182 bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng cơ bản

Chuyển hai phương trình về dạng tham số và xét hệ phương trình Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M3; 2;6... Lập phương trình đường thẳng đi qua và Khi đó điểm là giao điểm của và Vì

NHÀ XUẤT BẢN VÌ DÂN CHỦ BIÊN: NGUYỄN BẢO VƯƠNG

182 BTTN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CƠ BẢN TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH

THƯỜNG GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

LUYỆN THI THPTQG

1 1 0 1 1 0 1 1 0

A x a t ; y b t ; z c t

Nếu (*) có vô số nghiệm thì hai đường thẳng d và 1 d trùng nhau 2

Nếu (*) vô nghiệm, khi đó ta xét sự cùng phương của hai véc tơ

1 1 1 1

u a ; b ;c và u2 a ; b ;c2 2 2 +) Nếu u1 ku2 d / /d1 2

+) Nếu u1 k.u2 thì d1 và d2 chéo nhau

Ví dụ 1 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz,

1 Cho đường thẳng :x 1 y z 2

2 1 1 và mặt phẳng (P) : x 2y z 0 Gọi C là giao điểm của với (P), M là điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC 6

2 Cho các điểm A(2;1;0),B 1;2;2 , C 1;1;0 và mặt phẳng (P) : x y z 20 0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

Lời giải

1 Cách 1: Phương trình tham số của

x 1 2t: y t , t R

t 2 M( 3; 2; 0) d M; (P)

6

Cách 2: Đường thẳng  có u (2;1; 1) là VTCP

Mặt phẳng (P) có n (1; 2;1) là VTPT

Gọi H là hình chiếu của M lên (P), suy ra cos HMC cos u, n nên ta có

1d(M, (P)) MH MC.cos HMC

6

Vì D thuộc đường thẳng AB D 2 t;1 t; 2t CD 1 t; t; 2t 

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P :n 1;1;1

Vì C không thuộc mặt phẳng P nên CD / / P n.CD 0

1

1 1 t 1.t 1.2t 0 t

2 Vậy D 5 1; ; 1

2 2 

Ví dụ 2 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz,

1 Cho đường thẳng :x y 1 z

2 1 2 Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến bằng OM

2 Cho hai đường thẳng 1

x 3 t: y t

z t

và 2:x 2 y 1 z

2 1 2 Xác định toạ độ điểm M thuộc

1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1

3u

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M ( 1;0;0), M (2;0;0)1 2

2 Đường thẳng 2 qua A 2;1;0 có u 2;1; 2 VTCP

1 Cho đường thẳng :x 2 y 1 z

1 2 1 và mặt phẳng (P) : x y z 3 0 Gọi I là giao điểm của và (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với và MI 4 14 Đề thi ĐH Khối B – 2011

2 Cho đường thẳng :x 2 y 1 z 5

1 3 2 và hai điểm A( 2;1;1), B( 3; 1; 2) Tìm tọa độ điểm

M thuộc đường thẳng sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5

Đề thi ĐH Khối B – 2011

2 Vì M M( 2 t;1 3t; 5 2t)

Ta có AB ( 1; 2;1),AM (t;3t; 6 2t) AB, AM (t 12; t 6; t)

Do đó S MAB 3 5 1 AB, AM 3 5

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán: M( 2;1; 5) và M( 14; 35;19)

Ví dụ 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình :

x 2y 2z 1 0 và hai đường thẳng d :1 x 1 y z 9,

x 1 y 3 z 1

d :

2 1 2 Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 và khoảng

cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau

Suy ra (Q) : 2(x a) 1(y b) 2(z c) 0 2x y 2z 9b 16 0

Gọi H là giao điểm của (Q) và 2, suy ra tọa độ H là nghiệm của hệ :

Đường thẳng 1 qua điểm M (1;1 1; 5) và có u (2; 3; 1) là VTCP 1

Đường thẳng 2 qua điểm M ( 1;2 1; 1) và có u (4; 3; 5) là VTCP 2

Cách 1: Ta có M M ( 2; 0;1 2 4) và u , u1 1 (12; 6; 6), nên

1 1 1 2

u , u M M 24 0 24 0Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M

Cách 2: Ta có u (2; 3; 1), u (4; 3; 5)1 2 không cùng phương nên hai đường thẳng hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau

