Phơng pháp tọa độ không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định phơng trình mặt phẳng vit pt mt phng em cú cỏch c bn : Xỏc nh im v VTPT Hoc gi ptmp dng Ax+By+Cz+D=0 ri da vo gi thit tỡm A,B,C,D Vy no s dng cỏch , no s dng cỏch thỡ r em phõn bit cỏc dng bi sau: Dng 1: Vit PT mp i qua A(x0; y0 ;z0) v cú VTPT n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = Ax + By + Cz + D = Dng 2:Vit pt mt phvng i qua A(x0; y0 ;z0) v // mp (Q) - T ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C) v v - Vỡ (P) // (Q) VTPT n P = n Q = (A;B;C) v - PT mp (P) i qua A v cú VTPT n P Dng 3: Vit pt mpr i qua A(x0; y0 ;z0) v vuụng gúc vi ng thng d - T (d) VTCP u d = (A;B;C) r r - Vỡ (P) vuụng gúc vi (d) Chn VTPT n P= u d =(A;B;C) r Vit ptmp (P) i qua A v cú vtpt n P Dng 4: Vit ptmp i qua A v r (Q) , (R) r - T pt mp (Q) v (R) VTPT n Q ; VTPT n R - Vỡ (P) (Q) v (R) r r r r r r r VTPT n P nQ v n P n R Chn n P = [ n Q; n R] r r r - Vy pt mp (P) i qua A v cú VTPT n P = [ n Q; n R] Dng 5: Viuuu quauuu r mp r(P) iuuu uuur t Pt r rim A,B,C khụng thng hng - Tớnh AB , AC v a = [ AB , AC ] r r uuur uuur - PT mp (P) i qua A v cú VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dng 6: Vit ptmp A,Brv (Q) r (P) i quauuu uuur r - Tớnh AB , vtpt n Q v tớnh [ AB , n Q] r uuur r - Vỡ A, B (P) ; (Q) (P) nờn chn n P=[ AB , n Q] - Vit ptmp (P) Phơng pháp tọa độ không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định Dng 7: Vitrptmp (P) i qua A ; (Q) r v // vi dt (d) - Tớnh VTPT n Q ca mp (Q); VTCP u d ca ng thng (d) r r - Tớnh [ u d, n Q] r r r - Vỡ (P) (Q) v // (d) nờn VTPT n P = [ u d, n Q] - T ú vit c PT mp (p) Dng 8: Vit ptmp (P) l trunguuu trrc ca AB - Tỡnh trung im I ca ABv AB uuur - Mp (P) i qua I v nhn AB lm VTPT Dng 9: Vitrpt mp(P) cha (d) v i qua A - Tớnh VTCP u d ca ng thng (d) v tỡm im M (d) r uuuur uuuur - Tớnh AM v [ u d, AM ] r r uuuur - Ptmp (P) i qua A v cú VTPT n P =[ u d, AM ] Dng 10: Vit pt mp r (P) cha (d) v // ( ) - T (d) VTCP u d v im M (d) r r r - T ( ) VTCP u v tớnh [ u d, u ] r r r - PT mp (P) i qua M v cú VTPT n = [ u d, u ] Dng 11: Vit Pt mp(P) cha (d) v (Q) r - T (d) VTCP u d v im M (d) r r r - T (Q) VTPT n Q v tớnh [ u d, n Q] r r r - PT mp (P) i qua M v cú VTPT n =[ u d, n Q] Dng 12:Vit PT mp (P) // vi (Q) v d(A;(P))=h - Vỡ (P) // (Q) nờn pt mp (P) cú dng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt ca mp (Q) , ú D DQ) - Vỡ d(A,(P))= h nờn thay vo ta tỡm c D - Thay A,B,C,D ta cú PT mp (P) cn tỡm Dng 13: Vit PT mp(P) ch r a (d) v d(A,(P))=h - Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A,B,C) vi k l A + B2 + C2 >0 r - T (d) VTCP