Mục đích yêu cầu của việc dạy học phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian

MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài: Do hình học được đại số hoá ở mức độ cao, các đối tượng hình học trong phương pháp tổng hợp tuy trừu tượng nhưng vẫn có chỗ tựa trực quan, khi phát triển từ ph

MỤC LỤC

MỤC LỤC: 1

1 MỞ ĐẦU 2

- Lý do chọn đề tài 2

- Mục đích nghiên cứu 2

- Đối tượng nghiên cứu 2

- Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG 3

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và Nhà trường .16

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài:

Do hình học được đại số hoá ở mức độ cao, các đối tượng hình học trong phương pháp tổng hợp tuy trừu tượng nhưng vẫn có chỗ tựa trực quan, khi phát triển từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp toạ độ, các đối tượng hình học được đại số hoá ở mức độ cao dẫn đến nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức hình thức trong hình học giải tích nhưng không giải quyết được ý nghĩa hình học, bản chất của nó từ đó dẫn đến vận dụng máy móc hoặc không biết vận dụng trong các tình huống cụ thể, chính vì lý do đó tôi chọn đề tài “Mục đích yêu cầu của việc dạy học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian”

Mục đích nghiên cứu:

Thực chất của việc nghiên cứu phương pháp toạ độ ở trường phổ thông là

nghiên cứu một cách thể hiện khác nhau của hệ các tiên đề hình học phẳng và không gian vì vậy, sau khi giải các dạng toán hình học bằng cách chọn hệ toạ

độ, giáo viên cần yêu cầu học sinh tổng kết các dạng toán, hình học nào có thể giải bằng phương pháp toạ độ để từ đó giúp học sinh có thể định hình, định hướng được cách giải khi đứng trước bài toán hình học trong mặt phẳng và không gian

Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Mục đích yêu cầu của việc dạy học phương pháp toạ

độ trong mặt phẳng và trong không gian

Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp thực hành, thực nghiệm ở học sinh dạy trên các tiết học

- Trao đổi qua mạng với đồng nghiệp

NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Thực chất của nghiên cứu phương pháp toạ độ ở trường phổ thông là nghiên cứu một cách thể hiện khác nhau của hệ các tiên đề hình học phẳng và không gian, việc đưa vào trục toạ độ, hệ trục toạ độ, hệ toạ độ đề các vuông góc cho phép đặt tương ứng mỗi vectơ liên tục, vectơ trong mặt phẳng và trong không gian với một số thực, cặp số thực (x,y) và bộ số 3 số sắp thứ tự (x,y,z) từ

đó dẫn tới mỗi điểm trong mặt phẳng hay trong không gian được đặt tương ứng với duy nhất cặp số thực sắp thứ tự (p,q) hoặc bộ ba s sắp thứ tự (p,q,r)

Khi đó đường thẳng trong mặt phẳng được hiểu là tập hợp các cặp số (x,y) thoả mãn: Ax+By+C=0, trong đó A2+B2 ≠ 0 và C là một số còn mặt phẳng

là tập hợp các bộ ba số (x,y,z) thoả mãn Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2 ≠0 và

D là một số

Với cách hiểu trên chúng ta có thể tự nghiệm thấy các tiên đề của mặt phẳng đã xét trong SGK Hình học 11 đều thoả mãn Từ đó các kiến thức dẫn xuất suy từ các tiên đề được trình bày bằng phương pháp toạ độ, bằng cách đại

số hoá các kiến thức bao gồm: Khái niệm về hệ toạ độ trong không gian, toạ độ vectơ trong hệ toạ độ phẳng và không gian, toạ độ của một số và các tính chất của chúng, toạ độ của điểm chia đoạn AB theo tỷ số k±1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng, phương trình tổng quát của đường thẳng…Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ, thể tích hình hộp…

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua việc kiểm tra bài toán:

Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BB1, C1D1 Chứng tỏ rằng các mặt phẳng (MNP và (BDC1) song song

Đa số học sinh dựa vào dấu hiệu chứng minh hai mặt phẳng song song, dẫn đến chất lượng bài giải của học sinh thấp, kỹ năng đứng trước một bài toán lựa chọn phương pháp giải phù hợp yếu Vì vậy giáo viên cần chú trọng cho học sinh biết khai thác các phương pháp khác nhau Đặc biệt là phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian

Do đó để vận dụng được điều đó chúng ta cần quan tâm rèn luyện cho học sinh các kỹ năng sau:

2.1 Kỹ năng xác định toạ độ vectơ, toạ độ của điểm bằng cách sử dụng toạ độ vectơ hoặc hình chiếu vuông góc trên các trục hệ toạ độ phẳng hay không gian

2.2 Kỹ năng lập các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng hay không gian

Lập phương trình mặt phẳng, lập phương trình các đường thẳng, mặt phẳng nhờ khái niệm tính chất của chùm đường thẳng trong mặt phẳng hoặc chùm mặt phẳng trong không gian

2.3 Các kỹ năng về xác định khoảng cách, xác định góc giữa các yếu tố trong mặt phẳng và trong không gian

2.4 Kỹ năng lập phương trình đường tròn theo yếu tố tâm, bán kính, điều kiện tiếp xúc với đường thẳng và đường tròn tính phương tích của một điểm đối với đường tròn

2.5 Các kỹ năng lập phương trình chính xác của các đường cônic theo các yếu tố xác định chúng: trục lớn, tiêu cự, tiêu điểm tâm sai, trục đối xứng, đường chuẩn

2.6 Các kỹ năng viết phương trình tiếp tuyến của các đường cônic qua điểm thuộc cônic và qua điểm không thuộc cônic

2.7 Các kỹ năng lập phương trình mặt cầu, xác định tâm và bán kính, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Dự tính đến đặc thù nội dung kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian, thực tiễn dạy học nội dung ở trường phổ thông và một số quan điểm đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay, chúng ta quan tâm một

số vấn đề cơ bản về phương pháp dạy học sau đây

a) Đảm bảo sự cân đối cho học sinh nắm vững các mặt cú pháp và ngữ nghĩa trong việc dạy học các nội dung kiến thức về phương pháp toạ độ, việc sử dụng toạ độ để nghiên cứu hình học thực chất là sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Mặt cú pháp được thể hiện rõ ở đây là việc sử dụng các

ngôn ngữ hình thức, các biểu thức đại số hình thức để diễn tả các đối tượng, các quan hệ hình học, chẳng hạn:

Khi diễn đạt điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a,b,c   học sinh cần nắm biểu thức hình thức a;b c 0  

  

, trong đó:

y1 z1 z1 x1 x1 y1

y2 z2 z2 x2 x2 y2

  

Với ax , y ,z1 1 1 và bx , y ,z2 2 2

Chúng ta có thể phân tích để học sinh tháy rõ ý nghĩa hình học của biểu thức là a;b c 0

  

như sau:

Ký hiệu m,n,p lần lượt là 3 đường thẳng chứa a,b,c



;  là đường thẳng chứa

va.b

, do v a

v b

 









n

 





 



Và do v.c 0  nên p

Suy ra 3 đường thẳng m,n,p cùng song song với mặt phẳng () mà  nên 3 vectơ a,b,c



đồng phẳng

Như vậy khi dạy học phương pháp toạ độ có thể xảy ra 2 khuynh hướng sau:

+ Khuynh hướng thứ nhất là chỉ chú trọng rèn luyện cho học sinh giải toán trên các biểu thức hình thức (các bài toán trong nội bộ phương pháp toạ độ), ít quan nắm các ý nghĩa hình học

+ Khuynh hướng thứ hai là chỉ coi trọng nội dung hình thức, coi nhẹ các dạng toán trong nội bộ phương pháp toạ độ thì học sinh không biết dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức, ngược lại nếu không chú trọng ngữ nghĩa thì học sinh không biết dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức (chuyển bài toán thuần tuý sang bài toán trong nội bộ toạ độ), từ đó ảnh hưởng lớn đến việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng toạ độ của học sinh

Do đó để khắc phục các khuynh hướng nêu trên khi dạy học chủ đề phương pháp toạ độ trong không gian cần chú trọng:

- Khắc sâu ý nghĩa hình học của các hệ thức, biểu thức toạ độ hình thức;

- Chú trọng cho học sinh được luyện tập đảm bảo cân đối giải các bài toán trong nội bộ phương pháp toạ độ đã cho trước hệ toạ độ và các biểu thức toạ độ biểu thị quan hệ giữa các đối tượng hình học và các dạng toán hình học cần chọn

hệ toạ độ, chẳng hạn:

Ví dụ 1: Cho đường thẳng có phương trình tham số x 1 2t

 





 



Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc đường thẳng đó, điểm nào không: A(1,1); B(5,1); C(3,1); D(3,-2); E(201,295).

Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng đó với các trục toạ độ.

Bài toán trên thuộc dạng toán trong nội bộ phương pháp toạ độ

VD2: Cho hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BB 1 , C 1 D 1 Chứng tỏ rằng các mặt phẳng (MNP)

và (BDC 1 ) song song.

Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp toạ độ, khi giải bài toán trên học sinh cần biết chọ hệ trục toạ độ trong không gian

Để đơn giản có thể xét cạnh hình lập phương bằng 1 và chọn hệ trục toạ

độ sao cho A (0,0,0); D (1,0,0) ; B (0,1,0) và A1 (0,0,1)

Bài toán dẫn tới tìm toạ độ các điểm MINP, lập phương tính tổng quát 2mp ( MNP) và (BDC1) và sử dụng dấu hiệu hai mặt phẳng song song để xét :

   '

/ /

Trong đó (A,B,C) là toạ độ véc tơ pháp tuyến của  

(A’,B’,C’) là toạ độ véc tơ pháp tuyến của  '



D và D’ là các hệ số tự do trong phương trình của   và  '



+ Rèn luyện cho học sinh khai thác ý nghĩa hình học của các biểu thức hình thức thông qua việc giải thích các công tác, các hệ thức liên hệ giữa các đối tượng, hệ thức tính toán các đại lượng hình học:

VD3 Công tác tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

0

M M;U

U





 



Về ý nghĩa hình học: Khoảng cách từ đểm M tới đường thẳng  Chính bằng độ dài đường cao kẻ từ M của hình bình hành MM0M1M2 Trong đó M; M0 và

0 1

M M  U

 

 

 

 

 

 

.Khi đó, tử số chính là diện tích của hình bình hành được dựng bởi

0 1

M M , U ;

 

mẫu số là độ dài đáy của hình bình hành

Ví dụ 4 Công tác tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

1

2



1 2

1 2

1 2

U ;U

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

Công thức trên được giải thích bằng ý nghĩa hình học như sau: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính bằng độ dài đường cao của hình hộp có 2 mặt đáy lần lượt song song chứa 2 đường thẳng trên, khi đó, tử số là thể tích của hình hộp M M M M M M M M với 2 3 4 5 1 6 7 8 M M 1              8 U ;M M 1 2 3 U2

U  2

Còn mẫu số là diện tích đáy của hình bình hành

M

1

M4

M3

M2

M1

M8

M7

M6

M5

2

U

Việc khai thác ý nghĩa hình học được tiến hành khi dạy học giải các bài tập toán, việc quan tâm như vậy còn có tác dụng rèn luyện các biểu tượng không gian cho học sinh, đồng thời học sinh sẽ không nhớ máy móc các công thức Ngoài những ý nghĩa trên việc khai thác ý nghĩa hình học còn là cơ hội tạo mối liên hệ giữa dạy học chương này với chương khác trong bộ môn hình học ở trường THPT

Dưới đây chúng ta xét ví dụ về việc khai thác ý nghĩa hình học thông qua việc dạy học giải các bài tập toán:

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết phương trình tổng quát của nó là:

2x y z 5 0

:

2x z 3 0



 



Bằng ngôn ngữ hình thức học sinh có thể diễn đạt cách giải theo quy trình các bước sau:

- Đặt z=t

- Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x,y theo t

- Dẫn tới phương trình tham số

3 1

2 2 2x z 3 0

z t









 



 Suy ra đường thẳng  đi qua M (0 3;2;0)

2

 và vectơ chỉ phương của  là

1

u( ;2;1)

2



Suy ra phương trình chính tắc:

3

2

2

Để khai thác ý nghĩa hình học ta có cách thứ hai tốt hơn:

Xem  là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

( ) : 2x y z 5 0(1)

( ) : 2x z 3 0(2)

( ) có véctơ pháp tuyến là u (2, 1,1) 

( ) có véctơ pháp tuyến là v (2,0, 1) 

Khi đó u vuông góc với mặt phẳng có phương trình (1) nên u   , tương tự

v  



Từ đó vectơ chỉ phương u 

của đường thẳng  vuông góc với u và v

Cho z=0 có thể tìm được x,y từ hệ 2x y 5







 Khi đó điểm M (0 3;2;0)

2

   Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng 

là:

3

2





b) Chú trọng khai thác càng nhiều càng tốt các ứng dụng khác nhau của từng khái niệm vào việc giải quyết, nghiên cứu các vấn đề thuộc phạm vi kiến thức toán phổ thông