Chuyển hai phương trình về dạng tham số và xét hệ phương trình

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(3; 2;6)

Góc giữa hai đường thẳng

1 2

1 2

u u 8 9 5 11cos( , ) cos(u , u )

1 Lập phương trình đường thẳng đi qua và Khi đó điểm là giao điểm của và

Vì nên đường thẳng đi qua và có phương trình là

Điểm nên

Mà điểm nên

Vậy tọa độ

2 Có hai cách giải

Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng qua và tọa độ điểm là giao của và

Vì nên mặt phẳng qua và có phương trình là

Tọa độ điểm là nghiệm của hệ hay

Cách 2: Vì nên chỉ phụ thuộc một ẩn Sử dụng điều kiện ta tìm được tọa độ

Vì nên

Vì nên

Vậy tọa độ

Ví dụ 7 Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mp( ) Tìm tọa độ giao điểm của chúng nếu có :

Ta kí hiệu u là VTCP của đường thẳng d , n là VTPT của mp( )

1 Cách 1 : Thay phương trình của d vào phương trình của ta có :

3(12 4t) 4(9 3t) 1 t 2 0 23t 69 0 t 3 Vậy d cắt ( ) tại A(0;0; 2)

Cách 2 : Ta có : ud (4;3;1), n (3; 4; 1) u nd 35 0

Vậy d và ( ) cắt nhau

2 Cách 1 : Xét hệ phương trình

Cách 2 : Ta có : ud ( 3; 4; 1), n (0;1; 4) u nd 0

Mặt khác điểm M( 10;4;1) d mà M ( ) d / /( )

Ví dụ 8 Tính khoảng cách từ A(2;3; 1) đến đường thẳng :x 3 y 2 z

Lời giải

Đường thẳng đi qua B(3;2;0) và có u (1;3;2) là VTCP

Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên , suy ra H 3 t;2 3t;2t AH t 1;3t 1; 2t 1

có nghiệm duy nhất

Từ hai phương trình đầu của hệ ta tìm được t t ' 1 thay vào phương trình thứ ba ta có :

3 (m 1).1 2 2 m 2

Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là : A 8;2;4

Cách 2 :

Đường thẳng d1 có VTCP u1 (2; 4; m 1) và đi qua M (6; 2;3)1

Đường thẳng d2 có VTCP u2 (4; 1; 2) và đi qua M (4;0; 2)2

Ví dụ 10.Cho đường thẳng :x 1 y 2 z 1

2 1 3 và điểm A(2; 5; 6)

1 Tìm tọa độ hình chiếu của A lê đường thẳng

2 Tìm tọa độ điểm M nằm trên sao cho AM 35

Cách 2 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với

Suy ra phương trình (P) : 2x y 3z 17 0 Khi đó H (P) nên tọa độ của H

là nghiệm của hệ:

Ví dụ 11 Cho tam giác AIB có A( a 3; 0; 0), B(a 3; 0; 0) và 0

AIB 120 , a 0 Điểm I thuộc trục tung và có tung độ âm Trên đường thẳng qua I song song với trục Oz lấy các điểm C, D sao cho tam giác ABC vuông, tam giác ABD đều và C, D có cao độ dương Tìm tọa độ các điểm

I, C, D

Lời giải

Tìm tọa độ điểm I

Vì I thuộc trục tung và có tung độ âm nên I(0; t; 0), t 0

Ta có IA( a 3; t; 0), IB(a 3; t; 0) nên

2 2 0

IA.IBcos AIB cos(IA; IB)

IA IB3a tcos120

( a 3) ( t ) 0 (a 3) ( t ) 0

t a3a t 2(3a t ) t a I(0; a; 0)

t aVậy điểm I(0; a; 0)

Đường thẳng qua I và song song với trục Oz có phương trình

x 0: y a (t ).

z tTìm tọa độ điểm C

Vì C nên C(0; a; t), t 0 Ta có CA( a 3; a; t), CB(a 3; a; t)

Rõ ràng CA CB nên tam giác ABC phải vuông tại C

t 2aMà t 0 nên C(0; a; 2a)

Tìm tọa độ điểm D.Vì D nên D(0; a; t), t 0

Ta có DA( a 3; a; t), DB(a 3; a; t)

