NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu (S ), ta cần tìm tâm I (a;b;c) bán kính R Tâm: I (a;b; c) Khi đó: (S ) : (S ) : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R Bán kính: R Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: (S ) : x y z 2ax 2by 2cz d Với a b2 c d phương trình mặt cầu dạng Tâm I (a;b; c), bán kính: R a b c d BÀI TẬP MẪU Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm điểm I 0;0; 3 qua điểm M 4; 0;0 Phương trình S B x y z 2 D x y z 3 A x y z 3 25 C x y z 25 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình mặt cầu HƯỚNG GIẢI: Tâm: I (a;b; c ) B1: (S ) : (S ) : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R Bán kính: R B2: R IM 2 3 5 Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A Theo ta có bán kính mặt cầu S R IM 0 2 3 Từ ta có phương trình mặt cầu S : x y z 25 Trang 355 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Bài tập tương tự phát triển: Câu 33.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2;3 qua giao điểm đường thẳng x t d : y t với mặt phẳng Oxy z t A ( x 1) ( y 2) ( z 3)2 27 B ( x 1)2 ( y 2) ( z 3)2 27 C ( x 1) ( y 2) ( z 3) 3 D ( x 1) ( y 2) ( z 3) 3 Lời giải Chọn B Mặt phẳng Oxyz : z Gọi A d (Oxyz ) t 3 A(2;5; 0) Vì điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R IA (3)2 32 (3)2 3 Phương trình mặt cầu S tâm I 1; 2;3 bán kính R 3 ( x 1)2 ( y 2)2 z 3 27 Câu 33.2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có tâm điểm I 1;2; 3 tiếp xúc với trục Ox Phương trình S là: A x 1 y 2 z 3 13 B x 1 y 2 z 3 13 C x 1 y 2 z 3 13 D x 1 y 2 z 3 13 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Gọi A hình chiếu I lên trục Ox A(-1;0;0) Vì điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R IA 02 (2)2 (3)2 13 Phương trình mặt cầu S tâm I 1;2; 3 bán kính R 13 ( x 1) ( y 2)2 z 3 13 Câu 33.3: Mặt cầu S tâm I 1; 2; 3 tiếp xúc với mặt phẳng P : x y z có phương trình: 2 A x 1 y z 2 B x 1 y z Trang 356 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 2 C x 1 y z 2 2 D x 1 y z 3 Lời giải Chọn B Bán kính mặt cầu : R d I , P 1 2.2 2.( 3) 2 2 2 Phương trình mặt cầu là: ( x 1) ( y 2) ( z 3) Câu 33.4: Mặt cầu S tâm I 2;1;5 tiếp xúc với mặt cầu S1 : ( x 1) y z có phương trình: ( x 2) ( y 1) ( z 5) 12 A 2 ( x 2) ( y 1) ( z 5) 48 ( x 2) ( y 1) ( z 5) B ( x 2) ( y 1) ( z 5) ( x 2) ( y 1)2 ( z 5) 12 C 2 ( x 2) ( y 1) ( z 5) 48 ( x 2) ( y 1) ( z 5) D 2 ( x 2) ( y 1) ( z 5) Lời giải Chọn A Từ S1 : ( x 1) y z Tâm I1 (1; 0; 0) bán kính r1 Do II1 27 r1 điểm I (2;1;5) nằm mặt cầu S1 : ( x 1) y z x 1 t Ta có pt đường thẳng II1 y t z 5t Gọi A II1 ( S1 ) A(1 t; t ; 5t ) Do A (S1 ) nên 5 A ; ; AI 1 2 2 t t 25t t t 5 A ; ; AI 3 3 Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5) 12 Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5)2 48 Câu 33.5: Mặt cầu S tâm I 1; 2; tiếp xúc với mặt phẳng S1 : ( x 1) y ( z 2) 27 có phương trình: 2 B x 1 y z 2 D x 1 y z A x 1 y z C x 1 y z 2 2 2 Trang 357 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn C Từ S1 : ( x 1) y ( z 2) 27 Tâm I1 (1;0; 2) bán kính R1 3 Do II1 3 R1 điểm I 1; 2; nằm mặt cầu S1 S R S1 tiếp xúc R R1 II1 R 3 R Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 1) ( y 2) ( z 4)2 Câu 33.6: Mặt cầu S tâm I 1; 2;3 tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình: 2 B x 1 y z 3 14 2 D x 1 y z 14 A x 1 y z C x 1 y z 3 2 2 2 Lời giải ChọnC PT mp (Oyz) : x Bán kính mặt cầu : R d I , Oyz 1 (1) 02 02 1 Phương trình mặt cầu là: ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 