u d v im M (d) r r - Vỡ (d) nm (P) u d n P=0 (1) - PT mp (p) i qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - d(A,(P)) = h (2) Phơng pháp tọa độ không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định - Gii (1);(2) ta tỡm c A,B theo C t ú chn A,B,C ỳng t l , ta vit c PT mp(P) Dng 14:Vit Pt mp(P) chr a (d) v hp vi mp (Q) mt gúc 900 - Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A,B,C) vi k l A2 + B2 + C2 >0 r - T (d) VTCP u d v im M (d) r r - Vỡ d (P) u d n P=0 (1) - Tớnh cos ((P),(Q)) (2) - T (1) v (2) ta tỡm c A,B theo C t ú chn A,B,C ỳng t l , ta vit c PT mp(P) Dng 15:Vit Pt mp (P) chr a (d) v hp vi t( )mt gúc 900 - Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A;B;C) vi k l A2 + B2 + C2 >0 r - T (d) VTCP u d v im M (d) r r - Vỡ d (P) u d n P=0 (1) - Tớnh sin ((P),( )) (2) - H (1) v (2) tỡm c A,B theo C t ú chn A,B,C ỳng t l , ta vit c PT mp(P) Dng 16: Cho A v (d) , vit PT mp (P) cha (d) cho d(A,(P)) l ln nht - Gi H l hỡnh chiu ca A lờn (d) - Ta cú : d(A,(P)) = AK AH (tớnh cht ng vuụng gúc v ng xiờn) Do ú d(A(P)) max AK = AH K H - Vit PT mp (P) i qua H v nhn AH lm VTPT Dng 17: Vit Pt mp (P) // vi (Q) v tip xỳc vi mt cu (S) - Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S) - Vỡ (P) // (Q) nờn (P) cú dng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt ca mp (Q) , ú D' DQ) - M (P) tip xỳc vi (S) nờn d(I,(P))= R tỡm c D' - T ú ta cú Pt (P) cn tỡm Dng 18: Vit PT mp(P) // (Q) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn(C) cú bỏn kớnh r ( hoc din tớch, chu vi cho trc) - Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S) - Adct : Chu vi ng trũn C = r v din tớch S = r tớnh r - d(I,(P)) = R r (1) - Vỡ (P) // (Q) nờn (P) cú dng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt ca mp (Q) , ú D' DQ) - Suy d (I,(P)) (2) Gii h (1), (2) tỡm c D' vit c pt (P) Phơng pháp tọa độ không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định Dng 19: Vit PT mp(P) cha (d) v tip xỳc vi mt cu (S) - Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh Rrca mt cu (S) - Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A;B;C) vi k l A2 + B2 + C2 >0 r - T (d) VTCP u d v im M (d) r r - d (P) u d n P=0 (1) - M (P) tip xỳc vi (S) nờn d(A,(P))= R (2) - Gii h (1) v (2) tỡm c A,B theo C PT mp(P) Dng 20: Vit Pt mp (P) cha (d) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C) cú bỏn kớnh r ( hoc din tớch , chu vi cho trc) - Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S) - Adct : Chu vi ng trũn C = r v din tớch S = r tớnh r r r - Vỡ d (P) u d n P=0 (1) r - Gi VTPT ca mp (P) l n P = (A,B,C) vi k l A2 + B2 + C2 >0, chn M trờn