Chẳng hạn, từ định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ a,b  và các tính chất của tích vô hướng như:

và a,b   a b sin   Với  là góc giữa hai vectơ a,b  có thể vận dụng giải quyết vấn đề sau:

1) Chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng phương trình tham

số của nó (xem VD5)

2) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (p) biết (p) qua 3 điểm

A(x , y ,z );B(x , y ,z );C(x , y ,z ) không thẳng hàng

Thật vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (p) có thể chọn là:



   

Khi đó phương trình tổng quát của (p) được xác định bởi điểm A(x , y ,z ) và1 1 1 vectơ pháp tuyến n

3) Lập phương trình của mặt phẳng (p) đi qua điểm M (x , y ,z ) và vectơ:0 0 0 0



4) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Chẳng hạn 2 đường thẳng d,d tương ứng đi qua các điểm ' M (x , y ,z ) và0 0 0 0 ' ' ' '

M (x , y ,z ) có vectơ chỉ phương tương ứng u (a,b,c);u ' (a ,b ,c )' ' '





chéo

nhau khi và chỉ khi u.u M M' 0 '0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



và a : b : c a : b : c ' ' ' 5) Viết phương trình hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng cho trước

6) Viết phương trình của đường thẳng  cho trước và cắt 2 đường thẳng chéo nhau cho trước

Ta lập mặt phẳng ( ) chứa 1và song song với d

Mặt phẳng ( ) chứa 2và song song với d

Vậy  chính là giao tuyến của mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( )

7) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:

d

- Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 và có vectơ pháp tuyến

1

n u ;u 

với u u ;u1 2

- Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa 2và có Vectơ pháp tuyến

2

n u ;u 

Vậy  Chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và ( )

8) Tính diện tích tam giác: Thể tích hình hộp, tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

c Chú trọng các yếu tố trực quan, đặc biệt là trực quan ảo nhờ sự hổ trợ của máy tính điện tử thông qua việc khai thác các phần mền dạy học hình học nhằm hướng đích, gợi động cơ hình thành khái niệm phát hiện các định lí, quy tắc Chẳng hạn ví dụ sau đây gọi động cơ hình thành khái niệm elip:

Khi hình thành khái niệm elip có thể xuất phát từ các tình huống thực tiễn, chẳng hạn, các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo quy đạo là các đường elip, có thể sử dụng phầm mền toán học đông: “The Geometeris Sketchpad” được viết bởi Ncolas Jackiw mô tả sự chuyển động trên

Chẳng hạn, xét bài toán sau: Tìm quỹ tích các điểm M của mặt phẳng mà

từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới một trong các đường sau

a Elip

1

b Hyperbol

1

Khi gọi động cơ nhằm định hướng cho học sinh tìm tòi lối giải các bài toán, nói riêng bài toán trên, yêu cầu học sinh xét trường hợp riêng: Nên cho

M

đường tròn (trường hợp đặc biệt của elip: “Tìm quỹ tích những điểm M sao cho

từ M các bẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau” Đối với học sinh khá ở trường phổ thông đều có thể tìm được quỹ tích là đường tròn, đồng tâm với đường tròn đã cho và có bán kính bằng R 2 Trong đó R là bán kính đường tròn đã cho

` M

Từ nhận xét trên, có thể có cơ sở để dự toán quỹ tích cần tìm có thể là đường elip đặc biệt là đường trò Từ đó, hướng dần học sinh cố gắng lập mối liên hệ tọa độ M(x,y), các giao điểm của 2 tiếp tuyến vuông góc, và biến đổi về dạng biểu thức bậc hai của x và y Chẳng hạn, xét M(x,y) là giao của 2 tiếp tuyến  ; ' của elip

1

: Ax By c 0

Do hai tiếp tuyến vuông góc nên A’=B và B’=-A vậy M(x,y) là giao điểm của:

: Ax By c 0(1)

'

;

  là tiếp tuyến của elip nên 6A2+3B2=C2 (4)

6B2+3A2=C’2 (5)

Từ (1) và (2) suy ra c x (Ax By);c   ' Bx Ay

Thay các đẳng thức cuối vào (4) và (5) ta nhận dcượ hệ thức liên hệ giữa x, y là

x y 9

Vậy tập các điểm M giao của các cặp tiếp tuyến của elip vuông góc với nhau là đường tròn x2 y2 9