Rõ ràng DA DB nên tam giác ABC đều khi và chỉ khi

t 2 2aMà t 0 nên D(0; a; 2 2a)

Vậy các điểm cần tìm là I(0; a; 0), C(0; a; 2a), D(0; a; 2 2a)

Ví dụ 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz :

1 Cho hai đường thẳng: 1 2

1 Đường thẳng d1 đi qua O 0;0;0 có u1 1;1; 2 là VTCP,

Đường thẳng d2 đi qua A 1;0;1 có VTCP u2 2;1;1

Giải hệ và kiểm tra điều kiện song song ta được M 4 4 8; ; , N 1; 4 3;

7 7 7 7 7 7thỏa mãn

2 Xét hệ phương trình :

d đi qua M ( 5; 2;0)2 và có u2 (6;3; 2) là VTCP

Gọi là góc giữa hai đường thẳng d và 1 d Ta có : 2

IA 1 9(t 1) 1

4t3

IB 1 49(t 1) 1

6t7

13 10 16 1 4 12

B ; ; , B ; ;

7 7 7 7 7 7 Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là:

1 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng ( )

2 Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( ), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng ( )

Lời giải

1 AB( 4; 4; 0) nên đường thẳng AB có phương trình

x 4 t

y t (t )

z 0Gọi M AB ( ) thì M(4 t; t; 0) và thỏa mãn

3(4 t) 2t 0 4 0 t 16 M( 12; 16; 0)

Vậy giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng ( ) là M( 12; 16; 0)

2 Trung điểm của AB là I(2; 2; 0)

Đường thẳng KI qua I và vuông góc với ( ) : 3x 2y z 4 0 có phương trình

2 3t 2 2t t 14 t 114t 20t 8 14 t 2t 1 8t 6 0

Bài tốn 2 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: d đi qua điểm M (x ; y ; z )0 0 0 0 và cĩ VTCP a (a ;a ;a )1 2 3 :

o 1

o 2

o 3

x x a t(d) : y y a t ( t )

z z a t

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B: Một VTCP của d là AB

Dạng 3: d đi qua điểm M (x ; y ; z )0 0 0 0 và song song với đường thẳng cho trước:

Vì d nên VTCP của cũng là VTCP của d

Dạng 4: d đi qua điểm M (x ; y ; z )0 0 0 0 và vuơng gĩc với mặt phẳng P cho trước:

Vì d P nên VTPT của P cũng là VTCP của d

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng P , Q :

 Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP

– Tìm toạ độ một điểm A d bằng cách giải hệ phương trình (P)

(Q) (với việc chọn giá trị cho một ẩn)

– Tìm một VTCP của d: a n , nP Q

 Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đĩ

Dạng 6: d đi qua điểm M (x ; y ; z )0 0 0 0 và vuơng gĩc với hai đường thẳng d , d1 2:

Vì d d , d1 d2nên một VTCP của d là:

1 2

d d

a a , a

Dạng 7: d đi qua điểm M (x ; y ; z )0 0 0 0 , vuông góc và cắt đường thẳng

 Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng

0

H

M H u

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M , H0

 Cách 2: Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d, Q là mặt phẳng đi qua A và chứa d Khi đó

Dạng 8: d đi qua điểm M (x ; y ; z )0 0 0 0 và cắt hai đường thẳng d , d1 2:

 Cách 1: Gọi M1 d , M1 2 d2 Từ điều kiện M, M , M1 2 thẳng hàng ta tìm được M , M1 2 Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d

 Cách 2: Gọi P (M , d )0 1 , Q (M , d )0 2 Khi đó d P Q , do đó, một VTCP của d có thể chọn là a n , nP Q

Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng P và cắt cả hai đường thẳng d , d1 2:

Tìm các giao điểm A d1 P , B d2 P Khi đó d chính là đường thẳng AB

Dạng 10: d song song với và cắt cả hai đường thẳng d , d1 2:

Viết phương trình mặt phẳng P chứa và d1, mặt phẳng Q chứa và d2

Khi đód P Q

Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d , d1 2 chéo nhau:

 Cách 1: Gọi M d , N1 d 2 Từ điều kiện 1

2

MN d

MN d , ta tìm được M, N Khi đó, d là đường thẳng MN

+ Lấy một điểm A trên d1 + Một VTPT của P có thể là:

1

n a, a – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d và d1

Khi đó d P Q

Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng P :

 Lập phương trình mặt phẳng Q chứa và vuông góc với mặt phẳng P bằng cách:

– Lấy M

– Vì Q chứa và vuông góc với nên nQ a , nP

Khi đó d P Q

Dạng 13: d đi qua điểm M, vuông góc với d1và cắt d2:

 Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2.Điều kiện MN d1, ta tìm được N

Khi đó, d là đường thẳng M, N

 Cách 2:

– Viết phương trình mặt phẳng P qua M và vuơng gĩc với d1

– Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M và d2

Khi đĩ d P Q

Ví dụ 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:

1 Cho điểm A(1; 2;3) và đường thẳng d :x 1 y z 3

2 1 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox Đề thi ĐH Khối D – 2011

Lời giải

1 Gọi M là giao điểm của đường thẳng với Ox

Suy ra M(m;0;0) AM (m 1; 2; 3) , đường thẳng có a (2;1; 2) là VTCP

Vì AM d AM.a m 1 AM ( 2; 2; 3)

Vậy phương trình đường thẳng là: x 1 y 2 z 3

Ví dụ 15 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng , biết:

đi qua M 1;0; 1 và vuông góc với hai đường thẳng

Ta có: d có 1 u1 (5; 8; 3) VTCP; d có 2 u2 (1; 2;0) là VTCP

Cách 1: Giả sử u (a;b;c) là một VTCP của 

Vì vuông góc với d1 và d2 nên

Suy ra phương trình là:

1 đi qua A 1;2;1 đồng thời cắt đường thẳng 1

1 Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và d , khi đó ta có 1 (P)

Ta có đường thẳng d đi qua 1 M(1; 2;0) và có u1 1; 1;1 là VTCP

Nên n AM, u1 1; 1;0 là VTPT của (P)

2 Đường thẳng 1 đi qua C(1;3; 1) và có v1 2; 1;1 là VTCP

Đường thẳng 2 đi qua D( 2;3;4) và có v2 1;1; 3 là VTCP

Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua B và 1, suy ra ( ) và n1 v , BC1 3; 8; 2 là VTPT của ( )

Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua B và 2, suy ra ( ) và n2 v , BD2 14;38;8 là VTPT của ( )

Ta có là giao tuyến của ( ) và ( ) nên a n , n1 2 (12; 4; 2) là VTCP

Vây phương trình chính tắc của đường thẳng là:

x 9 y z 1

6 2 1

3

Ví dụ 17 Viết phương trình tham số của đường thẳng , biết:

1 là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x y z 3 0 và ( ) : 2y z 1 0

2 là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x y z 3 0 và ( ) : 2x y 5z 4 0

3 là hình chiếu vuông góc của d :x 1 y 2 z

1 2 1 lên mp ( ) : x y z 1 0

Lời giải

1 Để lập phương trình đường thẳng ta có các cách sau

Cách 1: Ta có n1 1;1;1 và n2 0; 2; 1 lần lượt là VTPT của và ( )

Do ( ) ( ), suy ra a n , n1 2 3;1; 2 là VTCP của

Xét hệ phương trình x y z 3 0

2y z 1 0 (*) Cho y 1 x z 1, suy ra M(1;1;1)Vậây phương trình tham số của đường thẳng là:

, đây chính là phương trình tham số của

Cách 3: Trong hệ (*) cho y 0 z 1, x 4 Do đó điểm E(4;0; 1)

Hay ME , từ đó ta lập được phương trình tham số của là:

x 4 3t

y t , t

z 1 2t

2 Để lập phương trình đường thẳng ta có các cách sau

Cách 1: Ta có A( 1; 1;1), B( 5;6; 4) là hai điểm chung của ( ) và ( )

A, B d AB ( 4;7;3) là một VTCP của d

Phương trình tham số của

Cách 2: Ta có n1 (1;1; 1), n2 (2; 1;5) lần lượt là VTPT của ( ), ( )

Vì d là giao tuyến của ( ) và ( ) nên u n , n1 2 (4; 7; 3)