ng thng d =>PT mp (P) i qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - Vỡ (P) ct (S) theo ng trũn bỏn kớnh r nờn d(I,(P)= r (2) - Gii h (1) v (2) tỡm c A,B theo C PT mp(P) Dng 21: Vit PT mp (P) cha (d) v ct mt cu (S) theo giao tuyn l ng trũn (C) cú bỏn kớnh nh nht (ỏp dng trng hp d ct (S) ti im) - Xỏc nh tõm I, bỏn kớnh R ca mt cu (S) R d ( I ,( p )) r d(I,(P)) max - Gi H l hỡnh chiu ca I lờn (d) ; K l hỡnh chiu ca I lờn (P) - Bỏn kớnh r = - Ta cú: d(I,(P))= IK Ih ( tớnh cht ng vuụng gúc v ng xiờn) - Do ú: d(I,(P)) max AK =uuAH K H ur - PT mp(P) i qua H v nhn IH lm VTPT phơng trình đờng thẳng Cú loi phng trỡnh ng thng : PT ThamS v r PT ChớnhTc Dng 1: Vit ptt (d) qua M(x0; y0 ;z0) v cú VTCP u =(a,b,c) PP: phng trỡnh tham s ca ng thng d l: x = x0 + at y = y0 + bt vi t R z = z0 + ct x x0 y y0 z z0 = = thỡ (d) cú PT chớnh tc a b c (d): * Chỳ ý : Nu c a, b, c Phơng pháp tọa độ không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định * Chỳ ý: õy l bi toỏn c bn V nguyờn tc mun vit PT dt(d) thỡ cn phi bit yu t ú l ta mt im thuc d v to VTCP ca d Dng 2: uuuVi r t pt dt(d) i qua im A,B - Tớnh AB uuur - Vit PT ng thng i qua A, v nhn AB lm VTCP Dng 3: Vit PT dt (d) r i qua A v //vi ng thng ( ) - T pt( ) VTCP u r - Vit Pt dt(d) i qua A v nhn u lm VTCP Dng 4: Vit PT dt(d) i qua r A v (P) - Tỡm VTPT ca mp(P) l n P r r - Pt dt(d) i qua A v Cú VTCP u d = n P Dng 5: Vit Pt dt(d) i qua Auu v r vuụng uur gúc viuurcuu2r dt (d1),(d2) - T (d1),(d2) VTCPd1, d 2l u1v u => tớnh [ u1 , u2 ] uur uur r - Vỡ (d) (d1),(d2) nờn cú VTCP u d= [ u1 , u2 ] r uur uur - Pt dt(d) i qua A v cú VTCP u d= [ u1 , u2 ] Dng 6: Vit PT ca dt (d) l giao tuyn ca mp (P):Ax + By + Cz + D = ' (Q):A'x + B'y + C'z + r D r= - T (P) v (Q) n P ,n Q r r - Tớnh [ n P , n Q] - Xột h Ax + By + Cz +D =0 ' A' x + B' y + C ' z + D = Chn mt nghim (x0; y0 ;z0) trú rM rd - Pt dt(d) i qua M v cú VTCP u d =[ n P , n Q] Dng 7: Vit PT hỡnh chiu ca d lờn mp(P) Cỏch 1: - Vit ptmp(Q) cha d v vuụng gúc vi mp(P) - Hỡnh chiu cn tỡm d' = (P) I(Q) Cỏch 2: + Tỡm A = d I ( P ) ( ch ỏp dng vi gi thit d ct (P) ) + Ly M d v xỏc nh hỡnh chiu H ca M lờn (P) + Vit phng trỡnh d' i qua M, H Dng 8: Vit pt ng thng d i qua im A v ct ng thng d1, d2: Cỏch : * Vit pt mt phng ( ) i qua im A v cha ng thng d1 Phơng pháp tọa độ không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định * Tỡm B = ( ) I d * ng thng cn tỡm i qua A, B Cỏch : - Vit pt mt phng ( ) i qua im A v cha ng thng d1 - Vit pt mt phng ( ) i qua im B v cha ng thng d2 - ng thng cn tỡm d = I Dng 9: Vit pt ng thng d song song d1 v ct c d2 , d3 - Vit phng trỡnh mp (P) song song d1 