Câu 33.7: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; , B 3;5;0 Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A ( x 2)2 ( y 4) ( z 1)2 B ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1)2 12 C ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1)2 12 D ( x 2) ( y 4) ( z 1) Lời giải Chọn A Trung điểm đoạn thẳng AB I 2; 4;1 , AB 22 2 (2) Mặt cầu đường kính AB có tâm I 2; 4;1 , bán kính R AB Vậy phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1) Trang 358 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Câu 33.8: Trong khơng gian Oxyz , Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) có bán kính R=3 tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) điểm M(1;2;0) A x y z x y z B x y z x y z C x y z x y z 11 D x y z x y z 11 Lời giải Chọn A Giả sử mặt cầu (S) có tâm I a; b; c , Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) điểm M(1;2;0) nên M hình chiếu I a; b; c lên mp (Oxy) suy I 2;1; c Ta có mp(Oxy) có pt z Ta có d ( I , (Oxy)) c c 3 Với c Mặt cầu I 2;1;3 , bán kính R có phương trình là: ( x 2)2 ( y 1) ( z 3) x y z x y z Với c 3 Mặt cầu I 2;1; 3 , bán kính R có phương trình là: ( x 2)2 ( y 1) ( z 3)2 x2 y z x y z Câu 33.9: Phương trình mặt cầu ( S ) qua A(1; 2;3), B(4; 6; 2) có tâm I thuộc trục Ox A ( S ) : ( x 7)2 y z B ( S ) : ( x 7)2 y z 36 C ( S ) : ( x 7)2 y z D ( S ) : ( x 7)2 y z 49 Lời giải Chọn D Vì I Ox nên gọi I ( x; 0; 0) Do ( S ) qua A ; B nên IA IB (1 x)2 (4 x)2 36 x Suy I (7;0; 0) R IA Do ( S ) : ( x 7)2 y z 49 Câu 33.10: Phương trình mặt cầu ( S ) qua A(2;0; 2), B(1;1; 2) có tâm I thuộc trục Oy A ( S ) : x y z y B ( S ) : x2 y z y C ( S ) : x y z y D ( S ) : x y z y Trang 359 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Lời giải Chọn A Vì I Oy nên gọi I (0; y; 0) Do ( S ) qua A ; B nên IA IB ( y )2 (1 y) y 1 Suy I (0; 1; 0) R IA Do ( S ) : x y 1 z x y z y Câu 33.11: Phương trình mặt cầu ( S ) qua A(1; 2; 4), B(1; 3;1), C (2; 2;3) tâm I (Oxy ) A (x 2)2 (y 1)2 z 26 B (x 2)2 (y 1)2 z C (x 2)2 (y 1)2 z 26 D (x 2)2 (y 1)2 z Lời giải Chọn A IA IB Vì I (Oxy ) nên gọi I (x ; y; 0) Ta có: IA IC 2 2 2 (x 1) (y 2) (x 1) (y 3) (x 1)2 (y 2)2 42 (x 2)2 (y 2)2 32 10y 10 x 2 I (2;1; 0) R IA 26 2x 4 y (x 2)2 (y 1)2 z 26 Câu 33.12: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua điểm M(2;1;1) ( x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 A 2 ( x 3) ( y 3) (z 3) ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 B 2 ( x 3) ( y 3) ( z 3) ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 C 2 ( x 3) ( y 3) ( z 3) ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 D 2 ( x 3) ( y 3) (z 3) Lời giải Chọn B Gỉa sử I a; b ; c tâm mặt cầu (S ) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua điểm M (2;1;1) Vì mặt cầu (S ) tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ qua điểm M (2;1;1) có thành phần tọa độ dương nên a b c r Phương trình mặt cầu (S ) (x a)2 (y a)2 (z a)2 a Trang 360 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vì mặt cầu (S ) qua điểm M(2;1;1) nên (2 a)2 (1 a)2 (1 a )2 a 2a 8a a (S ) : ( x 1)2 ( y 1)2 (z 1)2 2 a (S) : ( x 3) ( y 3) ( z 3) Câu 33.13: Cho mặt cầu S có tâm I 1; 2; 4 thể tích 36 Phương trình S 2 B x 1 y 2 z 4 2 D x 1 y 2 z 4 A x 1 y 2 z 4 C x 1 y 2 z 4 2 2 2 Lời giải Chọn A 4 Ta có: V R3 R 36 R 3 Tâm: I (1; 2; 4) Khi S : Bán kính: R 2 S : x 1 y 2 z 4 Câu 33.14: Cho mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 diện tích 32 Phương trình S 2 B x 1 y 2 z 3 