Từ đó ta lập được phương trình cuả d

Phương trình tham số của

3 Để lập phương trình đường thẳng ta có các cách sau

Đường thẳng d đi qua M(1; 2;0) và có v (1;2; 1) là VTCP

Mặt phẳng ( ) có n 1;1;1 là VTPT

Xét hệ phương trình

x 1 y 2 z

x y z 1 0

, giải hệ này ta được x 0, y 0, z 1, suy ra d và ( )

cắt nhau tại I(0;0;1) và I

Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với ( )

Ta có n1 v, n (3; 2; 1) là VTPT của (P)

Vì ( ) (P) nên u n, n1 1; 4;5 là VTCP của

Vậy phương trình của đường thẳng là: x y z 1

1 4 5 Cách 2 Gọi N là hình chiếu của M lên ( ), vì MN ( ) nên n (1;1;1) là VTCP

của MN, suy ra phương trình MN :x 1 y 2 z

1 Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A(1; 2; 5) trên ;

2 Tìm tọa độ điểm A sao cho AA 2AH và ba điểm A,A ,H thằng hàng;

3 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm B(1; 1; 2) qua (P)

Vậy điểm cần tìm là H( 1; 0; 2)

Cách 2: Gọi ( ) là mặt phẳng qua A(1; 2; 5) và vuông góc với

Ta có một véc tơ pháp tuyến của ( ) là n (2; 1; 2) nên

( ) : 2x y 2z 6 0

Điểm H là hình chiếu của A trên thì H (P) H( 1; 0; 2)

2 Gọi A (x; y; z)

Vì ba điểm A,A ,H thằng hàng và AA 2AH nên có hai trường hợp

AA 2AH, khi đó H là trung điểm AA ' nên

Vậy có hai điểm thỏa mãn là A ( 3; 2; 1) hoặc A (5; 6; 11)

3 Gọi d là đường thẳng đi qua B(1; 1; 2) và d (P), khi đó một véc tơ phương của d là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

Ví dụ 19 Trong không gian Oxyz,

1 Cho mặt phẳng ( ) : 2x 2y z n 0 và đường thẳng :x 1 y 1 z 3

2 1 2m 1 Tìm m, n để: a) Đường thẳng nằm trong mp( )

b) Đường thẳng song song với mp( )

b) Đường thẳng

2 2 m

1 Mặt phẳng ( ) có n 2; 2;1 là VTPT

Đường thẳng đi qua A(1; 1;3) và có u 2;1; 2m 1 là VTCP

n 7

A ( ) 7 n 0

2m 1 0 mn.u 0

2

Ta có d / /(P)m u.n 0 4m2 2m 2 4m2 4m 1 0

1 2 0

A (P)

1m

2 Cách 2: Ta có d / /(P)m hệ phương trình sau vô nghiệm:

2 2 2

x ( 2m m 1)t

y 1 (4m 4m 1)t

z 2 (m m)t2x y 2 0Thay ba phương trình đầu vào phương trình cuối ta được: (6m 3)t 1

Do đó hệ vô nghiệm m 1

2

Ví dụ 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1;2;1 ,

B 2;1;3 , C 2; 1;1 và D 0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

Lời giải

Mặt phẳng (P) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: (P) đi qua A, B song song với CD

Ta có AB ( 3; 1;2), CD ( 2;4;0) , suy ra n AB, CD ( 8; 4; 14) là VTPT của (P) Phương trình (P): 4x 2y 7z 15 0

Trường hợp 2: (P) đi qua A,B và cắt CD tại I , suy ra I là trung điểm của CD Do đó

I(1;1;1) AI (0; 1;0)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n AB, AI (2;0;3)

Phương trình (P) : 2x 3z 5 0

Vậy (P) : 4x 2y 7z 15 0 hoặc (P) : 2x 3z 5 0

Ví dụ 21 Cho đường thẳng và đường thẳng Lập

phương trình đường thẳng cắt và cắt đồng thời thỏa mãn:

1 nằm trong mặt phẳng

2 song song với đường thẳng

3 đi qua điểm

Lời giải

1 Vì cắt và cắt đồng thời nằm trong mặt phẳng nên chính là đường thẳng đi qua các giao điểm của và với

Gọi thì tọa độ là nghiệm của hệ

Ta có nên phương trình đường thẳng cần tìm là

2 Có nhiều cách giải bài toán này, chẳng hạn:

Cách 1: Tìm một điểm thuộc

Vì cắt và song song với nên nằm trong mặt phẳng chứa và song song với Ta có qua có một véc tơ pháp tuyến là nên

1

n  u , u   ( 2; 1; 5) ( ) : 2 x     y 5z 2   0.