v cha d2 - Vit phng trỡnh mp (Q) song song d1 v cha d3 - ng thng cn tỡm d = ( P ) I (Q) Dng 10 : Vit ptt d i qua A v vuụng gúc ng thng d1 v ct d2 Cỏch : - Vit pt mp ( ) qua A v vuụng gúc d1 - Tỡm giao im B = ( ) I d - ng thng cn tỡm i qua A, B Cỏch : * Vit pt mp ( ) qua A v vuụng gúc d1 * Vit pt mp ( ) qua A v cha d1 * ng thng cn tỡm d = I Dng 11 : Vit ptt d i qua A, song song mp ( ) , ct ng thng d' Cỏch : - Vit ptmp(P) i qua A v song song vi ( ) - Vit ptmp(Q) i qua A v cha d' - ng thng cn tỡm d = ( P ) I (Q) Cỏch : * Vit ptmp(P) i qua A v song song vi ( ) * Tỡm B = ( P ) I d ' * ng thng cn tỡm i qua im A,B Dng 12 : Vit ptt d nm mp(P) v ct ng thng d1, d2 cho trc - Tỡm giao im A=d1 I( P ) v B=d2 I( P ) - ng thng d i qua im A, B Dng 13 : Vit ptt d nm mp(P) v vuụng gúc vi ng thng d' ti giao im I ca (P) v d' * Tỡm giao im I' = d' I( P ) r r r rr * Tỡm VTCP u ca d' v VTPT n ca (P) v tớnh v = [u,n] r * Vit ptt d qua I v cú VTCP v Dng 14 : Vit ptt vuụng gúc chung d ca dng thng chộo d1, d2 : Phơng pháp tọa độ không gian Oxyz-Gv Nguyễn Đức Đắc - Nguyễn HuệNam định - Gi M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) d1 , v N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') d l cỏc chõn ng vuụng gúc chung ca d1, d2 uuuur r MN d1 MN u1 = uuuur r t, t ' - Ta cú h MN d MN u = - Thay t, t' tỡm M, N Vit ptt i qua M,N ( Vi cỏch em tớnh thờm c khong cỏch MN, cng chớnh l di ng vuụng gúc) Dng 15 : Vit pt ng thng d vuụng gúc vi mp(P) v ct ng thng d1,d2 * Vit ptmp(Q) cha d1 v vuụng gúc vi mp(P) * Vit ptmp(R) cha d2 v vuụng gúc vi mp(P) * ng thng d = (Q) I ( R ) Dng 16 : Vit ptt d i qua im A , ct v vuụng gúc vi ng thng d1 - Vit pt mp ( ) qua A v vuụng gúc d1 - Tỡm giao im B = ( ) I d1 - ng thng cn tỡm i qua A, B Dng 17 : Vit ptt d i qua A ,vuụng gúc vi d1,to vi d2 gúc (00 ;900 ) (= 300, 450, 600) r * Gi VTCP ca d l u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr * Vỡ d d1 u.u1 = =>phng trỡnh (1) rr u.u Vỡ cos = r r => phng trỡnh (2) u u2 Th (1) vo (2) => a,b,c => ptt d ( chỳ ý : nu thay gi thit l d to vi mp(P) gúc rr u.u P (00 ;900 ) thỡ cú sin = r r ) u uP Dng 18 : Vit ptt d di qua A , song song vi mp(P) , to vi d1 gúc r (00 ;900 ) - Gi VTCP ca d l u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr - Vỡ d//(P) nờn u.n p = => phng trỡnh (1) rr u.u1 - Vỡ cos (d , d1 ) = r r = cos nờn cú phng trỡnh (2) u u1 - Gii h phng trỡnh (1), (2) tỡm r a,b theo c=> chn a,b,c =>vit ptt d i qua A, cú vtcp u = (a; b; c) Dng 19 : Vit ptt d di qua A , nm mp(P) , to vi d1 gúc r - Gi VTCP ca d l u = (a; b; c), dk : a + b + c > rr - Vỡ d (P) nờn u.n p = => phng trỡnh (1) (00 ;900 )