Phân loại bài toán viết phương trình mặt phẳng

A.Đặt vấnđề 2

I.Lời nói đầu 2

II.thực trạng của vấn đề 2

B.Giải quyết vấn đề 3

Phần I: Nhắc lại kiến thức cơ bản 3

Phần II:.Nêu phương pháp chung để giải toán 4

Phần III: Các dạng bài tập thường gặp 6

C.Kêt luận 13

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lời nói đầu

Bài toán viết phương trình mặt phẳng là dạng toán hay và không quá khótrong chương trình lớp 12 , để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vữngkiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng,mặt cầu Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc Những pháthiện lời giải hay và hấp dẫn người học.

Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phương pháp toạ độ không giantrong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng

II Thực trạng của vấn đề

Là giáo viên giảng dạy ở trương THPT tôi thấy nhìn chung đối tượng họcsinh ở mức trung bình yếu, mức độ tư duy vừa phải , các em dễ nhầm lẫn khigiải bài toán dạng này

Cụ thế tôi đã khảo sát ở ba lớp 12A,12B,12C như sau:Tôi yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:

Bài toán: Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau: a/ ( ) đi qua điểm M( 1;2;3 ) và có pháp tuyến là n = ( 2;-4;1) b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d x 21y321z

c/ ( ) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0 d/ ( ) đi qua 3 điểm A(2;-1;3), B (4;0;1), C(-10;5;3)

*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài

Kết quả của lớp 12A ( sĩ số 50)

Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lờigiải

Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời Lời giải

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN

1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

* n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là pháp tuyến của (

 )

* n là pháp tuyến của ( ) thì k n cũng là pháp tuyến của ( )

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

* Phương trình tổng quát của ( ) có dạng Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C20)

* Nếu ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì pháp tuyến của ( ) là n( A;B;C)

* Nếu ( ) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận n(A;B;C) làm pháp tuyến thìphương trình của ( ) là : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

* Nếu ( ) chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phương a

=(a1;a2;a3), b(b1;b2;b3) thì pháp tuyến của ( ) là :

n = [a, b] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)

* Nếu ( ) cắt các trục Ox, Oy , Oz lần lượt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c)thì ( ) có phương trình là : 1

; (a.b.c 0 )

( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )

* (P)  (Q) thì nP nQ = 0 ( nP, nQ lần lượt là pháp tuyến của (P) và (Q))* (P) // (Q) thì nP = k nQ ( nP, nQ lần lượt là pháp tuyến của (P) và (Q) )* Nếu ( ): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x0;y0;z0) thì khoảng cách từ Mđến ( ) là d (M, ( )) = |0 2 0 2 0 2 |

* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB) - véc tơ AB= (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )

- Toạ độ trung điểm I của AB là I= )2;2;2

(xA xByAyBzA zB

Quy ước: Pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là n

Chỉ phương của đường thẳng ký hiệu là a

PHẦN II : NÊU PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN

Trong bài toán Viết phương trình mặt phẳng ( ) thì phương pháp chung

nhất là đi xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( gọi chung là pháp

tuyến) và toạ độ một điểm mà mặt phẳng đi qua sau đó dựa vào công thức

nhận xét của định nghĩa( trang 72 sgk hh12) để viết phương trình mặt phẳng.

PHẦN III: CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) khi biết pháp tuyến n

(A;B;C) và toạ độ điểm M(x0;y0;z0) thuộc mặt phẳng

 n = [AB.AC ] = ( 12 ;24 ;24) hay lấy n =(1 ;2 ;2) là pháp tuyến.A(2;-1;3) ( )  Phương trình mặt phẳng ( ) là:

1(x- 2) +2(y+1) +2(z-3) = 0

 x+ 2y + 2z - 6 = 0

b/ áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta có phươngtrình mặt phẳng ( ) là: 1

1  

 6x- 3y - 2z - 6 = 0( cách giải khác giống như câu a)

Dạng 3: Mặt phẳng ( ) đi qua một điểm và vài yếu tố khác

Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông gócvới đường thẳng d.

