường thẳng BE í y = - t C giao điểm BE CH Þ C(1;2;5) ïz = + t ỵ Ta có AB = AC = BC = 2 Þ Tam giác ABC Câu 62 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A ( 3; -1; -2 ) , B (1;5;1) , C ( 2;3;3) , AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D · Do ABCD hình thang cân nên AD = BC = Gọi D đường thẳng qua C song song với AB, (S) mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm giao điểm D (S) ì x = - 2t uuu r ï Đường thẳng D có vectơ phương AB = ( -2;6;3 ) nên có phương trình: í y = + 6t ï z = + 3t ỵ Phương trình mặt cầu (S ) : ( x - 3)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: ì x = - 2t ét = -1 ï y = + 6t ï Þ 49t + 82t + 33 = Û ê 33 í z = + 3t êt = ï 2 49 ë ï( x - 3) + ( y + 1) + ( z + ) = ỵ · Với t = – 1, D(4; – 3; 0) : khơng thoả AB = CD = æ 164 51 48 ö 33 · Với t = - ị D ỗ ; - ; ữ (nhn) 49 49 49 ø è 49 Câu 63 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A(-1;2;1) , B(2;3;2) Tìm tọa độ đỉnh C, D viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi biết tâm I x +1 y z - hình thoi thuộc đường thẳng d : = = điểm D có hồnh độ âm -1 -1 uu r uu r · Gọi I (-1 - t; -t;2 + t ) Ỵ d Ta có IA = (t;2 + t; -1 - t ), IB = (3 + t;3 + t; -t ) uu uu r r Do ABCD hình thoi nên IA.IB = Û 3t + 9t + = Û t = -1, t = -2 Vì C đối xứng với A qua I D đối xứng với B qua I nên: Trang 65 PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng + Với t = -1 Þ I (0;1;1) Þ C (1;0;1), D(-2; -1;0) + Với t = -2 Þ I (1;2; 0) Þ C (3;2; -1), D(0;1; -2) Do D có hồnh độ âm nên ta chọn nghiệm C (1; 0;1), D(-2; -1;0) r + Gọi (P) mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT n uu r uu uu r r ì r IA r ïn ^ uu = (-1;1;0) r Ta có í r Þ chọn n = é IA, IB ù = (1;1; -4) ë û ïn ^ IB = (2;2;1) ỵ Suy phương trình mặt phẳng ( P ) : x + y – 4z + = Câu 64 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, A(1;0; 0) , C(-1;2; 0) , D(-1; 0;0) , S(0; 0; 3) Gọi M, N trung điểm đoạn SB CD Chứng minh hai đường thẳng AM BN vng góc với xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB uuu uuur r · AB = DC Þ B(1; 2; 0) M trung điểm SB, N trung im CD ổ1 3ử ị M ỗ ;1; ữ , N(–1; 1; 0) Þ AM ^ BN Vì DONB nm mp(Oxy) nờn tõm I ca ỗ2 ữ è ø đường trịn ngoại tiếp DONB thuộc mp(Oxy) ỉ1 ỡ IO = IN ị I ỗ ; ;0 ÷ Gọi I ( x; y; 0) Ta có: í ỵ IO = IB è6 ø Câu 65 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M(5;3; - 1) , P(2;3; - 4) Tìm toạ độ đỉnh ( R) : x + y - z - = Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng uuur æ7 5ư · Gọi I tâm hình vng Þ I ç ;3; - ÷ Gọi N (a; b; c) Î ( R) MP = (-3; 0; -3) è2 2ø uur ỉ 5ư IN = ç a - ; b - 3; c + ÷ ; MP = Þ IN = è 2ø ìa + b - c - = ì uurỴ ( R) N uuur ï ỉ 7ư ỉ 5ư é a = 2, b = 3, c = -1 ï Ta có: ï IN ^ MP ù-3 ỗ a - ữ - ỗ c + ÷ = Û ê í 2ø è 2ø í è ë a = 3, b = 1, c = -2 2 ï IN = ïæ ổ 7ử 5ử ù ợ ùỗ a - ữ + (b - 3)2 + ỗ c + ữ = 2ø è 2ø ỵè · Nếu N(2;3 - 1) Q(5;3; - 4) · Nếu N(3;1; - 2) Q(4;5; - 3) Câu 66 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, biết B(3;0;8) , D(-5; -4; 0) đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độ điểm C · Ta có trung điểm BD I(–1;–2; 4), BD = 12 điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0) ì AB = AD 2 2 2 ì ï Û ï(a - 3) + b + = (a + 5) + (b + 4) ABCD hình vng Þ í í 2 2 ỉ1 ï(a + 1) + (b + 2) + = 36 ù AI = ỗ BD ữ ợ ố2 ứ î ì 17 ïa = ì b = - 2a ỉ 17 -14 ìa = Ûí hoc ị A(1; 2; 0) hoc A ỗ ; ;0 ÷ Ûí 2 b=2 -14 (a + 1) + (6 - 2a) = 20 ỵ è 5 ø ỵ ïb = ỵ Trang 66 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ khơng gian ỉ 17 -14 ổ -27 -6 à Vi A ỗ ; ;0 ữ ị C ỗ ; ;8 ữ ố 5 ø è 5 ø · Với A(1; 2; 0) Þ C(–3;–6; 8) Câu 67 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD, biết A(1;2; 0), C (2;3; -4) đỉnh B nằm mặt phẳng (Q): x + y + z - = Tìm toạ độ đỉnh D, biết toạ độ B số nguyên · AC = Þ AB = Gọi B( x; y; z) ì x + y + z = (1) ì B Ỵ (Q) ï ï Ta có: í AB = CB Û í( x - 1)2 + ( y - 2)2 + z2 = ( x - 2)2 + ( y - 3)2 + ( x + 4)2 (2) ï AB = ï( x - 1)2 + ( y - 2)2 + z2 = (3) ỵ ỵ Û x = -1; y = 1; z = Þ B(-1;1;2) Vậy D(4; 4; -6) Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 67 ... không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z2 - x + y - z - 11 = mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) cắt... Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y +... khơng gian TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng cách xác định vectơ phương x +1 y -1 z - = = mặt phẳng P : x - y - z - = Viết phương trình đường thẳng D