16 2 D x 1 y 2 z 3 A x 1 y 2 z 3 16 C x 1 y 2 z 3 2 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: S 4 R 4 R2 32 R Tâm: I 1; 2;3 Khi S : Bán kính: R 2 S : x 1 y 2 z 3 Câu 33.15: Cho mặt cầu S có tâm I (1; 2;0) Một mặt phẳng ( P) cắt S theo giao tuyến đường tròn C Biết diện tích lớn C 3 Phương trình S 2 A x y 2 z 2 B x 1 y 2 z Trang 361 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 2 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 C x 1 y 2 z 1 2 D x 1 y 2 z Lời giải Chọn B Nhận xét : Mặt phẳng ( P) cắt S theo giao tuyến đường tròn C diện tích C lớn ( P) qua tâm I ( S ) Ta có: S R2 3 R Tâm: I 1; 2; Khi ( S ) : Bán kính: R 2 S : x 1 y 2 z Câu 33.16: Cho mặt cầu S có tâm I 1;1;1 Một mặt phẳng ( P) cắt S theo giao tuyến đường tròn C Biết chu vi lớn C 2 Phương trình S 2 B x 1 y 1 z 1 2 2 D x 1 y 1 z 1 A x 1 y 1 z 1 C x 1 y 1 z 1 2 2 2 Lời giải Chọn D Đường tròn C đạt chu vi lớn C qua tâm I mặt cầu S Ta có: C 2 R 2 R Tâm: I 1;1;1 Khi ( S ) : Bán kính: R 2 2 S : x 1 y 1 z 1 Câu 33.17: Cho I 1; 2;3 Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB Trang 362 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 A ( x 1) ( y 2) ( z 3) 16 2 B ( x 1) ( y 2) ( z 3) 20 2 C ( x 1) ( y 2) ( z 3) 25 2 D ( x 1) ( y 2) ( z 3) Lời giải Chọn A Gọi M hình chiếu vng góc I (1; -2;3) trục Ox M (1;0;0) M trung điểm AB Ta có: IM 2 1 1 13, AM AB IMA vuông M IA IM AM 13 R 2 Phương trình mặt cầu cần tìm là: x 1 y z 3 16 Câu 33.18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Viết phương trình mặt cầu qua A ;3 ; 3 , B 2; 2 ; , C ;3 ; có tâm nằm mặt phẳng Oxy A (x 6)2 (y 1)2 z 29 B (x 6)2 (y 1)2 z 29 C (x 6)2 (y 1)2 z 29 D (x 6)2 (y 1)2 z 29 Lời giải Chọn A Giả sử I a; b ;0 (Oxy) r tâm bán kính mặt cầu (S ) qua A ;3 ; 3 , B 2; 2 ; , C ;3 ; Phương trình mặt cầu (S ) (x a)2 (y b)2 z r Vì mặt cầu ñi qua A ;3 ; 3 , B 2; 2 ; , C ;3 ; nên (2 a ) (3 b) (3) r 10b 10 b 2 2 a (2 a ) ( 2 b ) r 2a 12 (3 a ) (3 b) 42 r (3 a) (3 b) r r 29 Vậy phương trình mặt cầu (S ) (x 6)2 (y 1)2 z 29 Câu 33.19: Trong không gian O xyz cho điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 , D 1; 0; Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 2 A x y 1 z 26 2 B x y 1 z 26 Trang 363 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 2 C x y 1 z 26 D x y 1 z 26 Lời giải Chọn A Giả sử S : x y z 2ax 2by 2cz d a b c d phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Thay tọa độ A, B, C , D vào phương trình ta 12 2 2a 4b 8c d a 2 2 2 1 2a 6b 2c d b 2 4a 4b 6c d c 2 1 2a 8c d d 21 Do đó: I 2;1; bán kính R a b c d 26 2 Vậy (S) : x y 1 z 26 Câu 33.20: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I 1; 0;3 cắt d : x y z 1 hai 2 điểm A, B cho tam giác IAB vuông I 2 2 A x 1 y z 3 C x 1 y z 3 40 B x 1 y z 3 10 D x 1 y z 2 2 40 10 Lời giải Chọn A Đường thẳng d có vectơ phương u 2;1; P 1; 1;1 d u , IP 20 Ta có: IP 0; 1; 2 u , IP 0; 4;2 Suy ra: d I ; d u IAB vuông I IAB vuông cân I IA 2d I , d 2 Vậy (S) : x 1 y z 3 40 40 Trang 364 ... kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5) 12 Bán kính mặt cầu : R Phương trình mặt cầu là: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 5)2 48 Câu 33.5: Mặt cầu. .. kính mặt cầu : R d I , P 1 2.2 2.( 3) 2 2 2 Phương trình mặt cầu là: ( x 1) ( y 2) ( z 3) Câu 33.4: Mặt cầu S tâm I 2;1;5 tiếp xúc với mặt cầu ... điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R IA 02 (2)2 (3)2 13 Phương trình mặt cầu S tâm I 1;2; 3 bán kính R 13 ( x 1) ( y 2)2 z 3 13 Câu 33.3: Mặt cầu S