Ta có nên và thỏa mãn

nên Lại có nên một véc tơ chỉ phương của là do đó phương trình cần tìm

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng

là giao tuyến của hai mặt phẳng

- Mặt phẳng chứa và song song với

- Mặt phẳng chứa và song song với

Mặt phẳng qua đồng thời có một véc tơ pháp tuyến là

nên Hai điểm là các điểm chung của mặt phẳng và nên phương trình cần tìm là

Cách 3: Xác định tọa độ hai giao điểm

Ta có nên do đó

Vì thế Phương trình đường thẳng cần tìm

3 Bài toán này cũng có thể giải bằng ba cách như bài toán trên Ở đây, chúng tôi giới thiệu cách 1

Vì cắt và qua nên nằm trong mặt phẳng chứa và qua Ta có Một véc tơ pháp tuyến của là nên

nên Vậy là đường thẳng

Ta có nên phương trình là

Ví dụ 22 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết:

1 Đỉnh A(1; 3; 2), phương trình hai đường trung tuyến:

2

( ) C

2

(Q) F

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB : x 1 y 3 z 2.

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : x 1 y 3 z 2

2 Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với BE là 2x y 3z 17 0

Ta có C CF (P) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

x 1 y 5 z 4

C(13; 13; 10)

2x y 3z 17 0

Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với CF là (Q) : 2x 3y z 3 0

Ta có B BF (Q) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

x 3 y 2 z 5

B(5; 3; 2)

2x 3y z 3 0

Do đã biết tọa độ ba đỉnh của tam giác nên các phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC là

Muốn tìm tọa độ điểm C ta tìm điểm A đối xứng với điểm A qua phân giác trong góc B Điểm

A thuộc đường thẳng BC nên lập được phương trình đường thẳng BC và tìm được C BC CK.Gọi H là hình chiếu của A trên BD, suy ra H(1 t; 4 2t;3 t)

Ta có AH(t 2; 2 2t; t), uBD(1; 2; 1) nên

BDAH.u 0 1.(t 2) 2.(2 2t) t 0 t 1 Vậy H(2; 2; 4)

Gọi A đối xứng với A qua BD thì A (1; 2; 5)

Đường thẳng BC là đường thẳng BA nên có phương trình là

x 1 2 c

y 2 t 3 c C(1; 2;5)

z 5 t 3 2cPhương trình các đường thẳng cần tìm là

AB : y 2 t , BC : y 2 t , CA : y 2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d cĩ phương trình tham số

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình chính tắc

Đường thẳng d đi qua

điểm M và có vectơ chỉ phương a là d

Câu 8.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác a nP 2; 1;1 với

A 1; 4; 1 , B 2; 4;3 , C 2; 2; 1 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

M 1;3; 4 và song song với trục hoành là

Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua điểm

M 2;1; 5 , đồng thời vuông góc với hai vectơ a 1;0;1 và b 4;1; 1 là

Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

5 1 1 cho tam giác ABC có

A 2;1; 2 , B 4; 1;1 , C 0; 3;1 Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC là

Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

5 1 1 cho hai điểm A 1; 4; 2 và B 1; 2; 4 Phương trình d đi qua trọng tâm của OAB và vuông góc với mặt phẳng OAB là

Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

: x 3y z 0 và : x y z 4 0 0 Phương trình tham số của đường thẳng d là

Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

5 1 1 cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng : x 2y z 1 0 và : 2x 2y 3z 4 0 Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 1; 1;0 và song song với đường thẳng là

P : 2x 3y 5z 4 0 Phương trình đường thẳng đi qua điểm A 2;1; 3 , song song với P

và vuông góc với trục tung là

S : x 1 y 2 z 3 9 Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu S , song

song với : 2x 2y z 4 0 và vuông góc với đường thẳng :x 1 y 6 z 2

3 1 1 là

Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ x 3 y 2 z 1

5 1 1 cho tam giác ABC có

A 0;1; 2 , B 2; 1; 2 , C 2; 3; 3 Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ABC Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng d

M 1;3; 1 , song song với hai mặt phẳng , là

Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mệnh đề nào sau đây là đúng?