Hướng dẫn: n = ad  bài toán trở về dạng 1

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:a/ ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với d 

( t làtham số )

b/ ( ) đi qua điểm N(2;-1;3) và vuông góc với d

1 yzx

N(2;-1;3) ( )  phương trình của ( ) là : -2(x-2) +3(y+1) +1(z-3) = 0

 -2x +3y +z +4 = 0c/ do ( ) vuông góc với Ox  n = i = (1;0;0)

P(0;1;2) ( )  phương trình của ( ) là: 1(x- 0) + 0(y-1) + 0(z-2) =0

 x = 0

Loại 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và song songvới mặt phẳng (P).

Hướng dẫn : n = nP  bài toán trở về dạng 1

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:a/ ( ) đi qua M(2;-1;3) và // (P): x+2y-3z + 1 = 0

b/ ( ) đi qua N(2;0;-3) và // (Oxy)

Lời giải

a/ do ( ) // (P)  n =nP = (1;2;-3)

M(2;-1;3) ( )  phương trình của ( ) là: 1(x-2) +2(y+1) -3(z-3) = 0

 x +2y -3z + 9 = 0b/ do ( ) // (Oxy)  n = k =( 0;0;1)

N(2;0;-3) ( )  phương trình của ( ) là: 0(x-2) + 0(y-0) +1(z+3) = 0

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;3;-1) song songvới d 

( t là tham số ) và vuông góc với (P): x + y - z +1 = 0

Híng dÉn: n = [nP nQ]  bài toán đưa về dạng 1

Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thờivuông góc với hai mặt phẳng (P): 3x - 2y +2 z + 7 = 0,

(Q): 5x- 4y + 3z +1 = 0

Lời giải

Ta có: nP = (3;-2;2) nQ= (5;-4;3)

Do ( ) vuông góc với (P) và (Q)  n = [nP nQ] = (2;1;-2)M(3;-1;-5) ( )  phương trình của ( ) là:

2(x-3) +1(y+1) -2(z+5) = 0

 2x + y - 2z -15 = 0

Loại 5 Viết phương trình mặt phẳng ( ) đia qua điểm M và song songvới d và d’

Hướng dẫn : n = [ad ad’]  đưa bài toán về dạng 1

Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

d 

; ( t là tham số ) và d’:

 yzx

Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(1 ;2 ;3) đồng thời song song vớid và d’

Lời giải

Ta có : ad = (2 ;-3 ;1) ad’= (1 ;2 ;-1)

Do ( ) // d và d’  n = [ad ad’] = (1;3;7)Và M(1;2;3) ( )  phương trình của ( ) là :

- n = [ad, MN]  đưa bài toán về dạng 1

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1;2;3) và chứađường thẳng d : 12 21 13

 yzx

Chọn M ( )  đưa bài toán về dạng 1

Ví dụ :Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(2;1;3), N(1,-2,1) và songsong với d 

Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M,N và vuông góc với

(P) (MN không vuông góc với (P))

Hướng dẫn: n = [MN nP]

Chọn M ( )  đưa bài toán về dạng 1

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M(0;1;2), N(2;0;1) và vuônggóc với (P): 2x + 3y - z + 1 = 0

Dạng 5 : Mặt phẳng chứa 1 đường thẳng và một yếu tố khác.

Loại 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và song song với d’.

Hướng dẫn: n = [ad ad’]

Lấy M d  M ( )  đưa bài toán về dạng 1

Ví dụ : Trong không gian hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

d 

; ( t là tham số ) và d’: 12 21 13

 yzx

Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau :

a/ ( ) chứa d và // d’b/ ( ) chứa d và // d

Lời giải

a/ Ta có : ad = (2 ;-3 ;1) ad’= (1 ;2 ;-1)

Do ( ) chứa d và // d’  n = [ad ad’] = (1;3;7)

Và M(1;0;4) d  M ( )  phương trình của ( ) là : 1(x-1) +3( y - 0) +7(z-4) = 0

 x + 3y + 7z - 29 = 0b/ Ta có : ad = (2 ;-3 ;1)

ad’= (1 ;2 ;-1)

Do ( ) chứa d’ và // d  n = [ad ad’] = (1;3;7)

Và N(2;-1;3) d’  N ( )  phương trình của ( ) là :

1(x - 2) + 3(y+1) + 7(z-3) = 0  x + 3y + 7z - 20 = 0

Loại 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và vuông góc với (P) ( dkhông vuông góc với (P))

Hướng dẫn: n = [ad nP]

Lấy M d  M ( )  đưa bài toán về dạng 1

Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) trong các trường hợp sau:a/ ( ) chứa d:x21y31z11

và vuông góc với (P): -x + y + 2z - 1 = 0b/ ( ) chứa d 

và vuông góc với (Oyz)c/ ( ) chứa trục Oy và vuông góc với (P) : 2x + 3y - 4z + 1= 0

Lời giải

a/ Ta có ad= ( 2 ;3 ;1) nP = (-1 ;1 ;2)

Do ( ) chứa d và vuông góc với (P)  n = [ad nP] = (5; -5;5) M(-1;1;-1) d  M ( )  phương trình của ( ) là :

5(x+1) - 5(y-1) + 5 (z+1) = 0  x - y + z + 3 = 0

b/ Ta có ad= ( 3 ;1 ;-2)

i = (1 ; 0 ; 0) là pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz)

Do ( ) chứa d và vuông góc với (Oyz)  n = [ad i ] = (0 ; -2 ; -1) M(0 ;-1 ;2) d  M ( )  phương trình của ( ) là :

0(x - 0) -2(y+1) -1(z-2) = 0  -2y - z = 0

c/ Ta có j= (0 ;1 ;0 ) là chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy nP= (2 ;3 ;-4)

Do ( ) chứa trục Oy và vuông góc với (P)  n = [ j nP] = (-4 ;0 ;-2)O(0 ;0 ;0) Oy  O ( )  phương trình của ( ) là : -4x - 2z =0

 2x + z = 0

Dạng 6 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) là trung trực của đoạn thắngMN.

Hướng dẫn : n = MN

( ) đi qua trung điểm I của MN

Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) là trung trực của MN biết M(1;3;2),N(-1;1;0)

Hướng dẫn : - ( ) // (P)  dạng tổng quát của ( ) ( Chưa biết D)

-( ) tiếp xúc S(I ;R)  d(I,( ) ) = R  D=?  phương trình (

= 2  |D|=6  D = 6 hoặc D = -6Vậy tìm được hai mặt phẳng ( ) là : x - 2y + 2z + 6 = 0

Và x - 2y + 2z - 6 = 0

Dạng 8 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng dvà tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R).

Hướng dẫn : + n = ad  dạng tổng quát của ( ) ( Chưa biết D)

+ ( ) tiếp xúc S(I ;R)  d(I,( ) ) = R  D=?  phươngtrình ( )

Ví Dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu

(S): x2 + y2 + z2 -2x +2y + 4z - 3 = 0 và vuông góc với đường thẳng d: 11 22 2

 yzx

3  | D +3 | = 9  D = 6 hoặc D = -12

Vậy tìm được hai mặt phẳng là: x + 2y - 2z + 6 = 0 và x + 2y - 2z - 12 = 0

Dạng 9 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với d, vuông góc

(P) và tiếp xúc với mặt cầu S(I ;R) (d không vuông góc với (P))

Hướng dẫn : +/n = [ad nP]  dạng tổng quát của ( ) ( Chưa biết D) +/ ( ) tiếp xúc S(I ;R)  d(I,( ) ) = R  D=?  phương trình (

Ví Dụ : Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với d: 12 31 1

 yzx

,vuông góc với (P): 2x +y + z - 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x - 2)2 +(y+1)2 + z2 = 9.

và d’ : 11 1 1

 yzx

Viết phương trình mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S)đồng thời song song với d và d’.

Do ( ) // d và d’  n = [ad ad’ ] = (0; -2 ; -2)

 Phương trình của ( ) có dạng - 2y - 2z + D = 0

Do ( ) là tiếp diện của (S)  d(I,( ) ) = R 38

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (

 ) đi qua 3 điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;;0;1)

Bài 2: a/Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm M(3;4;1), N(2;3;4),

E(1;0;2) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm E và vuông góc vớiMN.

b/ Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua K(1;-2;1) và vuông góc vớiđường thẳng d: 

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt

phẳng (P) có phương trình: x + y - 2z - 4 = 0

Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M và song song với (P)

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đia qua điểm M(2;-1;2), song songvới trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0

Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giaotuyến của hai mặt phẳng: x - y + z - 4 = 0 và 3x - y + z - 1 = 0.

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường

thẳng

Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A đồng thới song song với d và d’

Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đia qua hai điểm M(1;2;3), N(2;-2;4)và song song với Oy.

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng

(P):-2x + 3y - z + 7 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(1;1;0),B(-1;2;7) và vuông góc với (P).

Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d có phương

trình x12y21z3 1

và mặt phẳng (P) : x - y + 3z +2 =0Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và vuông góc với (P).

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm E(1;-4;5), F(3;2;7)

Viết phương trình mặt phẳng ( ) là trung trực của đoạn thẳng EF.

Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng ( ) //(P): 2x - 2y + z + 4 =0 và tiếpxúc với mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 + 2x -2y + 4z - 3 = 0

Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu

(S): (x - 2)2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = 9 và vuông góc với đường thẳng d:

.

Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với Oz, vuông góc vớimặt phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) :

x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 4z - 3 = 0ĐÁP ÁN:

Bài 1: x + 2y - 4z + 6 = 0

Bài 2:a/ x + y - 3z + 5 = 0, b/ x - 2y + 3z - 8 = 0Bài 3 : x + y - 2z + 2 = 0

Bài 4 : 3x - 2z - 2 = 0

Bài 5 : 15x - 7y + 7 z - 16 = 0Bài 6: x + 3y + 5z - 13 = 0Bài 7 : x - z + 2 = 0

Bài 8: 11x + 8y + 2z - 19 = 0Bài 9 : 3x - z - 5 = 0

Bài 10: x + 3y + z - 5 = 0

Bài 11: 2x - 2y + z + 17 = 0 và 2x - 2y + z -1 = 0

Bài 12: x - 2y + 3z - 7 + 3 14 = 0 và x - 2y + 3z - 7 - 3 14 = 0 Bài 13 : x - y - 2 + 3 2 = 0 và x - y - 2 - 3 2 = 0

Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và song song với d’

Bài 3 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu (S):

x2+ y2+ z2 + 4x - 2y - 4z -7 = 0 và hai đường thẳng d là giao tuyến của haimặt phẳng (p):x-y+z-4=0 và (Q):3x-y+z-1=0 ,d’ : 11 22 2

 yzx

.Viếtphương trình mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S) đồng thời song song với d vàd’.

Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau:

Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một ngườithầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò củamình có thể làm tốt các bài toán: “ Viết phương trình mặt phắng”

Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mục đíchcao cả, là nguồn động viên tích cực của người thầy Do vậy, tôi mong ướcđược chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau :

Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên các em , hãy tạo điềukiện cho các em ngày càng tiến bộ, từng bước chủ động, tự tin hơn trong họctập

tượng học sinh Vì thực tế dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh,trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy, ngay từ khâu phân tích đề,định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho các em cách suy nghĩ, cáchgiải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao ý thức suy nghĩ độclập, sáng tạo của các em.

Điều cuối cùng là làm thế nào để học sinh cảm thấy hứng thú và say mêkhi học môn toán ? Thiết nghĩ đây không phải nỗi ưu tư của riêng tôi, ưu tưnày cũng chính là mong ước của nhiều đồng nghiệp và học sinh Giải quyếtnhững ưu tư này đòi hỏi người giáo viên không chỉ lòng nhiệt tình với nghề,với bộ môn mà còn phải có nghệ thuật ứng xử, có phương pháp giảng dạy tốtvà trên hết là sự cảm thông, thấu hiểu từng hoàn cảnh của học sinh Đây cũngchính là động lực thôi thúc người thầy ngày càng vươn lên, vững vàng hơntrên bục giảng

Rất mong nhận được nhiều sự góp ý, sẻ chia của qúy đồng nghiệp!

Vĩnh Lộc , ngày 5 tháng 5 măm 2011

Hồ Thị MaiĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ

F- KIẾN NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.

1/ Kiến nghị với Sở GD&ĐT phổ biến rộng rãi các đề tài được giải để cácgiáo viên cùng tham khảo

2/ Kiến nghị với trung tâm:

- Mở rộng khuyến khích việc mở các lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm trađánh giá việc ôn luyện của học sinh.

- Mong muốn lớn nhất của tôi khi thực hiện đề tài này là học hỏi, đồngthời giúp các em học sinh trước hết là bớt đi nỗi lo khi gặp các bài toán viếtphương trình mặt phẳng, đồng thời ôn luyện lại cho học sinh về mối quan hệcủa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu trong không gian Từ đó các em saymê học toán

Đề tài của tôi chắc hẳn không thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầycô, đồng nghiệp cùng đọc và đóng góp ý kiến cho tôi, để đề tài của tôiđược hoàn thiện hơn./.